2026--2027学年苏科版九年级数学上册期中复习卷4

苏科版2026-2027学年数学九上_期中复习卷4 苏科版2026-2027学年数学九上_期中复习卷4 考查范围：第1章 一元二次方程、第2章 反比例函数、第3章 圆 考试时间：120分钟　满分：130分 学校：__________　　班级：__________　　姓名：__________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共27小题，满分130分，考试时间120分钟。 2．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在左侧密封线内。 3．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，将答案字母填在「选择题答题栏」对应题号下；如需改动，擦净后重填。 4．回答第Ⅱ卷时，用黑色签字笔将答案写在题目相应位置；作图题用2B铅笔作答，并保留作图痕迹。 5．考试结束后，将本试卷一并交回。 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 选择题答题栏 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1．（3分）下列是一元二次方程的是（　　） A．2x+1＝0 B．x2+y＝1 C．x2+2x+1＝0 D．x2+=1 2．（3分）一元二次方程x（x﹣1）＝0的两根是（　　） A．0，1 B．0，2 C．1，2 D．1，﹣2 3．（3分）下列问题中的两个量x、y成反比例的是（　　）x、y成反比例的是（　　） A．普通投影仪灯泡的使用寿命约为1500小时，平均每天使用的时间x（时）与它的可使用天数y（天） B．一种商品的单价为a（元/件），购买的件数x（件）与所花费的钱数y（元） C．小明应完成的作业量a一定，他已完成的作业量x和未完成的作业量y D．长方形的长a不变时，它的宽x与长方形的周长y 4．（3分）已知△ABC的内切圆⊙O切三角形的三边于点D，E，F，则△DEF是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．都有可能 5．（3分）如图，在⊙O中，AB是直径，BC=CD=DE，∠AOE＝60°，则∠BOC的度数为（　　） A．35° B．40° C．45° D．60° 6．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，以C为圆心r为半径画⊙C，使⊙C与线段AB有且只有两个公共点，则r的取值范围是（　　） A．5≤r≤12 B．5≤r＜12 C．≤r≤5 D．＜r≤5 7．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC是⊙O的直径，∠ACB＝18°，D为AC的中点，则∠DAC的度数是（　　） A．36° B．44° C．52° D．55° 8．（3分）如图，在一张Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，⊙O是它的内切圆．小明用剪刀沿着⊙O的切线DE剪下一块三角形ADE，则△ADE的周长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）定义新运算“a⊗b”：对于任意实数a，b，都有a⊗b＝（a﹣b）2﹣b，其中等式右边是通常的加法、减法和乘法运算，如3⊗2＝（3﹣2）2﹣2＝﹣1．若x⊗k＝0（k为实数）是关于x的方程，且x＝2是这个方程的一个根，则k的值是 　 　 ． 10．（3分）中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？”，设这个矩形的宽为x步，根据题意可列方程为　 　 ． 11．（3分）已知圆锥的底面半径为40cm，母线长为90cm，则它的侧面展开图的圆心角为　 　 度． 12．（3分）若反比例函数y=的图象的分支位于第一、三象限，则k的取值范围是 　　　　 ． 13．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AD，若OE＝3，CD＝8，则AD的长为 　 　 ． 14．（3分）把一元二次方程：（x+1）2﹣x＝3（x2﹣2）化成一般式是　　　　 ． 15．（3分）如图，一个半径为12cm的定滑轮带动重物上升，假设绳索与滑轮之间没有相对滑动，若滑轮上某一点P旋转了150°，则重物上升的高度为 　 　 cm． 16．（3分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是“邻根方程”．若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a＞0）是“邻根方程”，令t＝10a﹣b2，则t的最大值是 　 　 ． 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分）解方程：x2+2x﹣1＝0． 18．（6分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D，连接CD．以点A为圆心，AC长为半径画弧，交线段AB于点E，连接CE． （1）求∠DCE的度数． （2）设BC＝a，AC＝b．①线段BE的长是关于x的方程x2+2bx﹣a2＝0的一个根吗？说明理由．②若D为AE的中点，求的值． 19．（6分）如图，CD是△ABC的高，以AB为直径作⊙O交CB的延长线于点E，连接DE，DE＝CD． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若CD＝4，BD＝2，求△ABC的面积． 20．（6分）已知关于x的方程b（x2﹣1）+2ax+c（x2+1）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长． （1）若x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状； （2）若方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状． 21．（6分）已知关于x的一元二次方程kx2+x﹣3＝0有两个不相等的实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，且满足(x1-x2)2+5x1x2=4，求k的值． 22．（6分）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，连接BC，点D在BA的延长线上，点E在OB上，过点E作BD的垂线分别交DC的延长线于点F．交BC于点G，且∠F＝2∠B． （1）求证：DF是⊙O的切线； （2）若AO＝8，AD＝OE＝2，求EG的长． 23．（8分）某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．今年9月份的销售量是500件，11月份的销售量是720件． （1）若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； （2）市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 24．（8分）综合探究请根据学习函数的经验，将下列探究函数y=的图象与性质的过程补充完整： （1）函数y=的自变量x的取值范围是 　　　　 ； （2）下表列出了y与x的几组对应值，请写出其中m，n的值：m＝ 　　　　 ，n＝ 　　　　 ； x … ﹣2 ﹣1 0 n 2 3 4 … y … - m ﹣1 ﹣2 2 1 … （3）在如图所示的平面直角坐标系中，描出以（2）表中各组对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； （4）根据图象直接写出＞-1时x的取值范围：　　　　 ． 25．（10分）如图，一次函数y＝x+m的图象与反比例函数的图象交于点A（﹣3，a），B（1，3），且一次函数与x轴、y轴分别交于点C，D．y＝x+m的图象与反比例函数y=(k≠0)的图象交于点A（﹣3，a），B（1，3），且一次函数与x轴、y轴分别交于点C，D． （1）求该反比例函数和一次函数的表达式； （2）根据图象直接写出不等式x+m≤的解集； （3）在第三象限的反比例函数图象上有一点E，使得S△OCE＝3S△OBD，求点E的坐标． 26．（10分）某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均增长率； （2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？ 27．（10分）定义：圆心在三角形的一条边上，并与三角形的其中一边所在直线相切的圆称为这个三角形的切圆，相切的边称为这个圆的切边． （1）如图1，△ABC中，AB＝CB，∠A＝30°，点O在AC边上，以OC为半径的⊙O恰好经过点B，求证：⊙O是△ABC的切圆． （2）如图2，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，⊙O是△ABC的切圆，且另外两条边都是⊙O的切边，求⊙O的半径． （3）如图3，△ABC中，以AB为直径的⊙O恰好是△ABC的切圆，AC是⊙O的切边，⊙O与BC交于点F，取弧BF的中点D，连接AD交BC于点E，过点E作EH⊥AB于点H，若CF＝8，BF＝10，求AC和EH的长． 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $苏科版2026-2027学年数学九上_期中复习卷4 苏科版2026-2027学年数学九上_期中复习卷4 考查范围：第1章 一元二次方程、第2章 反比例函数、第3章 圆 参考答案与解析 1．（3分）下列是一元二次方程的是（　　） A．2x+1＝0 B．x2+y＝1 C．x2+2x+1＝0 D．x2+=1 【答案】C 【解答】解：A、方程的未知数的最高次数是1次，不是一元二次方程，不符合题意；B、方程含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；C、方程是一元二次方程，符合题意；D、方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意．故选：C． （来源：2026•凤阳县期末） 2．（3分）一元二次方程x（x﹣1）＝0的两根是（　　） A．0，1 B．0，2 C．1，2 D．1，﹣2 【答案】A 【解答】解： ∵x（x﹣1）＝0， ∴x＝0或x﹣1＝0，解得：x1＝0，x2＝1，故选：A． （来源：2026•南京一模） 3．（3分）下列问题中的两个量x、y成反比例的是（　　）x、y成反比例的是（　　） A．普通投影仪灯泡的使用寿命约为1500小时，平均每天使用的时间x（时）与它的可使用天数y（天） B．一种商品的单价为a（元/件），购买的件数x（件）与所花费的钱数y（元） C．小明应完成的作业量a一定，他已完成的作业量x和未完成的作业量y D．长方形的长a不变时，它的宽x与长方形的周长y 【答案】A 【解答】解：A．普通投影仪灯泡的使用寿命约为1500小时，平均每天使用的时间x（时）与它的可使用天数y（天）是反比例关系，故符合题意；B．一种商品的单价为a（元/件），购买的件数x（件）与所花费的钱数y（元）不是反比例关系，故不符合题意；C．小明应完成的作业量a一定，他已完成的作业量x和未完成的作业量y不是反比例关系，故不符合题意；D．长方形的长a不变时，它的宽x与长方形的周长y不是反比例关系，故不符合题意；故选：A． （来源：2026•龙口市期末） 4．（3分）已知△ABC的内切圆⊙O切三角形的三边于点D，E，F，则△DEF是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．都有可能 【答案】A 【解答】解：连接OD、OF． ∵AB、AC是圆的切线， ∴∠ADO＝∠AFO＝90°， ∴在四边形ADOF中，∠A+∠DOF＝180°， ∴∠DOF＝180°﹣∠A，又 ∵∠DEF=∠DOF， ∴∠DEF=（180°﹣∠A）＝90°-∠A＜90°，即∠DEF是锐角．同理，∠EDF和∠DFE都是锐角．则△DEF是锐角三角形．故选：A． （来源：2026•南京模拟） 5．（3分）如图，在⊙O中，AB是直径，BC=CD=DE，∠AOE＝60°，则∠BOC的度数为（　　） A．35° B．40° C．45° D．60° 【答案】B 【解答】解： ∵AB是直径， ∴∠AOB＝180°， ∵∠AOE＝60°， ∴∠BOE＝120°， ∵BC=CD=DE， ∴∠BOC=∠BOE=40°．故选：B． （来源：2025•南宫市期末） 6．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，以C为圆心r为半径画⊙C，使⊙C与线段AB有且只有两个公共点，则r的取值范围是（　　） A．5≤r≤12 B．5≤r＜12 C．≤r≤5 D．＜r≤5 【答案】D 【解答】解：在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，由勾股定理得：AB===13，如图1，过点C作CD⊥AB于点D， ∵S△ABC=AB⋅CD=AC⋅BC， ∴×13×CD=×5×12，解得：CD=，当r=时，⊙C与线段AB相切，只有一个交点，如图2，当＜r≤5时，⊙C与线段AB有两个交点；当5＜r≤12时，⊙C与线段AB只有一个交点；当r＞12时，⊙C与线段AB没有交点； ∴当⊙C与线段AB有且只有两个公共点时，r的取值范围是＜r≤5，故选：D． （来源：2025•大连期末） 7．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC是⊙O的直径，∠ACB＝18°，D为AC的中点，则∠DAC的度数是（　　） A．36° B．44° C．52° D．55° 【答案】A 【解答】解： ∵BC为圆O的直径， ∴∠BAC＝90°， ∴∠B＝90°﹣18°＝72°． ∵四边形ABCD为圆O内接四边形， ∴∠B+∠D＝180°， ∴∠D＝108°． ∵D为弧AC中点， ∴AD=CD， ∴AD＝CD． ∴∠DAC＝∠DCA． ∴∠DAC==36°．故选：A． （来源：2026•玄武区一模） 8．（3分）如图，在一张Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，⊙O是它的内切圆．小明用剪刀沿着⊙O的切线DE剪下一块三角形ADE，则△ADE的周长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【解答】解：如图，设△ABC的内切圆切三边于点F，H，G，连接OF，OH，OG， ∴四边形OHCG是正方形，由切线长定理可知：AF＝AG， ∵DE是⊙O的切线， ∴MD＝DF，EM＝EG， ∵∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4， ∴AB==5， ∵⊙O是△ABC的内切圆， ∴内切圆的半径=（AC+BC﹣AB）＝1， ∴CG＝1， ∴AG＝AC﹣CG＝4﹣1＝3， ∴△ADE的周长＝AD+DE+AE＝AD+DF+EG+AE＝AF+AG＝2AG＝6．故选：C． （来源：2024•邯郸期末） 9．（3分）定义新运算“a⊗b”：对于任意实数a，b，都有a⊗b＝（a﹣b）2﹣b，其中等式右边是通常的加法、减法和乘法运算，如3⊗2＝（3﹣2）2﹣2＝﹣1．若x⊗k＝0（k为实数）是关于x的方程，且x＝2是这个方程的一个根，则k的值是 　 　 ． 【答案】1或4 【解答】解：x⊗k＝0，（x﹣k）2﹣k＝0， ∵x＝2是这个方程的一个根， ∴（2﹣k）2﹣k＝0，整理得k2﹣5k+4＝0，解得k1＝1，k2＝4，故答案为：1或4． （来源：2025•白云区期末） 10．（3分）中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？”，设这个矩形的宽为x步，根据题意可列方程为　 　 ． 【答案】（60﹣x）x＝864 【解答】解： ∵矩形田地的长与宽共60步，且这个矩形的宽为x步， ∴这个矩形的长为（60﹣x）步．根据题意得：（60﹣x）x＝864．故答案为：（60﹣x）x＝864． （来源：2026•靖江市校级三模） 11．（3分）已知圆锥的底面半径为40cm，母线长为90cm，则它的侧面展开图的圆心角为　 　 度． 【答案】见解析 【解答】解：根据弧长的公式l=得到：80π=，解得n＝160度．侧面展开图的圆心角为160度． （来源：2025•齐齐哈尔） 12．（3分）若反比例函数y=的图象的分支位于第一、三象限，则k的取值范围是 ． 【答案】k＜2 【解答】解：由于反比例函数y=的图象的分支位于第一、三象限，则2﹣k＞0，解得：k＜2．故答案为：k＜2． （来源：2024秋•包河区校级期末） 13．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AD，若OE＝3，CD＝8，则AD的长为 　 　 ． 【答案】4 【解答】解：连接OD， ∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E， ∴DE=CD＝4， ∴OD===5， ∴AE＝OA+OE＝8， ∴AD===4，故答案为：4． （来源：2025•南昌期末） 14．（3分）把一元二次方程：（x+1）2﹣x＝3（x2﹣2）化成一般式是 ． 【答案】2x2﹣x﹣7＝0 【解答】解：x2+2x+1﹣x＝3x2﹣6x2+x+1﹣3x2+6＝0﹣2x2+x+7＝0 ∴2x2﹣x﹣7＝0故答案为：2x2﹣x﹣7＝0． （来源：2024秋•静安区校级期中） 15．（3分）如图，一个半径为12cm的定滑轮带动重物上升，假设绳索与滑轮之间没有相对滑动，若滑轮上某一点P旋转了150°，则重物上升的高度为 　 　 cm． 【答案】10π 【解答】解：由题意可得，圆心角为150°的扇形的弧长为：=10π（cm）， ∴滑轮上某一点P旋转了150°，则重物上升的高度为10πcm，故答案为：10π． （来源：2026•衡水校级开学） 16．（3分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是“邻根方程”．若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a＞0）是“邻根方程”，令t＝10a﹣b2，则t的最大值是 　 　 ． 【答案】9 【解答】解：ax2+bx+1＝0（a＞0） ∴x=， ∵关于x的方程ax2+bx+1＝0（a＞0）是“邻根方程”， ∴-=1， ∴b2＝a2+4a， ∵t＝10a﹣b2， ∴t＝10a﹣（a2+4a）＝﹣（a﹣3）2+9， ∵a＞0， ∴当a＝3时，t的最大值为9．故答案为：9． （来源：2026•宁波一模） 17．（6分）解方程：x2+2x﹣1＝0． 【答案】见解析 【解答】解：方程变形得：x2+2x＝1，配方得：x2+2x+1＝2，即（x+1）2＝2，开方得：x+1＝±，解得：x1＝﹣1+，x2＝﹣1-． （来源：2025•泉港区期末） 18．（6分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D，连接CD．以点A为圆心，AC长为半径画弧，交线段AB于点E，连接CE． （1）求∠DCE的度数． （2）设BC＝a，AC＝b．①线段BE的长是关于x的方程x2+2bx﹣a2＝0的一个根吗？说明理由．②若D为AE的中点，求的值． 【答案】见解析 【解答】解： （1） ∵BC＝BD， ∴∠BCD＝∠BDC， ∵AC＝AE， ∴∠ACE＝∠AEC， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BCD+∠ACE﹣∠DCE＝90°，又 ∵在△DCE中，∠BDC+∠AEC+∠DCE＝180°，则90°+2∠DCE＝180°， ∴∠DCE＝45°． （2）①线段BE的长是关于x的方程x2+2bx﹣a2＝0的一个根．理由如下：由勾股定理得：AB==， ∴BE=-b解关于x的方程x2+2bx﹣a2＝0，（x+b）2＝a2+b2，得x=±-b， ∴线段BE的长是关于x的方程x2+2bx﹣a2＝0的一个根；② ∵D为AE的中点， ∴AD=DE=，由勾股定理得：a2+b2=(+a)2，则b2﹣ab＝0，故b﹣a＝0，整理得：=． （来源：2025•上城区校级期中） 19．（6分）如图，CD是△ABC的高，以AB为直径作⊙O交CB的延长线于点E，连接DE，DE＝CD． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若CD＝4，BD＝2，求△ABC的面积． 【答案】见解析 【解答】（1）证明：连接OE，则OE＝OB， ∴∠OEB＝∠OBE， ∵∠OBE＝∠CBD， ∴∠OEB＝∠CBD， ∵DE＝CD， ∴∠DEC＝∠DCE， ∵CD是△ABC的高， ∴CD⊥AB，交AB的延长线于点D， ∴∠ADC＝90°， ∴∠OED＝∠OEB+∠DEC＝∠CBD+∠DCE＝90°， ∵OE是⊙O的半径，且DE⊥OE， ∴DE是⊙O的切线． （2）解： ∵∠OED＝90°， ∴OE2+DE2＝OD2， ∵DE＝CD＝4，BD＝2， ∴OD＝OB+2， ∵OE＝OB， ∴OB2+42＝（OB+2）2，解得OB＝3， ∴AB＝2OB＝6， ∴S△ABC=AB•CD=×6×4＝12， ∴△ABC的面积为12． （来源：2026•锡山区一模） 20．（6分）已知关于x的方程b（x2﹣1）+2ax+c（x2+1）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长． （1）若x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状； （2）若方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状． 【答案】见解析 【解答】解： （1） ∵x＝﹣1是一元二次方程b（x2﹣1）+2ax+c（x2+1）＝0的根， ∴﹣2a+2c＝0， ∴a＝c， ∴△ABC为等腰三角形． （2） ∵b（x2﹣1）+2ax+c（x2+1）＝0， ∴（b+c）x2+2ax+（c﹣b）＝0， ∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝4a2+4（b+c）（b﹣c）＝0， ∴a2+b2＝c2， ∴△ABC为直角三角形． （来源：2025•东坡区校级期末） 21．（6分）已知关于x的一元二次方程kx2+x﹣3＝0有两个不相等的实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，且满足(x1-x2)2+5x1x2=4，求k的值． 【答案】见解析 【解答】解： （1）关于x的一元二次方程kx2+x﹣3＝0有两个不相等的实数根． ∴k≠0且Δ＞0， ∴Δ＝12﹣4k×（﹣3）＞0解得k＞-， ∴k的取值范围为k＞-且k≠0； （2）由根与系数的关系得，x1+x2=-，x1x2=-， ∴(x1+x2)2+x1x2=[-()]2+(-)=4，即4k2+3k﹣1＝0， ∴（4k﹣1）（k+1）＝0解得k=或k＝﹣1，经检验，k=，k＝﹣1都是原分式方程的解，由（1）可得，k＞-且k≠0． ∴k=． （来源：2025•绥棱县期末） 22．（6分）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，连接BC，点D在BA的延长线上，点E在OB上，过点E作BD的垂线分别交DC的延长线于点F．交BC于点G，且∠F＝2∠B． （1）求证：DF是⊙O的切线； （2）若AO＝8，AD＝OE＝2，求EG的长． 【答案】见解析 【解答】（1）证明：连接OC， ∵EF⊥BD于点E，交DC的延长线于点F， ∴∠DEF＝90°， ∵∠DOC＝2∠B，∠F＝2∠B， ∴∠DOC＝∠F， ∵∠D＝∠D， ∴△DCO∽△DEF， ∴∠DCO＝∠DEF＝90°， ∵OC是⊙O的半径，且DF⊥OC于点C， ∴DF是⊙O的切线． （2）解：连接AC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠B+∠BAC＝90°， ∵OC＝OA， ∴∠OCA＝∠BAC， ∵∠DCA+∠OCA＝∠DCO＝90°， ∴∠DCA＝∠B， ∵∠D＝∠D， ∴△DCA∽△DBC， ∴==， ∵AO＝8，AD＝OE＝2， ∴BO＝AO＝8，AB＝2AO＝2×8＝16， ∴BE＝BO﹣OE＝8﹣2＝6，BD＝AD+AB＝2+16＝18， ∴CD2＝AD•BD＝2×18＝36， ∴CD＝6或CD＝﹣6（不符合题意，舍去）， ∴===， ∵∠GEB＝∠ACB＝90°， ∴tanB===， ∴EG=BE=×6＝2， ∴EG的长是2． （来源：2026•钢城区模拟） 23．（8分）某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．今年9月份的销售量是500件，11月份的销售量是720件． （1）若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； （2）市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 【答案】见解析 【解答】解： （1）设月平均增长率为x， ∵500（1+x）2＝720，解得：x＝0.2＝20%或x＝﹣2.2＜0（不符合题意，舍去），答：月平均增长率为20%． （2）设售价应降低a元，由题意可列出式子：（100﹣a﹣60）（20+2a）＝1200， ∴a＝10或a＝20， ∵商家决定降价促销，同时尽量减少库存， ∴a＝20，答：售价应降低20元． （来源：2026•兰州期末） 24．（8分）综合探究请根据学习函数的经验，将下列探究函数y=的图象与性质的过程补充完整： （1）函数y=的自变量x的取值范围是 ； （2）下表列出了y与x的几组对应值，请写出其中m，n的值：m＝ ，n＝ ； x … ﹣2 ﹣1 0 n 2 3 4 … y … - m ﹣1 ﹣2 2 1 … （3）在如图所示的平面直角坐标系中，描出以（2）表中各组对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； （4）根据图象直接写出＞-1时x的取值范围： ． 【答案】x≠1 【解答】解： （1） ∵x﹣1≠0， ∴x≠1，故答案为：x≠1； （2）当x＝﹣1时，y===-；当y＝2时，则2=，解得x=， ∴m=-，n=；故答案为： （3）如图所示： （4）由图象可知，＞-1时x的取值范围为x＜0或x＞1．故答案为：x＜0或x＞1． （来源：2024•惠阳区校级三模） 25．（10分）如图，一次函数y＝x+m的图象与反比例函数的图象交于点A（﹣3，a），B（1，3），且一次函数与x轴、y轴分别交于点C，D．y＝x+m的图象与反比例函数y=(k≠0)的图象交于点A（﹣3，a），B（1，3），且一次函数与x轴、y轴分别交于点C，D． （1）求该反比例函数和一次函数的表达式； （2）根据图象直接写出不等式x+m≤的解集； （3）在第三象限的反比例函数图象上有一点E，使得S△OCE＝3S△OBD，求点E的坐标． 【答案】见解析 【解答】解： （1） ∵一次函数y＝x+m（m≠0）的图象与反比例函数y=（k≠0）的图象交于点A（﹣3，a），B（1，3）， ∴k＝1×3＝﹣3a， ∴k＝3，a＝﹣1， ∴反比例函数解析式为y=， ∵一次函数y＝x+m图象过B（1，3）， ∴3＝1+m，解得m＝2， ∴一次函数解析式为y＝x+2； （2）由图象可知，x+m≤时x的取值范围为：x≤﹣3或0＜x≤1； （3）在一次函数y＝x+2中，当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝﹣2， ∴C（﹣2，0），D（0，2）， ∴S△OBD=×2×1＝1， ∴S△OCE＝3S△OBD＝3，设点E大坐标为（m，）， ∴×2•||＝3，解得m＝±1（正值舍去）， ∴点E（﹣1，﹣3）． （来源：2026•通许县一模） 26．（10分）某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均增长率； （2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？ 【答案】见解析 【解答】解： （1）设二、三这两个月的月平均增长率为x，根据题意可得：256（1+x）2＝400，解得：x1=，x2=-（不合题意舍去）．答：二、三这两个月的月平均增长率为25%； （2）设当商品降价m元时，商品获利4250元，根据题意可得：（40﹣25﹣m）（400+5m）＝4250，解得：m1＝5，m2＝﹣70（不合题意舍去）．答：当商品降价5元时，商场获利4250元． （来源：2024•常德期末） 27．（10分）定义：圆心在三角形的一条边上，并与三角形的其中一边所在直线相切的圆称为这个三角形的切圆，相切的边称为这个圆的切边． （1）如图1，△ABC中，AB＝CB，∠A＝30°，点O在AC边上，以OC为半径的⊙O恰好经过点B，求证：⊙O是△ABC的切圆． （2）如图2，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，⊙O是△ABC的切圆，且另外两条边都是⊙O的切边，求⊙O的半径． （3）如图3，△ABC中，以AB为直径的⊙O恰好是△ABC的切圆，AC是⊙O的切边，⊙O与BC交于点F，取弧BF的中点D，连接AD交BC于点E，过点E作EH⊥AB于点H，若CF＝8，BF＝10，求AC和EH的长． 【答案】见解析 【解答】（1）证明：连接OB，如图， ∵AB＝AC，∠A＝30°， ∴∠A＝∠C＝30°． ∴∠CAB＝180°﹣∠A﹣∠C＝120°． ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠C＝30°． ∴∠OBA＝∠CBA﹣∠OBC＝90°．即OB⊥BA． ∵OB是圆的半径， ∴AB与⊙O相切． ∵圆心O在AC边上， ∴⊙O是△ABC的切圆； （2）解：①当圆心O在BC边上，⊙O与AB，AC边相切于点M，N时，连接OA，OM，ON，如图， ∵AB，AC是⊙O的切线， ∴OM⊥AB，ON⊥AC，AO平分∠BAC． ∵AB＝AC， ∴AO⊥BC，OB＝OC=BC＝3． ∵AO⊥BO，OM⊥AB， ∴△BOM∽△BAO． ∴=． ∴=． ∴BM=． ∴OM==；②当圆心O在AC边上，⊙O与AB，BC边相切于点M，N时，连接OM，ON，BO，过点A作AH⊥BC于点H，如图，设OM＝ON＝r， ∵AB，BC是⊙O的切线， ∴OM⊥AB，ON⊥BC． ∵AB＝AC，AH⊥BC， ∴BH＝CH=BC＝3， ∴AH==4． ∴S△ABC=×BC•AH=×6×4＝12． ∵S△ABC＝S△ABO+S△CBO， ∴×AB•r+×BC•r＝12． ∴×5r+×6r=12． ∴r=．综上，⊙O的半径为或； （3）解：连接AF，如图， ∵AB为⊙O的直径， ∴AF⊥BC． ∵⊙O是△ABC的切圆，AC是⊙O的切边， ∴AB⊥AC． ∴△ACF∽△BAF． ∴=． ∴=． ∴AF＝4． ∴AC==12，AB==6． ∵D是弧BF的中点， ∴∠FAD＝∠BAD． ∴===．设FE＝2k，则BE＝3k， ∵BF＝FE+BE＝10， ∴2k+3k＝10． ∴k＝2． ∴EF＝4，BE＝6． ∵EH⊥AB，AC⊥AB， ∴EH∥AC． ∴=． ∴=． ∴EH＝4． （来源：2026•榆树市三模） 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $苏科版2026-2027学年数学九上_期中复习卷4 苏科版2026-2027学年数学九上_期中复习卷4 考查范围：第1章 一元二次方程、第2章 反比例函数、第3章 圆 考试时间：120分钟　满分：130分 答 题 卷 （选择题用2B铅笔填涂，其余用黑色签字笔作答） 学校：＿＿＿＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿＿　　考场号：＿＿＿＿＿　座位号：＿＿＿＿＿ 注意事项： 1. 答题前，考生先填写自己的学校、姓名、考场号、座位号、准考证号。准考证号必须用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂，如需修改，请用橡皮擦干净；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔作答。 3. 请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效。 4. 保持卡面清洁，不要折叠、弄皱、弄破。 准考证号填涂区 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) 正确填涂： 缺考： 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1． A B C D 2． A B C D 3． A B C D 4． A B C D 5． A B C D 6． A B C D 7． A B C D 8． A B C D 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 题号 答案 题号 答案 题号 答案 9．（3分） 10．（3分） 11．（3分） 12．（3分） 13．（3分） 14．（3分） 15．（3分） 16．（3分） 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 20．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 21．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 22．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 23．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 24．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 25．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 26．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 27．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $苏科版2026-2027学年数学九上_期中复习卷4 苏科版2026-2027学年数学九上_期中复习卷4 考查范围：第1章 一元二次方程、第2章 反比例函数、第3章 圆 参考答案与解析 1．（3分）下列是一元二次方程的是（　　） A．2x+1＝0 B．x2+y＝1 C．x2+2x+1＝0 D．x2+=1 【答案】C 【解答】解：A、方程的未知数的最高次数是1次，不是一元二次方程，不符合题意；B、方程含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；C、方程是一元二次方程，符合题意；D、方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意．故选：C． （来源：2026•凤阳县期末） 2．（3分）一元二次方程x（x﹣1）＝0的两根是（　　） A．0，1 B．0，2 C．1，2 D．1，﹣2 【答案】A 【解答】解： ∵x（x﹣1）＝0， ∴x＝0或x﹣1＝0，解得：x1＝0，x2＝1，故选：A． （来源：2026•南京一模） 3．（3分）下列问题中的两个量x、y成反比例的是（　　）x、y成反比例的是（　　） A．普通投影仪灯泡的使用寿命约为1500小时，平均每天使用的时间x（时）与它的可使用天数y（天） B．一种商品的单价为a（元/件），购买的件数x（件）与所花费的钱数y（元） C．小明应完成的作业量a一定，他已完成的作业量x和未完成的作业量y D．长方形的长a不变时，它的宽x与长方形的周长y 【答案】A 【解答】解：A．普通投影仪灯泡的使用寿命约为1500小时，平均每天使用的时间x（时）与它的可使用天数y（天）是反比例关系，故符合题意；B．一种商品的单价为a（元/件），购买的件数x（件）与所花费的钱数y（元）不是反比例关系，故不符合题意；C．小明应完成的作业量a一定，他已完成的作业量x和未完成的作业量y不是反比例关系，故不符合题意；D．长方形的长a不变时，它的宽x与长方形的周长y不是反比例关系，故不符合题意；故选：A． （来源：2026•龙口市期末） 4．（3分）已知△ABC的内切圆⊙O切三角形的三边于点D，E，F，则△DEF是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．都有可能 【答案】A 【解答】解：连接OD、OF． ∵AB、AC是圆的切线， ∴∠ADO＝∠AFO＝90°， ∴在四边形ADOF中，∠A+∠DOF＝180°， ∴∠DOF＝180°﹣∠A，又 ∵∠DEF=∠DOF， ∴∠DEF=（180°﹣∠A）＝90°-∠A＜90°，即∠DEF是锐角．同理，∠EDF和∠DFE都是锐角．则△DEF是锐角三角形．故选：A． （来源：2026•南京模拟） 5．（3分）如图，在⊙O中，AB是直径，BC=CD=DE，∠AOE＝60°，则∠BOC的度数为（　　） A．35° B．40° C．45° D．60° 【答案】B 【解答】解： ∵AB是直径， ∴∠AOB＝180°， ∵∠AOE＝60°， ∴∠BOE＝120°， ∵BC=CD=DE， ∴∠BOC=∠BOE=40°．故选：B． （来源：2025•南宫市期末） 6．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，以C为圆心r为半径画⊙C，使⊙C与线段AB有且只有两个公共点，则r的取值范围是（　　） A．5≤r≤12 B．5≤r＜12 C．≤r≤5 D．＜r≤5 【答案】D 【解答】解：在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，由勾股定理得：AB===13，如图1，过点C作CD⊥AB于点D， ∵S△ABC=AB⋅CD=AC⋅BC， ∴×13×CD=×5×12，解得：CD=，当r=时，⊙C与线段AB相切，只有一个交点，如图2，当＜r≤5时，⊙C与线段AB有两个交点；当5＜r≤12时，⊙C与线段AB只有一个交点；当r＞12时，⊙C与线段AB没有交点； ∴当⊙C与线段AB有且只有两个公共点时，r的取值范围是＜r≤5，故选：D． （来源：2025•大连期末） 7．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC是⊙O的直径，∠ACB＝18°，D为AC的中点，则∠DAC的度数是（　　） A．36° B．44° C．52° D．55° 【答案】A 【解答】解： ∵BC为圆O的直径， ∴∠BAC＝90°， ∴∠B＝90°﹣18°＝72°． ∵四边形ABCD为圆O内接四边形， ∴∠B+∠D＝180°， ∴∠D＝108°． ∵D为弧AC中点， ∴AD=CD， ∴AD＝CD． ∴∠DAC＝∠DCA． ∴∠DAC==36°．故选：A． （来源：2026•玄武区一模） 8．（3分）如图，在一张Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，⊙O是它的内切圆．小明用剪刀沿着⊙O的切线DE剪下一块三角形ADE，则△ADE的周长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【解答】解：如图，设△ABC的内切圆切三边于点F，H，G，连接OF，OH，OG， ∴四边形OHCG是正方形，由切线长定理可知：AF＝AG， ∵DE是⊙O的切线， ∴MD＝DF，EM＝EG， ∵∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4， ∴AB==5， ∵⊙O是△ABC的内切圆， ∴内切圆的半径=（AC+BC﹣AB）＝1， ∴CG＝1， ∴AG＝AC﹣CG＝4﹣1＝3， ∴△ADE的周长＝AD+DE+AE＝AD+DF+EG+AE＝AF+AG＝2AG＝6．故选：C． （来源：2024•邯郸期末） 9．（3分）定义新运算“a⊗b”：对于任意实数a，b，都有a⊗b＝（a﹣b）2﹣b，其中等式右边是通常的加法、减法和乘法运算，如3⊗2＝（3﹣2）2﹣2＝﹣1．若x⊗k＝0（k为实数）是关于x的方程，且x＝2是这个方程的一个根，则k的值是 　 　 ． 【答案】1或4 【解答】解：x⊗k＝0，（x﹣k）2﹣k＝0， ∵x＝2是这个方程的一个根， ∴（2﹣k）2﹣k＝0，整理得k2﹣5k+4＝0，解得k1＝1，k2＝4，故答案为：1或4． （来源：2025•白云区期末） 10．（3分）中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？”，设这个矩形的宽为x步，根据题意可列方程为　 　 ． 【答案】（60﹣x）x＝864 【解答】解： ∵矩形田地的长与宽共60步，且这个矩形的宽为x步， ∴这个矩形的长为（60﹣x）步．根据题意得：（60﹣x）x＝864．故答案为：（60﹣x）x＝864． （来源：2026•靖江市校级三模） 11．（3分）已知圆锥的底面半径为40cm，母线长为90cm，则它的侧面展开图的圆心角为　 　 度． 【答案】见解析 【解答】解：根据弧长的公式l=得到：80π=，解得n＝160度．侧面展开图的圆心角为160度． （来源：2025•齐齐哈尔） 12．（3分）若反比例函数y=的图象的分支位于第一、三象限，则k的取值范围是 ． 【答案】k＜2 【解答】解：由于反比例函数y=的图象的分支位于第一、三象限，则2﹣k＞0，解得：k＜2．故答案为：k＜2． （来源：2024秋•包河区校级期末） 13．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AD，若OE＝3，CD＝8，则AD的长为 　 　 ． 【答案】4 【解答】解：连接OD， ∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E， ∴DE=CD＝4， ∴OD===5， ∴AE＝OA+OE＝8， ∴AD===4，故答案为：4． （来源：2025•南昌期末） 14．（3分）把一元二次方程：（x+1）2﹣x＝3（x2﹣2）化成一般式是 ． 【答案】2x2﹣x﹣7＝0 【解答】解：x2+2x+1﹣x＝3x2﹣6x2+x+1﹣3x2+6＝0﹣2x2+x+7＝0 ∴2x2﹣x﹣7＝0故答案为：2x2﹣x﹣7＝0． （来源：2024秋•静安区校级期中） 15．（3分）如图，一个半径为12cm的定滑轮带动重物上升，假设绳索与滑轮之间没有相对滑动，若滑轮上某一点P旋转了150°，则重物上升的高度为 　 　 cm． 【答案】10π 【解答】解：由题意可得，圆心角为150°的扇形的弧长为：=10π（cm）， ∴滑轮上某一点P旋转了150°，则重物上升的高度为10πcm，故答案为：10π． （来源：2026•衡水校级开学） 16．（3分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是“邻根方程”．若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a＞0）是“邻根方程”，令t＝10a﹣b2，则t的最大值是 　 　 ． 【答案】9 【解答】解：ax2+bx+1＝0（a＞0） ∴x=， ∵关于x的方程ax2+bx+1＝0（a＞0）是“邻根方程”， ∴-=1， ∴b2＝a2+4a， ∵t＝10a﹣b2， ∴t＝10a﹣（a2+4a）＝﹣（a﹣3）2+9， ∵a＞0， ∴当a＝3时，t的最大值为9．故答案为：9． （来源：2026•宁波一模） 17．（6分）解方程：x2+2x﹣1＝0． 【答案】见解析 【解答】解：方程变形得：x2+2x＝1，配方得：x2+2x+1＝2，即（x+1）2＝2，开方得：x+1＝±，解得：x1＝﹣1+，x2＝﹣1-． （来源：2025•泉港区期末） 18．（6分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D，连接CD．以点A为圆心，AC长为半径画弧，交线段AB于点E，连接CE． （1）求∠DCE的度数． （2）设BC＝a，AC＝b．①线段BE的长是关于x的方程x2+2bx﹣a2＝0的一个根吗？说明理由．②若D为AE的中点，求的值． 【答案】见解析 【解答】解： （1） ∵BC＝BD， ∴∠BCD＝∠BDC， ∵AC＝AE， ∴∠ACE＝∠AEC， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BCD+∠ACE﹣∠DCE＝90°，又 ∵在△DCE中，∠BDC+∠AEC+∠DCE＝180°，则90°+2∠DCE＝180°， ∴∠DCE＝45°． （2）①线段BE的长是关于x的方程x2+2bx﹣a2＝0的一个根．理由如下：由勾股定理得：AB==， ∴BE=-b解关于x的方程x2+2bx﹣a2＝0，（x+b）2＝a2+b2，得x=±-b， ∴线段BE的长是关于x的方程x2+2bx﹣a2＝0的一个根；② ∵D为AE的中点， ∴AD=DE=，由勾股定理得：a2+b2=(+a)2，则b2﹣ab＝0，故b﹣a＝0，整理得：=． （来源：2025•上城区校级期中） 19．（6分）如图，CD是△ABC的高，以AB为直径作⊙O交CB的延长线于点E，连接DE，DE＝CD． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若CD＝4，BD＝2，求△ABC的面积． 【答案】见解析 【解答】（1）证明：连接OE，则OE＝OB， ∴∠OEB＝∠OBE， ∵∠OBE＝∠CBD， ∴∠OEB＝∠CBD， ∵DE＝CD， ∴∠DEC＝∠DCE， ∵CD是△ABC的高， ∴CD⊥AB，交AB的延长线于点D， ∴∠ADC＝90°， ∴∠OED＝∠OEB+∠DEC＝∠CBD+∠DCE＝90°， ∵OE是⊙O的半径，且DE⊥OE， ∴DE是⊙O的切线． （2）解： ∵∠OED＝90°， ∴OE2+DE2＝OD2， ∵DE＝CD＝4，BD＝2， ∴OD＝OB+2， ∵OE＝OB， ∴OB2+42＝（OB+2）2，解得OB＝3， ∴AB＝2OB＝6， ∴S△ABC=AB•CD=×6×4＝12， ∴△ABC的面积为12． （来源：2026•锡山区一模） 20．（6分）已知关于x的方程b（x2﹣1）+2ax+c（x2+1）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长． （1）若x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状； （2）若方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状． 【答案】见解析 【解答】解： （1） ∵x＝﹣1是一元二次方程b（x2﹣1）+2ax+c（x2+1）＝0的根， ∴﹣2a+2c＝0， ∴a＝c， ∴△ABC为等腰三角形． （2） ∵b（x2﹣1）+2ax+c（x2+1）＝0， ∴（b+c）x2+2ax+（c﹣b）＝0， ∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝4a2+4（b+c）（b﹣c）＝0， ∴a2+b2＝c2， ∴△ABC为直角三角形． （来源：2025•东坡区校级期末） 21．（6分）已知关于x的一元二次方程kx2+x﹣3＝0有两个不相等的实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，且满足(x1-x2)2+5x1x2=4，求k的值． 【答案】见解析 【解答】解： （1）关于x的一元二次方程kx2+x﹣3＝0有两个不相等的实数根． ∴k≠0且Δ＞0， ∴Δ＝12﹣4k×（﹣3）＞0解得k＞-， ∴k的取值范围为k＞-且k≠0； （2）由根与系数的关系得，x1+x2=-，x1x2=-， ∴(x1+x2)2+x1x2=[-()]2+(-)=4，即4k2+3k﹣1＝0， ∴（4k﹣1）（k+1）＝0解得k=或k＝﹣1，经检验，k=，k＝﹣1都是原分式方程的解，由（1）可得，k＞-且k≠0． ∴k=． （来源：2025•绥棱县期末） 22．（6分）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，连接BC，点D在BA的延长线上，点E在OB上，过点E作BD的垂线分别交DC的延长线于点F．交BC于点G，且∠F＝2∠B． （1）求证：DF是⊙O的切线； （2）若AO＝8，AD＝OE＝2，求EG的长． 【答案】见解析 【解答】（1）证明：连接OC， ∵EF⊥BD于点E，交DC的延长线于点F， ∴∠DEF＝90°， ∵∠DOC＝2∠B，∠F＝2∠B， ∴∠DOC＝∠F， ∵∠D＝∠D， ∴△DCO∽△DEF， ∴∠DCO＝∠DEF＝90°， ∵OC是⊙O的半径，且DF⊥OC于点C， ∴DF是⊙O的切线． （2）解：连接AC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠B+∠BAC＝90°， ∵OC＝OA， ∴∠OCA＝∠BAC， ∵∠DCA+∠OCA＝∠DCO＝90°， ∴∠DCA＝∠B， ∵∠D＝∠D， ∴△DCA∽△DBC， ∴==， ∵AO＝8，AD＝OE＝2， ∴BO＝AO＝8，AB＝2AO＝2×8＝16， ∴BE＝BO﹣OE＝8﹣2＝6，BD＝AD+AB＝2+16＝18， ∴CD2＝AD•BD＝2×18＝36， ∴CD＝6或CD＝﹣6（不符合题意，舍去）， ∴===， ∵∠GEB＝∠ACB＝90°， ∴tanB===， ∴EG=BE=×6＝2， ∴EG的长是2． （来源：2026•钢城区模拟） 23．（8分）某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．今年9月份的销售量是500件，11月份的销售量是720件． （1）若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； （2）市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 【答案】见解析 【解答】解： （1）设月平均增长率为x， ∵500（1+x）2＝720，解得：x＝0.2＝20%或x＝﹣2.2＜0（不符合题意，舍去），答：月平均增长率为20%． （2）设售价应降低a元，由题意可列出式子：（100﹣a﹣60）（20+2a）＝1200， ∴a＝10或a＝20， ∵商家决定降价促销，同时尽量减少库存， ∴a＝20，答：售价应降低20元． （来源：2026•兰州期末） 24．（8分）综合探究请根据学习函数的经验，将下列探究函数y=的图象与性质的过程补充完整： （1）函数y=的自变量x的取值范围是 ； （2）下表列出了y与x的几组对应值，请写出其中m，n的值：m＝ ，n＝ ； x … ﹣2 ﹣1 0 n 2 3 4 … y … - m ﹣1 ﹣2 2 1 … （3）在如图所示的平面直角坐标系中，描出以（2）表中各组对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； （4）根据图象直接写出＞-1时x的取值范围： ． 【答案】x≠1 【解答】解： （1） ∵x﹣1≠0， ∴x≠1，故答案为：x≠1； （2）当x＝﹣1时，y===-；当y＝2时，则2=，解得x=， ∴m=-，n=；故答案为： （3）如图所示： （4）由图象可知，＞-1时x的取值范围为x＜0或x＞1．故答案为：x＜0或x＞1． （来源：2024•惠阳区校级三模） 25．（10分）如图，一次函数y＝x+m的图象与反比例函数的图象交于点A（﹣3，a），B（1，3），且一次函数与x轴、y轴分别交于点C，D．y＝x+m的图象与反比例函数y=(k≠0)的图象交于点A（﹣3，a），B（1，3），且一次函数与x轴、y轴分别交于点C，D． （1）求该反比例函数和一次函数的表达式； （2）根据图象直接写出不等式x+m≤的解集； （3）在第三象限的反比例函数图象上有一点E，使得S△OCE＝3S△OBD，求点E的坐标． 【答案】见解析 【解答】解： （1） ∵一次函数y＝x+m（m≠0）的图象与反比例函数y=（k≠0）的图象交于点A（﹣3，a），B（1，3）， ∴k＝1×3＝﹣3a， ∴k＝3，a＝﹣1， ∴反比例函数解析式为y=， ∵一次函数y＝x+m图象过B（1，3）， ∴3＝1+m，解得m＝2， ∴一次函数解析式为y＝x+2； （2）由图象可知，x+m≤时x的取值范围为：x≤﹣3或0＜x≤1； （3）在一次函数y＝x+2中，当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝﹣2， ∴C（﹣2，0），D（0，2）， ∴S△OBD=×2×1＝1， ∴S△OCE＝3S△OBD＝3，设点E大坐标为（m，）， ∴×2•||＝3，解得m＝±1（正值舍去）， ∴点E（﹣1，﹣3）． （来源：2026•通许县一模） 26．（10分）某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均增长率； （2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？ 【答案】见解析 【解答】解： （1）设二、三这两个月的月平均增长率为x，根据题意可得：256（1+x）2＝400，解得：x1=，x2=-（不合题意舍去）．答：二、三这两个月的月平均增长率为25%； （2）设当商品降价m元时，商品获利4250元，根据题意可得：（40﹣25﹣m）（400+5m）＝4250，解得：m1＝5，m2＝﹣70（不合题意舍去）．答：当商品降价5元时，商场获利4250元． （来源：2024•常德期末） 27．（10分）定义：圆心在三角形的一条边上，并与三角形的其中一边所在直线相切的圆称为这个三角形的切圆，相切的边称为这个圆的切边． （1）如图1，△ABC中，AB＝CB，∠A＝30°，点O在AC边上，以OC为半径的⊙O恰好经过点B，求证：⊙O是△ABC的切圆． （2）如图2，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，⊙O是△ABC的切圆，且另外两条边都是⊙O的切边，求⊙O的半径． （3）如图3，△ABC中，以AB为直径的⊙O恰好是△ABC的切圆，AC是⊙O的切边，⊙O与BC交于点F，取弧BF的中点D，连接AD交BC于点E，过点E作EH⊥AB于点H，若CF＝8，BF＝10，求AC和EH的长． 【答案】见解析 【解答】（1）证明：连接OB，如图， ∵AB＝AC，∠A＝30°， ∴∠A＝∠C＝30°． ∴∠CAB＝180°﹣∠A﹣∠C＝120°． ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠C＝30°． ∴∠OBA＝∠CBA﹣∠OBC＝90°．即OB⊥BA． ∵OB是圆的半径， ∴AB与⊙O相切． ∵圆心O在AC边上， ∴⊙O是△ABC的切圆； （2）解：①当圆心O在BC边上，⊙O与AB，AC边相切于点M，N时，连接OA，OM，ON，如图， ∵AB，AC是⊙O的切线， ∴OM⊥AB，ON⊥AC，AO平分∠BAC． ∵AB＝AC， ∴AO⊥BC，OB＝OC=BC＝3． ∵AO⊥BO，OM⊥AB， ∴△BOM∽△BAO． ∴=． ∴=． ∴BM=． ∴OM==；②当圆心O在AC边上，⊙O与AB，BC边相切于点M，N时，连接OM，ON，BO，过点A作AH⊥BC于点H，如图，设OM＝ON＝r， ∵AB，BC是⊙O的切线， ∴OM⊥AB，ON⊥BC． ∵AB＝AC，AH⊥BC， ∴BH＝CH=BC＝3， ∴AH==4． ∴S△ABC=×BC•AH=×6×4＝12． ∵S△ABC＝S△ABO+S△CBO， ∴×AB•r+×BC•r＝12． ∴×5r+×6r=12． ∴r=．综上，⊙O的半径为或； （3）解：连接AF，如图， ∵AB为⊙O的直径， ∴AF⊥BC． ∵⊙O是△ABC的切圆，AC是⊙O的切边， ∴AB⊥AC． ∴△ACF∽△BAF． ∴=． ∴=． ∴AF＝4． ∴AC==12，AB==6． ∵D是弧BF的中点， ∴∠FAD＝∠BAD． ∴===．设FE＝2k，则BE＝3k， ∵BF＝FE+BE＝10， ∴2k+3k＝10． ∴k＝2． ∴EF＝4，BE＝6． ∵EH⊥AB，AC⊥AB， ∴EH∥AC． ∴=． ∴=． ∴EH＝4． （来源：2026•榆树市三模） 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $苏科版2026-2027学年数学九上_期中复习卷4 苏科版2026-2027学年数学九上_期中复习卷4 考查范围：第1章 一元二次方程、第2章 反比例函数、第3章 圆 考试时间：120分钟　满分：130分 学校：__________　　班级：__________　　姓名：__________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共27小题，满分130分，考试时间120分钟。 2．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在左侧密封线内。 3．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，将答案字母填在「选择题答题栏」对应题号下；如需改动，擦净后重填。 4．回答第Ⅱ卷时，用黑色签字笔将答案写在题目相应位置；作图题用2B铅笔作答，并保留作图痕迹。 5．考试结束后，将本试卷一并交回。 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 选择题答题栏 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1．（3分）下列是一元二次方程的是（　　） A．2x+1＝0 B．x2+y＝1 C．x2+2x+1＝0 D．x2+=1 2．（3分）一元二次方程x（x﹣1）＝0的两根是（　　） A．0，1 B．0，2 C．1，2 D．1，﹣2 3．（3分）下列问题中的两个量x、y成反比例的是（　　）x、y成反比例的是（　　） A．普通投影仪灯泡的使用寿命约为1500小时，平均每天使用的时间x（时）与它的可使用天数y（天） B．一种商品的单价为a（元/件），购买的件数x（件）与所花费的钱数y（元） C．小明应完成的作业量a一定，他已完成的作业量x和未完成的作业量y D．长方形的长a不变时，它的宽x与长方形的周长y 4．（3分）已知△ABC的内切圆⊙O切三角形的三边于点D，E，F，则△DEF是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．都有可能 5．（3分）如图，在⊙O中，AB是直径，BC=CD=DE，∠AOE＝60°，则∠BOC的度数为（　　） A．35° B．40° C．45° D．60° 6．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，以C为圆心r为半径画⊙C，使⊙C与线段AB有且只有两个公共点，则r的取值范围是（　　） A．5≤r≤12 B．5≤r＜12 C．≤r≤5 D．＜r≤5 7．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC是⊙O的直径，∠ACB＝18°，D为AC的中点，则∠DAC的度数是（　　） A．36° B．44° C．52° D．55° 8．（3分）如图，在一张Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，⊙O是它的内切圆．小明用剪刀沿着⊙O的切线DE剪下一块三角形ADE，则△ADE的周长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）定义新运算“a⊗b”：对于任意实数a，b，都有a⊗b＝（a﹣b）2﹣b，其中等式右边是通常的加法、减法和乘法运算，如3⊗2＝（3﹣2）2﹣2＝﹣1．若x⊗k＝0（k为实数）是关于x的方程，且x＝2是这个方程的一个根，则k的值是 　 　 ． 10．（3分）中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？”，设这个矩形的宽为x步，根据题意可列方程为　 　 ． 11．（3分）已知圆锥的底面半径为40cm，母线长为90cm，则它的侧面展开图的圆心角为　 　 度． 12．（3分）若反比例函数y=的图象的分支位于第一、三象限，则k的取值范围是 　　　　 ． 13．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AD，若OE＝3，CD＝8，则AD的长为 　 　 ． 14．（3分）把一元二次方程：（x+1）2﹣x＝3（x2﹣2）化成一般式是　　　　 ． 15．（3分）如图，一个半径为12cm的定滑轮带动重物上升，假设绳索与滑轮之间没有相对滑动，若滑轮上某一点P旋转了150°，则重物上升的高度为 　 　 cm． 16．（3分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是“邻根方程”．若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a＞0）是“邻根方程”，令t＝10a﹣b2，则t的最大值是 　 　 ． 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分）解方程：x2+2x﹣1＝0． 18．（6分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D，连接CD．以点A为圆心，AC长为半径画弧，交线段AB于点E，连接CE． （1）求∠DCE的度数． （2）设BC＝a，AC＝b．①线段BE的长是关于x的方程x2+2bx﹣a2＝0的一个根吗？说明理由．②若D为AE的中点，求的值． 19．（6分）如图，CD是△ABC的高，以AB为直径作⊙O交CB的延长线于点E，连接DE，DE＝CD． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若CD＝4，BD＝2，求△ABC的面积． 20．（6分）已知关于x的方程b（x2﹣1）+2ax+c（x2+1）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长． （1）若x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状； （2）若方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状． 21．（6分）已知关于x的一元二次方程kx2+x﹣3＝0有两个不相等的实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，且满足(x1-x2)2+5x1x2=4，求k的值． 22．（6分）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，连接BC，点D在BA的延长线上，点E在OB上，过点E作BD的垂线分别交DC的延长线于点F．交BC于点G，且∠F＝2∠B． （1）求证：DF是⊙O的切线； （2）若AO＝8，AD＝OE＝2，求EG的长． 23．（8分）某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．今年9月份的销售量是500件，11月份的销售量是720件． （1）若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； （2）市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 24．（8分）综合探究请根据学习函数的经验，将下列探究函数y=的图象与性质的过程补充完整： （1）函数y=的自变量x的取值范围是 　　　　 ； （2）下表列出了y与x的几组对应值，请写出其中m，n的值：m＝ 　　　　 ，n＝ 　　　　 ； x … ﹣2 ﹣1 0 n 2 3 4 … y … - m ﹣1 ﹣2 2 1 … （3）在如图所示的平面直角坐标系中，描出以（2）表中各组对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； （4）根据图象直接写出＞-1时x的取值范围：　　　　 ． 25．（10分）如图，一次函数y＝x+m的图象与反比例函数的图象交于点A（﹣3，a），B（1，3），且一次函数与x轴、y轴分别交于点C，D．y＝x+m的图象与反比例函数y=(k≠0)的图象交于点A（﹣3，a），B（1，3），且一次函数与x轴、y轴分别交于点C，D． （1）求该反比例函数和一次函数的表达式； （2）根据图象直接写出不等式x+m≤的解集； （3）在第三象限的反比例函数图象上有一点E，使得S△OCE＝3S△OBD，求点E的坐标． 26．（10分）某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均增长率； （2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？ 27．（10分）定义：圆心在三角形的一条边上，并与三角形的其中一边所在直线相切的圆称为这个三角形的切圆，相切的边称为这个圆的切边． （1）如图1，△ABC中，AB＝CB，∠A＝30°，点O在AC边上，以OC为半径的⊙O恰好经过点B，求证：⊙O是△ABC的切圆． （2）如图2，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，⊙O是△ABC的切圆，且另外两条边都是⊙O的切边，求⊙O的半径． （3）如图3，△ABC中，以AB为直径的⊙O恰好是△ABC的切圆，AC是⊙O的切边，⊙O与BC交于点F，取弧BF的中点D，连接AD交BC于点E，过点E作EH⊥AB于点H，若CF＝8，BF＝10，求AC和EH的长． 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $苏科版2026-2027学年数学九上_期中复习卷4 苏科版2026-2027学年数学九上_期中复习卷4 考查范围：第1章 一元二次方程、第2章 反比例函数、第3章 圆 考试时间：120分钟　满分：130分 答 题 卷 （选择题用2B铅笔填涂，其余用黑色签字笔作答） 学校：＿＿＿＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿＿　　考场号：＿＿＿＿＿　座位号：＿＿＿＿＿ 注意事项： 1. 答题前，考生先填写自己的学校、姓名、考场号、座位号、准考证号。准考证号必须用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂，如需修改，请用橡皮擦干净；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔作答。 3. 请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效。 4. 保持卡面清洁，不要折叠、弄皱、弄破。 准考证号填涂区 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) 正确填涂： 缺考： 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1． A B C D 2． A B C D 3． A B C D 4． A B C D 5． A B C D 6． A B C D 7． A B C D 8． A B C D 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 题号 答案 题号 答案 9．（3分） 10．（3分） 11．（3分） 12．（3分） 13．（3分） 14．（3分） 15．（3分） 16．（3分） 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 20．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 21．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 22．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 23．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 24．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 25．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 26．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 27．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 第 1 页 / 共 1 页 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