精品解析：新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第五十四中学2026-2027学年九年级上学期10月期中数学试题

乌鲁木齐市第五十四中2026-2027学年第一学期九年级 期中考试数学测试问卷 一、单项选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分．） 1. 在数学活动课中，同学们利用几何画板绘制出了下列曲线，其中是中心对称图形的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键． 【详解】、不是中心对称图形，故选项不符合题意； 、不是中心对称图形，故选项不符合题意； 、是中心对称图形，故选项符合题意； 、不是中心对称图形，故选项不符合题意； 故选：． 2. 下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】A、B选项，分别为正比例函数和一次函数，均不符合反比例函数定义． C选项，中的次数为，不符合反比例函数定义． D选项，可化为，符合反比例函数定义． 3. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先把常数项移到方程的右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，然后把方程左边利用完全平方公式写成平方形式即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查利用配方法对一元二次方程求解，解题的关键是：熟练运用完全平方公式进行配方． 4. 如图，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，此时点恰在边上，若，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【详解】解：由旋转可知，，， ． 5. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】根据是一元二次方程，进而得到，再根据一元二次方程有实数根，利用根的判别式得到结果． 【详解】解：方程是一元二次方程， ， 方程有实数根， ，即， 解得， 综上，的取值范围是且． 6. 已知二次函数图象经过点和，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：将代入，得． 将代入，得． ∵， ∴． 7. 某停车场的平面示意图如图所示，停车场的长为40米，宽为19米，停车场内车道的宽度都相等，停车位的占地面积为352平方米．设停车场内车道的宽度为x米，根据题意列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了与图形有关的问题(一元二次方程的应用)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 所有停车位合在一起，可得到一个矩形，用x表示出这个矩形的长与宽，即可根据停车位的面积列出方程． 【详解】解：设停车场内车道的宽度为x米， ∵停车场的长为40米，宽为19米， ∴所有停车位合在一起，可得到一个矩形，这个矩形的长为米，宽为米， ∴可列方程为， 故选：A． 8. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的直角边在轴上，、分别与反比例函数的图象相交于点，且为的中点，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为，则的值为（　　） A. B. C. 5 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 设，可证明，则，，那么，再由，即可求解． 【详解】解：设， 由题意得， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 9. 如图，二次函数的图象的对称轴是直线，则以下四个结论中：，，，，正确的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】①根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点即可得结论；②根据抛物线的对称轴即可得结论；③根据抛物线的顶点坐标及其它任何坐标的纵坐标进行比较即可得结论；④根据时，可得结论． 【详解】解：∵函数图象的开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，，即，故②正确， ∵函数与y轴交于正半轴， ∴， ∴，故①错误； ∵当时，为函数的最大值， 当时，， ∴， 即，故③正确； 由图象知，当时，， ∵， ∴，故④正确； 综上，正确的个数是3个． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．） 10. 如图是一个正六边形雪花状饰品，它绕着它的中心至少旋转_____，能与自身重合． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查利用旋转设计图案，根据图形的对称性质，用除以计算即可得解．理解旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， 又∵如图是一个正六边形雪花状饰品， ∴它既是中心对称图形，又是轴对称图形，它的旋转中心为正六边形的中心， ∴该图形绕着它的中心旋转的整数倍能与自身重合， 即它绕着它的中心至少旋转，能与自身重合． 故答案为：． 11. 已知反比例函数的图象在第一、三象限，则的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数图象所在象限的性质，得到比例系数大于0，列不等式求解的范围． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限， ∴， 解得 ． 12. 为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价．对某种原价为189元的药品进行连续两次降价后为156元，设平均每次降价的百分率为x，则根据题意列方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】已知药品原价、连续两次降价后的最终售价，设平均每次降价的百分率为x，需根据连续两次降价的价格递推关系建立等量关系列方程． 【详解】解：第一次降价后的价格为原价乘以，即， 第二次降价是在第一次降价后的价格基础上进行的，因此两次降价后的最终价格为， 结合两次降价后价格为156元的已知条件，可列得对应方程． 13. 某商店销售一种商品，已知销售这种商品每天所获利润y（元）与销售单价x（元）满足关系式．若想获得最大利润，销售单价x应为________元． 【答案】 15 【解析】 【分析】已知利润是的二次函数，二次项系数为负，函数开口向下，最大利润对应二次函数的顶点，计算顶点横坐标即可得到结果． 【详解】解：展开函数关系式得 ∵该函数是二次函数，二次项系数 ∴抛物线开口向下，函数有最大值，最大值在顶点处取得 ∵二次函数顶点的横坐标为，此处， ∴ 即获得最大利润时销售单价为15元． 14. 如图，的顶点在抛物线上，将绕点O顺时针旋转，得到，边与该抛物线交于点，则点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据点A的坐标得到的长，利用待定系数法求出抛物线的解析式，根据旋转的性质确定点D的坐标，并得到轴，据此求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵点在抛物线上， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； 由旋转的性质可得，， ∴点D在y轴上，则轴， ∴， 在中，当时，， 解得或（舍去）， ∴． 15. 已知如图，在菱形中，，点P是上一点且．将绕点 B 顺时针旋转得到，连接交于点O、连接，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，可得，则可证明三点共线，过点作，利用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图，连接， 四边形为菱形，， ， ，为等边三角形， ， ， 根据三角形面积公式可得， ， 将绕点 B 顺时针旋转得到， ， ，即， ， ， ，， ， ，即三点共线， ， ， ． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 按要求解题： （1）用适当的方法解方程： ． （2）要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛1场），根据场地和时间，一共举行了28场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？ 【答案】（1）； （2）组织者应邀请8支球队参赛 【解析】 【分析】（1）用配方法，把方程左边配成完全平方式，再开平方求解． （2）单循环比赛总场数公式为，据此列方程，舍去不符合实际意义的负根． 【小问1详解】 解：， 配方，得， 即， 开平方，得， ∴或， 解得：． 【小问2详解】 解：设组织者应邀请支球队参赛， 根据题意，得， 整理，得， 即， 解得：． 球队支数不能为负数， 舍去． 答：组织者应邀请支球队参赛． 17. 如图，三个顶点的坐标分别为 （1）画出绕原点O按逆时针方向旋转90度后的，直接写出的坐标； （2）画出关于原点O成中心对称的图形，直接写出的坐标． 【答案】（1）如图所示：即为所求， （2）如图所示：即为所求， ， 【解析】 【分析】（1）根据作图要求找到对应点，描点连线即可画出图形； （2）根据作图要求找到对应点，描点连线即可画出图形． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略． 18. 抛物线 经过点、； （1）求抛物线解析式及抛物线顶点的坐标； （2）直接写出不等式的解集： （3）当 时， 写出y的取值范围： ． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将、代入可得关于a、b的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值即可得答案； （2）根据抛物线的性质得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为，找出x轴下方图象对应x的取值范围即可得答案； （3）根据二次函数对称轴可得y的最小值，根据二次函数解析式可得当时，，当时，，根据即可得答案． 【小问1详解】 将、代入二次函数解析式得，， 解得， ∴抛物线解析式为； 顶点坐标； 【小问2详解】 ∵抛物线开口向上，与x轴交点为，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴不等式的解集为． 【小问3详解】 ∵抛物线的解析式为，顶点坐标为， ∴当时，y的最小值为， 当时，，当时，， ∴当时，y的取值范围为． 19. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于A（1，6），B（3，m）两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求△AOB的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数解析式即可求得k的值，然后把x=3代入即可求得m的值，利用待定系数法可得一次函数的解析式； （2）求出点C的坐标，根据S△AOB=S△BOC-S△AOC即可求解． 【小问1详解】 把A（1，6）代入， ∴k=6， ∴反比例函数的解析式是y=， 把B（3，m）代入y=， ∴m=2， ∵A（1，6），B（3，2）在函数的图象上， ∴， 解得：a=-2，b=8． 则一次函数的解析式是y=-2x+8． ∴一次函数的解析式是y=-2x+8，反比例函数的解析式是y=； 【小问2详解】 ∵直线与y轴相交于点C， ∴C（0，8） ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，根据待定系数法求出函数的解析式是解题的关键． 20. 独竹漂是国家级非物质文化遗产，被誉为“河上的轻功”．如图1，表演者脚踩单根楠竹，在河面上滑行，互动表演时常常向观众抛红色绸球，是特色的民俗节目．某次表演中，表演者在距离水面1米处，抛出一个红色绸球，绸球的运动轨迹为抛物线（不计空气阻力），建立如图2的平面直角坐标系，绸球从抛球点离开后，在点处达到最高． （1）求抛物线的解析式； （2）若观众区边缘点与原点的水平距离为10米，问绸球能否抛到观众区，并说明理由． 【答案】（1） （2）解：不能抛到观众区， 理由如下：令，则，解得，， ∵， ∴， ∵观众区边缘点P与原点O的水平距离为10米， ∴不能抛到观众区． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用、待定系数法求函数解析式，理解题意是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）令，求出抛物线与轴正半轴的交点横坐标，再与10比较大小，即可得出结论． 【小问1详解】 解：根据题意，设抛物线的解析式为， 代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 略 21. 某商场销售一批鞋子，平均每天可售出双，每双盈利元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价措施，调查发现，每双鞋子每降价元，商场平均每天可多售出双． （1）当每双鞋子降价多少元时，每天可以获得最大利润？最大利润为多少元？ （2）若商场每天要盈利元，且让顾客尽可能多得实惠，则每双鞋子应降价多少元？ 【答案】（1） 当每双鞋子降价元时，每天可获得最大利润，最大利润为元． （2） 每双鞋子应降价元． 【解析】 【分析】（1）设降价金额为自变量，根据总利润的等量关系列出二次函数，利用二次函数顶点性质求最值； （2）根据给定利润列一元二次方程，结合“让顾客尽可能多得实惠”的条件选取较大的解． 【小问1详解】 解：设每双鞋子降价元，每天获得的总利润为元， 由题意得，每双鞋子的利润为元，每天的销售量为双， 总利润 （）， 整理得 ， ∵ ， ∴ 当时，取得最大值， 将代入得 （元）； 答：当每双鞋子降价元时，每天可获得最大利润，最大利润为元． 【小问2详解】 解：令，则 ， 整理得 ， 解得 ，， ∵ 要让顾客尽可能多得实惠， ∴ 选择较大的降价幅度，即． 答：每双鞋子应降价元． 22. 学校的自动饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时水温：与通电时间成一次函数关系，加热到 即停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至 时，饮水机关机，饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序，若水温在 时开始接通电源，经过分钟饮水机第一次关机，水温与通电时间之间关系如图所示． （1）求从开始到饮水机第一次关机，水温与通电时间的函数关系式； （2）从开始到饮水机第一次关机，有多长时间水温不低于 ? 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）分别求出加热和降温阶段水温为 的时间，再相减即可求解． 【小问1详解】 解：设反比例函数的解析式为，把代入，得， ∴， ∴反比例函数解析式为， 当时，， ∴， 设一次函数的解析式为，把和代入， 得， 解得， ∴一次函数解析式为， 综上，从开始到饮水机第一次关机，水温与通电时间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：当时，由，解得；由，解得， ∵， ∴从开始到饮水机第一次关机，有水温不低于 ． 23. 【基础回顾】（1）如图，E是正方形中边上任意一点，以点A为中心，将顺时针旋转后得到．如图1，若连接，则的形状为________； 【变式探究】（2）如图2，在（1）条件下，设与相交于P，在上取点Q，使，连接，猜想与的数量关系，并给予证明； 【联想拓展】（3）如图3，在中，，．点P是上一点，则，，之间存在的数量关系为________． 【答案】（1）等腰直角三角形； （2），证明如下： 将顺时针旋转后得到， ，， 在和中， ， ， ， （3）． 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质得到，，结合正方形性质得到，即可解题； （2）结合旋转的性质证明，利用全等三角形性质即可证明与的数量关系； （3）将逆时针旋转后得到，连接，得到是等腰直角三角形．再结合旋转的性质和勾股定理求解，即可解题． 【详解】解：（1）由旋转的性质可知，， 四边形为正方形， ， ， 的形状为等腰直角三角形； （2）略 （3）如图，将逆时针旋转后得到，连接， ，， 是等腰直角三角形， 由旋转的性质可知，， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乌鲁木齐市第五十四中2026-2027学年第一学期九年级 期中考试数学测试问卷 一、单项选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分．） 1. 在数学活动课中，同学们利用几何画板绘制出了下列曲线，其中是中心对称图形的是（） A. B. C. D. 2. 下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，此时点恰在边上，若，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 且 6. 已知二次函数图象经过点和，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 某停车场的平面示意图如图所示，停车场的长为40米，宽为19米，停车场内车道的宽度都相等，停车位的占地面积为352平方米．设停车场内车道的宽度为x米，根据题意列方程为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的直角边在轴上，、分别与反比例函数的图象相交于点，且为的中点，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为，则的值为（　　） A. B. C. 5 D. 10 9. 如图，二次函数的图象的对称轴是直线，则以下四个结论中：，，，，正确的个数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．） 10. 如图是一个正六边形雪花状饰品，它绕着它的中心至少旋转_____，能与自身重合． 11. 已知反比例函数的图象在第一、三象限，则的取值范围为_________． 12. 为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价．对某种原价为189元的药品进行连续两次降价后为156元，设平均每次降价的百分率为x，则根据题意列方程为___________． 13. 某商店销售一种商品，已知销售这种商品每天所获利润y（元）与销售单价x（元）满足关系式．若想获得最大利润，销售单价x应为________元． 14. 如图，的顶点在抛物线上，将绕点O顺时针旋转，得到，边与该抛物线交于点，则点的坐标为_____． 15. 已知如图，在菱形中，，点P是上一点且．将绕点 B 顺时针旋转得到，连接交于点O、连接，则的长为__________． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 按要求解题： （1）用适当的方法解方程： ． （2）要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛1场），根据场地和时间，一共举行了28场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？ 17. 如图，三个顶点的坐标分别为 （1）画出绕原点O按逆时针方向旋转90度后的，直接写出的坐标； （2）画出关于原点O成中心对称的图形，直接写出的坐标． 18. 抛物线 经过点、； （1）求抛物线解析式及抛物线顶点的坐标； （2）直接写出不等式的解集： （3）当 时， 写出y的取值范围： ． 19. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于A（1，6），B（3，m）两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求△AOB的面积． 20. 独竹漂是国家级非物质文化遗产，被誉为“河上的轻功”．如图1，表演者脚踩单根楠竹，在河面上滑行，互动表演时常常向观众抛红色绸球，是特色的民俗节目．某次表演中，表演者在距离水面1米处，抛出一个红色绸球，绸球的运动轨迹为抛物线（不计空气阻力），建立如图2的平面直角坐标系，绸球从抛球点离开后，在点处达到最高． （1）求抛物线的解析式； （2）若观众区边缘点与原点的水平距离为10米，问绸球能否抛到观众区，并说明理由． 21. 某商场销售一批鞋子，平均每天可售出双，每双盈利元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价措施，调查发现，每双鞋子每降价元，商场平均每天可多售出双． （1）当每双鞋子降价多少元时，每天可以获得最大利润？最大利润为多少元？ （2）若商场每天要盈利元，且让顾客尽可能多得实惠，则每双鞋子应降价多少元？ 22. 学校的自动饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时水温：与通电时间成一次函数关系，加热到 即停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至 时，饮水机关机，饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序，若水温在 时开始接通电源，经过分钟饮水机第一次关机，水温与通电时间之间关系如图所示． （1）求从开始到饮水机第一次关机，水温与通电时间的函数关系式； （2）从开始到饮水机第一次关机，有多长时间水温不低于 ? 23. 【基础回顾】（1）如图，E是正方形中边上任意一点，以点A为中心，将顺时针旋转后得到．如图1，若连接，则的形状为________； 【变式探究】（2）如图2，在（1）条件下，设与相交于P，在上取点Q，使，连接，猜想与的数量关系，并给予证明； 【联想拓展】（3）如图3，在中，，．点P是上一点，则，，之间存在的数量关系为________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $