第14章·全等三角形·期中复习·培优提升讲义（知识梳理+典例+练习）· 2026-2027学年人教版八年级数学上册 -

第14章·全等三角形·期中复习·培优提升讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年人教版八年级数学上册 🍔 思维导图 🍟 课程目标 · 理解全等三角形的概念与性质，掌握对应边、对应角相等的结论 · 掌握三角形全等的五种判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL · 能根据已知条件灵活选择判定方法证明三角形全等 · 掌握角平分线的性质定理与尺规作图方法 · 能综合运用全等三角形的性质与判定解决几何证明与计算问题 🍗 知识梳理 ✅️ 1.全等三角形 全等三角形：能够完全重合的两个三角形 对应顶点、对应边、对应角分别相等 全等三角形对应边上的中线、高线、角平分线相等，面积相等 找对应元素：按顶点字母顺序确定对应关系 概念辨析例题：已知△ABC≌△DEF，且∠A=50°，∠B=60°，则∠F的度数为（　　）A．50°　B．60°　C．70°　D．80° 答案：C 解析：△ABC≌△DEF，对应角相等且∠A对应∠D、∠B对应∠E、∠C对应∠F。∠C=180°-50°-60°=70°，所以∠F=70°。故选C。 ✅️ 2.全等三角形的判定 SSS：三边分别相等 SAS：两边及夹角分别相等 ASA：两角及夹边分别相等 AAS：两角及其中一角的对边分别相等 HL：直角三角形斜边和一条直角边分别相等 概念辨析例题：如图，已知AB=DE，∠B=∠E，要使△ABC≌△DEF，还需添加的条件是（　　）A．AC=DF　B．BC=EF　C．∠A=∠D　D．以上都可以 答案：B 解析：已有AB=DE、∠B=∠E（SAS需要两边夹角），再需BC=EF即可用SAS判定全等。故选B。 ✅️ 3.角平分线 角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等 角平分线的判定：到角两边距离相等的点在角平分线上 尺规作图：作一个角等于已知角、作角平分线 角平分线与全等结合：常构造垂线段或截长补短 概念辨析例题：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，若PD=3，则PE的值为（　　）A．2　B．3　C．4　D．6 答案：B 解析：角平分线上的点到角两边距离相等，所以PE=PD=3。故选B。 ✅️ 4.全等三角形的综合应用 证明线段相等或角相等：构造全等三角形 添加条件使全等：根据已知条件选判定方法 几何综合题：多次使用全等、结合内角和与外角 尺规作图题：会作角平分线、作线段、作角等于已知角 概念辨析例题：已知△ABC中，AD是∠BAC的平分线，且∠B=∠C，则AB与AC的关系是（　　）A．AB>AC　B．AB=AC　C．AB<AC　D．无法确定 答案：B 解析：∠B=∠C，等角对等边，所以AB=AC。故选B。 🧀 知识总结表 核心概念 判定/性质 注意事项 全等三角形 对应边角分别相等 按顶点顺序找对应 SSS 三边相等 适用任意三角形 SAS 两边及夹角相等 夹角必须是两边的夹角 ASA/AAS 两角及一边 ASA是夹边，AAS是对边 HL 斜边+直角边 仅直角三角形 📩 核心考点 【考点1】全等三角形的性质与概念（第1-12题） · 按顶点顺序确定对应元素 · 全等则对应边角相等 · 求角用内角和 1．（2026九年级下·四川·专题练习）如图，平分，于点，若，则到的距离是（  ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，点E、A、D、B在同一直线上，交于点O，，增加下列条件不能推导出的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·四川凉山·阶段检测）如图所示，已知四边形中，，，，，点为线段的中点，点在线段上以2的速度由点向点运动，同时，点在线段上，自点向点运动．当点的运动速度为（   ）时，能够使与全等 A．2或3 B．2或4 C．3或 D．或 4．（25-26八年级上·福建厦门·期中）图，已知图中的两个三角形全等，则的度数为（   ） A． B． C． D．无法确定 5．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·山西吕梁·阶段检测）贵州的传统建筑多采用木结构，其中榫卯结构是一种常见的连接方式，不仅美观，而且具有很强的稳定性和耐久性．如图，工匠将两块全等的木楔水平钉入长为的长方形木条中（点在同一条直线上），若，则木楔的长为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·四川成都·期中）下列说法正确的是(   ) A．若，则与互余 B．面积相等的三角形是全等三角形 C．相等的角是对顶角 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 8．（25-26七年级下·重庆·期末）如图，，点在同一条直线上，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．（26-27八年级上·山东聊城·阶段检测）如图所示两个三角形全等，则x的值是（     ） A．30 B．45 C．50 D．85 10．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，，为三角形内一点，连接，，点为线段的中点．若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 11．（26-27八年级上·宁夏吴忠·阶段检测）已知图中的两个三角形全等，则的度数是______． 12．（21-22八年级上·江苏宿迁·阶段检测）若，，则______． 【考点2】全等三角形的判定（第13-29题） · 根据已知条件选SSS/SAS/ASA/AAS · 添加条件补全判定 · HL用于直角三角形 13．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，在中，是的角平分线，若，则的面积是（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 14．（24-25七年级下·重庆·阶段检测）如图，在和中，已知，下列添加的条件中不能证明的是（   ）    A． B． C． D． 15．（23-24七年级下·山西运城·期末）如图，在与中，，则可判定的根据是（   ） A． B． C． D． 16．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在和中，点A，E，B，D在同一条直线上，，只添加一个条件，能判定的是（   ） A． B． C． D． 17．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图，是等腰直角三角形，将直角三角形的直角顶点放在的中点上，转动，设分别交，的延长线于点，连，有下列结论：①；②若，，则；③；④，其中正确的结论有（   ）个 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 18．（25-26八年级上·湖北咸宁·期末）如图，和中，B，E，C，F在同一直线上，，，添加一个条件________，使． 19．（24-25八年级上·贵州遵义·阶段检测）如图，是上一点，交于点，，请添加一个条件___________，通过证明两个三角形全等，使得．（只添一种情况即可）． 20．（24-25八年级上·山西忻州·期中）如图，在和中，已知，，再添加一个条件使成立，那么添加的条件是____________． 21．（24-25八年级上·山东聊城·阶段检测）如图，小明不慎将一块三角形的玻璃打碎为三块，他想只带其中一块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形玻璃，那么他应该带去的一块是______． 22．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，，且A、B、D、E四点共线，线段，，则____． 23．（23-24八年级上·云南保山·期末）如图，点C，B，E，F在一条直线上，于B，于E，，请你添加一个条件：________，使得． 24．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，点在上，，，．若．则_________． 25．（25-26八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，已知，，要使，可以补充条件____（填写一个即可）． 26．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）如图，在中，，点D是边上的一点，过点A，D分别画，的垂线相交于点E，且．若，，则_____． 27．（2024·重庆·三模）如图，中，于点，于点，与相交于点，已知，，则的面积为______． 28．（23-24七年级下·吉林长春·期中）如图，在中，，，点D在边上，且，点E、F在线段上．，的面积为18，则与的面积之和___________． 29．（23-24八年级上·重庆合川·期末）如图，在与中，，若，则的长为_________． 【考点3】角平分线与尺规作图（第30-41题） · 角平分线上点到两边等距 · 尺规作角平分线/等角 · 垂线段构造 30．（25-26八年级上·福建南平·期末）如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，由得到，判断这两个三角形全等的依据是（  ）． A． B． C． D． 31．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知直线相交于点，点在直线上．利用直尺和圆规作，下列结论错误的是（   ） A．弧②与弧①的半径相等 B． C．的理论依据是“同位角相等，两直线平行” D． 32．（23-24八年级上·湖北孝感·期中）如图，已知，点C为射线上一点，用尺规按如下步骤作图：①以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交于点D，交于点E；②以点C为圆心，以长为半径作弧，交于点F；③以点F为圆心，以长为半径作弧，交前面的弧于点G；④连接并延长交于点H．则的度数为（    ） A． B． C． D． 33．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在中，D为边上一点，现要利用尺规作图过点D作，下列作法不可行的是（   ）． A． B． C． D． 34．（23-24八年级上·辽宁盘锦·阶段检测）如图，中，的平分线交于点，过点作，，垂足分别为，，下面四个结论：①；②垂直平分；③一定平行；④；其中正确的是（    ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 35．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，用尺规作图：作的平分线的依据是 __________(“”“”“”或“”)． 36．（2025·贵州黔南·一模）如图，在中，以点O为圆心，以适当长度为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接，过点P作交于点D，若，则的长为_______． 37．（24-25八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，，和分别平分和，过点P，且与垂直．若，则点P到的距离是________． 38．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，是的角平分线，于点，连接．，，，则斜边上的高是______，的面积是______． 39．（26-27八年级上·山东聊城·阶段检测）如图，平分，于点，点在上，若，，则的面积为_____． 40．（25-26八年级下·山西太原·阶段检测）如图，直线，点E，F分别是直线，上的点，和的平分线交于点G，于点H，若，则直线与之间的距离为________． 41．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，是的角平分线，，．过点作，垂足为，若，则的面积为_____． 【考点4】全等三角形综合（第42-52题） · 构造全等证线段角相等 · 多次全等综合推理 · 结合内角和与外角计算 42．（2025·湖南湘西·二模）如图，等腰直角三角形的直角顶点与坐标原点重合，分别过点、作轴的垂线，垂足为、，点的坐标为，则线段的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．5 43．（25-26八年级上·福建福州·阶段检测）如图，，，，则的长是 _______ ． 44．（23-24七年级下·广东茂名·单元测试）如图，在中，点E在上，于点D，，于点F，若，，则的度数为________． 45．（23-24八年级下·湖南永州·期末）如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧交于、于，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于，下列三个结论：①是的平分线；②；③．其中正确的有________．（填序号） 46．（21-22七年级下·四川成都·期中）如图，已知，则的度数为_____ 47．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知，，，则图中共有________对全等三角形． 48．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）下列命题是真命题的是___________（填序号）．①内错角相等；②周长相等的两个三角形全等；③若，则；④若，则． 49．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，在中，，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形和正方形，过点B作于点I，延长交于点J，给出下列结论：①．②．③过点B作于点I，延长交于点J，则．④若J是中点，则．其中正确的结论有________（只填写序号） 50．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段检测）如图，中，． (1)尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）： ①作的角平分线，交于点H； ②作边的垂直平分线，垂足为点D，交于点O； (2)连接，，求证：． 51．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，已知，请用尺规作图法，在线段上方求作一点，使得点到点和点的距离相等，且到边，的距离也相等． 52．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）已知：如图，，点，点在上，．求证：． 📊 课后巩固 🍬 复习建议 · 全等找对应元素按顶点顺序 · 五种判定方法熟记适用条件 · SAS夹角、HL直角三角形要区分 · 角平分线性质用于距离问题 · 综合题先证全等再得结论 【作业1】（期中真题必刷基础60题（20个考点专练）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期中真题分类汇编（人教版，吉林专用））在一次数学课上．王老师在黑板上画出一幅图（如图），并写下了四个等式：①②③④． (1)上述四个条件中．由哪两个条件可以得到？用序号写出所有成立的情形； (2)请选择（1）中的一种情形．写出证明过程． 【作业2】（24-25八年级上·全国·期末）已知：如图，点A，B，C，D在同一直线上，，，． 求证：． 【作业3】（25-26七年级上·陕西咸阳·期末）如图，点在的边上，请用尺规作图法，在射线的上方，求作，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【作业4】（23-24八年级上·吉林·阶段检测）如图，在中，为的平分线，于点E，于点F，的面积为，，，求的长． 【作业5】（20-21八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，是的平分线，分别是和的高，垂足为E、F． (1)求证：； (2)若，求的长． 【作业6】（24-25八年级上·江西赣州·阶段检测）如图，在和中，点A，E，F，C在同一条直线上，有下面四个论断：（1），（2），（3），（4）．请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，组成一个真命题，并给予证明． 【作业7】（23-24八年级上·河南驻马店·期中）如图，已知在等腰和中，，，，，连结、，试着判断与在长度和位置上有何关系，并证明你的结论． 【作业8】（23-24八年级上·福建莆田·阶段检测）在给出的图形中，完成以下作图（尺规作图，保留作图痕迹）：    ①作的平分线，交于点； ②延长到，使，连接． 【作业9】（24-25八年级上·湖南永州·期中）在中，，D是上的一动点（点D不与点B、C重合），以为边在其右侧作，使，，连接． (1)如图1，点D在线段上，且． 求证：，并求的度数． (2)设，． ①如图2，点D在线段上，探究和之间的数量关系，并证明你的结论． ②如图3，点D在的延长线上，写出和的关系，并证明． 【作业10】（25-26八年级上·辽宁鞍山·期中）红星学校兴趣小组开展了测量学校教学楼高度的实践活动，测量方案如下表： 课题 测量学校教学楼高度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 （1）在教学楼外，选定一点 C； （2）测量教学楼顶点A 的视线与地面夹角； （3）测的长度； （4）放置一根与长度相同的标杆，垂直于地面； （5）测量标杆顶部E的视线与地面夹角． 测量数据 ， ， ， 请你根据兴趣小组测量方案及数据，计算教学楼的高度． 【作业11】（23-24九年级下·陕西宝鸡·阶段检测）已知：如图，，平分，平分，求证：． 【作业12】（25-26八年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，在中，，是边上的高，是边上的高，、相交于点，且． (1)求证：． (2)动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为秒，点是直线上的一点且．是否存在值，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的值；若不存在，请说明理由． 【作业13】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，四边形中，，为的中点，平分．求证：． 【作业14】（25-26八年级上·上海·期末）如图，有三条公路a、b、c两两相交于A、B、C三点．现要建设一个商场P，使得它到三条公路的距离相等． (1)小海同学发现，符合条件的商场P的位置一共有4个，其中有一个在的内部．请用尺规作出在外部的另外3个符合要求的点P（保留作图痕迹，不必写作法，可将作出的三个点分别标记为、和）； (2)猜想：请你写出根据（1）的要求作出的三个点所围成的三角形所具有的一个特征：三角形 ． 【作业15】（24-25七年级下·江苏南京·阶段检测）完成下面的证明过程，并在括号内填上推理的依据． 已知：如图，在四边形中，，，点E，F分别在边上，平分交于点M，平分交于点．求证：． 证明：在四边形中， ，（已知） ________．（两直线平行，同旁内角互补） ，（已知） ，（________） ________，（同旁内角互补，两直线平行） ________，（两直线平行，内错角相等） 平分，平分，（已知） ，，（________） ，（等量代换） ．（________） 【作业16】（25-26八年级上·吉林·期末）如图，已知，点在线段上，且．请从①；②；选择其中一个选项作为已知条件，使得． (1)你选的条件为______（只填写一个序号）； (2)添加条件后，证明． 【作业17】（24-25八年级上·江西上饶·期中）（1）如图1，，，请仅用无刻度的直尺作的角平分线； （2）如图2，，，请仅用无刻度的直尺作的角平分线；    【作业18】（25-26八年级下·全国·单元复习）两边分别相等且其中一组等边的对角（对角是钝角）相等的两个三角形全等吗？如果不全等，请举一反例；如果全等，请加以证明． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14章·全等三角形·期中复习·培优提升讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年人教版八年级数学上册 参考答案与试题解析 🍔 思维导图 🍟 课程目标 · 理解全等三角形的概念与性质，掌握对应边、对应角相等的结论 · 掌握三角形全等的五种判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL · 能根据已知条件灵活选择判定方法证明三角形全等 · 掌握角平分线的性质定理与尺规作图方法 · 能综合运用全等三角形的性质与判定解决几何证明与计算问题 🍗 知识梳理 ✅️ 1.全等三角形 全等三角形：能够完全重合的两个三角形 对应顶点、对应边、对应角分别相等 全等三角形对应边上的中线、高线、角平分线相等，面积相等 找对应元素：按顶点字母顺序确定对应关系 概念辨析例题：已知△ABC≌△DEF，且∠A=50°，∠B=60°，则∠F的度数为（　　）A．50°　B．60°　C．70°　D．80° 答案：C 解析：△ABC≌△DEF，对应角相等且∠A对应∠D、∠B对应∠E、∠C对应∠F。∠C=180°-50°-60°=70°，所以∠F=70°。故选C。 ✅️ 2.全等三角形的判定 SSS：三边分别相等 SAS：两边及夹角分别相等 ASA：两角及夹边分别相等 AAS：两角及其中一角的对边分别相等 HL：直角三角形斜边和一条直角边分别相等 概念辨析例题：如图，已知AB=DE，∠B=∠E，要使△ABC≌△DEF，还需添加的条件是（　　）A．AC=DF　B．BC=EF　C．∠A=∠D　D．以上都可以 答案：B 解析：已有AB=DE、∠B=∠E（SAS需要两边夹角），再需BC=EF即可用SAS判定全等。故选B。 ✅️ 3.角平分线 角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等 角平分线的判定：到角两边距离相等的点在角平分线上 尺规作图：作一个角等于已知角、作角平分线 角平分线与全等结合：常构造垂线段或截长补短 概念辨析例题：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，若PD=3，则PE的值为（　　）A．2　B．3　C．4　D．6 答案：B 解析：角平分线上的点到角两边距离相等，所以PE=PD=3。故选B。 ✅️ 4.全等三角形的综合应用 证明线段相等或角相等：构造全等三角形 添加条件使全等：根据已知条件选判定方法 几何综合题：多次使用全等、结合内角和与外角 尺规作图题：会作角平分线、作线段、作角等于已知角 概念辨析例题：已知△ABC中，AD是∠BAC的平分线，且∠B=∠C，则AB与AC的关系是（　　）A．AB>AC　B．AB=AC　C．AB<AC　D．无法确定 答案：B 解析：∠B=∠C，等角对等边，所以AB=AC。故选B。 🧀 知识总结表 核心概念 判定/性质 注意事项 全等三角形 对应边角分别相等 按顶点顺序找对应 SSS 三边相等 适用任意三角形 SAS 两边及夹角相等 夹角必须是两边的夹角 ASA/AAS 两角及一边 ASA是夹边，AAS是对边 HL 斜边+直角边 仅直角三角形 📩 核心考点 【考点1】全等三角形的性质与概念（第1-12题） · 按顶点顺序确定对应元素 · 全等则对应边角相等 · 求角用内角和 1．（2026九年级下·四川·专题练习）如图，平分，于点，若，则到的距离是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查角平分线的知识，解题的关键是掌握角平分线的性质定理，根据题意，则到的距离即为， 【详解】∵平分，于点， ∴到的距离即为， ∵， ∴到的距离为， 故选：C． 2．（24-25七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，点E、A、D、B在同一直线上，交于点O，，增加下列条件不能推导出的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，等边对等角，根据题意可证明，，再结合全等三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 添加条件，则，即，则可利用证明，故A不符合题意； 添加条件，则可利用证明，故B不符合题意； 添加条件，不可以利用证明，故C符合题意； 添加条件，则可利用证明，故D不符合题意； 故选：C． 3．（24-25八年级上·四川凉山·阶段检测）如图所示，已知四边形中，，，，，点为线段的中点，点在线段上以2的速度由点向点运动，同时，点在线段上，自点向点运动．当点的运动速度为（   ）时，能够使与全等 A．2或3 B．2或4 C．3或 D．或 【答案】A 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据①当时，；②当时，两种情况进行讨论，从而可求点的运动速度． 【详解】解：设运动时间为； 当时，， ∵点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动． ∴的运动速度等于点运动速度； ②当时，， ∵点为线段的中点，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．，， ∴ ， ， ∴， ∴点的运动速度：； 故选：A． 4．（25-26八年级上·福建厦门·期中）图，已知图中的两个三角形全等，则的度数为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查三角形全等的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据全等三角形对应边的夹角为对应角解答即可． 【详解】解：∵两个三角形全等， 且夹着的两边与夹着的两边都为，对应相等， ∴， 故选：A． 5．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的对应角相等，结合三角形的内角和定理即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． 故选：C． 6．（24-25八年级上·山西吕梁·阶段检测）贵州的传统建筑多采用木结构，其中榫卯结构是一种常见的连接方式，不仅美观，而且具有很强的稳定性和耐久性．如图，工匠将两块全等的木楔水平钉入长为的长方形木条中（点在同一条直线上），若，则木楔的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是利用全等三角形对应边相等的性质，结合已知线段长度进行计算． 根据全等三角形得出，再结合和的长度，通过线段之间的关系求出的长． 【详解】解： ， ， ∵，点在同一条直线上， ∴ 木楔的长为4cm． 故选：B． 7．（24-25七年级下·四川成都·期中）下列说法正确的是(   ) A．若，则与互余 B．面积相等的三角形是全等三角形 C．相等的角是对顶角 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】A 【知识点】全等三角形的概念、对顶角相等、与余角、补角有关的计算、垂线的定义理解 【分析】本题综合考查了全等三角形的判定，三角形的面积，垂线以及对顶角、余角．难度不大，掌握相关的定义及性质即可作出正确的判断根据余角定义、全等三角形判定、对顶角性质及垂线性质逐一分析选项． 【详解】解：A． 若，根据余角的定义，与互为余角，正确． B． 面积相等的三角形不一定全等．例如底和高不同但面积相等的三角形，形状不同，错误． C． 相等的角不一定是对顶角，如平行线中的同位角也可能相等，错误． D． 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直需满足“同一平面内”和“直线外一点”的条件，题目未限定，错误． 故选：A． 8．（25-26七年级下·重庆·期末）如图，，点在同一条直线上，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】全等三角形的性质 【分析】根据全等三角形的性质得，，结合即可． 【详解】解： ，， ∴，， 则． 9．（26-27八年级上·山东聊城·阶段检测）如图所示两个三角形全等，则x的值是（     ） A．30 B．45 C．50 D．85 【答案】A 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质 【分析】根据三角形内角和定理求出，根据全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：如图，， ∵两个三角形是全等三角形， ∴， 即． 10．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，，为三角形内一点，连接，，点为线段的中点．若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】延长至，使得，首先证明，由全等三角形的性质可得，；在上取一点，使得，证明，由全等三角形的性质可得，，进而可得，易得，设，，结合以及，可得，整理即可获得答案． 【详解】解：如下图，延长至，使得，    ∵点为线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在上取一点，使得， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设，， ∵， ∴， 即， ∵，即， 又∵， ∴， ∴， ∴，即． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质等知识，正确作出辅助线构造全等三角形和等腰三角形是解题关键． 11．（26-27八年级上·宁夏吴忠·阶段检测）已知图中的两个三角形全等，则的度数是______． 【答案】/度 【知识点】全等三角形的性质 【分析】右边图中是、两条边的夹角，在左边图中找到、两条边的夹角，即可得到∠的度数． 【详解】解：是、两条边的夹角， 在左边图中找到、两条边的夹角，其大小为， ∴． 12．（21-22八年级上·江苏宿迁·阶段检测）若，，则______． 【答案】/度 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形对应角相等的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确判断出对应角是解题的关键．根据三角形的内角和定理求出，再根据全等三角形对应角相等解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ 故答案为： 【考点2】全等三角形的判定（第13-29题） · 根据已知条件选SSS/SAS/ASA/AAS · 添加条件补全判定 · HL用于直角三角形 13．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，在中，是的角平分线，若，则的面积是（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】考查角平分线的性质，过点作于，先求出的长，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解，熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键． 【详解】解：如图，过点作于， ∵， 是的角平分线    ， 的面积， 故选：C． 14．（24-25七年级下·重庆·阶段检测）如图，在和中，已知，下列添加的条件中不能证明的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定方法：、、、、依次对各选项分析即可判断．注意：、不能判定两个三角形全等． 【详解】解：∵，， ∴A．添加，根据可判定，故不符合题意； B．添加，根据可判定，故不符合题意； C．添加，不能判定，故符合题意； D．添加，根据可判定，故不符合题意； 故选C． 15．（23-24七年级下·山西运城·期末）如图，在与中，，则可判定的根据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．根据题目所给条件结合全等三角形的判定方法解答即可． 【详解】解：在和中， ∵， ∴． 故选B． 16．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在和中，点A，E，B，D在同一条直线上，，只添加一个条件，能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题需要根据三角形全等的判定定理，结合已知条件、，分析每个选项添加的条件能否判定． 【详解】解：由，得，且 A、，“SSA”不能判定全等，不符合题意； B、，则，即。此时，，根据“”可判定，符合题意； C、是已知推出的，非添加条件，无法判定，不符合题意； D、，不满足全等判定条件，不符合题意． 故选：B 【点睛】本题考查三角形全等的判定定理与平行线的性质，掌握利用及平行线性质判定三角形全等是关键． 17．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图，是等腰直角三角形，将直角三角形的直角顶点放在的中点上，转动，设分别交，的延长线于点，连，有下列结论：①；②若，，则；③；④，其中正确的结论有（   ）个 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线，熟练掌握全等三角形的判定和性质，理解等腰直角三角形的性质是解决问题的关键．①连接，根据等腰直角三角形得，，先证得，进而得为等腰直角三角形，则，据此可求出的度数，进而可对结论①进行判断；②由得，再由得，然后根据可对结论②进行判断；③在中，不一定是，因此不一定成立，再根据可对结论③进行判断；④根据点D为的中点得，再根据得，然后由，得，进而得，由此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①连接，如图所示： 是等腰直角三角形，点D为底边的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ，故结论①正确； ， ， ， ， ， ，故结论②正确； 在中，不一定等于， 不一定成立， ， 不一定成立，故结论③不正确； 点D为的中点， ， ， ， 又， ， ， ，故结论④正确． 综上所述：正确的结论是①②④，共3个． 故选：B． 18．（25-26八年级上·湖北咸宁·期末）如图，和中，B，E，C，F在同一直线上，，，添加一个条件________，使． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是关键．根据全等三角形的判定方法，选择“边角边”或“角角边”或“角边角”均可． 【详解】解：， ， ， 若添加，结合，则可通过“边角边”判定； 若添加，结合，则可通过“角角边”判定； 若添加，结合，则可通过“角边角”判定； 故答案为：（答案不唯一）． 19．（24-25八年级上·贵州遵义·阶段检测）如图，是上一点，交于点，，请添加一个条件___________，通过证明两个三角形全等，使得．（只添一种情况即可）． 【答案】或 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定解答．根据题目中的条件和全等三角形的判定，可以写出添加的条件，注意本题答案不唯一． 【详解】解：∵， ∴，， ∴添加条件，可以使得， 添加条件，也可以使得， ∴； 故答案为：或． 20．（24-25八年级上·山西忻州·期中）如图，在和中，已知，，再添加一个条件使成立，那么添加的条件是____________． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，根据题意已有一条边对应相等，一个角对应相等，据此根据全等三角形的判定定理添加条件即可． 【详解】解：添加条件，证明如下： 在和中， ， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 21．（24-25八年级上·山东聊城·阶段检测）如图，小明不慎将一块三角形的玻璃打碎为三块，他想只带其中一块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形玻璃，那么他应该带去的一块是______． 【答案】③ 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定方法，根据全等三角形的判定方法“角边角”可以判定应当带③去． 【详解】解：①只保留了一个角及部分边，不能配成和原来一样的三角形玻璃； ②则只保留了部分边，不能配成和原来一样的三角形玻璃； 而③不但保留了一个完整的边还保留了两个角，所以应该带去③，根据全等三角形判定可以配出一块和原来一样的三角形玻璃． 故答案为：③． 22．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，，且A、B、D、E四点共线，线段，，则____． 【答案】2 【知识点】全等三角形的性质 【分析】此题考查了全等三角形的性质．根据全等三角形对应边相等得到，即可得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：2 23．（23-24八年级上·云南保山·期末）如图，点C，B，E，F在一条直线上，于B，于E，，请你添加一个条件：________，使得． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了全等三角形的判定．根据全等三角形的判定方法添加条件． 【详解】解：，， ， ， 当添加时，， 当添加（或时，， 当添加时，， 当添加（或时，． 故答案为：（或或或或或）．答案不唯一 24．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，点在上，，，．若．则_________． 【答案】 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明，可得，即可求解． 【详解】解：， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 25．（25-26八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，已知，，要使，可以补充条件____（填写一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．添加，可以通过“”判定两三角形全等；添加，可以通过“”判定两三角形全等；添加，可以通过“”判定两三角形全等． 【详解】添加，可以通过“”判定两三角形全等； 添加，可以通过“”判定两三角形全等； 添加，可以通过“”判定两三角形全等， 故答案为：或或（答案不唯一）． 26．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）如图，在中，，点D是边上的一点，过点A，D分别画，的垂线相交于点E，且．若，，则_____． 【答案】3 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，利用等量代换可得，证明，可得，再利用求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵在中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 27．（2024·重庆·三模）如图，中，于点，于点，与相交于点，已知，，则的面积为______． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、与三角形的高有关的计算问题 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，根据证明，得到，再根据的面积解答即可求解，证明是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴的面积， 故答案为：． 28．（23-24七年级下·吉林长春·期中）如图，在中，，，点D在边上，且，点E、F在线段上．，的面积为18，则与的面积之和___________． 【答案】12 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，和三角形的面积求法，能够证明是解题的关键．先根据与等高，底边值为，得出与面积比为1∶2，再证，即可得出和的面积和，即可选出答案． 【详解】标记角度如下： ∵在等腰中，，， ∴与等高，底边比值为 ∴与的面积比为， ∵的面积为18 ∴的面积为6，的面积为12， ∵,即， ∴， ∵，，， ∴， ∴ ∴与的面积相等， ∴， 故答案为：12． 29．（23-24八年级上·重庆合川·期末）如图，在与中，，若，则的长为_________． 【答案】4 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、两直线平行同位角相等 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质．熟练掌握平行线的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 由，可得，证明，则，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， 故答案为：4． 【考点3】角平分线与尺规作图（第30-41题） · 角平分线上点到两边等距 · 尺规作角平分线/等角 · 垂线段构造 30．（25-26八年级上·福建南平·期末）如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，由得到，判断这两个三角形全等的依据是（  ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】尺规作一个角等于已知角、用SSS证明三角形全等（SSS） 【分析】本题考查尺规作图与全等三角形的判定， 熟练掌握全等三角形的判定定理是关键． 根据尺规作图的痕迹，判断对应的判定定理即可． 【详解】解：由尺规作图的痕迹可知，，，符合根据判定三角形全等． 故选：C． 31．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知直线相交于点，点在直线上．利用直尺和圆规作，下列结论错误的是（   ） A．弧②与弧①的半径相等 B． C．的理论依据是“同位角相等，两直线平行” D． 【答案】D 【知识点】尺规作一个角等于已知角、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题主要考查了尺规作图—作与已知角相等的角，平行线的性质与判定，由作图方法可知，弧②与弧①的半径相等，，则可由同位角相等，两直线平行得到，再由平行线的性质可得，根据现有条件无法得到，据此可得答案． 【详解】解：由作图方法可知，弧②与弧①的半径相等，， ∴（同位角相等，两直线平行） ∴， 根据现有条件无法得到， ∴四个选项中，只有D选项中的结论错误，符合题意， 故选：D． 32．（23-24八年级上·湖北孝感·期中）如图，已知，点C为射线上一点，用尺规按如下步骤作图：①以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交于点D，交于点E；②以点C为圆心，以长为半径作弧，交于点F；③以点F为圆心，以长为半径作弧，交前面的弧于点G；④连接并延长交于点H．则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】尺规作一个角等于已知角、三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题考查尺规基本作图-作一角等于已知角，三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质， 根据作图，由全等三角形的判定定理可以推知，得到，即，再利用三角形外角性质求解即可． 【详解】解：由作图可知，在与中， ， 则． ∴，即， ∴． 故选：D． 33．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在中，D为边上一点，现要利用尺规作图过点D作，下列作法不可行的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】尺规作一个角等于已知角、同位角相等两直线平行、过直线外一点作已知直线的平行线、内错角相等两直线平行 【分析】本题考查了尺规作图——作角平分线，一个角等于已知角，过直线外一点作已知直线的平行线，平行线的判定等知识，根据作角平分线，一个角等于已知角，平行线的判定逐一排除即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、由作图可知，， ∴，故不符合题意； 、如图，由作图可知，， ∵， ∴， ∴，故不符合题意； 、如图， 由作图可知，， ∴，故不符合题意； 、由作图可知，不能说明，故符合题意； 故选：． 34．（23-24八年级上·辽宁盘锦·阶段检测）如图，中，的平分线交于点，过点作，，垂足分别为，，下面四个结论：①；②垂直平分；③一定平行；④；其中正确的是（    ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【知识点】角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，线段垂直平分线的性质，平行线的判定．设与相交于点，先利用角平分线的性质可得，从而可得，再根据等式的性质可得，从而可得，进而可得是的垂直平分线，然后根据，可得不一定平行，再根据三角形的面积公式可得，即可解答． 【详解】解：设与相交于点， 平分，，， ， ， ， ， ， ， ， 是的垂直平分线， ， ， 不一定平行， 的面积，的面积，， ， 上面四个结论，其中正确的是①②④， 故选：A． 35．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，用尺规作图：作的平分线的依据是 __________(“”“”“”或“”)． 【答案】 【知识点】作角平分线(尺规作图)、全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题考查了作角平分线，全等三角形的性质与判定，证明，可得结论． 【详解】解：由作图可知，，， 在和中， ， ∴， ， 是的平分线． 故答案为：“”． 36．（2025·贵州黔南·一模）如图，在中，以点O为圆心，以适当长度为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接，过点P作交于点D，若，则的长为_______． 【答案】3 【知识点】作角平分线(尺规作图)、根据等角对等边求边长、两直线平行内错角相等 【分析】本题考查角平分线的作图和平行线的性质，等角对等边．观察可得平分，根据角平分线的定义求得，根据平行线的性质求得，得出，再根据等角对等边即可求解． 【详解】解：由作图可得：平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 37．（24-25八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，，和分别平分和，过点P，且与垂直．若，则点P到的距离是________． 【答案】 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查了两直线平行同旁内角互补，角平分线的性质定理等知识点，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键：角平分线上的点到角的两边的距离相等． 过点作于点，由可得，由两直线平行同旁内角互补可得，于是可得，则，由角平分线的性质定理可得，，进而可得，结合，可得，于是得解． 【详解】解：如图，过点作于点， ， ， ， ， ， ， 和分别平分和，且，，， ，， ， 又， ， ， 故答案为：． 38．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，是的角平分线，于点，连接．，，，则斜边上的高是______，的面积是______． 【答案】 【知识点】角平分线的性质定理、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、与三角形的高有关的计算问题 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，角平分线的性质等知识，过点作于，延长交于F，先根据三角形的面积公式求出，再证明和全等得，，则，进而，再根据得，据此即可得出答案，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式是解决问题的关键． 【详解】解：过点作于，延长交于F，如图： 在中，，，，， ， ， 是的角平分线， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：，． 39．（26-27八年级上·山东聊城·阶段检测）如图，平分，于点，点在上，若，，则的面积为_____． 【答案】 【知识点】角平分线的性质定理、与三角形的高有关的计算问题 【分析】过点作于点，根据角平分线的性质求出点到的距离，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：过点作于点， ∵平分，，， ∴， ∴． 40．（25-26八年级下·山西太原·阶段检测）如图，直线，点E，F分别是直线，上的点，和的平分线交于点G，于点H，若，则直线与之间的距离为________． 【答案】6 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】作于点，延长交于点，由角平分线的性质定理可得，由平行线的性质得出，再结合角平分线的性质得出，即可得出结果． 【详解】解：如图，作于点，延长交于点， ， ∵平分，， ∴， ∵，， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∴直线与之间的距离为． 41．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，是的角平分线，，．过点作，垂足为，若，则的面积为_____． 【答案】 【知识点】角平分线的性质定理、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查的是角平分线的性质，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．过点作于，根据角平分线的性质求出，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过点作于， 是的角平分线，，，， ， ， 故答案为：． 【考点4】全等三角形综合（第42-52题） · 构造全等证线段角相等 · 多次全等综合推理 · 结合内角和与外角计算 42．（2025·湖南湘西·二模）如图，等腰直角三角形的直角顶点与坐标原点重合，分别过点、作轴的垂线，垂足为、，点的坐标为，则线段的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．5 【答案】B 【知识点】求点到坐标轴的距离、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】根据点A的坐标为可得，再证明，再根据全等三角形的性质、，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：∵点A的坐标为， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 故选：B． 43．（25-26八年级上·福建福州·阶段检测）如图，，，，则的长是 _______ ． 【答案】 【知识点】全等三角形的性质 【详解】解：∵，， ∴ ∵， ∴ 44．（23-24七年级下·广东茂名·单元测试）如图，在中，点E在上，于点D，，于点F，若，，则的度数为________． 【答案】/55度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，等腰三角形的性质；先证明，由全等三角形的性质可得出，，再由三角形内角和定理可得出，再根据三角形的外角性质可得出，再证明，由全等三角形的性质可得出． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：． 45．（23-24八年级下·湖南永州·期末）如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧交于、于，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于，下列三个结论：①是的平分线；②；③．其中正确的有________．（填序号） 【答案】①②③ 【知识点】含30度角的直角三角形、作角平分线(尺规作图)、等边三角形的判定和性质 【分析】此题主要考查了尺规作图、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形的性质以及三角形的面积等知识，熟练掌握各性质是解题的关键，由作图可知，是的平分线，可以判断①；取的中点E，连接，可得是等边三角形，从而得到，再根据角平分线得到，得到，可判断②；由含30度角的直角三角形的性质可得，再根据，可得，代入面积公式，即可判断③． 【详解】解：由作图可知，是的平分线，故①正确； 如图，取的中点E，连接， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴，故②正确； 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； 故答案为：①②③． 46．（21-22七年级下·四川成都·期中）如图，已知，则的度数为_____ 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】利用证明得到，再由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 47．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知，，，则图中共有________对全等三角形． 【答案】3 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质，由平行线的性质可得，再利用全等三角形的判定与性质证明即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， 综上所述，图中共有对全等三角形， 故答案为：． 48．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）下列命题是真命题的是___________（填序号）．①内错角相等；②周长相等的两个三角形全等；③若，则；④若，则． 【答案】③ 【知识点】判断命题真假、全等三角形的性质、两直线平行内错角相等、不等式的性质 【分析】本题考查判断命题的真假，利用平行线的性质、全等三角形的判定、等式的性质及不等式的性质，逐一进行判断即可，解题的关键是根据相关知识对命题进行分析判断． 【详解】解：①两直线平行，内错角相等，所以，原命题是假命题，故该选项为假命题，不符合题意； ②周长相等的两个三角形不一定全等，例如，一个边长为3、4、5的三角形和一个边长为4、4、4的三角形，它们的周长都是12，但它们不是全等三角形，故该选项为假命题，不符合题意； ③若，则，该命题是真命题，故该选项符合题意； ④若，则，比如，但，故该选项为假命题，不符合题意； 故答案为：③． 49．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，在中，，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形和正方形，过点B作于点I，延长交于点J，给出下列结论：①．②．③过点B作于点I，延长交于点J，则．④若J是中点，则．其中正确的结论有________（只填写序号） 【答案】①②③④ 【知识点】全等三角形综合问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，解题的关键是正确作出辅助线．首先根据题意证明出，进而得到，即可判断①；过点F作交延长线于点O，证明出，得到，然后利用三角形面积公式即可得到，即可判断②；过点A作交的延长线于点P，过点C作，证明出，得到，同理得到，得到，然后证明出，得到，即可判断③；延长交于，过作于，过作于，同理可得：，可得，证明，证明，可得，从而可得结论； 【详解】解：∵在中，，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形和正方形， ∴，， ∵ ∴ ∴ ∴，故①正确； 如图所示，过点F作交延长线于点O，    ∵ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∵ ∵， ∴， 同理可得：， ∴，故②正确； 如图所示，过点A作交的延长线于点P，过点C作    ∵， ∴ 又∵， ∴ ∴ 同理可证， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴，故③正确； 延长交于，过作于，过作于，    ∵为中点； 同理可得：， ∴，， ∴，而， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，而， ∴；故④正确． 故答案为：①②③④． 50．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段检测）如图，中，． (1)尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）： ①作的角平分线，交于点H； ②作边的垂直平分线，垂足为点D，交于点O； (2)连接，，求证：． 【答案】(1) 所作图形如图所示： ； (2) 证明：由作图知，又，， ∴， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∴． 【知识点】作角平分线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质． （1）利用尺规作图作出角平分线，线段垂直平分线即可； （2）证明，得到，再根据线段垂直平分线的性质得到，即可证明． 【详解】（1）解：略． （2）略． 51．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，已知，请用尺规作图法，在线段上方求作一点，使得点到点和点的距离相等，且到边，的距离也相等． 【答案】如图所示，点即为所求， 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据线段垂直平分线的作法作出的垂直平分线，再根据角平分线的作法作的角平分线，两线的交点即为所求． 【详解】作线段的垂直平分线，作平分，交于点， 52．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）已知：如图，，点，点在上，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． ∴ ∴． 【知识点】根据平行线判定与性质证明、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定，平行线的性质与判定；根据平行线的性质得到，再证明，由“”可证，得出，即可证明． 【详解】略 📊 课后巩固 🍬 复习建议 · 全等找对应元素按顶点顺序 · 五种判定方法熟记适用条件 · SAS夹角、HL直角三角形要区分 · 角平分线性质用于距离问题 · 综合题先证全等再得结论 【作业1】（期中真题必刷基础60题（20个考点专练）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期中真题分类汇编（人教版，吉林专用））在一次数学课上．王老师在黑板上画出一幅图（如图），并写下了四个等式：①②③④． (1)上述四个条件中．由哪两个条件可以得到？用序号写出所有成立的情形； (2)请选择（1）中的一种情形．写出证明过程． 【答案】(1)能推出的所有条件为：①③或①④或②③或②④； (2) 选①③ 证明：在和中， ， ， ； 选①④： 证明：在和中， ， ， ； 选②③： 证明：在和中， ， ， ； 选②④： 证明：在和中， ， ， ． 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定， 对于（1），要证明当然要利用这些条件首先证明三角形全等，利用对应边相等就可以得到答案，据此可得； 对于（2），从（1）中所列条件任选一组，根据“角边角”或“角角边”证明即可得． 【详解】（1）解：略． （2）解：略． 【作业2】（24-25八年级上·全国·期末）已知：如图，点A，B，C，D在同一直线上，，，． 求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定，由平行线的性质推出，由，得到，即可证明． 【详解】略 【作业3】（25-26七年级上·陕西咸阳·期末）如图，点在的边上，请用尺规作图法，在射线的上方，求作，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图，即为所求． 【知识点】尺规作一个角等于已知角 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，熟练掌握作一个角等于已知角是解题的关键． 根据作一个角等于已知角的作法解答即可． 【详解】略 【作业4】（23-24八年级上·吉林·阶段检测）如图，在中，为的平分线，于点E，于点F，的面积为，，，求的长． 【答案】 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质．根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再根据，列方程计算即可得解． 【详解】解：为的平分线，， ， ， 即， 解得：， ． 【作业5】（20-21八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，是的平分线，分别是和的高，垂足为E、F． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵分别是和的高， ∴ ∵是的角平分线，， ∴， (2)12 【知识点】角平分线的性质定理、含30度角的直角三角形 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理，度角的直角三角形，掌握以上知识的综合运用是关键． （1）先利用角平分线的性质得，即可作答． （2）先利用三角形的面积和可求得的长，根据（1）中的全等可得，可得的长． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ∴ ， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【作业6】（24-25八年级上·江西赣州·阶段检测）如图，在和中，点A，E，F，C在同一条直线上，有下面四个论断：（1），（2），（3），（4）．请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，组成一个真命题，并给予证明． 【答案】 解：条件是：（1）（2）（4） 结论是：（3） ，证明如下： ， ， ， ， ， 在和中， ， ， 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据全等三角形的判定定理选出条件，结论，并证明即可． 【详解】略 【作业7】（23-24八年级上·河南驻马店·期中）如图，已知在等腰和中，，，，，连结、，试着判断与在长度和位置上有何关系，并证明你的结论． 【答案】，，理由见解答． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质．证明得到，延长交于，交于，则，根据全等三角形的性质得到，即可证得． 【详解】∵,，， 在与中， ， ； 延长交于，交于，则，    ∵ ∴， ， ． 【作业8】（23-24八年级上·福建莆田·阶段检测）在给出的图形中，完成以下作图（尺规作图，保留作图痕迹）：    ①作的平分线，交于点； ②延长到，使，连接． 【答案】 ①如图所示，即为所求； ②如图所示，点E即为所求．    【知识点】作线段(尺规作图)、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图，线段的尺规作图，熟知相关作图方法是解题的关键． （1）根据角平分线的尺规作图方法作图即可； （2）以C为圆心，以的长为半径画弧交延长线于E，点E即为所求． 【详解】①略 ②略 【作业9】（24-25八年级上·湖南永州·期中）在中，，D是上的一动点（点D不与点B、C重合），以为边在其右侧作，使，，连接． (1)如图1，点D在线段上，且． 求证：，并求的度数． (2)设，． ①如图2，点D在线段上，探究和之间的数量关系，并证明你的结论． ②如图3，点D在的延长线上，写出和的关系，并证明． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ (2) ①，理由如下： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②，证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，本题中求证是解题的关键． （1）先证，再证明，可得，即可解题； （2）①先证，再证明，可得，根据即可解题；②先证，再证明，可得，根据，即可解题； 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）①略 ②略 【作业10】（25-26八年级上·辽宁鞍山·期中）红星学校兴趣小组开展了测量学校教学楼高度的实践活动，测量方案如下表： 课题 测量学校教学楼高度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 （1）在教学楼外，选定一点 C； （2）测量教学楼顶点A 的视线与地面夹角； （3）测的长度； （4）放置一根与长度相同的标杆，垂直于地面； （5）测量标杆顶部E的视线与地面夹角． 测量数据 ， ， ， 请你根据兴趣小组测量方案及数据，计算教学楼的高度． 【答案】教学楼的高度为． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查全等三角形的应用．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．先证明，再证明，得到，即可求解． 【详解】解：∵， ， ∴， ∵， ，， ∴， ∴， ∴， ∴教学楼的高度为． 【作业11】（23-24九年级下·陕西宝鸡·阶段检测）已知：如图，，平分，平分，求证：． 【答案】 证明：如图所示，延长交延长线于H， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【知识点】角平分线的有关计算、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三角形内角和定理的应用、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，角平分线的定义和三角形内角和定理，延长交延长线于H，利用平行线的性质和角平分线的定义证明，则，进而证明，得到，，再证明，得到，即可证明． 【详解】略 【作业12】（25-26八年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，在中，，是边上的高，是边上的高，、相交于点，且． (1)求证：． (2)动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为秒，点是直线上的一点且．是否存在值，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 证明： 是边上的高，是边上的高， ， ， ， 在和中， ， ； (2)存在，或 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，线段的和差，熟练掌握三角形全等的判定与性质，采用分类讨论的思想解题，是解题的关键． （1）由，可得，通过即可证明； （2）分两种情形：如图2，当时；如图3，当时，分别进行求解即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：存在， 如图2，当时， 是边上的高，是边上的高， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； 如图3，当时， 是边上的高，是边上的高， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 综上所述：或时，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． 【作业13】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，四边形中，，为的中点，平分．求证：． 【答案】 证明：在上截取，如图所示． 平分， ． 在与中， ． ， ． 又， ， ． 是的中点， ． 在与中， ， ． 【知识点】角平分线的性质定理、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】此题重点考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 在上截取，由角平分线的性质得，可证明，得，再证明RtRt，得，所以． 【详解】略 【作业14】（25-26八年级上·上海·期末）如图，有三条公路a、b、c两两相交于A、B、C三点．现要建设一个商场P，使得它到三条公路的距离相等． (1)小海同学发现，符合条件的商场P的位置一共有4个，其中有一个在的内部．请用尺规作出在外部的另外3个符合要求的点P（保留作图痕迹，不必写作法，可将作出的三个点分别标记为、和）； (2)猜想：请你写出根据（1）的要求作出的三个点所围成的三角形所具有的一个特征：三角形 ． 【答案】(1) 、和如图所示： (2)是锐角三角形 【知识点】作角平分线(尺规作图)、角平分线性质的实际应用、三角形的分类 【分析】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，三角形的分类，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据角平分线上的点到角的两边距离相等，故分别作出的角平分线，它们的交点分别记为、和，即可作答． （2）观察（1）的图，得出三角形是锐角三角形，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：根据（1）的要求作出的三个点所围成的三角形所具有的一个特征：三角形是锐角三角形． 【作业15】（24-25七年级下·江苏南京·阶段检测）完成下面的证明过程，并在括号内填上推理的依据． 已知：如图，在四边形中，，，点E，F分别在边上，平分交于点M，平分交于点．求证：． 证明：在四边形中， ，（已知） ________．（两直线平行，同旁内角互补） ，（已知） ，（________） ________，（同旁内角互补，两直线平行） ________，（两直线平行，内错角相等） 平分，平分，（已知） ，，（________） ，（等量代换） ．（________） 【答案】；等量代换；；；角的平分线的定义；内错角相等，两直线平行 【知识点】角平分线的性质定理、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义等知识点，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质． 利用平行线的性质和等量代换得出，得出，再利用平行线的性质和角平分线的定义得出即可得出结论． 【详解】证明：在四边形中， ，（已知） ．（两直线平行，同旁内角互补） ，（已知） ，（等量代换） ，（同旁内角互补，两直线平行） ，（两直线平行，内错角相等） 平分，平分，（已知） ，，（角的平分线的定义） ，（等量代换） ．（内错角相等，两直线平行） 【作业16】（25-26八年级上·吉林·期末）如图，已知，点在线段上，且．请从①；②；选择其中一个选项作为已知条件，使得． (1)你选的条件为______（只填写一个序号）； (2)添加条件后，证明． 【答案】(1)①（①或②都可以） (2) 证明：若添加①， ， ， 在与中， ， ， ； 若添加② ， ， ， 在与中， ， ， ． 【知识点】全等三角形综合问题、添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查添加条件后使两个三角形全等、两条直线平行的判定定理，熟记全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）添加①，由两个三角形全等的判定定理得到；添加②，由两个三角形全等的判定定理得到. （2）添加①，由两个三角形全等的判定定理得到，从而由性质得到，再由内错角相等两直线平行判定即可得证； 添加②，由两个三角形全等的判定定理得到，从而由性质得到，再由内错角相等两直线平行判定即可得证． 【详解】（1）解：添加①或②都可以 （2） 略 【作业17】（24-25八年级上·江西上饶·期中）（1）如图1，，，请仅用无刻度的直尺作的角平分线； （2）如图2，，，请仅用无刻度的直尺作的角平分线；    【答案】（1）如图，连接，则即为所求，    （2）如图，平分，    【知识点】角平分线的有关计算、根据等角对等边证明边相等、全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题考查的是利用全等三角形的判定与性质画角平分线，等角对等边； （1）连接，证明，可得，则即为所求； （2）连接，交于点，连接并延长交于，证明，，可得，则平分． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∴， ∴平分． （2）∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分． 【作业18】（25-26八年级下·全国·单元复习）两边分别相等且其中一组等边的对角（对角是钝角）相等的两个三角形全等吗？如果不全等，请举一反例；如果全等，请加以证明． 【答案】 解：全等，证明如下： 如图，在和中，，，且为钝角， 作，， 则， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴. 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】通过作辅助线构造直角三角形，利用全等三角形的判定定理逐步推导，证明两个原三角形全等即可. 【详解】略 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $