精品解析：新疆维吾尔自治区省直辖县级行政单位五家渠市部分校2026-2027学年第一学期九年级数学质量诊断卷

2026-2027学年第一学期九年级数学质量诊断卷 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、单项选择题：（本大题共9小题，每小题4分，共36分） 1. 下列函数是二次函数的是（　　） A. y＝3x﹣1 B. y＝ax2＋x＋c C. y＝8x2 D. y＝x2﹣（x＋1）2 【答案】C 【解析】 【分析】利用二次函数定义进行解答即可． 【详解】解：A、是一次函数，不是二次函数，故此选项不合题意； B、当a＝0时，是一次函数，不是二次函数，故此选项不合题意； C、是二次函数，故此选项符合题意； D、不是二次函数，故此选项不合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的定义，属于基础题型． 2. 将方程化为一元二次方程的一般式，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的一般形式为，先去括号，然后移项，合并同类项，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ． 3. 已知是一元二次方程的一个根，则m的值是（ ） A. B. 3 C. 0 D. 0或 【答案】A 【解析】 【分析】利用方程的根的定义，将代入原方程求解的值． 【详解】解：是一元二次方程的根， 将代入方程得， ， ． 4. 函数图象顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，能够熟练运用配方法将二次函数一般式整理为顶点式是解本题的关键． 将二次函数一般式整理为顶点式即可得出答案． 【详解】解： 函数图象顶点坐标是． 故选D． 5. 二次函数与坐标轴的交点个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】画出二次函数y＝x2－2x－2的图像，根据图像进行解答. 【详解】先审题，二次函数与坐标轴的交点，有两种情况.第一与y轴的交点，即x＝0的时候，求得y＝－2，这是一个交点.第二与x轴的交点，即y＝0，就是求二次方程x²－2x－2＝0的解，求得两解.因此，可解得有3个交点. 【点睛】本题考查了二次函数图像与坐标轴交点的求法，令x＝0和y＝0分别解2个方程是本题的解题关键. 6. 一件商品的标价为108元，经过两次降价后的销售价是72元，求平均每次降价的百分率若设平均每次降价的百分率为x，则可列方程(    ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】可以先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格×（1-降低的百分率）=72，把相应数值代入即可求解． 【详解】解：第一次降价后的价格为，两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低为：， 则列出的方程是． 故选：C． 【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为． 7. 反比例函数的图象分别位于第二、四象限，则直线不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】先根据反比例函数y=的图象在第二、四象限内判断出k的符号，再由一次函数的性质即可得出结论． 【详解】解：∵反比例函数y=的图象在第二、四象限内， ∴k＜0， ∴一次函数y=kx+k的图象经过二、三、四象限，不经过第一象限． 故选：A． 【点睛】本题考查的是反比例函数的性质和一次函数的性质，注意：反比例函数y=中，当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限． 8. 对于一元二次方程（），下列说法中，错误的是（ ） A. 若，则方程有一个根为1 B. 若方程有一个根为1，则 C. 若，则方程的两个根互为相反数 D. 若方程的两个根互为相反数，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的定义以及根与系数的关系即可求出答案． 【详解】解： A．若时，则方程有一个根为1，故选项A正确； B．若方程有一个根为1，则，故选项B正确； C．若，则方程为，该方程不一定有解，故选项C错误； D．由根与系数的关系可知：，所以，故选项D正确； 故选：C． 【点睛】本题考查一元二次方程的有关知识，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解的定义以及根与系数的关系 9. 如图，二次函数与x轴交于点、，与y轴交于点，其中．则下列结论： ①；②方程没有实数根；③；④．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得到图象开口向上，对称轴直线为，，则，当时，代入计算可判定①；根据二次函数与直线的位置关系可判定②；根据题意得到，可判定③；根据函数最小值的大小可判定④；由此即可求解． 【详解】解：二次函数与轴交于点、，图象开口向上， ∴对称轴直线为，， ∴， 当时，， ∴，即， ∴， ∴，故①正确； 图象开口向上，对称轴直线为， ∴当时，函数有最小值，最小值在轴的下方， ∴抛物线与直线有两个不同的交点， ∴方程有两个不相等的实数根，故②错误； ∵二次函数与轴交于点，其中， ∴当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，，故③正确； 当时，函数有最小值，最小值为，， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①③④． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 10. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据方程有两个不相等的实数根可以得到判别式大于零，从而求出结果． 【详解】解：根据题意，得且， 解得且， 所以m的取值范围为且 故答案为：且． 11. 将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线y=2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛物线的解析式为， 故答案为： 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 12. 在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线的一部分（如图所示，单位：），则该羽毛球横向飞出的最远距离是______． 【答案】 【解析】 【分析】羽毛球横向飞出的最远距离，就是羽毛球落地时对应的水平距离，即求抛物线与x轴正半轴交点的横坐标，令求解． 【详解】解：令，得 解得，． ， 舍去． 该羽毛球横向飞出的最远距离是． 13. 已知，，在反比例函数的图象上．若，则______．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】根据三点在反比例函数上的坐标关系，结合的条件确定比例系数k的符号，再利用反比例函数在对应象限的增减性比较与的大小． 【详解】解：将三个点的坐标代入反比例函数， 可得，，， ， ， ， 解得， 当时，反比例函数的图象位于第二、第四象限， 且在每个象限内，随的增大而增大， 点、的横坐标、均为正数， 因此两点都在第四象限的函数分支上， ， ． 14. 已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为_____． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象性质，二次函数与一元二次方程的关系，由图知，抛物线与x轴交于，代入求出m的值，再解方程即可． 【详解】解：由图知，抛物线与x轴交于点， 将代入，得， ∴， ∴原方程为， 解得：，． 故答案为：，． 15. 对于正整数x，规定函数．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标（其中，均为正整数）．例如，点经过第次运算得到点．经过第次运算得到点，经过第次运算得到点，经过有限次运算后，必进入循环圈，按上述规定，将点经过第2026次运算后得到点是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律探究，点的坐标规律，求函数值．通过计算点每次运算后的结果，发现其变化呈现周期性循环，周期为3次．利用周期性规律，确定第2026次运算后的结果． 【详解】解：初始点：（第0次运算）． 第1次：横坐标为偶数，； 纵坐标为奇数，； 得到点； 第2次： 横坐标为奇数，； 纵坐标为偶数，； 得到点； 第3次：横坐标为偶数，；纵坐标为偶数，；得到点，与初始点相同， 即三次一循环， ， ∴第次运算后对应点与第1次运算后的点相同，即． 故答案为：． 三、解答题．（本大题共8小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1），； （2），； （3），； （4），． 【解析】 【小问1详解】 解： ∴，； 【小问2详解】 解： ∴，； 【小问3详解】 解： ∴，； 【小问4详解】 解： ，， ， 此方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，． 17. 二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）写出不等式的解集； （2）写出随的增大而减小的自变量的取值范围； （3）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】根据二次函数图象在轴上方的部分对应的范围，即可作答； 根据二次函数的增减性，即可作答； 根据二次函数的顶点坐标，结合直线与二次函数有两个交点，即可作答． 【小问1详解】 解：由二次函数的图象可知当时，二次函数的值大于， ∴不等式的解集为； 【小问2详解】 解：由图象可知抛物线的对称轴为直线 ∴当随的增大而减小时，自变量的取值范围是； 【小问3详解】 解：由图象可知二次函数的顶点坐标为， 当直线在直线的下边时，一定与抛物线有两个不同的交点， ∴当时，方程有两个不相等的实数根． 18. 如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A（2，5）在反比例函数的图象上，过点A的直线y=x+b交x轴于点B． （1）求k和b的值； （2）求△OAB的面积． 【答案】（1）k=10，b=3；（2）. 【解析】 【详解】试题分析：(1)、将A点坐标代入反比例函数解析式和一次函数解析式分别求出k和b的值；(2)、首先根据一次函数求出点B的坐标，然后计算面积. 试题解析：(1)、把x=2，y=5代入y=，得k==2×5=10 把x=2，y=5代入y=x+b，得b=3 (2)、∵y=x+3 ∴当y=0时，x=-3， ∴OB=3 ∴S=×3×5=7.5 考点：一次函数与反比例函数的综合问题. 19. 已知：如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3交x轴于点A、B，其中点A在点B的左边，交y轴于点C，点P为抛物线上位于x轴上方的一点． （1）求A、B、C三点的坐标； （2）若△PAB的面积为4，求点P的坐标． 【答案】（1）A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）；（2）P点坐标为（1﹣，2），（1+，2） 【解析】 【分析】（1）当时，可求点A，点B坐标，当，可求点C坐标； （2）设点P的纵坐标为，利用三角形面积公式可求得，代入y=﹣x2+2x+3即可求得点P的横坐标，从而求得答案. 【详解】（1）对于抛物线y=﹣x2+2x+3， 令y=0，得到﹣x2+2x+3=0， 解得：x1=﹣1，x2=3， 则A（﹣1，0），B（3，0）， 令，得到y=﹣x2+2x+3=3， 则C点坐标为（0，3）； 故答案为：A（﹣1，0），B（3，0），（0，3）； （2）设点P的纵坐标为， ∵点P为抛物线上位于x轴上方， ∴， ∵△PAB的面积为4， ∴， 解得：， ∵点P为抛物线上的点， 将代入y=﹣x2+2x+3得：﹣x2+2x+3=2， 整理得x2﹣2x﹣1=0， 解得：x1=1﹣，x2=1+， ∴P点坐标为：（1﹣，2），（1+，2）． 【点睛】本题考查了二次函数的解析式的运用，利用二次函数的性质求解是关键． 20. 已知关于x的方程有两实数根． （1）求k的取值范围； （2）设方程两实数根分别为、，且，求实数k的值． 【答案】（1）k≤3；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据方程有两个实数根得出△＝≥0，解之可得． （2）利用根与系数的关系可用k表示出x1＋x2和x1x2的值，根据条件可得到关于k的方程，可求得k的值，注意利用根的判别式进行取舍． 【详解】解：（1）∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴△≥0，即≥0， 解得：k≤3， 故k的取值范围为：k≤3． （2）由根与系数的关系可得， 由可得， 代入x1＋x2和x1x2的值，可得： 解得：，（舍去）， 经检验，是原方程的根， 故． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根以及根与系数的关系，也考查了解一元二次方程和分式方程，注意分式方程要验根． 21. 网络直播销售已经成为一种热门的销售方式，某生产商在一销售平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本价为元，每日销售量（）与销售单价（元）满足一次函数关系．下表记录的是有关数据．经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于元．设公司销售板栗的日获利为（元）． （元） （） （1）求日销售量与销售单价之间的函数关系式．（不用写自变量的取值范围） （2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？ 【答案】（1） （2）当销售单价定为元时，销售这种板栗日获利最大，最大利润为元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用； （1）待定系数法求一次函数解析式，即可求解； （2）根据题意列出二次函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意可设，且， 把和代入得： ，解得， 日销售量与销售单价之间的函数关系式为：； 【小问2详解】 根据题意可得： ， ，且， 当时，有最大值，最大值为， 答：当销售单价定为元时，销售这种板栗日获利最大，最大利润为元； 22. 如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42m．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x(单位：m)，与墙平行的一边长为y(单位：m)，面积为S(单位：)． （1）直接写出y与x，S与x之间的函数解析式(不要求写x的取值范围)； （2）矩形实验田的面积S能达到吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由． （3）当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）， （2） （3）当时，实验田的面积S最大，最大面积是 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，二次函数的实际应用，计算的取值范围是解题的关键． （1）根据，求出与的函数解析式，根据矩形面积公式求出与的函数解析式； （2）先求出的取值范围，再将代入函数中，求出的值； （3）将与的函数配成顶点式，求出的最大值． 【小问1详解】 解：， ， ， ； 【小问2详解】 ， ， ， ， 当时，， ， ， ， 当时，矩形实验田的面积能达到； 【小问3详解】 ， 当时，有最大值． 23. 观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： 认真观察，并在后面的横线上写出相应的等式． ；；；______ 结合观察下列点阵图，并在后面的横线上写出相应的等式． ；；；；______ 若在中的第n个点阵图斜线的左上方共有36个点，试求第n个点阵图中总共有多少个点． 【答案】（1）10；（2）；（3）第n个点阵图中总共有81个点． 【解析】 【分析】根据观察会发现第四个式子的等号的左边是，右边分子上是，从而得到规律； 通过观察发现左边是，右边是25即5的平方； 过对一些特殊式子进行整理、变形、观察、比较，归纳出一般规律． 【详解】根据题中所给出的规律可知：， 故答案是：10； 由图示可知点的总数是，所以， 故答案是：． 由可知， 解得，不合题意，舍去， ， 第n个点阵图中总共有81个点． 【点睛】本题考查了规律题——图形的变化类，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是此类题目中的难点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期九年级数学质量诊断卷 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、单项选择题：（本大题共9小题，每小题4分，共36分） 1. 下列函数是二次函数的是（　　） A. y＝3x﹣1 B. y＝ax2＋x＋c C. y＝8x2 D. y＝x2﹣（x＋1）2 2. 将方程化为一元二次方程的一般式，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知是一元二次方程的一个根，则m的值是（ ） A. B. 3 C. 0 D. 0或 4. 函数图象顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 二次函数与坐标轴的交点个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 6. 一件商品的标价为108元，经过两次降价后的销售价是72元，求平均每次降价的百分率若设平均每次降价的百分率为x，则可列方程(    ) A. B. C. D. 7. 反比例函数的图象分别位于第二、四象限，则直线不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8. 对于一元二次方程（），下列说法中，错误的是（ ） A. 若，则方程有一个根为1 B. 若方程有一个根为1，则 C. 若，则方程的两个根互为相反数 D. 若方程的两个根互为相反数，则 9. 如图，二次函数与x轴交于点、，与y轴交于点，其中．则下列结论： ①；②方程没有实数根；③；④．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 10. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______． 11. 将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线解析式为______． 12. 在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线的一部分（如图所示，单位：），则该羽毛球横向飞出的最远距离是______． 13. 已知，，在反比例函数的图象上．若，则______．（填“”“”或“”） 14. 已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为_____． 15. 对于正整数x，规定函数．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标（其中，均为正整数）．例如，点经过第次运算得到点．经过第次运算得到点，经过第次运算得到点，经过有限次运算后，必进入循环圈，按上述规定，将点经过第2026次运算后得到点是_______． 三、解答题．（本大题共8小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 17. 二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）写出不等式的解集； （2）写出随的增大而减小的自变量的取值范围； （3）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 18. 如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A（2，5）在反比例函数的图象上，过点A的直线y=x+b交x轴于点B． （1）求k和b的值； （2）求△OAB的面积． 19. 已知：如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3交x轴于点A、B，其中点A在点B的左边，交y轴于点C，点P为抛物线上位于x轴上方的一点． （1）求A、B、C三点的坐标； （2）若△PAB的面积为4，求点P的坐标． 20. 已知关于x的方程有两实数根． （1）求k的取值范围； （2）设方程两实数根分别为、，且，求实数k的值． 21. 网络直播销售已经成为一种热门的销售方式，某生产商在一销售平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本价为元，每日销售量（）与销售单价（元）满足一次函数关系．下表记录的是有关数据．经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于元．设公司销售板栗的日获利为（元）． （元） （） （1）求日销售量与销售单价之间的函数关系式．（不用写自变量的取值范围） （2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？ 22. 如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42m．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x(单位：m)，与墙平行的一边长为y(单位：m)，面积为S(单位：)． （1）直接写出y与x，S与x之间的函数解析式(不要求写x的取值范围)； （2）矩形实验田的面积S能达到吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由． （3）当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？ 23. 观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： 认真观察，并在后面的横线上写出相应的等式． ；；；______ 结合观察下列点阵图，并在后面的横线上写出相应的等式． ；；；；______ 若在中的第n个点阵图斜线的左上方共有36个点，试求第n个点阵图中总共有多少个点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $