精品解析：河北省邯郸市邯山区扬帆初中学校2025-2026学年九年级上学期第三次月考数学试题(普通班)

远航学校扬帆初中2025-2026学年第一学期九年级第三次月考 数学试卷（普通） 一、单选题（每小题3分，共36分） 1. 的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，熟记特殊的三角函数值是解题的关键；根据代入即可求解. 【详解】， 故选：A. 2. 如图是由5个完全相同的小正方体搭成的几何体，如果将小正方体A放置到小正方体B的正上方，则它的三视图变化情况是（ ） A. 主视图会发生改变 B. 左视图会发生改变 C. 俯视图会发生改变 D. 三种视图都会发生改变 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图． 根据三视图的概念得到小正方体移动前后的各个视图，进而即可判断选项． 【详解】移动前的主视图为： ， 左视图为： ， 俯视图为： 移动后的主视图为： ， 左视图为： ， 俯视图为： ， 所以它的主视图会发生变化． 故选A 3. 小明按照以下步骤画线段AB的三等分点： 画法 图形 1．以A为端点画一条射线； 2．用圆规在射线上依次截取3条等长线段AC、CD、DE，连接BE； 3．过点C、D分别画BE的平行线，交线段AB于点M、N，M、N就是线段AB的三等分点． 这一画图过程体现的数学依据是（ ） A. 两直线平行，同位角相等 B. 两条平行线之间的距离处处相等 C. 垂直于同一条直线的两条直线平行 D. 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 【答案】D 【解析】 【分析】根据两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，即可求解． 【详解】解：由步骤２可得：C、D为线段AE的三等分点 步骤３中过点C、D分别画BE的平行线，由两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例得： M、N就是线段AB的三等分点 故选：D 【点睛】本题考查两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．掌握相关结论即可． 4. 若点都在反比例函数的图像上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将三点坐标分别代入函数解析式求出，然后进行比较即可． 【详解】将三点坐标分别代入函数解析式，得： ，解得； ，解得； ，解得； ∵-8<2<4， ∴， 故选： B． 【点睛】本题考查反比例函数，关键在于能熟练通过已知函数值求自变量． 5. 如图，中，，，，将沿下图中的虚线剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等（的两个角是对应角，是公共角），故两三角形相似，故本选项不符合题意； B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等（的两个角是对应角，是公共角），故两三角形相似，故本选项不符合题意； C、根据已知条件无法证明两个三角形相似，故本选项符合题意； D、这两个三角形两边成比例且夹角相等（比值均为，夹角为公共角），故两三角形相似，故本选项不符合题意． 6. 已知一次函数y1=kx+b((k≠0)与反比例函数y2=(m＞0)的图象如图所示， 则当y1>y2时， 自变量x满足的条件是　　 A. 1<x<3 B. 1≤x≤3 C. x>1 D. x<3 【答案】A 【解析】 【分析】利用两函数图象，写出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可 【详解】解： 当1<x<3时，y1>y2． 故选A． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题： 求反比例函数与一次函数的交点坐标， 把两个函数关系式联立成方程组求解， 若方程组有解则两者有交点， 方程组无解， 则两者无交点 ． 7. 如图2是图1长方体的三视图，若用S表示面积，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由主视图和左视图的宽为a，结合两者的面积得出俯视图的长和宽，即可得出结论． 【详解】∵， ∴俯视图的长为a+1，宽为a， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图与几何体的长、宽、高的关系，进而求得俯视图的长和宽是解答的关键． 8. 如图，与都是等边三角形，固定，将从图示位置绕点C逆时针旋转一周，在旋转的过程中，下列说法正确的是（ ） A. 总与位似 B. 与不会位似 C. 当点D落在上时，与位似 D. 存在的两个位置使得与位似 【答案】D 【解析】 【分析】根据位似图形的定义：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线交于一点，并且对应边互相平行或位于同一直线上，像这样的两个图形叫做位似图形，即可判断． 【详解】解：与都是等边三角形， 与相似， 在旋转的过程中，只有当点D落在线段和线段的延长线上时，与相交与点C， 在旋转的过程中，只有当点D落在线段和线段的延长线上时，与位似， 故选：D． 【点睛】本题考查了位似图形的定义，解决本题的关键在于位似图形对应顶点的连线交于一点，因此需熟练掌握位似图形的定义才能更好的解决本题． 9. 如图为一节楼梯的示意图，，，米．现要在楼梯上铺一块地毯，楼梯宽度为1米，则地毯的长度需要（ ）米． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，理解题意，得到地毯的长度为的长，利用正切定义求得即可求解． 【详解】解：在中，，米， ∴（米）， ∴地毯的长度为米． 故选：B． 10. 如图，将沿边上的中线平移到的位置．已知的面积为16，阴影部分三角形的面积9．若，则等于（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由 S△ABC＝16、S△A′EF＝9且 AD为 BC边的中线知 ， ，根据△DA′E∽△DAB知 ，据此求解可得． 【详解】、，且为边的中线， ，， 将沿边上的中线平移得到， ， ， 则，即， 解得或（舍）， 故选． 【点睛】本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的 性质、相似三角形的判定与性质等知识点． 11. 如图，在矩形中，，若将矩形折叠，使点与点重合，则折痕的长为（ ） A. B. C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【详解】连接BD，交EF与O．∵将矩形沿EF折叠，∴∠BOF=∠DOF=90°，∵∠BOF=∠C， 又∵∠CBD=∠OBF，∵△BOF∽△BCD，则BD=10，BO=5．∴OF：6=5：8，OF=，∴EF=．故选A． 12. 如图1，点P从等边三角形的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形的边长为（ ） A. 6 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，令点从顶点出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从点沿直线运动到顶点．结合图象可知，当点在上运动时，，，易知，当点在上运动时，可知点到达点时的路程为，可知，过点作，解直角三角形可得，进而可求得等边三角形的边长． 【详解】解：如图，令点从顶点出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从点沿直线运动到顶点． 结合图象可知，当点在上运动时，， ∴，， 又∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 当点在上运动时，可知点到达点时的路程为， ∴，即， ∴， 过点作， ∴，则， ∴， 即：等边三角形的边长为6， 故选：A． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是综合利用图象和图形给出的条件． 二、填空题（共12分，每小题3分，其中16题第一空2分，第二空1分） 13. 用小正方体搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，俯视图中小正方体中的字母表示在该位置小正方体的个数，则这个几何体至少由__________个小正方体组成． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查三视图，熟练掌握由三视图还原几何体是解题的关键．由题意可知，俯视图中a位置对应主视图中最右列，只能是3个正方体；b、c位置对应主视图中间列，只能是1个正方体； d、e、f位置不确定，三个位置中至少有一个是2个小正方体，其他位置为1到2个，即可求解． 【详解】解：观察俯视图，俯视图中a位置对应主视图中最右列，只能是3个正方体；b、c位置对应主视图中间列，只能是1个正方体； d、e、f位置不确定，三个位置中至少有一个是2个小正方体，其他位置为1到2个， 则这个几何体至少由个小正方体组成， 故答案为：9 14. 如图，小军、小珠之间的距离为2.7 m，他们在同一盏路灯下的影长分别为1.8 m，1.5 m，已知小军、小珠的身高分别为1.8 m，1.5 m，则路灯的高为____m． 【答案】3 【解析】 【详解】解：如图，∵CD∥AB∥MN， ∴△ABE∽△CDE，△ABF∽△MNF， ∴， 即， 解得：AB=3m， 故答案为：3 15. 点，，在同一直线上，点，，在同一条直线上，，部分数据如图所示，将沿虚线剪成三块，其中两块为梯形，一块为三角形，阴影部分的面积记为．将沿虚线剪成三块，三块均为三角形，阴影部分的面积记为，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形的面积，理解相似三角形的面积比既是对应边比的平方是解题的关键． 根据题意先求出，即可得出，根据三角形的面积可得出，再由得出，即可求出． 【详解】解：如图，如图标注， 由题意知，四边形，为梯形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 即， 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D、E是的两个三等分点，过点D、E作x轴的平行线分别交于点F、G，反比例函数的图象经过点G，分别交、于点Q、P，分别过点Q、P，作x轴的垂线，垂足分别为H、K．图中阴影部分的面积分别为． （1）若点Q的坐标为，则__________； （2）若，则__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，求反比例函数解析式，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）设，分别表示出点、、的坐标，从而表示出，结合，求出的值，即可得到． 【详解】解：（1）反比例函数的图象经过点Q，且点Q的坐标为， ， 故答案为：； （2）设，则，， 点、点、点的纵坐标分别为、、， ，，， ，，， ，，， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题 17. 如图，△ABC中，AB＝AC＝13，BD⊥AC于点D，sinA＝ （1）求BD的长； （2）求tanC的值． 【答案】（1）12；（2） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数得出BD=12即可； （2）利用勾股定理得出AD=5，进而得出DC=8，利用三角函数解答即可． 【详解】解：（1）∵△ABC中，AB＝AC＝13，BD⊥AC于点D，sinA＝ ∴ 即 解得：BD＝12； （2）∵AC＝AB＝13，BD＝12，BD⊥AC， ∴AD＝5， ∴DC＝8， ∴tan∠C＝ 【点睛】此题考查解直角三角形问题，关键是根据三角函数得出BD的值． 18. 如图，在和中，已知，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：在和中， ∵． ∴， ∴． ∵， ∴； （2）9 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质， （1）根据题意得即可判定相似； （2）根据面积比为边长比的平方即可得，可求的答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，且， ∴， ∵， ∴． 19. 已知反比例函数（m为常数，且）． （1）若在其图象的每一个分支上，y随x增大而增大，求m的取值范围； （2）若点均在该反比例函数的图象上； ①求m、n的值； ②当时，求y的取值范围． 【答案】（1） （2）①，；② 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，求函数解析式，与不等式的结合，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据反比例函数的性质即可求解； （2）①点、代入即可求解； ②求出解析式为，则当时，,作出大致函数图象，数形结合即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可得， 解得； 【小问2详解】 解：①把，代入中， 得到， 解得， ， ， ； ②∵， ∴解析式为： 当时，, 作出大致函数图象如图： 由图象可得，当，． 20. 1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y/米是其两腿迈出的步长之差x/厘米()的反比例函数，其图象如下图所示所示．请根据图象中的信息解决下列问题： （1）求y与x之间的函数表达式； （2）当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为多少米？ （3）若某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于35米，则其两腿迈出的步长之差最多是多少厘米？ 【答案】（1）y=； （2）半径为28米； （3）最多是0.4厘米． 【解析】 【分析】（1）设y与x之间的函数表达式为，解方程即可得到结论； （2）把x=0.5代入反比例函数的解析式即可得到结论； （3）根据题意列不等式即可得到结论． 【小问1详解】 设y与x之间的函数表达式为， ∴7=， ∴k=14， ∴y与x之间的函数表达式为y=； 【小问2详解】 当x=0.5时，y==28米， ∴当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为28米； 【小问3详解】 当y≥35时，即≥35， ∴x≤0.4， ∴某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于35米，则其两腿迈出的步长之差最多是0.4厘米． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，正确的理解题意是解题的关键． 21. 如图，阳光（平行光线）通过窗户照到厂房内，竖直窗框在地面上留下2米长的影子，窗框影子的一端到窗下墙脚的距离为3.6米，窗口底边与地面的距离为1.2米． （1）求窗户的高度（的长）； （2）如下图，随着平行光线照射角度的变化，窗框影子的一端沿向右移动到，米，另一端恰好移动到厂房的另一墙脚，求的长． 【答案】（1）窗户的高度为米； （2）米． 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理的应用． （1）由题意得，利用平行线分线段成比例定理即可求解； （2）由题意得，利用平行线分线段成比例定理求得，再根据，求解即可． 【小问1详解】 解：∵阳光是平行线，即， ∴， ∵，，， ∴， ∴，解得(米)， 答：窗户的高度为米； 【小问2详解】 解：由题意得， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴(米)， 答：米． 22. 在数学综合实践课上，同学们将正方形纸片按如图1所示的方式剪成4块小纸片（其中）进行拼图操作． 【探究一】 甲同学将一张边长为8的正方形纸片按，的尺寸剪成4块，认为可以拼成如图2所示的无缝隙的矩形．老师从面积出发，指出前后两个图形的面积不同，所以不能拼成如图2所示的矩形．并让同学们尝试从其他角度来推翻甲的结论． （1）经过思考，乙同学提出了下面的解题思路，请你补充完整． 在拼接前的图形中，如图3，过点Q作垂足为F． 假设能拼成如图2所示的矩形，则， 在图中，∵，∴， 又∵，∴____________， ∵____________，即显然不成立， ∴不能拼成如图2所示的矩形． 【探究二】 丙同学也将一张边长为8的正方形纸片进行操作．如图4，在拼图时让点A，H，D在一条直线上，点B，K，C也在一条直线上，这样拼成了一个内部重叠的矩形． （2）若这个矩形内部重叠部分的面积为1，求剪开的三角形纸片的短边a的长； 【探究三】 （3）丁同学将正方形纸片按照图1所示的方式剪成4块小纸片，用这4块小纸片恰能拼成一个矩形，且矩形内部无空隙也不重叠，则的值为 ． 【答案】（1），，；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，反证法，一元二次方程的应用，正方形的性质等知识点； 探究一：结合图形根据题目推理过程上下逻辑关系填空即可； 探究二：根据矩形面积为正方形面积减去重叠部分面积列方程求解即可； 探究三：参考探究二的过程和图形，矩形面积等于原正方形面积得到关于的方程求解即可． 【详解】解：（1）在拼接前的图形中，如图3，过点Q作垂足为F． 假设能拼成如图2所示的矩形，则， 在图中，∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即显然不成立， ∴不能拼成如图2所示的矩形． 故答案为：，，； （2）探究二：由题意可得， ∴， ∵矩形面积为正方形面积减去重叠部分面积， ∴， 整理得， 解得， ∵， ∴； （3）∵丁同学将正方形纸片按照图1所示的方式剪成的4块小纸片，用这4块小纸片恰能拼成一个矩形，且矩形内部无空隙也无重叠，如图： ∴矩形的面积等于正方形的面积， 根据题意可得拼成的矩形长为，宽为， 由矩形的面积等于正方形的面积可得， 整理得， 解得， ∵a，b为正数， ∴， ∴． 23. 如图，在平而直角坐标系中，记函数的图象为G，直线经过点，与图象G交于B，C两点． （1）求b的值，并在图中画出直线l； （2）当点B与点A重合时，点在第一象限内且在直线l上，过点P作轴于点Q． ①求点C的坐标； ②连接．若，求m的取值范围； （3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G与直线l所围成的封闭区域（含边界）为W．当区域W的边界上有5个整点时，请直接写出满足条件的整数k的个数． 【答案】（1）4， 画图，如下：   （2）①点C的坐标为；② （3）3 【解析】 【分析】（1）把代入，即可求出b，然后描点、连线画出直线l即可； （2）①先求出反比例函数解析式，然后联立方程组，解方程组，即可求出点C的坐标； ②根据点P在直线l上，可得出，结合条件得出，整理得，得出不等式组或，然后解不等式组即可； （3）分别画出，，，，的图象，观察图象找出区域W内整点的个数，即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵直线经过点， ∴， ∴， 【小问2详解】 解：点B与点重合时， ∴， ∴， 由（1）知：直线l解析式为， 联立方程组， 解得或， ∴点C的坐标为； ②∵点在第一象限内且在直线l上， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 整理得，即 ∴或， ∴； 【小问3详解】 解：函数的图象G与直线所围成的封闭区域（含边界）为W，当区域W的边界上有5个整点时， 当时，图象如下： 区域的边界上有4个整点，即，不符合题意； 当时，图象如下： 区域的边界上有5个整点，即，符合题意； 当时，图象如下： 区域的边界上有5个整点，即，符合题意； 当时，图象如下： 区域W的边界上有5个整点，即，符合题意； 当时，图象如下： 区域W的边界上有4个整点，即，不符合题意； ∴时，区域W的边界上有5个整点， ∴符合条件的整数k只有3个． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合问题，解一元二次方程，解不等式组等知识，待定系数法求一次函数（反比例函数）解析式，确定临界点是解题的关键． 24. 如图，在中，，D为上一点，且．将线段绕点逆时针旋转得到线段的平分线交于点，连接．设． （1）求证：平分； （2）求的度数，并写出当时x的值； （3）当点到的距离为时，求的值； （4）当时，请直接写出点到直线的距离（用含的式子表示）． 【答案】（1） 证明：∵是的角平分线， ∴， ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴平分； （2），当时， （3）当点到的距离为时， （4）当时，到直线的距离为 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义得出，根据旋转的性质得出，进而结合，根据证明得出，即可得证； （2）先根据勾股定理的逆定理得出，则，证明，由（1）可得，则，勾股定理求得，证明，进而根据相似三角形的性质，即可求解． （3）过点作于点，过点作，交的延长线于点．证明得出，进而根据正切的定义，即可求解； （4）连接交于点，过点作于点，根据勾股定理可得，证明，，分别求得，，进而根据等面积法，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ，， ，， ， ， ， ∵是的角平分线， ∴， 又∵， ， ∴在上； 由（1）可得， ，， ， 又∵， ， ， 在中，， ， 解得：； 【小问3详解】 解：如图，过点作于点，过点作，交的延长线于点． ， 四边形为矩形， ， 点到的距离为， ， ， ， ， ， 又∵， ， ， 在中，， ， ， ； 【小问4详解】 解：到直线的距离为， 如图2，连接交于点，过点作于点， ∵，， ∴垂直平分， ∴，， 在中，， ，， ， ， ， ， 同理可得， ， ， ， ， ∴到直线的距离为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，求正切，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 远航学校扬帆初中2025-2026学年第一学期九年级第三次月考 数学试卷（普通） 一、单选题（每小题3分，共36分） 1. 的值等于（ ） A. B. C. D. 2. 如图是由5个完全相同的小正方体搭成的几何体，如果将小正方体A放置到小正方体B的正上方，则它的三视图变化情况是（ ） A. 主视图会发生改变 B. 左视图会发生改变 C. 俯视图会发生改变 D. 三种视图都会发生改变 3. 小明按照以下步骤画线段AB的三等分点： 画法 图形 1．以A为端点画一条射线； 2．用圆规在射线上依次截取3条等长线段AC、CD、DE，连接BE； 3．过点C、D分别画BE的平行线，交线段AB于点M、N，M、N就是线段AB的三等分点． 这一画图过程体现的数学依据是（ ） A. 两直线平行，同位角相等 B. 两条平行线之间的距离处处相等 C. 垂直于同一条直线的两条直线平行 D. 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 4. 若点都在反比例函数的图像上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，中，，，，将沿下图中的虚线剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知一次函数y1=kx+b((k≠0)与反比例函数y2=(m＞0)的图象如图所示， 则当y1>y2时， 自变量x满足的条件是　　 A. 1<x<3 B. 1≤x≤3 C. x>1 D. x<3 7. 如图2是图1长方体的三视图，若用S表示面积，，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，与都是等边三角形，固定，将从图示位置绕点C逆时针旋转一周，在旋转的过程中，下列说法正确的是（ ） A. 总与位似 B. 与不会位似 C. 当点D落在上时，与位似 D. 存在的两个位置使得与位似 9. 如图为一节楼梯的示意图，，，米．现要在楼梯上铺一块地毯，楼梯宽度为1米，则地毯的长度需要（ ）米． A. B. C. D. 10. 如图，将沿边上的中线平移到的位置．已知的面积为16，阴影部分三角形的面积9．若，则等于（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 11. 如图，在矩形中，，若将矩形折叠，使点与点重合，则折痕的长为（ ） A. B. C. 5 D. 6 12. 如图1，点P从等边三角形的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形的边长为（ ） A. 6 B. 3 C. D. 二、填空题（共12分，每小题3分，其中16题第一空2分，第二空1分） 13. 用小正方体搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，俯视图中小正方体中的字母表示在该位置小正方体的个数，则这个几何体至少由__________个小正方体组成． 14. 如图，小军、小珠之间的距离为2.7 m，他们在同一盏路灯下的影长分别为1.8 m，1.5 m，已知小军、小珠的身高分别为1.8 m，1.5 m，则路灯的高为____m． 15. 点，，在同一直线上，点，，在同一条直线上，，部分数据如图所示，将沿虚线剪成三块，其中两块为梯形，一块为三角形，阴影部分的面积记为．将沿虚线剪成三块，三块均为三角形，阴影部分的面积记为，则____________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D、E是的两个三等分点，过点D、E作x轴的平行线分别交于点F、G，反比例函数的图象经过点G，分别交、于点Q、P，分别过点Q、P，作x轴的垂线，垂足分别为H、K．图中阴影部分的面积分别为． （1）若点Q的坐标为，则__________； （2）若，则__________． 三、解答题 17. 如图，△ABC中，AB＝AC＝13，BD⊥AC于点D，sinA＝ （1）求BD的长； （2）求tanC的值． 18. 如图，在和中，已知，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 19. 已知反比例函数（m为常数，且）． （1）若在其图象的每一个分支上，y随x增大而增大，求m的取值范围； （2）若点均在该反比例函数的图象上； ①求m、n的值； ②当时，求y的取值范围． 20. 1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y/米是其两腿迈出的步长之差x/厘米()的反比例函数，其图象如下图所示所示．请根据图象中的信息解决下列问题： （1）求y与x之间的函数表达式； （2）当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为多少米？ （3）若某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于35米，则其两腿迈出的步长之差最多是多少厘米？ 21. 如图，阳光（平行光线）通过窗户照到厂房内，竖直窗框在地面上留下2米长的影子，窗框影子的一端到窗下墙脚的距离为3.6米，窗口底边与地面的距离为1.2米． （1）求窗户的高度（的长）； （2）如下图，随着平行光线照射角度的变化，窗框影子的一端沿向右移动到，米，另一端恰好移动到厂房的另一墙脚，求的长． 22. 在数学综合实践课上，同学们将正方形纸片按如图1所示的方式剪成4块小纸片（其中）进行拼图操作． 【探究一】 甲同学将一张边长为8的正方形纸片按，的尺寸剪成4块，认为可以拼成如图2所示的无缝隙的矩形．老师从面积出发，指出前后两个图形的面积不同，所以不能拼成如图2所示的矩形．并让同学们尝试从其他角度来推翻甲的结论． （1）经过思考，乙同学提出了下面的解题思路，请你补充完整． 在拼接前的图形中，如图3，过点Q作垂足为F． 假设能拼成如图2所示的矩形，则， 在图中，∵，∴， 又∵，∴____________， ∵____________，即显然不成立， ∴不能拼成如图2所示的矩形． 【探究二】 丙同学也将一张边长为8的正方形纸片进行操作．如图4，在拼图时让点A，H，D在一条直线上，点B，K，C也在一条直线上，这样拼成了一个内部重叠的矩形． （2）若这个矩形内部重叠部分的面积为1，求剪开的三角形纸片的短边a的长； 【探究三】 （3）丁同学将正方形纸片按照图1所示的方式剪成4块小纸片，用这4块小纸片恰能拼成一个矩形，且矩形内部无空隙也不重叠，则的值为 ． 23. 如图，在平而直角坐标系中，记函数的图象为G，直线经过点，与图象G交于B，C两点． （1）求b的值，并在图中画出直线l； （2）当点B与点A重合时，点在第一象限内且在直线l上，过点P作轴于点Q． ①求点C的坐标； ②连接．若，求m的取值范围； （3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G与直线l所围成的封闭区域（含边界）为W．当区域W的边界上有5个整点时，请直接写出满足条件的整数k的个数． 24. 如图，在中，，D为上一点，且．将线段绕点逆时针旋转得到线段的平分线交于点，连接．设． （1）求证：平分； （2）求的度数，并写出当时x的值； （3）当点到的距离为时，求的值； （4）当时，请直接写出点到直线的距离（用含的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $