辽宁省2025-2026学年高三上学期期中(12月)考试数学试题

·数学· 参考答案及解析 叁专答亲及解折 期中考试高三年级 一、选择题 方.线段3x+4y-1=0(x>0,y>0)上的点(x,y) 1.B【解析】因为U={2,3,5,7,11,所以CuA={2, 到原点的最小距离为原点到该直线的距离d,根据点 3}. 2.C【解析】之=5i-(5-D1-) 到直线距离公式得1=3×0+4×0-1！-1 √32+4 ，因此 1+i(1+i)(1-i) =2-3i,z=2+ x2+y2≥d2=25 3i,所以之的虚部为3. 3.C【解析】因为a=(1,一2)，b=(m,1),所以a十3b= 8.C【解析】若f(x)=axe-lnx-x十1在[l, (3m+1,1),因为a⊥(a+3b),所以3m+1-2=0, 十o)上单调递增，则f'(x)=a(x+1De--1= 舒得一了 (红+1)(ae-)≥0在[1，十o)上恒成立.因为 4.A【解析】由题意可知正态曲线关于4=105对称， 所以质量指标大于110的产品件数大约为 x+1>0,所以ae-≥0在[1，+∞)上恒成立，即 1000-680=160. 2 a≥心在[1，十∞)上恒成立.令g《x)=e,则 5.C【解析】由题意可知m>4,焦点坐标为(0,2)，(0， g'(x)=(x+1)e>0,所以g(x)在[1，+∞)上单调 一2)，因为通径长为6，所以椭圆经过点(3,2)，代人 方程可得是+”一1，解得m一16，所以高公李 递蜡，所以g)-台1)=c,即y一的最大值 为，所以a≥。，故a>≥”是“f(x)在[1，+o)上 单调递增”的充要条件. 6.A【解析】由4x-x2>0可得f(x)的定义域为(0， 二、选择题 40,所以/0<2<4， 解得-1<x<2,即g(x)的定义 x+1>0, 9.AB【解桥】f(x)=- 2 cos 22 2 sin 2x+ 域为(-1,2). 7、D【懈析】法一：因为是+分-1，所以}- 2 sin 2 cos 2x -sin 2x c0s 4a ++×a-空+，因为 2sin(2x-),最小正周期为元，A正确；令2x- a2 a>0,6>0,所以a>3,∈(0，），由三次函数的 至-kk∈Z,可得x-经+餐k∈Z,取及=-1可 性质可知，当日即a=时，+京取得装小 1 得fx)的一个对称中心为(-，0)，B正确：易知 3 值，最小值为后 当x=kx十否&∈Z时，f()取到最大值2，C错 法二：令日-x,名-y,则问题转化为：已知>0， 误当x∈(0，）时，2x-∈(-至，0)，因为 y>0,3x+4y=1,求x2十y2的最小值.x2+y2表示 碧费受，所以了u)在区间(o,)上不是单调两 平面直角坐标系中点(x,y)到原点(0,0)的距离的平 数，D错误. ·数学· 10.ACD【解析】对于A,设{b.}的公比为q,则 对于C,设△MAD边AD上的高为MF,如图， 11+d=2q, 解得92 A正确；对于B,由选 1+4d=2g2+5,d=3 项A可知，am=1+3(m-1)=3m-2,bn=2”,b5 32,令3m一2=32得m-兰不是整数，放不存在 m,m∈N,使得am=b5,B错误；对于C,am=3n 因为tan∠MAD=2tan∠MDA,所以MF 2,b=2,设S.=-2a,b,=1×2+4×2+…+(3m DF,即DF=2AF,又AD=4,所以AF= M 3过F 2)2",2Sn=1×22+4×23+…+(3n-2)2"+1,两式 作平面a与AD垂直，记平面a被正方体所截的图 相减可得-S.=2+3×22十3X23+…十3×2” 形为正方形FGHI(及内部)，如图，所以点M在正 8a22=2+3(气2)-8n-22- 方形FGHI内（含边界），故MC,的最小值为4←月 -10-(3n-5)2m+1,所以Sn=10+(3n-5)2m+1, 所以S0=10十55×221，C正确；对于D,am+bn 3,C正确； D 3n-2+2,2(a:+b:)=(1+4+7+…+3n-2)十 （2+2十…十20)=3m,”-4+21,D正确 2 11.BCD【解析】对于A,连接AC交DN于E,由正 方体的性质可知，A1C1∥AC,所以∠AEN为异面 直线DN与A1C1所成角，如图， 对于D,设AC,B1D1的中点分别为O,O1,因为 MA⊥MC,所以M在以O为球心，AC为直径的球 面上，同理M也在以O1为球心，B1D1为直径的球 面上，由正方形的性质可知B,D,为直径的球面与 A,C1为直径的球面是同一个球面.因为AC= B1D1=4√2，所以两球面的半径均为2√2，截面图 易知△CED与△AEN相似，相似比为架=4，放 如图， AE-AC-gNE-号DN- 5,Cos∠AEN= AE十NE一AN=34A错误：对于B,由正 2AE·NE 方体的性质可知，B1C∥A1D,A1DC平面DA1C1, B1C寸平面DA1C1,所以B,C∥平面DA1C1,所以 点M在线段B1C上时，M到平面DA1C1的距离为 由前面分析可知，M的轨迹是以PQ为直径的圆， 定值，B正确； 由勾股定理可得PQ=4,所以M轨迹的长度为4π， D正确. 三、填空题 12.-60【解】法-：(2x+y-2)° 的通项公式为 D T+1=C(2x+y)t(-2)广，k=0,1,…,5, 2 ·数学· 参考答案及解析 (2x十y)5展开式的通项公式为T,+1= (2)由A+B+C=π，则sinA=sin(x-B-C)= C5-k(2x)5-=7y',r=0,1,…,5-k,令r=2,5- sin(B+C)=sin Bcos C++cos Bsin C, k-r=2,即r=2,k=1,所以x2y2的系数为 由正弦定理月G,可得cnB=bsnC Cc(-7)c×2=-60. 16 4,则bc= sin Bsin C,…6分 法二：C(2x)C3y2(-2 ）=-60x2y2,所以x2y2 2 的系数为一60. 所以△ABC的面积SA=专besin A=号X 13.一1022【解析】因为f(x)是定义在R上的奇函 16sin A 8(sin Bcos C+cos Bsin C) sin Bsin C sin Bsin C 数，所以f(0)=0,因为当x≥0时，都有f(x十1)= 2f(x)+2,所以f(x+1)+2=2[f(x)+2],则 (光+》-8c+a.9分 f(n+1)+2=2[f(n)+2],令n∈N,即数列 又角A为钝角，所以tanB>0,tanC>0, {f(n)+2}是公比为2的等比数列，又f(0)+2= 1 2,所以f(n)+2=2×2”=2+1,即f(n)=2+1 因为anB+4tamC=1,所以aR名子n名 2,所以f(-9)=-f(9)=-1022. 14.15【解析】设直线AB的方程为y=一2x十m, ()(an C) tan C+ M(xoy0),A（x1,y1),B（x2,y2),联立 4tan C tanB≥5+2 tan B 4tan C tan C tan B =9,当且仅当 |y=-2x+m, 得x2+12x-6m=0,△=144+ x2=6y, tanB=2tanC,即tanC=, 公tanB一时，取到是 24m>0,x1十x2=一12，设MA,MB的斜率分别为 小值9，…12分 1,k2,1+k2=y1二0+y2二y0=1十x0+ 所以△ABC面积的最小值为72.…13分 x1-x0x2一x0 6 16.解：(1)证明：如图所示，设AB交CD于点F,连 x2十x0-x1十x:+2x0=2x0-12 6 6 6 ,因为MA,MB 接EF, 的斜率和为1，所以2.12-1，解得。=9，代入 因为PA∥平面CDE,平面PAB∩平面CDE= 6 EF,所以PA∥EF.…2分 27 连接AC,因为AB为直径，所以∠ACB=90°， 抛物线方程可得y。一2，抛物线的准线方程为y一 由△BCD是正三角形，得∠ABC=30°，所以AC= -2,所以MP1=+多=15. AB=1,BC=3 2 AB=3, 四、解答题 15.解：(1)tanA=tan(π-C-B)=-tan(C+B)= 所以BF=3 nc- …4分 tan C+tan B 9 1-tan Ctan B=一17…1分 因为PA/EF,所以器-一5所以BE-器】 17tan C+17tan B=9-9tan Ctan B, 3 因为tanB+4tanC=l,所以tanB=1-4tanC, 代入上式整理可得18tan2C+21tanC-4=0,解得 Bp-2-即PE= 2 1 …6分 1amC=行或amC=一专（含>，…3分 所以anB=子，所以imB=D, 10 4 因为csin B=4,所以c一inB=4V10.…5分 D 3 ·数学· (2)解：由(1)知BF=3,CD=BC=5,CDLAB. 17.解：(1)当a=1时，f(x)=x2-3x+lnx,f'(x)= 以F为坐标原点，FD,FB所在直线分别为x,y 2z-3+1-2x-1)x-1D(x>0,1分 x 轴，建立空间直角坐标系，如图，…7分 令f(x)>0得x>1或0<x<号，所以f(x)的单 调递增区间为(0，号)和(1，十o0)……3分 令f'(x)<0得2<<1，所以f()的单调递减区 间为(2，小.…5分 则D(0,o),B(o,,),P(o,2) （2)/'x)=2x-3x+a(>0),因为f)有两个 c(-0.o）, 极值点x1,x2,所以2x2-3x十a=0有两个不相等 的正数根1，，所以4=9-8a>0,即a<号， 所以P啦=0,1，-5，币=(-，25)， 号：-号>0，所以0a<号 3 CD=(3,0,0), …7分 设PE=λPB=(0,λ，-√3λ)，∈[0,1]， 则成=萨+庄-(-经，}+以w5-5, 因为十，=0<<，所以，（至，》。 …9分 …8分 又2x-3x2十a=0,所以a=3x2-2x2, 易知平面BCD的一个法向量为n=(0,0,1), DE.nl f(x2)=x-3x2十(3x2-2x)lnx2,令g(x)= 由题意|cos〈DE，,n〉|= DE x-3x+8xnx-2xnc,x∈(，2》， 1W3(1-λ)川 =30 ,解得入=2或 1 g'(x)=2x-3+3lnx+3-4xlnx-2x=(3 √层+（写++31- 4x)lnx,…11分 入=2（舍去）.10分 因为z∈（是），所以3-4红<0，当xE() 所以D证-（受1，号》. 时，lnx<0,g'(x)>0,g(x)单调递增；当x∈（1， 设平面CDE的法向量为m=(x,y,之)， 成a=g+y+=0, 之)时，nx>0,g'(z)<0,g(x)单调递减， 则 …13分 CD·m=√3x=0, 又x1=-2,R(经)-君n是0g(2) 令x=2,可得y=-√3，所以m=(0,-√3,2)，… ……13分 ,易得1n+2>0,则x()>g(),所以 设平面CDE与平面BCD的夹角为O, |m·nl_2_2√7 g(x)E(-号，一2]，即f(x,)的取值范围是 则cos0=cosm,n)=mn= Γ7’ (,-2 …15分 即平面GDE与平面BCD夹角的余弦值为2y7 18.解：(1)(1)设事件A=“甲队获胜”，事件B=“比 …15分 赛恰好进行了四场”，由题意， ·数学· 参考答案及解析 P(A)=(2)+G(2)'×(1-2)×2+ 又f()=,fI=3,所以Ee[,).“ c(》x1-》x号-， …17分 …………2分 19.(1)证明：因为双曲线的渐近线方程为y=士√2x, PAB)=-C(3》x(1-2)×号-64分 所以后-巨，即方程为 26263-1, 所以P(B|A)= P(AB)3 P(A)8 …5分 又因为E经过点(1，V10),所以0-1 Γ2626京=1，解得 (iⅱ)由题意知X的取值为3,4,5. b2=4,a2=8, Px=3)=(2)+(1-》广- 所以方程为公之 84=1. …3分 Px=0=c(号)×(1-)x2+c(1-2)× 由双曲线的图象可知，切线的斜率一定存在，设切 线方程为y一y0=(x一xo), 2×(1-)-, [y-yo=k(x-xo), 联立 P(x=5)=c(2)°×(1-8)×是 y2-2x2=8, 得(k2-2)x2+2k(y0-x0)x十(y0-kxo)2 c(1-2)×(2)》x(1-2)=, …8分 8=0, k2-2≠0，△=[2k(y。-kxo)]2-4(k2 故分布列为 2)[(y0-kx0)2-8]=0, X 3 4 5 整理得(4十x)k2-2 xoyok十y行-8=0①，… 3 …5分 4 8 8 由题意可知两条切线的斜率是①的两个根，设为 数学期塑E(X)=3×+4× +5X333 y6-8 8 81 ,则品点：=4十 …10分 因为x+y=4,所以y=4一x,代人上式可得 (2)由题意Y=0,1,2,3, P(Y=0)=(1-p)3×(1+3), k1k2= 4-x8-8--1, 4+x6 P(Y=1)=C8(1-p)22(1-p)=6(1-p)3p2, 即MA⊥MB.…7分 P(Y=2)=Cp2(1-p)2p=6(1-p)2p3, (2)解：由(1)知F1(0,23),F2(0,-23),1MF1|= P(Y=3)=p3+C3p2(1-p)p=p3(4-3p), E(Y)=6(1-p)3p2+12(1-p)2p3+3p3(4 W6+(y-23),lMF,l=√x8+Gy。+23), 3p),… ……13分 |MF1I·|MF2|=√x+(y。-23) 。 令f(p)=6(1-p)3p2+12(1-p)2p3+3p3(4 √x8+(y+23)=√256-48y6,…8分 3p,pe[2,1, 当y=4时，|MF1|·|MF2|取到最小值8，此时 M的坐标为(0,2)或(0，-2)， 则f'(p)=6p(p-1)(5p2-5p-2), 代入①式可得k=士1，即此时过M有两条直线与 令g(p)=5p2-5p-2,g（p)的对称轴为p= 21 双曲线相切，符合题意. 所以|MF,|·|MF2|的最小值是8.…10分 g(2)=-18<0,g1)=-2<0, (3)设切点A(x1,y1),B(x2,y2),切线MA的方程 为y=kx十m, 所以gp<0,所以f'(p>0,即fp)在[2) (y=kx+m 联立 上单调递增，… …15分 2-2x=8得(2-2)z2+26mx十m 5 ·数学· 8=0, 64=0, 由△=0，得x1= 2km km 2(k-2)-2-,又y1=x1十 △=(32xo)2-256(4x8-2y)=512y>0,x3+x4= 32x0 64 m,所以x1= k(y-kx1) 22一，解得=，即切线 4x8-2ygx3x4=4x6-2y8' CD 4x6 = /1+ √（x3十x4)2-4x3x4= MA的方程为y一y1= y yi 可得切线MA的方程为含--1.同理可得切 VI+ x6 √512y8 4 |4x-2y' 线MB的方程为器冬-1， 原点O到直线AB的距离为d= 6+4x话’ 因为M既在MA上，又在MB上，所 则△0CD的面积为S-1cD1·d- 4x y1y0_x1x0=1, 21+ 8 4 以 √512y8 8 32√2 y2y0_x2x0=1, 4x6-2y‘8+4x12x6-y月' 8 4 32W2 所以直线AB的方程为。-乙2=1，即y 因为z6+y6=4,所以S=13x4,…16分 8 4 2x0x=8.…13分 易知当x=4时，S有最小值4√2， (直接出结果扣3分) 但是此时y。=0,与△=512y号>0矛盾，所以 设C(x3,y3),D(x4y), △OCD的面积不存在最小值.…17分 |y0y-2x0x=8, 联立 得(4x6-2y)x2+32xx+ y2-2x2=0, 6 ·数学· 参考答案及解析 期中考试高三年级数学细目表 题号 题型 分值 考查的主要内容及知识点 难易程度 1 单选题 集合的补集运算 易 2 单选题 5 复数的除法运算，共轭复数 易 单选题 向量数量积的坐标运算 易 4 单选题 正态分布的实际应用 易 5 单选题 5 椭圆的离心率 易 单选题 函数的定义域 中 7 单选题 6 基本不等式求最值 中 8 单选题 5 导数研究函数单调性与充分条件必要条件 中 9 多选题 6 三角函数的图象与性质 易 10 多选题 6 等差数列与等比数列的综合 中 11 多选题 6 空间中动点的轨迹问题 难 12 填空题 二项展开式系数的求解 易 13 填空题 5 函数性质的综合 中 14 填空题 直线和抛物线的综合 中难 15 解答题 13 解三角形 易 16 解答题 15 线面平行的性质，平面与平面的夹角 中 17 解答题 15 函数的导函数的综合 中 18 解答题 17 条件概率，随机变量的分布列和期望 中 19 解答题 17 双曲线的切线问题，最值问题 难 7绝密★启用前 25一26学年度（上）期中考试高三年级 数学试卷 本卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号 条形码粘贴在答题卡的指定位置。考试结束后，将答题卡交回。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标 号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题所给的四个选项中， 有且只有一项是符合题目要求的。 1.已知全集U={x|x是小于12的素数}，集合A={5,7,11},则CA= A.{3} B.{2,3》 C.{3,9} D.{1,2,3} 2已知：计则：的虚部为 A.-3 B.2 C.3 D.6 3.已知平面向量a=(1,一2)，b=(m,1),若a⊥(a+3b),则实数m= A.1 B.-1 3 c D.11 4.某工厂生产的产品质量指标服从正态分布N(105,o2),从该工厂生产的产品 中随机抽取1000件，质量指标在(100,110]内的产品有680件，则质量指标大 于110的产品件数大约为 A.160 B.180 C.320 D.340 高三·数学第1页（共8页）】 5.通常把过椭圆的焦点且与过焦点的轴垂直的弦称为椭圆的通径.已知椭圆C: =1的通径长为6，则C的离心率为 m m-4 1 A.8 B.4 c 3 D.4 1 6.若函数f(x) ,则g(x)=f(2)十log2(x十1)的定义域为 V4x-x A.(-1,2) B.(0,2) C.(0,4) D.（-1,4) 元.若>0b>0,子+音1.则2+的最小值为 1+1 a A.5 B.5 C. 25 n 8.已知函数f(x)=axe-lnx-x十1，则“a≥”是“f(x)在[1，十o∞)上单调 递增”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题所给的四个选项中， 有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。 9.已知函数f(x)=cos(2x+5）+sin(2x-）,则f(x) A.最小正周期为π B图象关于（一0）对称 C.最大值为√2 D. 在区间(0,2)上单调递增 高三·数学第2页（共8页） 10.已知数列{am}是首项为1，公差为d的等差数列，数列{bm}是首项为2的等比 数列，且a2=b2,a5=b3十5，则 A.d=3 B.3m∈N*,使得am=b5 C.数列{anbn}的前20项和为10+55×221 D.数列a.十b,》的前n项和为3m,n一4+2+1 2 11.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，N为棱AB上一点，且AN=1, 动点M在正方体ABCD-A1B,C1D1内及其表面上运动，下列说法正确的是 A.异面直线DN与A1C1所成角的余弦值为34 34 B.若M是线段B1C上的动点，则M到平面DA1C1的距离为定值 C.若tan∠MAD=2tan∠MDA,则MC的最小值为 8 D.若M满足MA⊥MC,MB1⊥MD1,则M的轨迹的长度为4π 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12.(（2x+y-2》 的展开式中，x2y2的系数为 ·(用数值作答) 13.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，都有f(x+1)=2f(x)+ 2,则f(-9)= 14.已知抛物线C:x2=6y的焦点为F,M为C上一点，过M作两条直线分别与 C交于A,B两点，若直线AB的斜率为一2，直线MA,MB的斜率和为1，则 IMF|的值为 高三·数学第3页（共8页） 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤。 15.(13分) 已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,角A为钝角，tanB+ 4tan C=1,csin B=4. (1)若tanA=-7,求c的值； 9 (2)求△ABC面积的最小值， 高三·数学第4页（共8页） 16.(15分) 如图，圆锥的轴截面PAB是边长为2的正三角形，C,D为底面圆周上的点， 且△BCD是正三角形，E为母线PB上的一动点. (1)若PA∥平面CDE,求PE的长； (2)若直线DE与平面BCD所成角的正弦值为0，求平面CDE与平面 BCD夹角的余弦值. 高三·数学第5页（共8页】 17.(15分) 已知函数f(x)=x2-3x十alnx,a∈R. (1)若a=1,求f(x)的单调区间； (2)若函数f(x)有两个极值点x1,x2,且x1<x2,求f(x2)的取值范围. 高三·数学第6页（共8页） 18.(17分) 甲，乙两队进行乒乓球双打比赛，规定采用五场三胜制，即先赢得三场比赛的 队伍获胜.已知每场比赛甲队获胜的概率为p(?≤力<)，乙队获胜的摄率 为1一p,且每场比赛的结果相互独立. (1)当力=2时. (ⅰ)求在甲队获胜的条件下，比赛恰好进行了四场的概率； (ⅱ)记比赛结束时的场数为X,求X的分布列和数学期望E(X); (2)若比赛结果为3：0或者3：1时胜方的成长值记3分，负方记0分，比赛 结果为3：2时胜方的成长值记2分，负方记1分，求甲队本次比赛的成长 值得分的期望E(Y),并求E(Y)的取值范围. 高三·数学第7页（共8页） 19.(17分) 已知双线E-1(@>0,6>0)的渐近线方程为y=±2x,且E经 过点(1，√10)，过圆x2+y2=4上一点M(xo,yo)作E的两条切线，切点分 别为A,B, (1)求证：MA⊥MB; (2)设E的上、下两个焦点分别为F1,F2,求|MF1|·|MF,|的最小值； (3)若直线AB与两条渐近线分别交于C,D两点，O为坐标原点，试判断 △OCD的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说 明理由. 高三·数学第8页（共8页）