专题05 指数对数函数 期中专项专项-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题05 高一上指数对数函数突破·一题型两变式（期中考专项） 【人教A版】 【知识导航】 知识点1　指数与对数（运算） 1. 指数运算法则（，）：，，，； 1. 对数定义：若 （），则 ； 1. 对数运算法则（）：，，； 1. 换底公式：当 且 ，， 且 时，（人教A版必修一 第四章）． 知识点2　指数函数与对数函数的图象与性质 1. （）恒过定点 ；当 时在 上递增，当 时在 上递减； 1. （）恒过定点 ；当 时在 上递增，当 时在 上递减； 1. 指数函数与对数函数互为反函数，图象关于直线 对称． 知识点3　比大小与解方程 1. 比大小：底数相同看单调性；底数不同且指数（真数）也不同，常引入中间值 、 比较； 1. 解指对数方程与不等式：化为同底后利用单调性脱去函数符号，解对数不等式务必先保证真数大于零，并检验增根． 【类型1　指数与对数运算】 1．计算：；；（）． 2．计算：；；． 3．已知 ，（），用 表示 与 ． 【类型2　图象与性质（过定点）】 4．函数 （）的图象恒过定点，求该定点坐标． 5．函数 （）的图象恒过定点，求该定点坐标． 6．（选择题）函数 与 的图象（　　） A．关于原点对称 B．关于 轴对称 C．关于 轴对称 D．关于直线 对称 【类型3　比大小（中间值 0、1）】 7．（选择题）设 ，，，则（　　） A． B． C． D． 8．比较大小： 与 ； 与 ． 9．（选择题）设 ，，，则（　　） A． B． C． D． 【类型4　解指对方程与不等式（验根）】 10．解方程：；． 11．解不等式：；． 12．解方程：． 【类型5　复合函数的单调与值域】 13．求函数 的单调递增区间． 14．求函数 的值域． 15．讨论函数 （）的单调性． 【类型6　指、对、幂比较综合】 16．（选择题）已知 ，，，则（　　） A． B． C． D． 17．已知 ，，，比较 的大小． 18．若 （），求实数 的取值范围． 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 高一上指数对数函数突破·一题型两变式（期中考专项） 【人教A版】 【知识导航】 知识点1　指数与对数（运算） 1. 指数运算法则（，）：，，，； 1. 对数定义：若 （），则 ； 1. 对数运算法则（）：，，； 1. 换底公式：当 且 ，， 且 时，（人教A版必修一 第四章）． 知识点2　指数函数与对数函数的图象与性质 1. （）恒过定点 ；当 时在 上递增，当 时在 上递减； 1. （）恒过定点 ；当 时在 上递增，当 时在 上递减； 1. 指数函数与对数函数互为反函数，图象关于直线 对称． 知识点3　比大小与解方程 1. 比大小：底数相同看单调性；底数不同且指数（真数）也不同，常引入中间值 、 比较； 1. 解指对数方程与不等式：化为同底后利用单调性脱去函数符号，解对数不等式务必先保证真数大于零，并检验增根． 【类型1　指数与对数运算】 1．计算：；；（）． 【答案】；；． 【分析】直接用指数运算法则：同底数相乘指数相加，幂的乘方指数相乘，不同底数先算值． 【详解】； ； （）． 2．计算：；；． 【答案】；；． 【分析】先把真数写成底数的幂，再用 ；或先合并再算． 【详解】； ； ． 3．已知 ，（），用 表示 与 ． 【答案】；． 【分析】把 分解质因数，用对数运算法则拆开． 【详解】； ． 【类型2　图象与性质（过定点）】 4．函数 （）的图象恒过定点，求该定点坐标． 【答案】． 【分析】指数式 恒过 时点 ，令指数为零求 ，再算函数值． 【详解】令 得 ，此时 ，故 ． 所以图象恒过定点 ． 5．函数 （）的图象恒过定点，求该定点坐标． 【答案】． 【分析】对数式 恒过 时点 ，令真数为 求 ． 【详解】令 得 ，此时 ，故 ． 所以图象恒过定点 ． 6．（选择题）函数 与 的图象（　　） A．关于原点对称 B．关于 轴对称 C．关于 轴对称 D．关于直线 对称 【答案】C． 【分析】，图象关于 轴对称． 【详解】因为 ，即把 图象上每一点 变为 ，这正是关于 轴对称变换，故选 C． 【类型3　比大小（中间值 0、1）】 7．（选择题）设 ，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 【分析】分别估计三者与 的关系：，，． 【详解】； ，因 且 ，故 ； ，因底数 且真数 ，故 ． 于是 ，即 ，选 B． 8．比较大小： 与 ； 与 ． 【答案】；． 【分析】底数 时对数递减；第二组分别夹在 两侧． 【详解】第一组：底数 ， 在 上递减，由 得 ． 第二组：，而 ，故 ，即 ． 9．（选择题）设 ，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A． 【分析】同样以 为中间值：，，． 【详解】，底数 、真数 ，故 ； ； ． 于是 ，即 ，选 A． 【类型4　解指对方程与不等式（验根）】 10．解方程：；． 【答案】 的解为 ； 的解为 ． 【分析】化为同底后令指数相等． 【详解】，故 ； ，故 ，解得 ． 11．解不等式：；． 【答案】 的解集为 ； 的解集为 ． 【分析】对数不等式先保证真数大于零，再按底数增减脱去对数符号． 【详解】第一组：由 得 ；又 ，底数 递增，故 ，即 ．综合得 ，解集 ． 第二组：由 得 ；又底数 递减， 等价于 ，即 ．综合得 ，解集 ． 12．解方程：． 【答案】 或 ． 【分析】化为 ，解二次方程后检验真数大于零． 【详解】由 得 ，即 ． 解得 ． 检验真数：当 时 ；当 时 ．两根均使真数为 ，均符合题意． 【类型5　复合函数的单调与值域】 13．求函数 的单调递增区间． 【答案】单调递增区间为 ． 【分析】底数 外层递增，复合递增区间即内层 的递增区间． 【详解】设 ，外层 在 上单调递增．内层 在 上递减、在 上递增．由"同增异减"，复合函数的递增区间为 ． 14．求函数 的值域． 【答案】值域为 （即 ）． 【分析】先求定义域，再看内层 的取值范围，进而由对数函数值域确定． 【详解】由 得定义域为 ．令 ，当 时 可取遍所有正实数，即 ．而 在 上的值域为 ，故 的值域为 ． 15．讨论函数 （）的单调性． 【答案】当 时，单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；当 时，单调递增区间为 ，单调递减区间为 ． 【分析】内层 在 减、在 增；按底数 （外层增）与 （外层减）分别用"同增异减"． 【详解】设 ，内层 在 上递减、在 上递增． 当 时，外层 递增，由"同增异减"，复合函数与内层同单调：递增区间 ，递减区间 ； 当 时，外层 递减，由"同增异减"，复合函数与内层反单调：递增区间 ，递减区间 ． 【类型6　指、对、幂比较综合】 16．（选择题）已知 ，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D． 【分析】先用指数函数 （递减）比 ；再用幂函数 （递增）比 ． 【详解】考查以 为底的指数函数 ，因 递减，由 得 ，即 ． 再考查幂函数 （指数 递增），由 得 ，即 ． 综上 ，选 D． 17．已知 ，，，比较 的大小． 【答案】． 【分析】仍以 为中间值：，，． 【详解】； ； ，底数 、真数 ，故 ． 于是 ，即 ． 18．若 （），求实数 的取值范围． 【答案】． 【分析】把 写成 ，按 与 分两类脱去对数符号． 【详解】，原不等式化为 ． 当 时， 递增，故 ，结合 得 ； 当 时， 递减，故 ，结合 得 ． 综上， 的取值范围为 ． 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $