专题04 函数奇偶性 期中专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题04 高一上函数奇偶性通关·一题型两变式（期中考专项） 【人教A版】 【知识导航】 知识点1　奇函数与偶函数（定义） 设函数 的定义域为 ，如果对任意 都有 （即定义域关于原点对称），且 1. 若 ，则 为偶函数； 1. 若 ，则 为奇函数（人教A版必修一 3．2．2）． 知识点2　判断奇偶性的步骤 1．先看定义域：定义域必须关于原点对称，否则直接判为非奇非偶； 2．再求 ，化简后与 或 比较； 3．也可计算 或 是否恒为零． 知识点3　奇偶函数的图象与性质 1. 偶函数的图象关于 轴对称；奇函数的图象关于原点对称； 1. 若奇函数 在 处有定义，则必有 ； 1. 奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反． 【注】既是奇函数又是偶函数的函数（如 ，定义域关于原点对称）是存在的，但高中阶段较为少见． 【类型1　奇偶性判断（定义域优先）】 1．判断函数 的奇偶性． 2．判断函数 的奇偶性． 3．判断函数 的奇偶性． 【类型2　利用奇偶性求参数】 4．已知函数 是定义在 上的偶函数，求 的值． 5．若函数 是偶函数，求 的值． 6．已知奇函数 ，且 ，求 的值． 【类型3　利用奇偶性求解析式】 7．设 是定义在 上的奇函数，当 时 ，求 时 的解析式． 8．设 是定义在 上的偶函数，当 时 ，求 时 的解析式． 9．已知 是定义在 上的奇函数，且 ；当 时 ，求 在 上的解析式（用分段函数表示）． 【类型4　奇偶性与单调性综合（解不等式）】 10．已知 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递增，解不等式 ． 11．已知 是定义在 上的奇函数，且在 上单调递增，判断并证明 在 上的单调性． 12．已知 是 上的奇函数且单调递增，解不等式 ． 【类型5　分段函数的奇偶性】 13．判断函数 的奇偶性． 14．判断函数 的奇偶性． 15．已知 是定义在 上的奇函数，当 时 ，求 与 的值． 【类型6　抽象函数奇偶性（赋值法）】 16．已知函数 的定义域为 ，且对任意 都有 ，判断 的奇偶性． 17．已知 的定义域为 ，且 ；若 ，求 的值． 18．已知函数 的定义域为 ，且 ，又 ，求 的值． 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 高一上函数奇偶性通关·一题型两变式（期中考专项） 【人教A版】 【知识导航】 知识点1　奇函数与偶函数（定义） 设函数 的定义域为 ，如果对任意 都有 （即定义域关于原点对称），且 1. 若 ，则 为偶函数； 1. 若 ，则 为奇函数（人教A版必修一 3．2．2）． 知识点2　判断奇偶性的步骤 1．先看定义域：定义域必须关于原点对称，否则直接判为非奇非偶； 2．再求 ，化简后与 或 比较； 3．也可计算 或 是否恒为零． 知识点3　奇偶函数的图象与性质 1. 偶函数的图象关于 轴对称；奇函数的图象关于原点对称； 1. 若奇函数 在 处有定义，则必有 ； 1. 奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反． 【注】既是奇函数又是偶函数的函数（如 ，定义域关于原点对称）是存在的，但高中阶段较为少见． 【类型1　奇偶性判断（定义域优先）】 1．判断函数 的奇偶性． 【答案】奇函数． 【分析】定义域 关于原点对称，验证 ． 【详解】定义域为 ，关于原点对称．对任意 ，有 ，所以 是奇函数． 2．判断函数 的奇偶性． 【答案】奇函数． 【分析】定义域 关于原点对称，验证 ． 【详解】定义域为 ，关于原点对称．对任意 ， ， 所以 是奇函数． 3．判断函数 的奇偶性． 【答案】非奇非偶函数． 【分析】先求定义域，发现只有一个点 ，不关于原点对称． 【详解】由 得 ，定义域为 ．取 定义域，但 定义域，故定义域不关于原点对称，函数是非奇非偶函数． 【类型2　利用奇偶性求参数】 4．已知函数 是定义在 上的偶函数，求 的值． 【答案】． 【分析】偶函数满足 对一切 恒成立，比较系数． 【详解】由 为偶函数，得 对任意 成立． ，故 ，即 对任意 恒成立，所以 对任意 成立，得 ． 5．若函数 是偶函数，求 的值． 【答案】． 【分析】偶函数含奇次项系数为零，或直接由 比较． 【详解】由 为偶函数， 恒成立． ，故 ，即 对任意 成立，所以 恒成立，得 ． 6．已知奇函数 ，且 ，求 的值． 【答案】． 【分析】题设已声明 为奇函数；由于 与 均为奇函数，无论 取何值该式都自动满足奇性，因此 只能由已知条件 确定． 【详解】由 得 ，解得 ． 【类型3　利用奇偶性求解析式】 7．设 是定义在 上的奇函数，当 时 ，求 时 的解析式． 【答案】当 时，． 【分析】设 ，则 ，利用已知表达式写出 ，再由奇函数 转化． 【详解】当 时，，于是 ． 因为 是奇函数，所以 ． 故当 时，． 8．设 是定义在 上的偶函数，当 时 ，求 时 的解析式． 【答案】当 时，． 【分析】设 ，则 ，写出 ，由偶函数 转化． 【详解】当 时，，于是 ． 因为 是偶函数，所以 ． 故当 时，． 9．已知 是定义在 上的奇函数，且 ；当 时 ，求 在 上的解析式（用分段函数表示）． 【答案】． 【分析】分别求 （已知）、、（用奇函数转化）三段． 【详解】当 时，； 当 时，； 当 时，，则 ；由奇函数 ． 综上，． 【类型4　奇偶性与单调性综合（解不等式）】 10．已知 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递增，解不等式 ． 【答案】． 【分析】偶函数有 ，结合在 上递增，把不等式化为 ． 【详解】因为 是偶函数，所以 ，且 ． 又 在 上单调递增，故 等价于 ，即 ，解得 ． 所以不等式的解集为 ． 11．已知 是定义在 上的奇函数，且在 上单调递增，判断并证明 在 上的单调性． 【答案】 在 上单调递增． 【分析】任取 ，则 ，利用 上的单调性与奇函数性质转化． 【详解】 在 上单调递增．证明如下： 任取 ，则 ．因为 在 上单调递增，所以 ． 又 是奇函数，故 ，即 ． 所以 在 上单调递增． 12．已知 是 上的奇函数且单调递增，解不等式 ． 【答案】． 【分析】奇函数在 处有定义则 ，由单调递增把 化为 ． 【详解】因为 是定义在 上的奇函数，所以 ．又 单调递增，故 等价于 ． 令 ，得 ，即 ，解得 ． 所以不等式的解集为 ． 【类型5　分段函数的奇偶性】 13．判断函数 的奇偶性． 【答案】奇函数． 【分析】定义域 对称，分段验证 ． 【详解】定义域为 ，关于原点对称． 当 时，，； 当 时，，； 当 时，． 综上，对任意 有 ，所以 是奇函数． 14．判断函数 的奇偶性． 【答案】非奇非偶函数． 【分析】定义域 关于原点对称，但 既不等于 也不等于 ． 【详解】定义域为 ，关于原点对称． 取 ，；而 ． 因为 ，且 ，所以 且 ，函数是非奇非偶函数． 15．已知 是定义在 上的奇函数，当 时 ，求 与 的值． 【答案】，． 【分析】奇函数有 ，且定义在 上时 在定义域内，必有 ． 【详解】因为 定义在 上且为奇函数，故 在定义域内，；又当 时 ，所以 ． 【类型6　抽象函数奇偶性（赋值法）】 16．已知函数 的定义域为 ，且对任意 都有 ，判断 的奇偶性． 【答案】奇函数． 【分析】赋值法：先令 求 ，再令 得 ． 【详解】令 ，得 ，故 ． 令 ，得 ，即 ，所以 ． 因此 是奇函数． 17．已知 的定义域为 ，且 ；若 ，求 的值． 【答案】． 【分析】先用可加性求 ，再用第 16 题结论（奇函数）得 ． 【详解】由 ，取 得 ． 又由第 16 题（或令 ）可知此类函数满足 ，故 ． 18．已知函数 的定义域为 ，且 ，又 ，求 的值． 【答案】． 【分析】 即 ，直接代入 ． 【详解】由 得 ，所以 ． 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $