期中（第19章～21.3章）阶段复习解答题考点汇总训练（八大类型）-2026-2027学年沪教版（五四制）八年级上册数学《典例全解·题型通关》

2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 期中（第19章～21.3章）阶段复习解答题考点汇总训练 （八大类型） 目录 考点一平方根的认识及应用 1 考点二立方根的认识及应用 4 考点三实数的认识及应用 6 考点四二次根式及其性质 9 考点五二次根式的运算 11 考点六一元二次方程的概念 14 考点七一元二次方程的解法 16 考点八一元二次方程的判别式 20 考点一平方根的认识及应用 1．已知的平方根为，的算术平方根为7． (1)求a、b的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了平方根、算术平方根，熟练掌握平方根、算术平方根的定义是解此题的关键． （1）根据平方根和算术平方根的定义即可得出a、b的值； （2）先求出的值，再求出算术平方根即可． 【详解】（1）解：∵的平方根为，的算术平方根为7， ∴，， ∴，； （2）解：， ∴的算术平方根为． 2．如图，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大正方形． (1)求大正方形的边长； (2)若沿着这个大正方形纸片边的方向裁剪，能否裁得一个长宽之比为且面积为的长方形纸片，若能，求出裁得的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)能，长为，宽为 【分析】（1）根据已知正方形的面积求出大正方形的边长即可； （2）先求出长方形的边长，利用长与正方形边长比较大小再判断即可． 【详解】（1）解：由题意可得大正方形的面积为， 所以大正方形的边长为； （2）能，理由如下： 设裁得的长方形的纸片的长为，宽为， 由题意可得，， 解得：， ， ， ， ， ， 能裁得一个长宽之比为且面积为的长方形纸片． 3．按要求计算下列各题 (1)计算： 1+ ；1+ ； 1+ ； (2)求．．．+的值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）中三个具体的根式计算，对每个根号内的分式通分化简，根据完全平方公式将被开方数变形为完全平方形式，再根据算术平方根的非负性去掉根号，得到每个根式的化简结果，从中找出规律．推导的通用化简公式，将其变形为可裂项的形式． （2）将每一项用上述通用公式拆分，利用裂项相消法，相邻项抵消后计算剩余项的和 【详解】（1），而​，第一个空填； ，而，第二个空填​； ​，而​，第三个空填． 可以总结规律：对正整数，， 展开通分也可验证根号内的式子刚好是完全平方：， 开算术平方后直接得到上述结果． （2）根据上面的规律，把每一项都拆分改写：原式的每一项从到，代入规律可得： 原式 ． 考点二立方根的认识及应用 4．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解： （3）解：； （4）解：． 5．已知是9的平方根，的算术平方根是4． (1)求a与b的值； (2)当时，求的立方根． 【答案】(1)，或 ， (2)5 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的概念及求法，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据平方根定义得到或，再根据算术平方根定义，结合或分情况讨论求解，即可解题； （2）根据推出a与b的值，再将a与b的值代入中计算，进而得到结果，最后根据立方根定义求解，即可解题． 【详解】（1）解：是9的平方根， 或， 解得或， 的算术平方根是4． ， 则当时，有，解得； 当时，有，解得； （2）解：， ，， ， 的立方根为． 6．著名数学家华罗庚一次在飞机上看到其助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根，华罗庚脱口而出：39．你知道华罗庚是怎样准确迅速地计算出来的吗？按照下面的方法试一试： (1)由，，请问是几位数？答：_______位数； (2)由59319的个位上的数是9，即的个位上的数是_______； (3)如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，那的十位上的数是_______．已知5832，421875都是整数的立方，按照上述方法，_______；_______． 【答案】(1)两 (2) (3)；； 【分析】本题考查立方根的估算，按照题干给出的方法，先根据的整数次幂的大小确定立方根的位数，再根据原数的个位数字确定立方根的个位数字，最后划去原数后三位，通过对比相邻整数的立方确定高位数字，即可求出结果． 【详解】（1）解：判断的位数：因为，，且，所以是两位数； （2）解：确定的个位数字：因为的个位数字是，且只有的个位数字为，所以的个位数字是； （3）解：确定的十位数字：划去的后三位，得到， 因为，，且， 所以的十位数字是； 求： 因为，，且 ， 所以是两位数； 因为的个位数字是，且只有的个位数字为， 所以的个位数字是； 划去的后三位，得到， 因为，，且， 所以的十位数字是， 故； 求： 因为，，且 ， 所以是两位数； 因为 的个位数字是，且只有的个位数字为， 所以的个位数字是； 划去 的后三位，得到， 因为，，且 ， 所以的十位数字是，故 ． 考点三实数的认识及应用 7．如图，面积分别为和的正方形纸片的一条边在数轴上，一个顶点与点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点和点处． (1)点表示的数为 ，点表示的数为 ； (2)将点向右平移个单位长度，得到点，若，求整数的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据面积分别为和的正方形纸片，得边长为和，再运用数形结合思想，即可作答； （2）先确定点的坐标，继而确定，然后再估算其大小，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵面积分别为和的正方形纸片的边长分别为和， ∴，， ∴， ∴点表示的数为，点表示的数为：； （2）解：∵将点向右平移个单位长度，得到点， 由（1）知：点表示的数为， ∴点所表示的数为：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴整数的值为． 8．一个三位数先四舍五入到十位，所得的数为， 再将四舍五入到百位，所得的数恰好为． (1)数的最大值和最小值分别是多少？ (2)将数x 的最大值和最小值的差用科学记数法表示出来（精确到百位）． 【答案】(1)最大值是544，最小值是445 (2) 【分析】本题考查了四舍五入和科学记数法，熟悉掌握四舍五入的运算特征和科学记数法是解题的关键． （1）根据四舍五入的运算特征解答即可； （2）先运算出差值进行四舍五入，再进行科学记数法即可． 【详解】（1）解：∵ ∴四舍五入到十位后的数最大是540，四舍五入到十位后的数最小是450， ∴的最大值是，最小值是； （2）解：∵， ∴． 9．若，则；若，则；若，则，这是利用“求差法”比较两个数或两个代数式的大小． 例如：比较与1的大小． ． 因为， 所以， 所以， 所以． (1)比较与2的大小； (2)比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题干所给方法比较大小即可； （2）根据题干所给方法比较大小即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 考点四二次根式及其性质 10．已知实数，满足，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，积的乘方的逆用，同底数幂乘法的逆用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合二次根式的非负性，得，即，又因为，得，整理，最后代入数值计算，即可作答． 【详解】解：结合二次根式有意义的性质，得， ∴， 即， ∴， 则 ． 11．二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题： (1)已知，则的值为_______； (2)若为实数，且，求的值； (3)若实数满足，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)9901 【分析】本题考查二次根式的双重非负性，二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，根据题意，利用的双重非负性灵活运用是解决问题的关键． （1）利用二次根式非负性，，，当时，只有才能满足题意，解出代入代数式即可得到答案； （2）由二次根式有意义的条件得到，从而确定，将代入代数式即可得到答案； （3）由二次根式有意义的条件得到，从而可化为，即，两边同时平方即可得到答案． 【详解】（1）解：，，， ，解得， ， 故答案为：； （2）解：中；中； ，则，即， 当时，；当时，； （3）解：中， ， 可化为，即， 将两边同时平方可得，则． 12．已知等式． (1)若有意义，则的取值范围是 ；则在这个条件下将去掉绝对值符号可得 ； (2)根据（1）的分析，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】第一小问根据二次根式的性质和绝对值的性质即可解决；第二小问则是在第一小问的基础上来对题目式子进行变形化简即可． 【详解】（1）解： 去绝对值符号后为 （2） 考点五二次根式的运算 13．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 14．已知，． (1)求的值； (2)若为的小数部分，求的值； (3)在（2）的条件下，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先化简和，求出以及，然后代入计算即可； （2）由，估算出其整数部分，再通过减去其整数部分算出其小数部分即可； （3）先算出，将化简成，然后代入和，算得答案即可． 【详解】（1）解：，， ，， ，， ； （2）解：由（1）可知，， ， ， ， 的整数部分是4，小数部分是， 为的小数部分， ； （3）解：， ，， ． 15．在二次根式的计算中，通过分子、分母同乘一个式子，把分母中的根式转化为有理数，对分母进行有理化，例如，请解决下面的问题： (1)化简： ； (2)计算：的值； (3)比较大小： （填、或）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）对于分母有理化问题，因为分母是两个二次根式的和，所以选择乘以对应的两个二次根式的差，利用平方差公式将分母化为有理数； （2）对于多个同类分数相加的问题，先对每一项分别进行分母有理化，观察化简后各项的形式，发现相邻项可以抵消，再合并剩余项得到结果； （3）对于两个二次根式差的大小比较问题，借助有理化变形，先将两个式子转化为分子相同、分母为两个二次根式和的形式，再通过比较分母的大小判断两个式子的大小关系． 【详解】（1）解：； （2）解：原式 ； （3）解：∵， ， 又∵， ∴． 考点六一元二次方程的概念 16．先化简，再求值：，其中x是方程的解． 【答案】 【详解】解： 是方程的解， ， 则原式． 17．已知关于x的方程． (1)当a取何值时，该方程为一元一次方程？ (2)当a取何值时，该方程为一元二次方程？ 【答案】(1)当时，该方程为一元一次方程． (2)当时，该方程为一元二次方程． 【分析】（1）根据一元一次方程的定义，令二次项系数为0且一次项系数不为0求解． （2）根据一元二次方程的定义，令二次项系数不为0求解． 【详解】（1）解：∵方程为一元一次方程， ∴二次项系数为0，且一次项系数不为0， 即，且， 解得． （2）解：∵方程为一元二次方程， ∴二次项系数不为0， 即， 解得． 18．“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．新定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且）． 根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是________； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据新定义进行求解； （2）根据新定义得出原方程的倒方程，将方程的解代入方程求参数； （3）根据新定义得出原方程的倒方程，将方程的解代入方程，并利用等式的基本性质进行求解． 【详解】（1）解：一元二次方程的倒方程是； （2）解：一元二次方程的倒方程为， ∴将代入得，， 解得； （3）解：一元二次方程的倒方程为， ∵是方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴， ∴． 考点七一元二次方程的解法 19．解下列一元二次方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用公式法求解； （2）利用因式分解法求解． 【详解】（1）解：， 则， ∴； （2）解：， 即， 因式分解得， 故，． 20．已知是方程的解，．其中，，，均为整数，且四个数互不相等． (1)求证：； (2)若，求的值． 【答案】(1) 证明：由得， 判别式， ， ，， ， ． ． (2) 【分析】本题考查一元二次方程的性质，熟练掌握一元二次方程是解题的关键． （1）利用公式法解出方程的解，再根据中，，，均为整数，且四个数互不相等，进行证明即可； （2）根据（1）求得，再利用、，得到，，代入，计算求解的值即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得，则、奇偶性相同， ， 由于，，，均为整数，为偶数， 则、均为偶数， 由于，， 则， 当时，， ，、、、四个数互不相等， ∴， ∵、均为偶数， ∴只能分成两个负偶数之积，即， 则，， 因此，，解得， 答：的值为． 21．阅读理解：配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来解决很多问题．因为，所以：就有最小值，即，只有当时，才能得到这个式子的最小值．同样，因为，所以有最大值，即，只有当时，才能得到这个式子的最大值． (1)当 时，代数式有最 （填“大”或“小”）值为 ； (2)当 时，代数式有最 （填“大”或“小”）值为 ． (3)如图，用的铝合金条制成“日”字形窗框，窗框的宽度和高各是多少时，窗户的透光面积最大（铝合金条的宽度不计）？ 【答案】(1)，小， (2)，大， (3)当宽是，高是时，窗户的透光面积最大 【分析】本题考查了配方法的应用及不等式的基本性质，熟练掌握配方法变形二次三项式及不等式的基本性质是解题的关键． （1）利用利用平方的非负性及不等式的基本性质即可求解； （2）先利用配方法将二次三项式变形，再利用平方的非负性及不等式的基本性质即可求解； （3）窗框的宽度为，则高度为，则，利用配方法变形二次三项式，再利用平方的非负性及不等式的基本性质即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， 当，即时，代数式有最小值， 故答案为：，小，； （2） ， ， ， ， 当，即时，代数式有最大值， 故答案为：，大，； （3）窗框的宽度为，则高度为， 窗户的透光面积 ， ， ， ， 当，即时，代数式有最大值，即窗户的透光面积最大为， 此时窗框的高为， 答：当宽是，高是时，窗户的透光面积最大． 考点八一元二次方程的判别式 22．已知关于x的方程有实数根，且为非负整数，求代数式的值． 【答案】3 【分析】先根据一元二次方程有实数根，利用判别式求出的取值范围，结合为非负整数及代数式有意义的条件，确定的值；再对代数式进行化简，最后代入的值计算结果． 【详解】解：关于的方程有实数根 ，即 解得：，   又为非负整数， 的值为：0，1，2， 根据代数式有意义的条件，有 ， ． 23．已知关于的方程． (1)若方程有实数根，求的取值范围； (2)取满足条件的最大整数，解方程． 【答案】(1) 的取值范围是 (2) 方程的解为， 【分析】（1）利用方程有实数根时判别式非负的性质，列不等式求解k的取值范围； （2）先确定符合条件的最大整数k，代入原方程后求解. 【详解】（1） 解：∵ 关于的方程有实数根， ∴ ，   解得； （2）解：∵ ，且为满足条件的最大整数， ∴ ， 将代入原方程，得 ， 解得 ，. 24．认真阅读材料并解决下列问题． 已知关于的方程，求的值． 解：设，则方程变形为，所以， 进而．即或 (1)已知，则______________． (2)已知，求的值． 【答案】(1)4 (2)的值为2 【分析】（1）设，则，原方程变形为，即可求解； （2）设，原方程变形为，即可求解． 【详解】（1）解：设，则， ∴原方程变形为， ∴， ∴或， ∵， ∴，即． （2）解：设，则原方程变形为， 整理得，， 解得，， 当时，，整理得， ∵， ∴方程无解，不符合题意， ∴舍去； 当时，，整理得， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根，符合题意， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 期中（第19章～21.3章）阶段复习解答题考点汇总训练 （八大类型） 目录 考点一平方根的认识及应用 1 考点二立方根的认识及应用 2 考点三实数的认识及应用 3 考点四二次根式及其性质 4 考点五二次根式的运算 5 考点六一元二次方程的概念 6 考点七一元二次方程的解法 7 考点八一元二次方程的判别式 8 考点一平方根的认识及应用 1．已知的平方根为，的算术平方根为7． (1)求a、b的值； (2)求的算术平方根． 2．如图，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大正方形． (1)求大正方形的边长； (2)若沿着这个大正方形纸片边的方向裁剪，能否裁得一个长宽之比为且面积为的长方形纸片，若能，求出裁得的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 3．按要求计算下列各题 (1)计算： 1+ ；1+ ； 1+ ； (2)求．．．+的值． 考点二立方根的认识及应用 4．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 5．已知是9的平方根，的算术平方根是4． (1)求a与b的值； (2)当时，求的立方根． 6．著名数学家华罗庚一次在飞机上看到其助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根，华罗庚脱口而出：39．你知道华罗庚是怎样准确迅速地计算出来的吗？按照下面的方法试一试： (1)由，，请问是几位数？答：_______位数； (2)由59319的个位上的数是9，即的个位上的数是_______； (3)如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，那的十位上的数是_______．已知5832，421875都是整数的立方，按照上述方法，_______；_______． 考点三实数的认识及应用 7．如图，面积分别为和的正方形纸片的一条边在数轴上，一个顶点与点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点和点处． (1)点表示的数为 ，点表示的数为 ； (2)将点向右平移个单位长度，得到点，若，求整数的值． 8．一个三位数先四舍五入到十位，所得的数为， 再将四舍五入到百位，所得的数恰好为． (1)数的最大值和最小值分别是多少？ (2)将数x 的最大值和最小值的差用科学记数法表示出来（精确到百位）． 9．若，则；若，则；若，则，这是利用“求差法”比较两个数或两个代数式的大小． 例如：比较与1的大小． ． 因为， 所以， 所以， 所以． (1)比较与2的大小； (2)比较与的大小． 考点四二次根式及其性质 10．已知实数，满足，求的值． 11．二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题： (1)已知，则的值为_______； (2)若为实数，且，求的值； (3)若实数满足，求的值． 12．已知等式． (1)若有意义，则的取值范围是 ；则在这个条件下将去掉绝对值符号可得 ； (2)根据（1）的分析，求的值． 考点五二次根式的运算 13．计算： (1) (2) 14．已知，． (1)求的值； (2)若为的小数部分，求的值； (3)在（2）的条件下，求的值． 15．在二次根式的计算中，通过分子、分母同乘一个式子，把分母中的根式转化为有理数，对分母进行有理化，例如，请解决下面的问题： (1)化简： ； (2)计算：的值； (3)比较大小： （填、或）． 考点六一元二次方程的概念 16．先化简，再求值：，其中x是方程的解． 17．已知关于x的方程． (1)当a取何值时，该方程为一元一次方程？ (2)当a取何值时，该方程为一元二次方程？ 18．“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．新定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且）． 根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是________； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，求的值． 考点七一元二次方程的解法 19．解下列一元二次方程： (1)． (2)． 20．已知是方程的解，．其中，，，均为整数，且四个数互不相等． (1)求证：； (2)若，求的值． 21．阅读理解：配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来解决很多问题．因为，所以：就有最小值，即，只有当时，才能得到这个式子的最小值．同样，因为，所以有最大值，即，只有当时，才能得到这个式子的最大值． (1)当 时，代数式有最 （填“大”或“小”）值为 ； (2)当 时，代数式有最 （填“大”或“小”）值为 ． (3)如图，用的铝合金条制成“日”字形窗框，窗框的宽度和高各是多少时，窗户的透光面积最大（铝合金条的宽度不计）？ 考点八一元二次方程的判别式 22．已知关于x的方程有实数根，且为非负整数，求代数式的值． 23．已知关于的方程． (1)若方程有实数根，求的取值范围； (2)取满足条件的最大整数，解方程． 24．认真阅读材料并解决下列问题． 已知关于的方程，求的值． 解：设，则方程变形为，所以， 进而．即或 (1)已知，则______________． (2)已知，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $