专题03 函数单调性判定与运用·一题型两变式 期中考专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题03 高一上函数单调性判定与运用·一题型两变式（期中考专项） 【人教A版】 【知识导航】 知识点1　函数的单调性（定义） 设函数 的定义域为 ，区间 ．如果对于区间 上的任意两个自变量的值 ，当 时，都有 ，那么就说函数 在区间 上是增函数；如果当 时，都有 ，那么就说函数 在区间 上是减函数（人教A版必修一 3．2．1）． 知识点2　单调性与单调区间 如果函数 在区间 上是增函数或减函数，那么就说函数在这个区间上具有（严格的）单调性，区间 叫做 的单调区间． 【注】多个单调区间之间要用"和"或"逗号"连接，不能用并集符号 ．例如 的单调递减区间是 和 ，不能写成 ． 知识点3　判断单调性的常用方法 1．定义法（五步）：取值（设 ）→ 作差 → 变形（因式分解、通分、配方）→ 定号 → 下结论； 2．图象法：图象上升为增、下降为减； 3．复合函数：同增异减——设 ，，若 与 单调性相同则复合后增，相反则减（注意中间量 的取值范围与定义域）． 【类型1　定义法证明单调性】 1．用定义证明函数 在 上是增函数． 2．用定义证明函数 在 上是减函数． 3．用定义证明函数 在 上是增函数． 【类型2　求单调区间（图象与解析式）】 4．求函数 的单调区间． 5．求函数 的单调区间． 6．画出函数 的图象，并写出它的单调区间． 【类型3　复合函数单调性（同增异减）】 7．求函数 的单调递增区间． 8．讨论函数 的单调性． 9．求函数 的单调递减区间． 【类型4　含参函数的单调性】 10．若函数 在 上单调递减，求实数 的取值范围． 11．讨论函数 在 上的单调性（ 为常数）． 12．已知 ，讨论函数 的单调区间． 【类型5　单调性的应用（比大小与解不等式）】 13．已知 是定义在 上的减函数，且 ，求实数 的取值范围． 14．已知 在 上单调递增，比较 与 的大小；已知 在 上单调递减，比较 与 的大小． 15．已知 在 上单调递增，且 （）．判断 的大小关系，并解不等式 ． 【类型6　单调性求最值或值域】 16．求函数 在区间 上的最大值与最小值． 17．已知函数 在区间 上的最大值为 ，求实数 的取值范围． 18．若函数 在区间 （）上的最大值为 ，求 的值． 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 高一上函数单调性判定与运用·一题型两变式（期中考专项） 【人教A版】 【知识导航】 知识点1　函数的单调性（定义） 设函数 的定义域为 ，区间 ．如果对于区间 上的任意两个自变量的值 ，当 时，都有 ，那么就说函数 在区间 上是增函数；如果当 时，都有 ，那么就说函数 在区间 上是减函数（人教A版必修一 3．2．1）． 知识点2　单调性与单调区间 如果函数 在区间 上是增函数或减函数，那么就说函数在这个区间上具有（严格的）单调性，区间 叫做 的单调区间． 【注】多个单调区间之间要用"和"或"逗号"连接，不能用并集符号 ．例如 的单调递减区间是 和 ，不能写成 ． 知识点3　判断单调性的常用方法 1．定义法（五步）：取值（设 ）→ 作差 → 变形（因式分解、通分、配方）→ 定号 → 下结论； 2．图象法：图象上升为增、下降为减； 3．复合函数：同增异减——设 ，，若 与 单调性相同则复合后增，相反则减（注意中间量 的取值范围与定义域）． 【类型1　定义法证明单调性】 1．用定义证明函数 在 上是增函数． 【答案】证明见详解，结论： 在 上是增函数． 【分析】任取 ，作差 ，由 定号． 【详解】任取 且 ，则 ． 由 得 ，故 ，即 ． 所以 在 上是增函数． 2．用定义证明函数 在 上是减函数． 【答案】证明见详解，结论： 在 上是减函数． 【分析】任取 ，作差后因式分解，由各项符号定号． 【详解】任取 ，则 ． 由 得 ，，故 ，即 ． 所以 在 上是减函数． 3．用定义证明函数 在 上是增函数． 【答案】证明见详解，结论： 在 上是增函数． 【分析】作差后通分，化为 ，逐项判断符号． 【详解】任取 ，则 ． 由 得 ，，故 ，且 ，于是 ，即 ． 所以 在 上是增函数． 【类型2　求单调区间（图象与解析式）】 4．求函数 的单调区间． 【答案】单调递减区间为 ，单调递增区间为 ． 【分析】配方为 ，开口向上，对称轴左侧减、右侧增． 【详解】，图象为开口向上的抛物线，对称轴为 ． 所以在 上单调递减，在 上单调递增． 5．求函数 的单调区间． 【答案】单调递减区间为 和 （不能写成 ）． 【分析】反比例函数在两支上分别递减，但整体不单调，不能用并集连接． 【详解】 的定义域为 ，在每一支 与 上均单调递减；由于 时 ， 时 ，跨支不满足减函数定义，故两个区间之间只能用"和"连接，不能取并集． 6．画出函数 的图象，并写出它的单调区间． 【答案】单调递减区间为 ，单调递增区间为 ． 【分析】化为分段函数 ，图象为以 为顶点的"V"形． 【详解】．图象是以点 为最低点的"V"形折线：在 上随 增大而减小，在 上随 增大而增大．故单调递减区间为 ，单调递增区间为 ． 【类型3　复合函数单调性（同增异减）】 7．求函数 的单调递增区间． 【答案】单调递增区间为 ． 【分析】先求定义域，再令 ，外层 递增，由"同增异减"求内层 的递增区间与定义域的交集． 【详解】由 得定义域为 ．令 ，外层 在 上单调递增．内层 在 上递减、在 上递增．由"同增异减"，复合函数的递增区间为内层递增区间与定义域的交集，即 ． 8．讨论函数 的单调性． 【答案】单调递增区间为 和 ；单调递减区间为 和 ． 【分析】先求定义域（分母不为零），外层 在 与 上均递减；内层 在 上递减、在 上递增；由"同增异减"逐段判断． 【详解】定义域为 ，即 ．令 ，外层 在 与 上均单调递减．内层 在 上递减、在 上递增． 由"同增异减"：当 时，，内层递减、外层递减，复合后递增；当 时，，内层递减、外层递减，复合后递增；当 时，，内层递增、外层递减，复合后递减；当 时，，内层递增、外层递减，复合后递减．故 在 和 上单调递增，在 和 上单调递减． 9．求函数 的单调递减区间． 【答案】单调递减区间为 和 ． 【分析】化为分段函数，分别在两段上判断增减性． 【详解】 即 当 时，，在 上随 增大而减小，故递减；当 时，，开口向下，在 上递增、在 上递减；当 时， 在 上递增．综上， 的单调递减区间为 和 ． 【类型4　含参函数的单调性】 10．若函数 在 上单调递减，求实数 的取值范围． 【答案】． 【分析】开口向上的抛物线在对称轴左侧递减，欲使 全在该递减段内，需对称轴 不小于 ． 【详解】，图象开口向上，对称轴为 ，在 上单调递减．要使 在 上单调递减，需 ，故 ．所以 的取值范围为 ． 11．讨论函数 在 上的单调性（ 为常数）． 【答案】当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递减；当 时， 为常函数（既不增也不减）． 【分析】一次函数单调性由斜率 的符号决定． 【详解】任取 ，则 ． 当 时，，故 ，即 ， 递增； 当 时，，即 ， 递减； 当 时， 为常函数，既不单调递增也不单调递减． 12．已知 ，讨论函数 的单调区间． 【答案】当 时， 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 和 ． 【分析】先求定义域（分母不为零），外层 在 与 上均递减；内层 （）在 上递减、在 上递增；由"同增异减"逐段判断． 【详解】由 得 且 ，定义域为 （因 ，有 ）．令 ，外层 在 与 上均单调递减．内层 是开口向上的抛物线，在 上递减、在 上递增；其中 当且仅当 ， 当 ． 由"同增异减"：当 时，，内层递减、外层递减，复合后递增；当 时，，内层递减、外层递减，复合后递增；当 时，，内层递增、外层递减，复合后递减；当 时，，内层递增、外层递减，复合后递减．故 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 和 ． 【类型5　单调性的应用（比大小与解不等式）】 13．已知 是定义在 上的减函数，且 ，求实数 的取值范围． 【答案】． 【分析】减函数脱去函数符号时不等号反向． 【详解】因为 在 上是减函数，由 得 ，即 ，解得 ．所以 的取值范围为 ． 14．已知 在 上单调递增，比较 与 的大小；已知 在 上单调递减，比较 与 的大小． 【答案】；． 【分析】自变量大的，增函数对应函数值大，减函数对应函数值小． 【详解】 在 上递增，由 得 （即 ）． 在 上递减，由 得 （即 ）． 15．已知 在 上单调递增，且 （）．判断 的大小关系，并解不等式 ． 【答案】； 的取值范围为 ． 【分析】增函数保持自变量大小关系；解不等式时直接脱去函数符号． 【详解】因为 在 上单调递增，且 ，所以 ． 由 及 递增，得 ，解得 ．所以不等式的解集为 ． 【类型6　单调性求最值或值域】 16．求函数 在区间 上的最大值与最小值． 【答案】最小值为 ，最大值为 ． 【分析】配方找对称轴，比较顶点与两端点． 【详解】，对称轴为 ．开口向上，故最小值在顶点取得：．再比较两端点：，，故最大值为 ．所以最小值为 ，最大值为 ． 17．已知函数 在区间 上的最大值为 ，求实数 的取值范围． 【答案】． 【分析】 顶点值为 ，要使区间上最大值恰为 ，区间必须包含顶点 ． 【详解】，图象开口向下，顶点为 ，且对任意 都有 ．要使 上的最大值为 ，必须使顶点 落在区间内，即 ．此时 即为最大值（当 时，左端点 ，区间上不会超过 ）．所以 的取值范围为 ． 18．若函数 在区间 （）上的最大值为 ，求 的值． 【答案】． 【分析】 在 上递减，最大值在左端点 处取得． 【详解】由 知区间 ， 在该区间上单调递减，故最大值在左端点 处取得，即 ，解得 ．经检验 ，符合题意． 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $