第6讲·轴对称·培优讲义（知识梳理+典例+练习） 2026-2027学年人教版八年级数学上册

第6讲·轴对称·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年人教版八年级数学上册 🍔 思维导图 🍟 课程目标 · 理解轴对称图形与两个图形成轴对称的概念及区别 · 掌握线段的垂直平分线的性质与判定 · 掌握关于x轴、y轴对称的点的坐标变化规律 · 会画轴对称图形，掌握折叠问题的处理方法 · 会利用轴对称解决最短路径问题 🍗 知识梳理 ✅️ 1.轴对称图形与对称轴 轴对称图形：沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合的图形 对称轴：折叠时互相重合的那条直线（所在直线） 两个图形成轴对称：沿对称轴折叠后两个图形完全重合 轴对称变换不改变图形的形状与大小，只改变位置 概念辨析例题：下列汉字中，是轴对称图形的是（　　）A．上　B．下　C．中　D．左 答案：C 解析：“中”字沿竖直方向的直线折叠，两旁能够完全重合，是轴对称图形；其他汉字不能，故选C。 ✅️ 2.线段的垂直平分线 垂直平分线：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线 性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 判定：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 应用：由等距关系求线段长、周长与角度 概念辨析例题：如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，垂足为O，P为MN上一点，若PA=5，则PB的长为（　　）A．2.5　B．5　C．10　D．不确定 答案：B 解析：MN垂直平分AB，P在MN上，由垂直平分线的性质，P到线段两端距离相等，即PB=PA=5，故选B。 ✅️ 3.关于坐标轴的对称点 关于x轴对称：横坐标相同，纵坐标互为相反数，即(x,y)→(x,-y) 关于y轴对称：纵坐标相同，横坐标互为相反数，即(x,y)→(-x,y) 关于原点对称：横、纵坐标都互为相反数，即(x,y)→(-x,-y) 已知对称点坐标可列方程组求参数 概念辨析例题：点P(3,-2)关于x轴对称的点的坐标是（　　）A．(3,2)　B．(-3,-2)　C．(-3,2)　D．(2,-3) 答案：A 解析：关于x轴对称，横坐标不变、纵坐标变为相反数，所以(3,-2)关于x轴的对称点为(3,2)，故选A。 ✅️ 4.折叠与最短路径 折叠问题：折叠前后对应点关于折痕对称，对应线段、角相等 最短路径：两定点在直线同侧，作其中一点关于直线的对称点后连接另一点 利用垂直平分线性质可把折痕转化为对称轴分析 综合运用对称性求角度与周长 概念辨析例题：将军饮马问题：点A、B在直线l的同侧，要在l上找一点P，使PA+PB最小，正确的方法是（　　）A．作A关于l的对称点A'，连接A'B交l于P　B．直接连接AB交l于P　C．作AB的中点P　D．任取l上一点P 答案：A 解析：作A关于l的对称点A'，则PA=PA'，PA+PB=PA'+PB，当A'、P、B三点共线时和最小，即连接A'B与l的交点即为所求，故选A。 🧀 知识总结表 核心概念 性质/规律 注意事项 轴对称图形 沿对称轴折叠能重合 对称轴是直线 垂直平分线 点到线段两端距离相等 判定与性质互为逆定理 关于x轴对称 (x,y)→(x,-y) 横坐标不变纵坐标相反 关于y轴对称 (x,y)→(-x,y) 纵坐标不变横坐标相反 折叠与最短路径 对应点关于折痕对称 利用对称点转化最值 📩 核心考点 【考点1】轴对称图形与垂直平分线（第1-12题） · 识别轴对称图形找对称轴 · 垂直平分线上的点到两端等距 · 结合角平分线综合求角 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，分别以点A，C为圆心，以大于长为半径作圆弧，两弧分别相交于点E，F，连接EF并延长交边BC于点D，连接AD．下列结论正确的是（   ） A．DE是边AC的垂直平分线 B．AD是的中线 C．DE是的高 D．AD是的高 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，直线分别与边相交于点，连结．若，则的长为（   ） A．24 B．25 C．7 D．9 3．（24-25八年级上·云南·阶段检测）如图，在中，，，，，垂直平分，点为直线上的任一点，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（23-24七年级下·安徽宿州·期末）如图，在中，线段的垂直平分线与相交于点D，连接的周长为，边的长为7，则的周长为（　　） A．12 B．13 C．26 D．27 5．（25-26八年级上·全国·期中）已知点和关于x轴对称，则的值为（    ） A．0 B． C．1 D．无法确定 6．（23-24八年级下·河南南阳·期中）点关于轴对称点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）将一张长方形的纸对折，然后用笔尖在上面扎出“E”，再把它铺平，你看到的图形可能是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列定理有逆定理的是（    ） A．对顶角相等 B．等角的补角相等 C．同角的余角相等 D．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 9．（24-25七年级下·全国·周测）如图，与关于直线l对称，则（   ） A． B． C．BC D． 10．（24-25七年级下·全国·课后作业）下面4个汉字中，是轴对称图形的是（   ） A．全 B．面 C．发 D．展 11．（25-26八年级上·全国·单元测试）下列命题：①若，则；②直角三角形的两个锐角互余；③如果，那么；④互为相反数的两个数的和为0．其中原命题和逆命题均为真命题的是（   ） A．①③ B．②④ C．②③④ D．①②③④ 12．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，平分，垂直平分与相交于点E，交于点F，可知（   ） A． B． C． D． 【考点2】对称变换与折叠（第13-25题） · 折叠前后对应角相等求角 · 折叠点与折痕关于轴对称 · 轴对称作图保留对称性 13．（23-24八年级上·山东滨州·期末）如图，中，面积是24，垂直平分，分别交于，点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 14．（20-21七年级下·山东青岛·期末）如图，将一张等宽的纸条按图中方式折叠，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 15．（24-25七年级下·江苏南京·阶段检测）如图的3×3的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形一共有（   ）个 A．5 B．6 C．7 D．8 16．（21-22八年级上·内蒙古乌海·期末）如图，已知：，则下列说法正确的个数有（     ） （1）平分             （2）垂直平分 （3）与互相垂直平分      （4）平分 A．一个 B．两个 C．三个 D．四个 17．（24-25七年级下·甘肃兰州·期末）下列图形中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 18．（26-27八年级上·全国·课后作业）不能用无刻度直尺直接准确画出下列轴对称图形的所有对称轴的是（     ） A． B． C． D． 19．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图①，已知四边形纸片．按图②、图③的折纸方法依次折叠后再展开，得到两条折痕，如图④第二条折痕与边交于点E，连接、．若，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 20．（25-26八年级上·河南许昌·期中）如图，在中，分别是边的垂直平分线，交于点O，连接．若，那么的度数为（    ）． A． B． C． D． 21．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，的垂直平分线分别与交于点D，E，若，则的周长是_______． 22．（24-25九年级下·甘肃武威·期中）若点与点关于轴对称，则______． 23．（2025八年级上·广东深圳·专题练习）若点与点关于轴对称，则___________；若点与的连线与轴平行，则点的坐标为___________． 24．（24-25八年级下·湖南长沙·开学考试）如图，在中，，分别是，的垂直平分线，，分别交边点D、E且的周长为，则的长为______． 25．（22-23八年级上·江西鹰潭·期中）经过轴对称变换后得到的图形与原图形相比：形状_______改变，大小_______改变（填“有”或“没有”）． 【考点3】坐标轴对称与计算（第26-38题） · 关于x轴、y轴对称坐标变换 · 由对称点坐标列方程组 · 垂直平分线求周长 26．（22-23七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点和点，再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交于点．若，，则的长度为________． 27．（2025·甘肃·一模）如图，的边的垂直平分线交于点D，连接．若，，则_____． 28．（2025·山西·模拟预测）剪纸是中国古老的民间艺术之一．如图是一张蕴含着轴对称变换的蝴蝶剪纸，点与点对称，点与点对称．将其放置在直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，，则点的坐标为__________． 29．（24-25八年级上·青海西宁·期末）已知点和点关于轴对称，则的值是______． 30．（24-25八年级上·福建莆田·阶段检测）如图，在中，垂直平分交于E，，，则的度数为_______ 31．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，直线表示铁路，，两点表示某工厂两个生产区，若要在铁路旁修建一个货仓，使货仓到两个生产区，的距离之和最短，则这样的点的位置有________处． 32．（24-25七年级下·湖北武汉·阶段检测）如图将一张长方形纸条沿折叠， 点B， A分别落在，位置上，与的交点为G， 若， 则_________． 33．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，在中，的垂直平分线相交于点H，连接． （1）若，，则的度数为________ ． （2）若，则的度数为________ ． 34．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，直线l是线段的垂直平分线，交于点O，P为直线l上一点，则下列说法：①点O是线段的中点；②直线l是线段的对称轴；③线段是的垂线，其中正确的有___________． 35．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点M和点N，连接交于点E．若，则的周长为___________． 36．（24-25七年级下·四川达州·期末）如图，中，，的角平分线和的邻补角的角平分线相交于点，分别交和的延长线于．过作交的延长线于点，交的延长线于点，连接交于点．下列结论：①；②垂直平分；③；④；其中正确结论的序号是________． 37．（24-25七年级下·上海徐汇·期末）如图，在中，，，，的垂直平分线交边于点，交边于点，则的周长为___________（用、表示）． 38．（24-25九年级上·北京·期中）如图，等腰三角形的底边长为3，面积是12，腰的垂直平分线分别交边于E，F点，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为________． 【考点4】轴对称综合应用（第39-45题） · 对称点转化最短路径 · 折叠综合求角度周长 · 画对称图形并写出对应关系 39．（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，在正方形中，点，分别是，上的点，将四边形沿直线折叠后，点A落在线段上点处．若正方形的边长为，则图中阴影部分的周长为______cm． 40．（25-26八年级上·重庆·阶段检测）如图，在中，，平分，交于点，点，分别为上的动点，若，的面积为，则的最小值为______． 41．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）如图，已知，垂直平分，交于点，交于点，垂直平分，交于点，交于点，连接． (1)连接，，若，求的周长； (2)若，求证：平分． 42．（25-26七年级下·四川达州·期中）如图，将一张长方形纸片折叠，重叠部分是一个三角形，为折痕，已知，求的度数． 43．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，画出关于直线l对称的，并写出对应边与对应角． 44．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图（1）～（10）所示的图案都是对称图形（其中（2）（5）（7）（9）表示两个图形），请观察并指出，哪些图案是轴对称图形？哪些图案成轴对称？    45．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，于点D，于点E，相交于F． (1)求证：； (2)试判断所在直线与的位置关系，并证明． 课后巩固 🍬 复习建议 · 轴对称图形沿对称轴折叠完全重合，对称轴是直线 · 垂直平分线上的点到线段两端点距离相等 · 关于x轴对称横坐标不变，关于y轴对称纵坐标不变 · 折叠问题抓住对应点关于折痕对称 · 最短路径问题作对称点后转化为两点之间线段最短 【作业 1】（25-26八年级上·河南郑州·阶段检测）如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)在图中画出并标出字母； (2)若点P与点C关于y轴对称，则点P的坐标为______； (3)已知Q为y轴上一点，若的面积为8，请直接写出点Q的坐标． 【作业 2】（25-26七年级上·山东淄博·期中）一个轴对称图形的一半如图所示，直线是这个轴对称图形的对称轴，请画出这个图形的另一半． 【作业 3】（25-26八年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点． (1)作关于直线m（直线m上各点的纵坐标为1）的对称图形，其中点A，B，C的对称点分别为； (2)四边形的面积为 ； (3)若规定在平面直角坐标系中，将一个图形先关于直线m对称，再向下平移2个单位长度记为1次“R变换”， 内有一点，经过2025次“R变换”后的对应点的坐标为______． 【作业 4】（25-26八年级上·江西宜春·阶段检测）如图，中，，，垂直平分，交于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 【作业 5】（24-25八年级上·全国·期末）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，直线l与网格线重合，点A，C，均在网格点上，和关于直线l对称（点A，B的对应点为点）． (1)在图中把和补充完整； (2)以过点的水平线为x轴，以直线l为y轴建立平面直角坐标系． ①点C关于x轴的对称点的坐标为 ； ②点在的内部，点M关于y轴对称的点的坐标为 ． 【作业 6】（26-27八年级上·全国·课后作业）快速说出如图所示图形中各个“顶点”的坐标，你是怎样想的？ 【作业 7】（25-26七年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，直线过，且平行于轴． (1)若三个顶点的坐标分别为，关于直线的对称图形是，写出的三个顶点坐标； (2)如果点的坐标是，其中，点关于轴对称点是点，点关于直线对称点是点，求的长． 【作业 8】（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，点是垂直平分线上的一点，过点作，交的延长线于点，于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【作业 9】（24-25八年级上·山西吕梁·期末）问题情境：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．请根据小明的方法思考并解答： （1）①由已知和作图能得到，依据是____________． A．    B．    C．    D． ②由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是____________． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线，构造全等三角形、平行线、平移线段，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 类比探究：（2）如图2，已知与，，，，、分别为中边上的中线与高，且，，求的面积． （3）拓展延伸：如图3，四边形中，，E是的中点， ①若四边形的面积为m，求证：的面积为． ②若，则、、三者之间的数量关系为______． 【作业 10】（25-26八年级上·全国·课后作业）如下图，线段的垂直平分线相交于点，直线交于点，交于点，直线交于点．若，求的度数． 【作业 11】（23-24七年级下·山西太原·阶段检测）如图，直线，直线与直线分别交于点E，F，M是射线上的一个动点（不包括端点E），，连接，将沿折叠，使顶点E落在点N处． (1)求的度数． (2)当点N恰好落在上时，求的度数． (3)若，求的度数． 【作业 12】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，直线，分别为边，的垂直平分线，且交于点，连接，，，．若和的周长分别为24和10，求的长． 【作业 13】（23-24八年级上·全国·单元测试）把下列命题改写成“如果，那么”的形式，并写出它的逆命题，并判断其真假： (1)不相等的角不是对顶角 (2)直角三角形两锐角互余 (3)有两个角和一边对应相等的两个三角形全等 (4)在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． 【作业 14】（25-26七年级下·全国·课后作业）墙上钉了一根木条，李叔叔想用一个如图所示的测平仪检验这根木条是否水平．在这个测平仪中，，边的中点处挂了一个重锤．李叔叔将边与木条重合，观察此时重垂线是否通过点．如果重垂线过点，那么这根木条就是水平的．请说明其中的道理． 【作业 15】（23-24八年级上·北京西城·期末）在平面直角坐标系中，已知点，直线l经过点T且与x轴垂直．对于图形M和图形N，给出如下定义：将图形M关于y轴对称的图形记为，图形关于直线l对称的图形记为，若图形与图形N有公共点，则称图形M是图形N的“双称图形”． 例如，如图1，当时，对于点和第三象限角平分线，点P关于y轴的对称点是，点关于直线l的对称点在射线上，则点P是射线的“双称图形”． 已知点，，图形N是以线段为一边在直线上方所作的正方形． (1)当时，直线l和正方形如图2所示． ①在，，这三个点中，点 是图形N的“双称图形”； ②点，，，是图形N的“双称图形”，求m的取值范围； (2)若图形N是它自身的“双称图形”，直接写出t的取值范围． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6讲·轴对称·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年人教版八年级数学上册 参考答案与试题解析 🍔 思维导图 🍟 课程目标 · 理解轴对称图形与两个图形成轴对称的概念及区别 · 掌握线段的垂直平分线的性质与判定 · 掌握关于x轴、y轴对称的点的坐标变化规律 · 会画轴对称图形，掌握折叠问题的处理方法 · 会利用轴对称解决最短路径问题 🍗 知识梳理 ✅️ 1.轴对称图形与对称轴 轴对称图形：沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合的图形 对称轴：折叠时互相重合的那条直线（所在直线） 两个图形成轴对称：沿对称轴折叠后两个图形完全重合 轴对称变换不改变图形的形状与大小，只改变位置 概念辨析例题：下列汉字中，是轴对称图形的是（　　）A．上　B．下　C．中　D．左 答案：C 解析：“中”字沿竖直方向的直线折叠，两旁能够完全重合，是轴对称图形；其他汉字不能，故选C。 ✅️ 2.线段的垂直平分线 垂直平分线：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线 性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 判定：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 应用：由等距关系求线段长、周长与角度 概念辨析例题：如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，垂足为O，P为MN上一点，若PA=5，则PB的长为（　　）A．2.5　B．5　C．10　D．不确定 答案：B 解析：MN垂直平分AB，P在MN上，由垂直平分线的性质，P到线段两端距离相等，即PB=PA=5，故选B。 ✅️ 3.关于坐标轴的对称点 关于x轴对称：横坐标相同，纵坐标互为相反数，即(x,y)→(x,-y) 关于y轴对称：纵坐标相同，横坐标互为相反数，即(x,y)→(-x,y) 关于原点对称：横、纵坐标都互为相反数，即(x,y)→(-x,-y) 已知对称点坐标可列方程组求参数 概念辨析例题：点P(3,-2)关于x轴对称的点的坐标是（　　）A．(3,2)　B．(-3,-2)　C．(-3,2)　D．(2,-3) 答案：A 解析：关于x轴对称，横坐标不变、纵坐标变为相反数，所以(3,-2)关于x轴的对称点为(3,2)，故选A。 ✅️ 4.折叠与最短路径 折叠问题：折叠前后对应点关于折痕对称，对应线段、角相等 最短路径：两定点在直线同侧，作其中一点关于直线的对称点后连接另一点 利用垂直平分线性质可把折痕转化为对称轴分析 综合运用对称性求角度与周长 概念辨析例题：将军饮马问题：点A、B在直线l的同侧，要在l上找一点P，使PA+PB最小，正确的方法是（　　）A．作A关于l的对称点A'，连接A'B交l于P　B．直接连接AB交l于P　C．作AB的中点P　D．任取l上一点P 答案：A 解析：作A关于l的对称点A'，则PA=PA'，PA+PB=PA'+PB，当A'、P、B三点共线时和最小，即连接A'B与l的交点即为所求，故选A。 🧀 知识总结表 核心概念 性质/规律 注意事项 轴对称图形 沿对称轴折叠能重合 对称轴是直线 垂直平分线 点到线段两端距离相等 判定与性质互为逆定理 关于x轴对称 (x,y)→(x,-y) 横坐标不变纵坐标相反 关于y轴对称 (x,y)→(-x,y) 纵坐标不变横坐标相反 折叠与最短路径 对应点关于折痕对称 利用对称点转化最值 📩 核心考点 【考点1】轴对称图形与垂直平分线（第1-12题） · 识别轴对称图形找对称轴 · 垂直平分线上的点到两端等距 · 结合角平分线综合求角 1．A 【知识点】线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了尺规作图，掌握线段垂直平分线的尺规作图方法及垂直平分线的判定定理是解题的关键． 本题根据题目描述，结合“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”，即可判断是边的垂直平分线． 【详解】解：∵以点为圆心，以大于长为半径作圆弧，两弧分别相交于点、， ∴， ∴点、在线段的垂直平分线上， ∵点在的延长线上， ∴是线段的垂直平分线． 故选：A． 2．B 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了作图-基本作图和线段垂直平分线的性质．利用基本作图得到垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，所以． 【详解】解：由作法得垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 3．B 【知识点】三角形三边关系的应用、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查垂直平分线的性质和三角形三边关系，先根据垂直平分线的性质得到，然后根据解题即可． 【详解】解：连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴的最小值是4， 故选：B． 4．B 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查中垂线的性质，根据中垂线的性质，得到，推出的周长，即可． 【详解】解：∵的周长为20， ∴， ∵， ∴， ∵线段的垂直平分线与相交于点D， ∴， ∴， ∴的周长， 故选：B． 5．B 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、坐标系中的对称 【分析】本题主要考查坐标系中的对称；根据关于x轴对称的两点横坐标相同，纵坐标互为相反数，列式计算即可． 【详解】解：∵点和关于x轴对称， ∴， 解得， ∴， 故选：B． 6．C 【知识点】判断点所在的象限、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查的知识点是关于轴对称点的坐标特点、判断点所在的象限，解题关键是掌握关于轴对称点的坐标的变化规律． 根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得点关于轴的对称点坐标，然后再根据横纵坐标的符号判断所在象限． 【详解】解：关于轴对称点是， 所在的象限是第三象限， 点关于轴对称点所在的象限是第三象限． 故选：． 7．C 【知识点】成轴对称的两个图形的识别、根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】本题主要考查轴对称图形，正确利用轴对称图形的特点做题是解决此题的关键．根据题意可知，得到的是轴对称图形，然后认真观察图形，找出符合题意的选项即可 解答 【详解】解：A、将一张长方形的纸对折，再把它铺平后不能得到此图形，不符合题意； B、将一张长方形的纸对折，再把它铺平后不能得到此图形，不符合题意； C、将一张长方形的纸对折，再把它铺平后能得到此图形，符合题意； D、将一张长方形的纸对折，再把它铺平后不能得到此图形，不符合题意； 故选：C ． 8．D 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、对顶角相等、线段垂直平分线的性质、互逆定理 【分析】本题主要考查了逆定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 分别写出各个选项的条件和结论互换的说法，然后进行判断即可． 【详解】解：A、逆命题为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，错误，故没有逆定理，不符合题意； B、逆命题为：如果两个角相等，那么这两个角是等角的补角，错误，故没有逆定理，不符合题意； C、逆命题为：如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角，错误，故没有逆定理，不符合题意； D、逆命题为：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确，且是逆定理，符合题意， 故选：D． 9．D 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟知关于轴对称的两个图形全等是解答此题的关键． 先根据和关于直线对称得出，故可得出． 【详解】解：∵和关于直线l对称， ∴， ∴． 故选：D． 10．A 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题主要考查了轴对称图形的判断，根据定义逐项判断即可．将一个图形沿某直线折叠，直线两旁的部分能够重合，这样的图形称为轴对称图形． 【详解】解：因为“全”字是轴对称图形，所以A符合题意，而“面”，“发”，“展”不是轴对称图形，不符合题意． 故选：A． 11．B 【知识点】相反数的应用、直角三角形的两个锐角互余、判断命题真假、写出命题的逆命题 【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够写出一个命题的逆命题． 写出原命题的逆命题后进行判断即可确定正确的选项． 【详解】解：①若，则，错误，为假命题； 其逆命题为若，则，错误，为假命题； ②直角三角形的两个锐角互余，正确，为真命题； 逆命题为两个角互余的三角形为直角三角形，正确，为真命题； ③如果，那么，正确，为真命题； 其逆命题为若，那么，错误，为假命题； ④互为相反数的两个数和为0，是真命题， 它的逆命题是：和为0的两个数互为相反数，是真命题． 原命题和逆命题均是真命题的是②④． 故选：B． 12．C 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题、线段垂直平分线的性质、等边对等角 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，三角形的外角，中垂线的性质，等边对等角，熟练掌握相关知识点是解题的关键，根据三角形的内角和定理求出的度数，角平分线得到的度数，中垂线的性质，等边对等角，求出的度数，角的和差求出的度数，再利用三角形的外角的性质，计算即可． 【详解】解：∵，， ， 平分，垂直平分， ，， ， ， ． 故选C． 【考点2】对称变换与折叠（第13-25题） · 折叠前后对应角相等求角 · 折叠点与折痕关于轴对称 · 轴对称作图保留对称性 13．B 【知识点】垂线段最短、线段垂直平分线的性质、三线合一 【分析】本题主要考查了垂线段最短的应用，等腰三角形的性质，解题的关键是先根据对称性判断点的位置，再根据等腰三角形的性质得，进而根据三角形的面积求出，即可求出答案． 【详解】解：是的垂直平分线， 点与点关于对称． 连接与的交点为，则此时点为使周长最小时的位置． 点是底边上的中点，且是等腰三角形， ，， ，， ． ， 的周长． 故选：B． 14．C 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、折叠问题 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 如图，由平行线的性质可求得，由折叠的性质可求得，再由平行线的性质可求得． 【详解】解：如图， ，， ，， 又由折叠的性质可知，且， ， ． 故选：C． 15．D 【知识点】画轴对称图形、设计轴对称图案 【分析】此题考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键． 直接利用轴对称图形的性质结合题意得出答案． 【详解】解：如图所示： ． 故选：D． 16．A 【知识点】线段垂直平分线的判定、三线合一 【分析】此题考查了垂直平分线的判定，等腰三角形三线合一． 由，，可得点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上，即可得垂直平分，进而得到平分． 【详解】，， 点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上， 垂直平分． ∴平分 ∴说法正确的个数有一个 故选：A． 17．C 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题主要考查轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 根据轴对称图形的定义进行判断即可． 【详解】 解：是轴对称图形，故选项A不符合题意； 是轴对称图形，故选项B不符合题意； 不是轴对称图形，故选项C符合题意； 是轴对称图形，故选项D不符合题意； 故选：C． 18．D 【知识点】画对称轴、无刻度直尺作图 【分析】本题考查无刻度直尺绘图——画对称轴，先找出所有对称轴，再结合相关理论知识尝试作图，找出所有对称轴是解题的关键． 【详解】解：A、本选项图形对称轴只有1条，可用无刻度直尺直接准确画出，作图如下： 则直线m即为所求作的对称轴，故此选项不符合题意； B、本选项图形对称轴只有1条，可用无刻度直尺直接准确画出，作图如下：    则直线m即为所求作的对称轴，故此选项不符合题意； C、本选项图形对称轴只有1条，可用无刻度直尺直接准确画出，作图如下：    则直线m即为所求作的对称轴，故此选项不符合题意； D、本选项图形对称轴只有4条，其中可用无刻度直尺直接准确画出的有2条，作图如下：    则直线m、n即为所求作的对称轴， 但是还有如下两条对称轴不能用无刻度直尺直接准确画出：    故此选项符合题意． 19．A 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数、折叠问题 【分析】本题主要考查了轴对称的性质和图形折叠的性质，关键是熟练掌握轴对称的性质和图形折叠的性质． 根据折叠的性质可得，，，可得，所以，根据角平分线的定义即可求出答案． 【详解】解：如图④， 根据折叠的性质可得，， ， ， ，平分， ， ， 故答案为：A． 20．D 【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、等边对等角 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质与判定、三角形内角和定理等知识点，灵活运用相关性质定理是解题的关键． 如图，连接，由分别是边的垂直平分线可得，则、、，由，则，进而得到，然后再运用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵分别是边的垂直平分线 ∴， ∴、、， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选D． 21．4 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质． 利用线段垂直平分线的性质，得出相等的线段，然后利用三角形的周长公式即可求解． 【详解】解：∵的垂直平分线分别与交于点D，E， ∴， ∴的周长为， 故答案为：4． 22．4 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标特征，掌握关于轴对称的点的坐标规律：纵坐标相同，横坐标互为相反数是解题的关键，据此可以求出答案． 【详解】解：点与点关于轴对称， ， ， 故答案为：4． 23． 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、坐标系中的对称 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系，两点连线与坐标轴平行时坐标的特点，解题的关键是熟练掌握平面直角坐标系中任意一点，关于轴的对称点的坐标是，关于轴的对称点的坐标是；两点连线与轴平行时相等，与轴平行时相等． 对于点P和点Q关于轴对称，利用对称性质横坐标相等、纵坐标互为相反数求解和；对于点A和点B的连线与轴平行，利用平行于轴的直线横坐标相同求解点坐标． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴，， ∴， ， ∴． ∵点与点的连线与y轴平行， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 故答案为：；． 24．32 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，能根据线段垂直平分线性质得出、是解此题的关键． 根据线段垂直平分线性质得出，，求出即可． 【详解】解：，分别是，的垂直平分线， ，， 的周长为， ， ， 即， 故答案为：． 25． 没有 没有 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】该题主要考查了轴对称图形，正确把握轴对称图形的性质是解题的关键； 直接利用轴对称图形的性质得出答案； 【详解】解：经过轴对称变换后得到的图形与原图形相比：形状没有改变，大小没有改变． 故答案为：没有，没有． 【考点3】坐标轴对称与计算（第26-38题） · 关于x轴、y轴对称坐标变换 · 由对称点坐标列方程组 · 垂直平分线求周长 26．7 【知识点】线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质．由作图可知，是的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质结合等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：由作图可知，是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴，， 故答案为：7． 27．8 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，解题关键是掌握线段垂直平分线的性质并能运用求解． 根据题意得到，得到，即可得到答案． 【详解】解：∵的边的垂直平分线交于点D， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即的长为8， 故答案为：8． 28． 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了轴对称的性质，由点与点对称，求得对称轴为直线，再根据点与点对称，即可求解，掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点与点对称，，， ∴对称轴为直线， ∵点与点对称，， ∴点的坐标为， 故答案为：． 29． 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题主要考查了关于y轴对称的点的坐标特点，代数式求值，关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此可列式求出a、b，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵点和点关于轴对称， ∴， ∴， ∴， 故答案为；． 30．/50度 【知识点】线段垂直平分线的性质、等边对等角 【分析】该题考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，先根据垂直平分线的性质可得，即可求得的度数，从而可以求得结果． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 31． 【知识点】两点之间线段最短、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】将实际问题转化为数学问题，然后作点关于直线的对称点，连接，如图所示，由对称性及两点之间线段最短分析得出满足题意的点即可． 【详解】解：要在铁路旁修建一个货仓，使货仓到两个生产区，的距离之和最短，即在直线上找一点，使有最小值， 作点关于直线的对称点，连接，如图所示： 由对称性可知，则， 由两点之间线段最短可知，当三点共线时，有最小值，为线段的长， 即连接，与直线的交点就是满足题意的点，如图所示： 综上所述，这样的点的位置有处． 32． 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、折叠问题 【分析】本题考查折叠的性质，平行线的性质，关键是由折叠的性质得到，由平行线的性质推出．设，由折叠的性质得到，则，求出，由平行线的性质推出，即可得到． 【详解】解： 设， ∴， 由折叠的性质得到， ∴， 解得， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 33． /27度 /56度 【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、等边对等角 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和，熟练掌握线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和是解题的关键． （1）由题意易得，则有，，，然后根据三角形内角和可进行求解； （2）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：（1）由条件可知， ∴，，， ∵， ∴， 即， ∵，， ∴， 故答案为：； （2）由（1）得，，， 由条件可知， 即， ∵， ∴， ∵的垂直平分线相交于点H， ∴， ∴， 又， ∴， 故答案为：． 34．①②/②① 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键．根据垂直平分线的性质进行判断即可． 【详解】解：直线是的垂直平分线， 点为的中点，故①正确， 直线是的垂直平分线， 直线l是线段的对称轴，故②正确， 直线是的垂直平分线， 直线是的垂线，故③不正确 故答案为：①②． 35．26 【知识点】线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质和作图．由作图可得，垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到 ，然后利用等量代换即可得到的周长． 【详解】解：由作图可得，垂直平分， ∴， ∴的周长为， 故答案为：26． 36．①②④ 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质 【分析】①根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和与角平分线的定义表示出，再根据角平分线的定义，然后利用三角形的内角和定理整理即可得解； ②证明得出，即可判断② ③根据，可得，然后求出，再根据等角对等边可得，再根据等腰直角三角形两腰相等可得，然后求出，根据直角三角形斜边大于直角边，，从而得出④错误； ④再利用角角边证明全等，然后根据全等三角形对应边相等得到，从而得解． 【详解】解：如图， ①∵是的外角， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵是的平分线， ∴， 在中，， ，故①正确； ∵， ∴， ∵为的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 垂直平分；故②正确； ③∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴与都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴不成立，故③错误， ④∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 综上所述①②④正确． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，直角三角形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 37． 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】根据垂直平分线的性质得到，则，进一步证明，得到，即可求出答案． 【详解】解：∵的垂直平分线交边于点，交边于点 ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为 故答案为： 【点睛】此题考查了等腰三角形的判定和性质、垂直平分线的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是关键． 38． 【知识点】线段垂直平分线的性质、三线合一、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】连接，，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，即可求解． 本题考查了等腰三角形三线合一的性质，线段垂直平分线的性质，利用轴对称求最短路径，解题的关键是：掌握轴对称的性质． 【详解】解：连接， 是等腰三角形，点是边的中点， ，， ， 解得：, 是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴当三点共线时，最小，即此时最小，最小值为的长为， 的周长最小值， 故答案为：． 【考点4】轴对称综合应用（第39-45题） · 对称点转化最短路径 · 折叠综合求角度周长 · 画对称图形并写出对应关系 39．12 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、折叠问题 【分析】本题考查了翻折变换，根据翻折变换的性质得出图中阴影部分的周长为，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：正方形的边长为， ∴， ∵将四边形沿直线折叠，使点A落在点处， ∴，，， ∴图中阴影部分的周长为： ， 故答案为：12． 40． 【知识点】垂线段最短、线段垂直平分线的性质、三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，垂线段最短，过点作于，由等腰三角形的性质可得垂直平分，即得，即得到，可知当三点共线且时，的值最小，最小值即为的长，再利用三角形的面积求出的值即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于， ∵，平分， ∴，， ∴垂直平分， ∴， ∴， 当三点共线且时，的值最小，最小值即为的长， ∵的面积为， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 41．(1)15 (2) 证明：，垂直平分，垂直平分，， ，， ． 平分． 【知识点】角平分线的判定定理、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的判定定理，熟练掌握线段垂直平分的性质是解题关键． （1）先根据线段垂直平分线的性质可得，，再根据三角形的周长公式即可得； （2）先根据已知可得，，，，从而可得，再根据角平分线的判定定理即可得证． 【详解】（1）解：垂直平分， ． 同理：． 的周长； （2）略 42． 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、折叠问题 【分析】由折叠性质可知，，又，则，设，然后根据平角定义求出的值即可． 【详解】解：由折叠性质可知，， ∵， ∴， 设， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴. 43． 如图，即为所求， 对应边为：与与与；对应角为：与与与 【知识点】画轴对称图形、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查作轴对称图形，熟练掌握作轴对称的方法是解题的关键． 根据轴对称的性质作出图形，再写出对应边和对应角即可． 【详解】略 44．轴对称图形有（1）（3）（4）（6）（8）（10）；两个图形成轴对称的有（2）（5）（7）（9） 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：根据轴对称的定义可知，轴对称图形有（1）（3）（4）（6）（8）（10）；两个图形成轴对称的有（2）（5）（7）（9）． 45．(1) ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴； (2) 直线是的垂直平分线，证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴直线是的垂直平分线． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的判定、等边对等角 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定与性质． （1）由已知条件利用证明即可； （2）由等腰三角形的性质和垂线定义可得，再由等腰三角形的判定即可得出，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 课后巩固 🍬 复习建议 · 轴对称图形沿对称轴折叠完全重合，对称轴是直线 · 垂直平分线上的点到线段两端点距离相等 · 关于x轴对称横坐标不变，关于y轴对称纵坐标不变 · 折叠问题抓住对应点关于折痕对称 · 最短路径问题作对称点后转化为两点之间线段最短 【作业1】(1) 如下： (2) (3)或 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、坐标系中的对称 【分析】本题考查了直角坐标系下图形的绘制，点关于坐标轴对称的特征，三角形面积公式的计算，解决本题的关键是分类讨论点Q的位置． （1）根据点的坐标画三角形即可； （2）根据两个点关于y轴对称，则纵坐标不变，横坐标变为对应的相反数，由此求解即可； （3）设点，根据点Q位于点A上方和点Q位于点A下方两种情况，结合面积求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵点P与点C关于y轴对称，且， ∴； 故答案为：； （3）解：∵点Q为y轴上一点， ∴设点， 当点Q位于点A上方时， 则， 即，解得， 此时点； 当点Q位于点A下方时， 则， 即，解得， 此时点； ∴点Q的坐标为或． 【作业2】 如图所示： 【知识点】画轴对称图形 【分析】本题考查作图-轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的性质． 利用轴对称变换的性质分别作出A，B，P的对应点，，即可． 【详解】略 【作业3】(1) 如图，即为所求； (2)21 (3) 【知识点】由平移方式确定点的坐标、画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查作图——轴对称变换、规律型∶点的坐标，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据轴对称的性质作图即可．（2）根据梯形的面积公式计算即可．（3）根据题意可知每经过2次“R变换”为一次循环，根据，可知经过2025次“R变换”后的对应点与经过1次“R变换”后的对应点的坐标相同，进而可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：四边形的面积为； 故答案为：21 （3）解：根据题意得：经过1次“R变换”后的对应点的坐标为， 经过2次“R变换”后的对应点的坐标为， ∴每经过2次“R变换”为一个循环， ∵， ∴经过2025次“R变换”后的对应点的坐标为． 故答案为： 【作业4】(1) 证明：，， ∴垂直平分 ∵垂直平分， ， ∴； (2) 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形的周长计算，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线上任意一点到线段的两个端点距离相等． （1）先证得垂直平分则，而垂直平分，则，等量代换即可证明； （2）由（1）得，而，再由三角形周长公式求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ∵， ∴的周长为 【作业5】(1) 解：补全和，如图为所求： (2)①；② 【知识点】画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了坐标与图形变化—轴对称，熟练掌握轴对称的性质，关于坐标轴对称的点的坐标特征是解题的关键． （1）根据轴对称的性质，结合图中的已知点，画出关于直线l对称的和即可； （2）①根据关于x轴对称的点的坐标特征求解即可；②根据关于y轴对称的点的坐标特征求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：①建立直角坐标系如上图所示： 由坐标系可得，点C的坐标为， 点C关于x轴的对称点的坐标为； 故答案为：； ②点， 点M关于y轴对称的点的坐标为； 故答案为：． 【作业6】 解：可以先写出坐标轴上四个点的坐标，，，；然后写第一象限的三个点的坐标，，；第二象限的三个点与第一象限的三个点关于y轴对称，所以只要将横坐标乘，纵坐标不变就可以得到，，；第四象限与第三象限的点，分别与第一象限、第二象限的点关于x轴对称，所以横坐标不变，纵坐标乘即可，分别为，，，，，． 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、坐标系中的对称 【分析】结合平面直角坐标系可确定坐标轴上点的坐标，确定第一象限内的点的坐标，再根据关于坐标轴及原点对称的点的坐标特征求解即可． 【详解】解：略． 【作业7】(1) (2) 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、坐标与图形变化——轴对称、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了轴对称的性质，画轴对称图形，求对称点坐标，坐标与平面综合． （1）作出关于直线的对称图形，即可求出的三个顶点坐标； （2）先求出，设点关于直线对称点，直线是直线，则由题意得，求出点，即可求解． 【详解】（1）解：作出关于直线的对称图形，则 （2）解：∵点的坐标是，其中，点关于轴对称点是点， ∴， 设点关于直线对称点，直线是直线， ∴， ∴， ∴， ∴． 【作业8】(1) 证明：连接， ∵点是垂直平分线上的一点， ∴ ∵，，， ∴， ∴； (2) 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质等知识点，解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形． （1）先由线段垂直平分线的性质得到，然后证明即可； （2）连接，先证明，则设，则，那么，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：连接， ∵，，，， ∴ ∴， 设， 则， ∴， 解得，即． 【作业9】（1）①B；②（2）27（3） 【知识点】根据平行线判定与性质证明、确定第三边的取值范围、全等三角形综合问题、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，三角形的三边关系，平行线的性质，垂直平分线的性质． （1）①由是中线得到，又，，通过“”可证．据此可解答； ②由，，根据三角形的三边关系有，即，又，因此； （2）延长至，使得，可证得，得，，，可知，得，结合，可证，即可证得，再由 即可求解； （3）①延长交于，证明，得，，可知，再结合，即可证明结论； ②由①可知，则，，结合题意可知，可得垂直平分，进而可得． 【详解】解：（1）①∵是中线， ∴， 在和中， ， ∴． 故选：B； ②解：∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 故答案为：； （2）延长至，使得， ∵是中线， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ； （3）①延长交于， ∵， ∴，， 又∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为； ②由①可知，则，， ∵， ∴，即， ∴垂直平分， ∴， 故答案为：． 【作业10】 【知识点】线段垂直平分线的性质、等边对等角 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线的性质是解题的关键． 连接并延长，根据线段垂直平分线的性质得出，，进一步得出，，再结合外角的性质得出，据此可解决问题． 【详解】解：如图，连接，并延长到点． ，是线段的垂直平分线， ． 线段的垂直平分线相交于点， ． ． ． ， ． 【作业11】(1) (2) (3)或 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数、折叠问题 【分析】本题考查翻折变换，平行线的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握翻折的性质． （1）根据，同旁内角互补即可求解； （2）如图，点N落在上，根据折叠性质得出，根据，得出，算出．根据折叠性质，即可算出． （3）设．分为①当点N在平行线之间时．②当点N在下方时．分别画图计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴． （2）如图，点N落在上， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． （3）设． ①当点N在平行线之间时（如图）． ∵， ∴， 由折叠可知， ∴， ∴， ∴； ②当点N在下方时（如图）． ∵， ∴． 由折叠可知， ∴， 解得， ∴． 综上所述，符合题意的的度数为或． 【作业12】 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，利用该性质进行线段等量代换，从而简化周长计算是解题的关键． 利用垂直平分线的性质，将三角形周长中的线段进行等量代换，从而求出的长度． 【详解】解：如图，连接． 直线，分别是边，的垂直平分线， ，，，， ． 的周长， 的周长， ， ． 【作业13】(1)如果两个角不相等，那么他们不是对顶角，逆命题为：不是对顶角的不相等，该逆命题是假命题； (2)如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余，逆命题为有两个角互余的三角形是直角三角形，该逆命题是真命题； (3)如果两个三角形有两个角和一边对应相等，那么这两个三角形全等，逆命题为全等三角形有两个角和一边对应相等，该逆命题是真命题； (4)如果在同一平面内，两条直线与同一条直线垂直，那么这两条直线互相平行，逆命题为：在统一平面中，如果两条平行直线被第三条直线所截，那么这两条直线与第三条直线垂直，该逆命题是假命题； 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、判断命题真假、写出命题的逆命题、锐角互余的三角形是直角三角形 【分析】（1）根据对顶角定义及命题的条件和结论改写成“如果，那么”的形式，再写出逆命题，判断真假即可； （2）根据直角三角形的判定及性质，命题的条件和结论改写成“如果，那么”的形式，再写出逆命题，判断真假即可； （3）根据全等三角形的判定及命题的条件和结论改写成“如果，那么”的形式，再写出逆命题，判断真假即可； （4）根据平行线的判定及命题的条件和结论改写成“如果，那么”的形式，再写出逆命题，判断真假即可；． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 【点睛】本题考查了命题与逆命题的知识，全等三角形的判定及性质，平行线的性质，直角三角形的判定及性质，解题的关键是了解有关的定义． 【作业14】解：∵，为的中点 ∴垂直平分， ∵重垂线过点， ∴重垂线与重合， ∵木条所在的直线与竖直的直线垂直 ∴这根木条是水平的． 【知识点】线段垂直平分线的性质、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】通过轴对称的性质即可求解． 【详解】略． 【作业15】(1)①，；②或 (2) 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了轴对称，坐标与图形，不等式组的应用； （1）①根据题意在坐标系中描出两次对称的点，根据新定义，即可求解； ②根据题意求得两次对称的点的坐标，结合新定义，列出不等式组，解不等式组，即可求解； （2）根据新定义，求得点关于两次对称后的点的坐标，列出不等式组，解不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：①如图所示， ∴，；是图形N的“双称图形”； ②设点关于轴的对称点为，则，设点关于直线的对称点为， 则，即 ∴ 同理可得，关于轴和直线两侧对称后的对称点分别为， ∵是图形N的“双称图形”， ∴与正方形有交点， ∴或， 解得：或 （2）解：∵已知点，， ∴关于轴的对称点为，关于轴对称的点的为 设点关于的对称点为， 则，即 ∴， 设点关于的对称点为， 则，即 ∴， ∵图形N是它自身的“双称图形”， ∴①或② 解不等式组①得 解不等式组②得 综上所述， 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $