第5讲·角的平分线·培优讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年人教版八年级数学上册

第5讲·角的平分线·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年人教版八年级数学上册 参考答案与试题解析 🍔 思维导图 🍟 课程目标 · 理解角平分线的定义，掌握用尺规作角平分线的方法 · 掌握角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等 · 掌握角平分线的判定：到角两边距离相等的点在角平分线上 · 会利用角平分线的性质求线段长度与三角形面积 · 能综合运用角平分线与全等三角形、垂直平分线知识解决几何问题 🍗 知识梳理 ✅️ 1.角平分线的定义与尺规作图 角平分线：从一个角的顶点引出的、把这个角分成两个相等角的射线 尺规作角平分线：以顶点为圆心画弧交两边，再分别以两交点为圆心、大于交点距离的长为半径画弧，两弧交点与顶点连线即角平分线 作图的原理：连接交点与两边上的点，可构造SSS全等三角形 角平分线把角分成两个相等的角，常用于角度计算 概念辨析例题：用尺规作∠AOB的平分线时，分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧交于点C，则射线OC是∠AOB的平分线，其依据是（　　）A．SSS　B．SAS　C．ASA　D．AAS 答案：A 解析：由作图过程可得OD=OE、CD=CE、OC=OC，三边对应相等，依据SSS判定三角形全等，从而∠AOC=∠BOC，故选A。 ✅️ 2.角平分线的性质 性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等 应用：由角平分线加垂线段，可求距离、比较大小、证明线段相等 常见辅助线：过角平分线上的点向角的两边作垂线 三角形三条内角平分线交于一点，交点到三边的距离相等 概念辨析例题：如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DE=3，则点D到AC的距离为（　　）A．2　B．3　C．4　D．6 答案：B 解析：AD是∠BAC的平分线，点D在角平分线上，角平分线上的点到角两边距离相等，故点D到AC的距离等于DE=3，故选B。 ✅️ 3.角平分线的判定 判定定理：到角两边距离相等的点在角平分线上 判定定理是性质定理的逆定理，常用于证明某点在角平分线上 应用：已知点到两边距离相等，可证该点所在射线平分此角 两把宽度相同的直尺紧靠角的两边，其交点必在角平分线上 概念辨析例题：如图，点P在∠AOB的内部，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，且PC=PD，则射线OP是∠AOB的平分线，其依据是（　　）A．角平分线上的点到两边距离相等　B．到角两边距离相等的点在角平分线上　C．全等三角形对应角相等　D．垂直的定义 答案：B 解析：PC=PD，即点P到∠AOB两边的距离相等，根据角平分线的判定定理，点P在∠AOB的平分线上，故选B。 ✅️ 4.角平分线的综合应用 角平分线与面积：用点到两边的距离作为高求三角形面积 三角形内心：三条角平分线交于一点，该点到三边距离相等 角平分线与垂直平分线结合：利用等距关系求线段长与角度 综合证明题注意通过作垂线构造全等三角形 概念辨析例题：在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，若BC=10，BD=6，则DE的长为（　　）A．2　B．3　C．4　D．5 答案：C 解析：AD平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB，由角平分线性质得DE=DC。又DC=BC-BD=10-6=4，所以DE=4，故选C。 🧀 知识总结表 核心概念 定义/性质 注意事项 角平分线 平分角，从顶点引出的射线 每个角只有一条内角平分线 角平分线的性质 点到角两边的距离相等 需向两边作垂线段 角平分线的判定 到两边距离相等的点在平分线上 是性质定理的逆定理 尺规作图 作角平分线 依据SSS判定全等 三角形内心 三条角平分线的交点 交点到三边距离相等 📩 核心考点 【考点1】角平分线的性质（第1-13题） · 角平分线上的点到角两边距离相等 · 已知角平分线求距离、比较线段大小 · 过角平分线上一点向两边作垂线 1．C 【知识点】三角形内角和定理的应用、角平分线的判定定理 【分析】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质定理的逆定理是解题的关键． 先利用三角形内角和定理可得，再利用角平分线的性质定理的逆定理可得平分，然后利用角平分线的定义进行计算即可解答． 【详解】解： ，， ． ，，， 平分． ． 故选：C． 2．B 【知识点】作角平分线(尺规作图) 【分析】根据作角平分线的方法进行判断，即可得出结论． 本题主要考查了基本作图，解决问题的关键是掌握作角平分线的方法． 【详解】∵以D，E为圆心，以a为半径画弧，两弧在内交于点P， ∴的长． 故选：B． 3．C 【知识点】作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查了作角平分线，熟练掌握基本作图是解题的关键． 【详解】解：根据作图可得，，故A，B正确； ∵是角平分线， ∴，故D选项正确， 而不一定成立，故C选项错误， 故选：C． 4．B 【知识点】全等三角形综合问题、角平分线的判定定理、线段垂直平分线的判定、互逆定理 【分析】本题考查的是角平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的判定与性质，平行线的判定与性质，定理与逆定理的含义，根据以上基础知识再逐一分析各选项即可． 【详解】解：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等的逆定理是：角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的角平分线上，故A不符合题意； 两个全等三角形的对应角相等的逆命题是：三个角分别相等的两个三角形全等，是假命题，故B符合题意； 线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等的逆定理是到线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，故C不符合题意； 两直线平行，内错角相等的逆定理是内错角相等，两直线平行，故D不符合题意； 故选B 5．A 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，掌握角平分线的性质得到是解题的关键． 过点作于点，由角平分线的性质可得，根据三角形的面积计算方法，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∴， 故选：A ． 6．A 【知识点】角平分线的判定定理 【详解】解：平分的依据是：在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上． 7．B 【知识点】垂线段最短、角平分线的性质定理 【分析】本题考查角平分线的性质，垂线段最短，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 过点作于点，设点为上某一点，连接，由角平分线的性质推出，由垂线段最短得到，即可得到答案． 【详解】解：过点作于点，设点为上某一点，连接， ∵平分，于， ∴， ∵， ∴点与射线上某一点连线的长度可以是． 故选：B． 8．C 【知识点】三角形内角和定理的应用、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题主要考查基本作图，直角三角形两锐角互余，掌握尺规作图的方法是解题的关键．由直角三角形两锐角互余可求出，由作图得平分，即可得． 【详解】解：∵，， ∴， 由作图知，平分， ∴， 故选：C． 9．D 【知识点】垂线段最短、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线性质，垂线段最短的应用，求解最小值是解此题的关键．根据垂线段最短得出当时，的值最小，此时根据角平分线性质得出，再逐一判断即可． 【详解】解：当时，的值最小， ∵平分，，， ∴， 所以的最小值为， 所以，，不符合题意，符合题意； 故选：． 10．C 【知识点】角平分线的有关计算、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质以及角度的计算；根据已知条件可以推导出是等腰三角形，根据等腰三角形的性质即可得出的度数. 【详解】解：是平分线上一点 则是等腰三角形 故选：C ． 11．C 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、角平分线的判定定理 【分析】本题考查了角平分线的判定定理，全等三角形的判定和性质，由角平分线的判定定理可判定甲；由可证，得到，即可判定乙，综合即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：由甲的作法可知，点到的距离相等， ∴点在的角平分线上， 即平分，故甲对； 由乙的作法可知，，， ， ∴， ∴即平分，故乙对； 综上，甲、乙都对， 故选：． 12．B 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质定理、三角形全等的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．先根据等腰三角形的判定与性质可得，再根据角平分线的性质定理可得，从而可得，然后证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得． 【详解】解：∵在中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 13．A 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS）、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，合理作出辅助线是解题的关键． 延长到点，使，连接，证出，通过角的等量代换求解即可． 【详解】解：延长到点，使，连接， ∴， ∵平分， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【考点2】角平分线与三角形综合（第14-27题） · 角平分线找等角列方程求角度 · 结合全等三角形证明线段相等 · 三角形内角平分线交点性质应用 14．D 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求长度、直角三角形的两个锐角互余、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了中线、角平分线和中线的定义，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．分别根据三角形的中线意义可判断A和D；根据三角形高的定义，直角三角形两锐角互余判断B；根据三角形角平分线的性质可判断C． 【详解】解：∵是中线， ∴，故A选项正确，不符合题意； ∵是高， ∴， ∴，故B选项正确，不符合题意； 过点E作于点G，于点H， ∵是角平分线， ∴， ∵，， ∴，故C正确，不符合题意； ∵是中线， ∴与不一定相等，故D错误，符合题意． 故选：D． 15．C 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质，过点作，，连接，由角平分线性质可得，然后通过，，则，由，则，最后代入求值即可，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作，，连接， ∵和的平分线相交于，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 16．C 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 在取点，使，证明，可得，证明，进而可以判定B选项错误，再证明，可得，进而判定C选项正确． 【详解】解：如图在上取点，使， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ， 故B选项错误； ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴， ∴， 故C选项正确； 不能证明， 故选：C ． 17．C 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形综合问题、角平分线的判定定理、等边三角形的性质 【分析】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解本题的关键． 由三角形与三角形都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，两三角形的内角都为，利用等式的性质得到，利用可得出符合题意；利用全等三角形的对应边相等即可得到，符合题意；利用全等三角形的对应角相等得到，再由对顶角相等和三角形内角和定理得出符合题意；运用全等三角形的判定与性质，角平分线的判定得出符合题意，运用外角性质以及全等三角形的对应角相等进行分析，得出④不符合题意，即可得出结论． 【详解】解：和都为等边三角形， ，，， ， 即， 在和中， ， ， 故符合题意； ∵， ， 故符合题意； ∵， ， 又， ∴ ， 故符合题意， 作于P，于，如图所示； 则， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴平分， 故符合题意； 则， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 只有时，即，则， ∵， ∴， 分析题干，不一定相等，不一定相等， ∵，， 故不一定等于． 故不符合题意 故选：C． 18．C 【知识点】角平分线的性质定理、含30度角的直角三角形 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，含角的直角三角形的性质等知识，过D作于E，由题意可知，，根据角平分线的定义得，则，进而得出，再利用含角的直角三角形的性质可得的长，从而解决问题． 【详解】解：过D作于E，由题意可知，， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴，即， ∴， 故选：C． 19．B 【知识点】三角形的外角的定义及性质、角平分线的性质定理、角平分线的判定定理 【分析】本题考查了角平分线的定义、角平分线的性质和判定、三角形外角的定义及性质，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解此题的关键．作于，于，于，根据角平分线的性质可得，再由三角形外角的性质及角平分线的定义可得，即可得到答案． 【详解】解：如图，作于，于，于， 平分，，， ， ， ∴ ∵ ∴ ，， ， 平分， ，， ， ， 平分， ， 平分， ， ， 故选：B． 20．A 【知识点】根据三角形中线求面积、角平分线的性质定理 【分析】此题重点考查三角形的中线的定义、角平分线的性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．取的中点E，连接，则为边上的中线，，当点H在上，连接，则，推导出，由点H到、的距离相等，可知点H在的角平分线上，所以凉亭H是的角平分线与边上中线的交点，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，取的中点E，连接，则为边上的中线， ∵， ∴， 当点H在上，连接，则， ∴， ∴， ∵点H到的距离相等， ∴点H在的角平分线上， ∴凉亭H是的角平分线与边上中线的交点， 故选：A． 21． 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图，角平分线的定义，三角形外角的性质，根据作图方法可得平分，据此求出，根据平分求出，进而利用即可求出答案． 【详解】解：由作图方法可得平分 ， ∵平分， ∴ ， ， 故答案为：． 22．9 【知识点】角平分线的性质定理、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了角平分线的性质以及含角的直角三角形的性质，解题的关键是利用角平分线性质得到，再结合含角的直角三角形性质求出． 先作辅助线，利用角平分线性质得出，再根据含角的直角三角形中，角所对直角边是斜边的一半求出，最后计算的长度． 【详解】解：作于， ∵是的角平分线，， ， ， ， ， 故答案为：9． 23． 【知识点】角平分线的有关计算、作角平分线(尺规作图) 【分析】题目主要考查角平分线的作法及角的计算，理解题意是解题关键． 根据题意得出，平分，然后求解即可． 【详解】解：∵与它的余角相等， ∴， 根据题意得平分， ∴， 故答案为：． 24．/度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、角平分线的性质定理、角平分线的判定定理 【分析】本题主要考查了角平分线的性质和角平分线的判定，三角形外角的性质，如图所示，过点D作分别交延长线于E、F，过点D作于H，先求出，，进而证明平分，得到，同理得到，则，由此可得平分，可利用三角形外角的性质可证明． 【详解】解：如图所示，过点D作分别交延长线于E、F，过点D作于H， ∵， ∴，， ∴， ∴平分， ∵， ∴， 同理可得， ∴， ∴平分， ∴， ∴ ， 故答案为：．    25．2 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，能根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出是解题的关键． 作于E，于F，连接，根据角平分线的性质得出，再结合，即可求解． 【详解】解：如图，作于E，于F，连接， ∵I为各内角平分线的交点，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：2 26． 【知识点】作角平分线(尺规作图) 【分析】根据平行线的性质、线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理解决问题即可. 【详解】解：∵四边形是长方形，根据尺规作图的痕迹可知，垂直平分，平分. ∵， ， ∵平分， ∴， ∵垂直平分， ，即， 故答案为： ． 【点睛】本题考查的是作图-基本作图，熟知角平分线及线段垂直平分线的作法是解答此题的关键． 27． 【知识点】确定第三边的取值范围、全等的性质和SAS综合（SAS）、角平分线的性质定理 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质以及三角形三边关系． 在线段上截取，构造全等三角形，再利用三角形三边关系来确定的取值范围． 【详解】解：在线段上截取，连接，如图． ∵平分， ∴． 在和中， ， ， ∴， 在中，可得， 即，即， ，且， ， ． 故答案为：． 【考点3】角平分线与面积计算（第28-40题） · 用点到两边距离作高求面积 · 内心到三边距离相等求面积 · 面积法结合等距关系列式 28． 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据题意易得点O是的内心，根据角平分线的性质可得点O到的距离，点O到的距离，点O到的距离相等，得到，即可解答． 【详解】解：由题意易得点O是的内心， 则点O到的距离，点O到的距离，点O到的距离相等， ∵点O到的距离为3， ∴， ∴． 故答案为：． 29． 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，熟记性质并求出CD的长度是解题的关键． （1）过点作于，根据三角形的面积公式列式计算即可得解； （2）过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：（1）过点作于，如图， ， 即 解得． 故答案为：． （2）过点作于，如图， 是的角平分线，，， ． 设， 则． ， 即， 解得， ． ． 故答案为：． 30． 【知识点】三角形的外角的定义及性质、角平分线的判定定理 【分析】由角平分线的判定定理得平分，则可得的度数，由三角形外角的性质即可求得结果． 【详解】解：∵，，， ∴平分， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：115． 【点睛】本题考查了角平分线的判定定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，运用角平分线的判定定理是解题的关键． 31． 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，三角形面积公式，掌握角平分线的性质定理是解题的关键． 根据角平分线的性质定理，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此点到三边的距离相等，三个小三角形的高相等，面积比等于对应底边的长度比． 【详解】解：∵是和角平分线的交点 ∴点到的距离相等 ∴三个小三角形 的高相等 ∵，， ∴ 面积比 等于底边比 ， ． 故答案为：． 32．3 【知识点】角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定、三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，解题的关键是掌握相关知识．过点分别作，，根据，，可得垂直平分，推出，，结合，可得，根据等腰三角形的性质可得，，结合，推出、分别平分、，得到，最后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：过点分别作，， ，， 垂直平分， ，， ， ， ，， ，， ，即， ， ，即、分别平分、， ， ， ， 解得：， 故答案为：3． 33．2 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了角平分线的性质、垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到角两边距离相等，垂直平分线上的点到线段两端距离相等． 连接，通过证明，得出，再证明，得出，即可解答． 【详解】解：连接， ∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 整理得：， ∴， 故答案为：2． 34． 【知识点】两直线平行同位角相等、角平分线的性质定理、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，过点作的延长线于点，由角平分线的性质可得，由平行线的性质得，进而根据直角三角形的性质即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作的延长线于点，则， ∵为角平分线上一点，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 35．①②③④⑥ 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)、含30度角的直角三角形 【分析】由作图可知平分，判断①，三角形的内角和定理，结合角平分线求出，进而求出，判断②，等角对等边判断③和④，根据含度角的直角三角形的性质，推出，根据同高三角形的面积比等于底边比，判断⑤，根据含度角的直角三角形的性质可判断⑥． 【详解】解：由作图可知：平分，故①正确； ∵，， ∴， ∴， ∴，，，故②③正确； ∴点D在的垂直平分线上，，故④正确，⑤错误； 如图，过点作于点， ∵， ∴，故⑥正确 故答案为：①②③④⑥． 【点睛】本题考查尺规作图—作角平分线，三角形的内角和定理，等腰三角形的判定和性质，中垂线的判定，含30度角的直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 36． 【知识点】角平分线的判定定理 【分析】根据角的平分线的判定，得到射线是的平分线，继而得到，解答即可． 本题考查了角的平分线的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，，且， ∴射线是的平分线， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 37．5 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟记角平分线的性质是解题的关键． 根据角平分线上的点到角的两边距离相等即可解答． 【详解】解：∵点P在的平分线上，于点于点， ∴． 故答案为5． 38． 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、角平分线的判定定理 【分析】本题考查角角平分线的性质，平行线的性质，解答本题的关键是证明平分 过P作于N，由角平分线性质定理的逆定理推出平分，得到，由平行线的性质推出，得到，因此，由，即可得到的长度． 【详解】解：过P作于N， 由题意得：， ， 平分， ， ， ， ， ， 、P在这把直尺上的刻度读数分别是、， ， 的长度是 故答案为：． 39．23 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查角平分线，三角形全等和性质的综合，理解并掌握角平分线上点到角两边的距离相等，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 如图所示（见详解），过点作于，是的角平分线，于，可证，同理可证，设，和的面积分别为和，列方程即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于， ∵是的角平分线，于， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 设，和的面积分别为和， ∴，解方程得，， ∴， ∴， 故答案为：23． 40． 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求面积、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理 【分析】过点作于，延长交于，先求出，证明，得出，，再结合三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：如图，过点作于，延长交于， ∵在中，，，，， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【考点4】角平分线证明与尺规作图（第41-45题） · 尺规作角平分线保留作图痕迹 · 判定定理证明点在角平分线上 · 综合证明注意作垂线构造全等 41． 证明：如图，是的平分线，是的平分线， 过点作于，于，于， 是的平分线，是的平分线， ，， ， 又，， 点在的平分线上， 即的角平分线、、交于一点， 三角形的三条角平分线相交于一点． 【知识点】角平分线的性质定理、角平分线的判定定理 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，角平分线的判定定理等知识点，熟练掌握角平分线的性质定理和判定定理是解题的关键． 根据题意作出图形，过点作于，于，于，根据角平分线的性质可得，，于是可得，因而可证得点在的平分线上，进而可得出结论． 【详解】略 42．10 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质．熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 如图，作于，则，根据，求解作答即可． 【详解】解：如图，作于， ∵平分，，， ∴， ，， ∴， ∴的面积为． 43．(1) 证明：∵平分，，， ∴； (2) 证明：∵D是的中点， ∴ 由（1）得， ∵，， ∴ 在和中 ∴， ∴． 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质： （1）根据角平分线的性质解答即可； （2）证明，即可． 【详解】（1）略 （2）略 44． 如图，点即为所求 【知识点】角平分线的判定定理、作角平分线(尺规作图)、线段垂直平分线的判定、作已知线段的垂直平分线 【分析】本题考查了尺规作图---线段的垂直平分线和角平分线，以及线段垂直平分线和角平分线的判定定理，正确掌握尺规作图的方法是解题的关键． 根据线段垂直平分线和角平分线的判定定理可得点为的角平分线与线段的垂直平分线的交点，据此利用尺规作图即可． 【详解】略 45． 如图所示，点即为所求． 【知识点】作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查作图—基本作图，掌握角平分线的作图方法是解答本题的关键．根据作角平分线的方法步骤作图即可． 【详解】略 课后巩固 🍬 复习建议 · 角平分线上的点到角两边距离相等，注意作垂线段 · 到角两边距离相等的点在角平分线上，用于证明角平分线 · 尺规作角平分线的依据是SSS全等 · 三条角平分线交于一点，交点到三边距离相等 · 综合题先标出已知角与等距关系，再列等式求解 【作业1】(1) 如图，为所求作的线段的垂直平分线； (2) 证明：过D点作于E点，连接， ∵，平分，，， ∴，， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵，， ∴． 【知识点】角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、含30度角的直角三角形 【分析】（1）根据尺规作一条线段垂直平分线的方法，进行作图即可； （2）过D点作于E点，连接，由角平分线的性质和定义得到，，再由线段垂直平分线的性质得到，进而得到，则，由此即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查了，尺规作一条线段的垂直平分线，角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质． 【作业2】 证明：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识是关键． 利用角平分线的性质得到，然后证明，从而得到． 【详解】略 【作业3】(1) 证明：在与中， ， ∴， ∴； (2)8 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，证明出是解题的关键． （1）先利用证明，再根据全等三角形的对应角相等即可得出； （2）根据全等三角形的对应角相等得出，再根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等即可得出，即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵，垂足为E，，垂足为F， ∴， ∵， ∴． 【作业4】(1) 如图所示，线段和点D即为所求； (2) 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题主要考查了角平分线的性质和角平分线的尺规作图，熟知角平分线上的点到该角两边的距离相等是解题的关键． （1）根据角平分线的尺规作图方法作图即可； （2）过点D作于E，由角平分线的性质得到，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示，过点D作于E， ∵平分，且，， ∴， ∴． 【作业5】 如图所示，线段即为所求 【知识点】作角平分线(尺规作图) 【分析】根据角平分线的作图方法作图即可． 【详解】略． 【作业6】(1) 如图所示，即为所求； (2) 如图所示，即为所求， (3) 如图所示，点即为所求 【知识点】作角平分线(尺规作图)、作已知线段的垂直平分线、线段问题(轴对称综合题) 【分析】本题考查了基本作图，轴对称的性质，掌握基本作图以及轴对称的性质是解题的关键； （1）根据中垂线的尺规作图法即可得到直线； （2）根据角平分线的尺规作图方法作出的角平分线 （3）找到点关于的对称点，再连接，与交于一点，就是点所在位置． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【作业7】(1) (2) 证明： ， ， 平分， ， ， ， ． 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、作角平分线(尺规作图)、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了角平分线的作法，平行线的性质，等腰三角形的判定及性质；理解角平分线的作法，掌握等腰三角形的判定及性质是解的关键． （1）由作法得平分，结合平行线的性质，即可求解； （2）由等角对等边得，由等腰三角形的性质，即可得证． 【详解】（1）解： ， ， ， 由作法得， 平分， ； （2）略 【作业8】(1)②①③ (2)① (3)． 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，作角平分线； （1）根据作角平分线的顺序进行判断，即可求解； （2）证明，根据全等三角形的性质，即可得证； （3）根据角平分线的性质可得，进而根据，即可求解． 【详解】（1）解：作的平分线的正确顺序是②①③； 故答案为：②①③； （2）解：能说明的依据是①； 如图所示，连接，． 在和中， ， 故选：①； （3）解：如图所示，过点作于点． ， ，， ． ， 即， ， 解得． 【作业9】(1) 证明：过点E作于点H 点E在的平分线上， ， ， ． 又 是的平分线． (2) 证明：， 在和中 ， 同理可得， ． 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、角平分线的判定定理 【分析】此题考查了角平分线的性质定理和判定定理，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）过点E作于点H，根据角平分线的性质定理和判定定理求解即可； （2）证明出，得到，同理可得，进而求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 【作业10】(1) 如图，即为所求． ； (2) ①如图，折痕即为所求； ②10 【知识点】作角平分线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查尺规作图-作角的平分线、作垂线，中垂线的性质； （1）根据作角平分线的方法步骤画图即可； （2）①根据尺规作垂线的方法作图即可； ②根据作图知，，利用三角形周长公式进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：①略 ②连接， 由作图知， ∴的周长为， 故答案为：10． 【作业11】(1) 证明：如图，过点P作于F，于G，于H， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴平分； (2)17.5 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、角平分线的性质定理 【分析】本题考查的是角平分线的性质，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． （1）过点P作于F，于G，于H，根据角平分线的性质得到，得到，再根据角平分线的判定证明； （2）根据三角形面积公式求出，再根据三角形面积公式计算，得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵的面积是10， ∴， ∴， ∴， ∵的面积是15，的面积是10， ∴， ∴， ∴的周长． 【作业12】(1) 解：如图所示，角平分线即为所求： (2) 证明：由（）知，是的角平分线， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴为等边三角形． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、作角平分线(尺规作图)、等边三角形的判定 【分析】本题考查了作图—基本作图，角平分线的作法，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，熟记角平分线的作法，掌握等边三角形的判定方法是解题的关键． （）根据角平分线的作法作出图形即可； （）由（）知，是的角平分线，，然后证明，所以，则有，从而求证． 【详解】（1）略 （2）略 【作业13】(1) (2) (3) 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、角平分线的性质定理、角平分线性质的实际应用 【分析】本题考查角平分线性质（角平分线分对边的比等于邻边比、角平分线关联三角形面积比与邻边比），解题关键是运用探索新知得出的角平分线性质，建立边与面积的比例关系． （1）依据探索新知结论，代入、得；设、，由，推出． （2）根据探索新知中，结合已知，直接得． （3）用平分的性质，结合，及，算；同理，由平分，结合，算．连接，因点到三边距离相等，结合，得，算出 由，代入计算得结果． 【详解】（1）解：过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H 由探索新知，是的角平分线时， ， ∵，， ∴． 设，， ∴， ∴． （2）解：过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H 由探索新知可知，对于，是角平分线时： ， ， ∵ ∴． ∵， ∴． 故答案为； （3）∵平分， ∴点D到，的距离相等， ∴， ∵， ∴，， 同理平分， ∴， ∴，， 连接，过点F作,，分别垂直于，，， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ∴平分， ∴点F到，，三边的距离相等， ∴， ∵ ∴，，， ∴ ． 故答案为． 【作业14】(1) 证明：如图，过点作，交的延长线于， ∵平分，，， ∴，， ∵，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； (2)的长为，的长为． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，正确作出辅助线是解题的关键： （1）过点作，交的延长线于，根据角平分线的性质可得，再证明△ ，进而得出答案； （2）根据全等三角形的性质得出，再证，可得，求出，进而可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为，的长为． 【作业15】(1) 证明：如图，过点分别作交的延长线于点，于点． 对角线平分， ． ， ． ， ． (2)10 【知识点】全等三角形综合问题、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形面积公式；（1）过点C分别作交的延长线于点F，于点G，根据角平分线和等角对等边即可得到，根据四边形对角和为和为平角即可得到，即可推出则得证；（2）延长交于点H，推出根据角平分线得到进而推出得到边相等，进而根据面积公式即可求得. 【详解】（1）略 （2）解：如图，延长交于点， 则． 平分， ． ， ，即是的中点， ， ． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $第5讲·角的平分线·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年人教版八年级数学上册 🍔 思维导图 🍟 课程目标 · 理解角平分线的定义，掌握用尺规作角平分线的方法 · 掌握角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等 · 掌握角平分线的判定：到角两边距离相等的点在角平分线上 · 会利用角平分线的性质求线段长度与三角形面积 · 能综合运用角平分线与全等三角形、垂直平分线知识解决几何问题 🍗 知识梳理 ✅️ 1.角平分线的定义与尺规作图 角平分线：从一个角的顶点引出的、把这个角分成两个相等角的射线 尺规作角平分线：以顶点为圆心画弧交两边，再分别以两交点为圆心、大于交点距离的长为半径画弧，两弧交点与顶点连线即角平分线 作图的原理：连接交点与两边上的点，可构造SSS全等三角形 角平分线把角分成两个相等的角，常用于角度计算 概念辨析例题：用尺规作∠AOB的平分线时，分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧交于点C，则射线OC是∠AOB的平分线，其依据是（　　）A．SSS　B．SAS　C．ASA　D．AAS 答案：A 解析：由作图过程可得OD=OE、CD=CE、OC=OC，三边对应相等，依据SSS判定三角形全等，从而∠AOC=∠BOC，故选A。 ✅️ 2.角平分线的性质 性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等 应用：由角平分线加垂线段，可求距离、比较大小、证明线段相等 常见辅助线：过角平分线上的点向角的两边作垂线 三角形三条内角平分线交于一点，交点到三边的距离相等 概念辨析例题：如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DE=3，则点D到AC的距离为（　　）A．2　B．3　C．4　D．6 答案：B 解析：AD是∠BAC的平分线，点D在角平分线上，角平分线上的点到角两边距离相等，故点D到AC的距离等于DE=3，故选B。 ✅️ 3.角平分线的判定 判定定理：到角两边距离相等的点在角平分线上 判定定理是性质定理的逆定理，常用于证明某点在角平分线上 应用：已知点到两边距离相等，可证该点所在射线平分此角 两把宽度相同的直尺紧靠角的两边，其交点必在角平分线上 概念辨析例题：如图，点P在∠AOB的内部，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，且PC=PD，则射线OP是∠AOB的平分线，其依据是（　　）A．角平分线上的点到两边距离相等　B．到角两边距离相等的点在角平分线上　C．全等三角形对应角相等　D．垂直的定义 答案：B 解析：PC=PD，即点P到∠AOB两边的距离相等，根据角平分线的判定定理，点P在∠AOB的平分线上，故选B。 ✅️ 4.角平分线的综合应用 角平分线与面积：用点到两边的距离作为高求三角形面积 三角形内心：三条角平分线交于一点，该点到三边距离相等 角平分线与垂直平分线结合：利用等距关系求线段长与角度 综合证明题注意通过作垂线构造全等三角形 概念辨析例题：在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，若BC=10，BD=6，则DE的长为（　　）A．2　B．3　C．4　D．5 答案：C 解析：AD平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB，由角平分线性质得DE=DC。又DC=BC-BD=10-6=4，所以DE=4，故选C。 🧀 知识总结表 核心概念 定义/性质 注意事项 角平分线 平分角，从顶点引出的射线 每个角只有一条内角平分线 角平分线的性质 点到角两边的距离相等 需向两边作垂线段 角平分线的判定 到两边距离相等的点在平分线上 是性质定理的逆定理 尺规作图 作角平分线 依据SSS判定全等 三角形内心 三条角平分线的交点 交点到三边距离相等 📩 核心考点 【考点1】角平分线的性质（第1-13题） · 角平分线上的点到角两边距离相等 · 已知角平分线求距离、比较线段大小 · 过角平分线上一点向两边作垂线 1．（24-25八年级上·河南许昌·期中）如图，在中，，，是上一点，连接，于点，于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·贵州·模拟预测）如图①，已知，用尺规作它的角平分线．如图②是用尺规作它的角平分线的 过程．其中第二步是，分别以D，E为圆心，以a为半径画弧，两弧在内交于点P．则关于a的说法正确的是（    ）． A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 3．（2024·湖北孝感·三模）如图，用直尺和圆规作的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·河南漯河·阶段检测）下列定理中，没有逆定理的是（   ） A．在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 B．两个全等三角形的对应角相等 C．线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等 D．两直线平行，内错角相等 5．（24-25八年级上·重庆云阳·期中）如图，平分交于点，于点，若，，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，两把相同的直尺的一边分别与射线、重合，另一边相交于点，则平分的依据是（   ） A．在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角的两边距离相等 C．线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 D．以上均不正确 7．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，已知平分，是上一点，于，若，则点与射线上某一点连线的长度可以是（　　） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·河北唐山·期中）如图，中，，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交于点E，交于点F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点P，画射线与相交于点D，则的大小为（   ） A． B． C． D． 9．（25-26九年级上·云南昆明·阶段检测）如图，平分，于点，点是射线上的一个动点，若，则的值不可能是（   ） A．4 B．3 C．2.5 D．1 10．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，是平分线上的一点，，垂足分别为，连接，交于点．已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 11．（24-25八年级上·河北唐山·期末）下列所作平分的方案，说法正确的是（   ） A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都不对 12．（25-26八年级上·全国·课后作业）在中，，，平分交于D，于E．若，则的长等于（   ） A． B． C． D． 13．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，平分，，则等于（   ） A． B． C． D． 【考点2】角平分线与三角形综合（第14-27题） · 角平分线找等角列方程求角度 · 结合全等三角形证明线段相等 · 三角形内角平分线交点性质应用 14．（24-25八年级上·安徽·期末）如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列说法中错误的是（   ） A． B． C． D． 15．（24-25七年级下·广东深圳·期末）在中，，和的平分线相交于，于点，的面积是，的面积是，则为（    ） A． B． C． D． 16．（24-25八年级上·福建泉州·期中）如图，在中，和的平分线交于点，延长交于，，分别在，上，，．则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 17．（2025·湖北·模拟预测）分别以的两边、向形外作等边和等边，、分别交、于点、，、相交于点，连接并延长交于点，则下列结论中正确的是（   ） ① ② ③ ④平分 ⑤平分． A．①②③ B．①②③④ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 18．（24-25八年级下·江西抚州·阶段检测）如图，在中，，，是的角平分线，如果点到的距离为2，那么的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 19．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，四边形中，对角线平分，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 20．（25-26八年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，是一个正在修建的公园．要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路的距离相等，且使得，则凉亭H是（　　） A．的角平分线与边上中线的交点 B．的角平分线与边上中线的交点 C．的角平分线与边上中线的交点 D．的角平分线与边上中线的交点 21．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，平分，点A，B是射线上的点，连接，按以下步骤作图： ①以点B为圆心，任意长为半径作弧，交于点C，交于点D； ②分别以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点E； ③作射线，交于点P． 若，则的度数为______． 22．（24-25八年级上·广东江门·阶段检测）如图，在中，是的角平分线，，则_______． 23．（24-25七年级上·河北邢台·期末）如图，与它的余角相等，在上，分别截取，，使 ，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，作射线，则的度数为_____． 24．（23-24八年级上·湖北黄石·期中）如图，在四边形中，对角线平分，，则____．    25．（25-26八年级上·河南信阳·阶段检测）如图，在中，，I为各内角平分线的交点，过点I作的垂线，垂足为H，若，则的长为______． 26．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，根据长方形中尺规作图的痕迹，得______． 27．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，是的外角，平分，且与的延长线交于点，是线段上的一个动点（点不与点重合）．若，设，则的取值范围是___________． 【考点3】角平分线与面积计算（第28-40题） · 用点到两边距离作高求面积 · 内心到三边距离相等求面积 · 面积法结合等距关系列式 28．（24-25八年级下·广东梅州·阶段检测）如图，和是中和的平分线的交点，若点O到的距离为3，到的距离为，到的距离为，则 _________ 29．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）在中，，是的角平分线，，，． （1）点C到的距离为________； （2）的面积为________． 30．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，若于B，于C，且，，则____________．    31．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，的三边，，的长分别为6，4，8，其三条角平分线将分成3个三角形，则_____． 32．（25-26八年级上·湖北随州·期中）如图，在中，于点，点为上一点，，若的面积是，则的长是___________． 33．（23-24八年级下·福建宁德·期中）如图，在中，边的垂直平分线与的外角平分线交于点P，过点P作于点D，于点E．若，．则的长度是______． 34．（25-26八年级上·重庆·阶段检测）如图，，为角平分线上一点，，若，，则______． 35．（24-25八年级下·辽宁朝阳·期中）如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则下列结论中正确的有________． ①是的平分线；②；③；④点在的垂直平分线上； ⑤；⑥若，则到点到的距离是． 36．（25-26八年级上·贵州安顺·期末）如图，P是内射线上的一点，，，且，若，则的度数是________． 37．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，点P在内部，于点于点，当_______时，点P在的平分线上． 38．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，小杰将两把宽度相等的矩形直尺放置在上，两把直尺的接触点为，边与其中一把直尺边缘的交点为，点、在这把直尺上的刻度读数分别是、，则的长度是________． 39．（23-24八年级上·湖北十堰·期末）如图，是的角平分线，于E，M、N分别是边、上的点，．若和的面积分别为30和16，则的面积是__________． 40．（24-25七年级下·广东佛山·期中）如图，在中，，是的角平分线，于点，连接，，，，则的面积是 ________． 【考点4】角平分线证明与尺规作图（第41-45题） · 尺规作角平分线保留作图痕迹 · 判定定理证明点在角平分线上 · 综合证明注意作垂线构造全等 41．（24-25八年级上·江苏南京·阶段检测）定理证明：三角形的三条角平分线相交于一点． 42．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，是的角平分线，于点E，，，，求的面积． 43．（25-26八年级上·湖北十堰·期中）如图，在中，平分，D是的中点，于点E，于点F．    (1)求证： (2)求证：． 44．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）电信部门要修建一座电视信号发射塔 P，按照设计要求，发射塔 P 到两城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．请在图中作出发射塔P 的最合理位置．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 45．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，已知，利用尺规作图法在边上求作一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 课后巩固 🍬 复习建议 · 角平分线上的点到角两边距离相等，注意作垂线段 · 到角两边距离相等的点在角平分线上，用于证明角平分线 · 尺规作角平分线的依据是SSS全等 · 三条角平分线交于一点，交点到三边距离相等 · 综合题先标出已知角与等距关系，再列等式求解 【作业 1】（23-24七年级下·山东烟台·期末）在中，，，平分，交于点D． (1)用尺规作出线段的垂直平分线交于点M，交于点N．（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，求证：． 【作业 2】（25-26八年级上·全国·单元复习）如图，已知平分，，，点E，D分别为垂足，． 求证：． 【作业 3】（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，已知：，，，垂足为E，，垂足为F． (1)求证：； (2)已知，求的长． 【作业 4】（24-25八年级上·广东肇庆·期中）如图，在中，，． (1)请用尺规作出的平分线，交于点D； (2)若，求的面积． 【作业 5】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知，利用尺规作图作出的内角的平分线． 【作业 6】（24-25八年级下·甘肃兰州·阶段检测）作图题（不写作法，保留作图痕迹） (1)如图1，作线段的垂直平分线； (2)如图2，作的角平分线； (3)如图3，要在公路上修一个车站，使得与，两个地方的距离和最小，请在图中画出的位置． 【作业 7】（21-22八年级上·广东江门·阶段检测）如图，，以点为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交，于，两点，再分别以，为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点，作射线，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，垂足为，求证：． 【作业 8】（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，作的平分线． (1)下列操作中，作的平分线的正确顺序的序号依次为________． ①分别以点为圆心，大于的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点P； ②以点B为圆心，适当长为半径作圆弧，交于点M，交于点N； ③作射线，交于点D． (2)证明的理论依据是________（填序号）． ①SSS；②ASA；③AAS；④角平分线上的点到角两边的距离相等． (3)过点D作于E，若，，，求的长． 【作业 9】（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，点E在的平分线上，过点E作于点F，于点G，且． (1)求证：是的平分线： (2)求证：． 【作业 10】（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图，在中，．请用无刻度的直尺和圆规完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法），并回答问题： (1)在图1中，作的平分线； (2)在图2中，把折叠，使得点与点重合，折痕分别交，于点，． ①请作出折痕； ②连接，若，，则的周长为______． 【作业 11】（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，的外角和的平分线相交于点P，连接． (1)求证：平分； (2)若，的面积是10，的面积是15，求的周长． 【作业 12】（24-25八年级上·天津·期中）在中，． (1)尺规作图：在图中作的角平分线，交于点（ 不写作法，保留作图痕迹）； (2)如图，在（）条件，若，求证：为等边三角形． 【作业 13】（24-25八年级下·山东青岛·期末）探索新知：如图①，是的角平分线，与之间有怎样的关系呢？过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H． 平分 ， 即． 新知应用： (1)如图②，是的角平分线，若，则_________； (2)如图②，是的角平分线，若，则_________； (3)如图③，平分，平分，若，，则_________（用含m的式子表示）． 【作业 14】（25-26八年级上·河南新乡·期中）如图，四边形中，平分，，于． (1)求证：； (2)若，，求和的长． 【作业 15】（25-26八年级上·全国·课后作业）如下图，四边形中，，对角线平分． (1)求证：． (2)过点作于点．若的面积为，求的面积． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $