精品解析：甘肃定西市渭源县北寨中学等校2026-2027学年九年级第一学期期中考试数学试题

2026-2027学年第一学期期中考试试题九年级数学 考生注意：本试卷满分为120分，考试时间为100分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一．选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“清明”“谷雨”“白露”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义，根据定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A、既是中心对称又是轴对称图形，故A选项符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意． 故选：A ． 2. 关于x的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】需同时满足二次项系数不为与根的判别式非负两个条件，联立求解的取值范围． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴，即， ∵方程有实数根， ∴， ∴， ∴， 综上，且． 3. 对于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 图象位于第二、四象限 C. 当时，随的增大而减小 D. 当时，随的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，结合点的坐标验证、图象象限分布、函数增减性逐一判断选项即可． 【详解】解：∵ 当时，， ∴A错误； ∵ ， ∴ 反比例函数图象位于第一、三象限， ∴B错误； ∵ ，当 时，函数图象在第三象限， ∴ 随的增大而减小， ∴正确； ∵ ，当时，函数图象在第一象限， ∴ 随的增大而减小，不是增大， ∴错误． 4. 一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的性质，特别是图象共存的问题，掌握以上知识是解题的关键．根据反比例函数及一次函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、由反比例函数的图象在一、三象限可知，， ∴一次函数的图象经过一、二、四象限，故本选项错误，不符合题意； B、由反比例函数的图象在一、三象限可知，， ∴一次函数的图象经过一、二、四象限，故本选项正确，符合题意； C、由反比例函数的图象在一、三象限可知，， ∴一次函数的图象经过一、二、四象限，故本选项错误，不符合题意； D、∵由反比例函数的图象在二、四象限可知，， ∴一次函数的图象经过一、二、三象限，故本选项错误，不符合题意． 故选：B． 5. 若点，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：的对称轴为直线，开口向上， 点关于对称轴的对称点为，当时，随的增大而减小， ， ， 故选：C． 6. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在函数的图象上，点是上一点，过点作轴于点，连结．若，的面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据得出，利用同高三角形面积比等于底边比，求出的面积，再根据的几何意义求解即可； 【详解】解：， ， ， ∵的面积为， ， 点在反比例函数的图象上，轴， ， ， 图象在第二象限， ， ． 7. 如图，将三角板（其中，）绕点顺时针旋转得到，点在同一条直线上，那么旋转角等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，求角度的问题，由题意可知，旋转角，结合的度数可得的度数即可，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点在同一条直线上，， ∴， 故选：C． 8. 如图，在地面上的A处竖直安装一个水管，水管的顶端B处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与点A的水平距离为处达到最高点C，点C距离地面的高度为，水柱落地点D到A处的距离为，则水管的顶端B距地面的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系，得到，设抛物线的解析式为，将代入求出函数解析式，进而求出时的函数值即为的长． 【详解】解：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系，如图所示： 则：， 设抛物线的解析式为， 将代入，得：， 解得， ∴， 当时，， ∴高度为． 9. 如图，抛物线对称轴是直线，经过点，下列结论正确的是（ ） ①；②；③；④． A. ①③ B. ①② C. ②③ D. ③④ 【答案】C 【解析】 【分析】利用抛物线开口方向、对称轴公式、与坐标轴交点个数及特殊点坐标进行判断. 【详解】解：①由图象可知，抛物线与轴交于正半轴， ∴，故①错误； ②∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故②正确； ③∵抛物线与轴有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根， ，故③正确； . ④∵抛物线对称轴为直线，且经过点， ∴当时，， ∴当时，，故④错误， 综上，正确的结论是②③. 10. 某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法不正确的是（ ） A. 当时， B. 与的函数关系式是 C. 当时，的取值范围是 D. 当时， 【答案】A 【解析】 【分析】题目围绕电流I与电阻R的关系展开，因此先确定I与R的函数关系式，再借助该函数的增减性逐一验证选项． 【详解】解：由图象可知，I与R的图象是双曲线的一支，故I与R成反比例关系，设（）． 将点代入，得，解得 所以I与R的函数关系式是（），选项B正确，不符合题意． 因为，图象位于第一象限，所以I随R的增大而减小． 选项A，由增减性分析，当时，应有，选项A说法有误，符合题意． 选项C，当时，；当时，．由增减性分析，当时，的取值范围是，选项C正确，不符合题意． 选项D，当时，由得，选项D正确，不符合题意． 二．填空题（本大题有5小题，每小题3分，共15分.） 11. 若是关于x的一元二次方程的解，则__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，理解方程的解是解答的关键．将代入已知方程求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的解， ∴， 解得， 故答案为：2． 12. 设，是方程的两实数根，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入所求式子计算即可． 【详解】解：，是方程的两实数根 根据根与系数的关系可得，， ∴ ． 13. 学校要组织一场篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，应邀请x个球队参加比赛？列方程为：____________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设应邀请个球队参加比赛，则总共需安排场比赛，根据计划安排15场比赛建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设应邀请个球队参加比赛，则总共需安排场比赛， 由题意得：， 故选：． 14. 将抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线是________． 【答案】 【解析】 【分析】依据二次函数图象平移的“左加右减，上加下减”规律，依次对原抛物线完成两次平移的解析式调整，即可得到目标抛物线解析式． 【详解】解：∵ 原抛物线解析式为， ∴ 向右平移个单位后得到的抛物线为， ∴向上平移个单位后得到的抛物线为． 15. 位于山西省东南部的晋城西门外的景德桥，横跨在沁水河上，它是晋城通往沁水、阳城地区交通干道上的一座重要桥梁，如图，古桥横断面是抛物线形，当水面在时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽，则水面上升米后水面宽度为________．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】以抛物线的顶点为原点建立平面直角坐标系，设函数的解析式为，由函数图象可得，初始水面宽且抛物线关于轴对称，可得初始水面与抛物线的两个交点的横坐标为和，由函数图象可得，抛物线经过和，根据待定系数法，求出抛物线解析式；根据水面上升米，此时拱顶（拱桥洞的最高点）离水面的高度为，即，求出，即可求解． 【详解】解：当水面在时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽，以抛物线的顶点为原点建立平面直角坐标系， ∴抛物线的解析式为：， 由函数图象和题意可得，抛物线经过和， ∴ 解得：， ∴函数解析式为：； ∵水面上升米，此时拱顶（拱桥洞的最高点）离水面的高度为，即， ∴， 解得：； ∴此时水面宽度为：． 三．解答题（本大题有10小题，共75分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 16. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 或 ， 【小问2详解】 解： ，， ， 方程有两个不相等的实数根， ， 17. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【答案】（1）证明：在方程中， ，，， ∴， ∵， ∴无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）的值为 【解析】 【分析】（1）利用根的判别式进行证明； （2）利用根与系数的关系进行求解． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 解：在方程中， ，，， ∴， 代入得， ， 解得． 18. 某商场购进一批台灯，9月销售200个，10月和11月这种台灯销售量持续增加，11月的销售量达到288个，设10月和11月这两个月的销售量月平均增长率不变，求10月和11月这两个月的销售量月平均增长率． 【答案】10月和11月这两个月的销售量月平均增长率为20%. 【解析】 【分析】根据9月销售量与月平均增长率的数量关系，结合11月销售量列一元二次方程求解． 【详解】解：设10月和11月这两个月的销售量月平均增长率为x，由题意得 ， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：10月和11月这两个月的销售量月平均增长率为． 19. 已知二次函数的图象过点． （1）求该二次函数的解析式及对称轴； （2）若，该二次函数的最大值与最小值的差为，求的值． 【答案】（1）二次函数的解析式为，对称轴为直线 （2）的值为或 【解析】 【分析】（1）将代入解析式，即可求出解析式，再根据抛物线的对称轴公式即可作答； （2）先确定函数的增减性，再分类讨论第一类：当时，；第二类：当时，；第三类：当时，；确定每一类中最大值和最小值，问题即可作答． 【小问1详解】 解：将代入，得：， 解得：， ∴二次函数解析式为：， 即对称轴为：； 【小问2详解】 解：， 当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大； 分类讨论： 第一类：当时，， 此时当时，y有最大值，；当时，y有最小值，， ∵最大值与最小值的差为， ∴， 解得：，与矛盾，舍去； 第二类：当时，， 此时当时，y有最小值，；当时，y有最大值，， ∵最大值与最小值的差为， ∴， 解得：，不满足，舍去； 第三类：当时，， 此时当时，y有最小值，； 若时，y有最大值，， ∵最大值与最小值的差为， ∴， 解得：（负数不满足，舍去）； 若时，y有最大值，， ∵最大值与最小值的差为， ∴， 解得：（不满足，舍去）； 综上所述：的值为或． 20. 如图，某经济开发区计划在道路上方搭建一座抛物线形彩虹桥，已知道路的宽为，路内侧两边各有宽的绿化带，其余路面正常通行，桥面最高处到路面的距离为．以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的表达式； （2）按计划在该彩虹桥下方对称安置两个支撑柱进行支撑，若要确保道路的正常通行，求支撑柱的最大高度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）确定抛物线顶点坐标和点B坐标，利用待定系数法求解即可； （2）根据“确保道路正常通行”确定支撑柱的横坐标范围，代入抛物线解析式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，，， ∴顶点，点， 设抛物线的表达式为， 把点代入得， 解得， ∴抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解：∵要确保道路的正常通行， ∴两个支撑柱之间的距离最少为， ∵支撑柱对称安置且要确保道路正常通行， ∴支撑柱到的距离至少为， 令，则， ∴支撑柱的最大高度为． 21. 某文具店购进一批纪念册，每本进价为元，根据市场调查，当销售单价为元时，每周的销售量为本，售价每提高元，每周的销售量就减少本．设每本纪念册的售价为（元），每周的销售量为（本），每本纪念册的售价不低于元且不高于元． （1）请求出与之间的函数关系式，并写出的取值范围； （2）将该纪念册的销售单价定为多少时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）与的函数关系式为，的取值范围是 （2）销售单价定为28元时，每周所获利润最大，最大利润为192元 【解析】 【分析】（1）根据售价每提高元，每周的销售量就减少本，直接列式即可作答； （2）设利润为w，每一本的利润为：元，根据总利润等于每一册的利润乘以册数（销售量），列式，再将二次函数化为顶点式，结合自变量的取值范围即可作答． 【小问1详解】 解：根据售价每提高元，每周的销售量就减少本， 可得：，； 【小问2详解】 设利润为w，每一本的利润为：元， 根据题意有：， 化为顶点式有：，即抛物线开口朝下， ∴时，w随着x的增大而增大， ∵， ∴当时w取最大值，最大值为， 即销售单价定为28元时，每周所获利润最大，最大利润为192元． 22. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的关系式； （2）求的面积； （3）根据图象，直接写出不等式的解集． 【答案】（1）反比例函数关系式：；一次函数的关系式： （2）8 （3） 【解析】 【分析】（1）将代入求出反比例函数关系式，进而将代入得到，将代入求解即可； （2）求出点的坐标，根据割补法计算即可； （3）找出一次函数在反比例函数上方的部分，再确定这部分对应的x的取值范围即可． 【小问1详解】 解：将代入得：，即， ， 将代入得， ， 将代入得， 解得， ； 【小问2详解】 解：当时，解得， 即， ， ； 【小问3详解】 解：从图象可知，一次函数在反比例函数上方时，， ∴不等式的解集为． 23. 如图，将绕点逆时针旋转得到，点在边上，． （1）求的大小； （2）若，与交于点，求证：． 【答案】（1） （2）证明：由（1）得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵绕点逆时针旋转得到，点在边上， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质得出，，利用等边对等角及等量代换得出，结合图形即可求解； （2）由（1）得：，结合图形得出，再由三角形内角和定理确定，再由旋转的性质确定，利用全等三角形的判定和性质即可证明． 【小问1详解】 解：∵绕点逆时针旋转得到，点在边上， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 略． 24. 在中，，，，点从点出发沿边向点以的速度移动，点从点出发沿边向点以的速度移动，当有一点到达终点时，另一点随之停止运动． （1）如果、同时出发，几秒钟后，可使的面积为8平方厘米？ （2）点、在移动过程中，是否存在某一时刻，使得的面积最大？若存在，求出运动的时间和最大的面积．若不存在，说明理由． 【答案】（1）2秒或4秒 （2）存在，运动3秒时面积最大，为9平方厘米 【解析】 【分析】（1）先设运动时间为x秒，结合、的移动速度表示出直角边、，再根据直角三角形面积公式列方程求解，最后结合运动的时间取值范围筛选出符合实际的解． （2）先根据直角三角形面积公式建立的面积关于运动时间的二次函数，再利用二次函数的性质，结合的实际取值范围，求出面积的最大值和对应的运动时间． 【小问1详解】 解：设x秒钟后，可使的面积为8平方厘米，由题意得： ， 或， 当2秒或4秒时，面积可为8平方厘米； 【小问2详解】 解：理由：设x秒时，的面积为，由题意得： 故存在，运动3秒时面积最大，为9平方厘米． 【点睛】本题是动点结合二次函数的几何应用问题，核心逻辑是用时间参数把动态线段长度转化为代数表达式，先利用直角三角形面积公式建立函数关系，再结合自变量的实际取值范围，通过解方程、分析二次函数最值完成求解． 25. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，点的坐标为． （1）求抛物线对应的函数表达式； （2）连接，求直线对应的函数表达式； （3）在抛物线的对称轴上找一点，使的值最小，并求出的最小值及点的坐标． 【答案】（1）； （2）； （3）最小值为，． 【解析】 【分析】（1）把点代入抛物线解析式，求出参数的值，即可得到抛物线的函数表达式． （2）先求出点坐标，结合得到点坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式． （3）利用抛物线的对称性，点、关于对称轴对称，连接，与对称轴的交点即为点，此时最小，先求出对称轴，联立对称轴与直线解析式求出点坐标，再用勾股定理求出长度，也就是的最小值． 【小问1详解】 解：在抛物线上， ， 解得， 抛物线解析式为． 【小问2详解】 解：在中，令，得， ， ， ， ， 由图像知在轴负半轴， ， 设直线解析式为， ， 把代入， ， ， 直线解析式为． 【小问3详解】 解：如图，连接、、， ， 对称轴直线：， 点关于对称轴对称， ， ， 当三点共线时，最小，最小值为， ， ， 把代入， ， ， 最小值为，点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期期中考试试题九年级数学 考生注意：本试卷满分为120分，考试时间为100分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一．选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“清明”“谷雨”“白露”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于x的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 3. 对于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 图象位于第二、四象限 C. 当时，随的增大而减小 D. 当时，随的增大而增大 4. 一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 5. 若点，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在函数的图象上，点是上一点，过点作轴于点，连结．若，的面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将三角板（其中，）绕点顺时针旋转得到，点在同一条直线上，那么旋转角等于（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在地面上的A处竖直安装一个水管，水管的顶端B处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与点A的水平距离为处达到最高点C，点C距离地面的高度为，水柱落地点D到A处的距离为，则水管的顶端B距地面的高度为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，抛物线对称轴是直线，经过点，下列结论正确的是（ ） ①；②；③；④． A. ①③ B. ①② C. ②③ D. ③④ 10. 某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法不正确的是（ ） A. 当时， B. 与的函数关系式是 C. 当时，的取值范围是 D. 当时， 二．填空题（本大题有5小题，每小题3分，共15分.） 11. 若是关于x的一元二次方程的解，则__________． 12. 设，是方程的两实数根，则____________． 13. 学校要组织一场篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，应邀请x个球队参加比赛？列方程为：____________ 14. 将抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线是________． 15. 位于山西省东南部的晋城西门外的景德桥，横跨在沁水河上，它是晋城通往沁水、阳城地区交通干道上的一座重要桥梁，如图，古桥横断面是抛物线形，当水面在时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽，则水面上升米后水面宽度为________．（结果保留根号） 三．解答题（本大题有10小题，共75分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 16. 解方程： （1） （2） 17. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 18. 某商场购进一批台灯，9月销售200个，10月和11月这种台灯销售量持续增加，11月的销售量达到288个，设10月和11月这两个月的销售量月平均增长率不变，求10月和11月这两个月的销售量月平均增长率． 19. 已知二次函数的图象过点． （1）求该二次函数的解析式及对称轴； （2）若，该二次函数的最大值与最小值的差为，求的值． 20. 如图，某经济开发区计划在道路上方搭建一座抛物线形彩虹桥，已知道路的宽为，路内侧两边各有宽的绿化带，其余路面正常通行，桥面最高处到路面的距离为．以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的表达式； （2）按计划在该彩虹桥下方对称安置两个支撑柱进行支撑，若要确保道路的正常通行，求支撑柱的最大高度． 21. 某文具店购进一批纪念册，每本进价为元，根据市场调查，当销售单价为元时，每周的销售量为本，售价每提高元，每周的销售量就减少本．设每本纪念册的售价为（元），每周的销售量为（本），每本纪念册的售价不低于元且不高于元． （1）请求出与之间的函数关系式，并写出的取值范围； （2）将该纪念册的销售单价定为多少时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ 22. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的关系式； （2）求的面积； （3）根据图象，直接写出不等式的解集． 23. 如图，将绕点逆时针旋转得到，点在边上，． （1）求的大小； （2）若，与交于点，求证：． 24. 在中，，，，点从点出发沿边向点以的速度移动，点从点出发沿边向点以的速度移动，当有一点到达终点时，另一点随之停止运动． （1）如果、同时出发，几秒钟后，可使的面积为8平方厘米？ （2）点、在移动过程中，是否存在某一时刻，使得的面积最大？若存在，求出运动的时间和最大的面积．若不存在，说明理由． 25. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，点的坐标为． （1）求抛物线对应的函数表达式； （2）连接，求直线对应的函数表达式； （3）在抛物线的对称轴上找一点，使的值最小，并求出的最小值及点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $