专题03 函数的单调性、奇偶性及对称性的综合应用九大常考题型（高效培优专项训练）高一数学苏教版必修第一册

专题03 函数的单调性、奇偶性及对称性的综合应用五大常考题型 题型一 复合函数的单调性及单调区间 题型二 利用函数的单调性求参数 题型三 利用函数的单调性求函数的最值与值域 题型四 利用函数的奇偶性求参数 题型五 利用函数的奇偶性、单调性判断函数的图像 题型六 利用函数的单调性与奇偶性解不等式 题型七 抽象函数的单调性与奇偶性的应用 题型八 函数单调性、奇偶性及对称性的综合应用 题型九 与函数性质有关的恒成立问题 题型一：复合函数的单调性及单调区间 1．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数在上单调递减，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 3．函数的单调递增区间是（   ） A． B．， C．， D．， 4．函数的最小值为（    ） A．0 B．4 C． D． 5．函数的单调递减区间为______. 6．已知函数是定义在上的增函数，则的单调递减区间是______. 7．已知函数是定义在上的单调递减函数，则的单调递增区间为______. 8．函数的单调递增区间是______． 9．函数的递增区间是______． 10．求解下列问题： (1)求函数的单调区间； (2)判断函数在上的单调性，并证明． 题型二：利用函数的单调性求参数 1．已知函数的单调递减区间为，单调递增区间为，则（    ） A． B． C． D． 2．已知在上满足，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 3．已知函数对任意的，总满足以下不等关系：，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．函数，若对任意  都有成立，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．设函数，若，且，使成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．若函数是上的单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（多选）设，若满足，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 8．（多选）已知函数在区间上单调递减，则实数的可能取值为（    ） A．0 B． C． D．1 9．已知是函数在上单调递增的必要条件，则的最大值为_________． 10．若函数与在区间上都单调递减，则实数的取值范围是______ 题型三：利用函数的单调性求函数的最值与值域 1．若，则的最小值是（　　） A．－2 B． C．2 D．0 2．若时，则的最大值与最小值分别是（    ）． A．， B．， C．， D．， 3．已知表示，中的最小者，则函数的最大值为（    ） A．0 B．1 C．3 D．4 4．定义为中的最小值，设，则的最大值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 5．已知函数，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．已知，若对任意的正实数，总存在，使得．则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．设定义在上的函数，则的最小值是______． 8．定义：表示不超过的最大整数，如，则函数的值域为________. 9．设为实数，函数. (1)若，求的取值范围； (2)求的最小值. 10．已知函数（）． (1)对都有成立，求实数取值范围； (2)求在上的最小值； (3)求（2）中函数的最大值． 题型四：利用函数的奇偶性求参数 1．已知是定义在上的奇函数，那么的值为（    ） A． B．1 C． D． 2．若函数是奇函数，则实数的值是 A．-10 B．10 C．-5 D．5 3．已知函数为奇函数，则的值是（   ） A．3 B．1或3 C．2 D．1或2 4．已知函数为奇函数，则（    ） A． B．， C．， D．， 5．若函数是奇函数，则实数a、b的值分别为（   ） A．1，1 B．， C．，1 D．1， 6．已知是定义在上的偶函数，且对任意有，则_________． 7．若函数是上的偶函数，则的值为______． 8．若为偶函数，则________． 9．若函数为奇函数，求的值. 10．（1）函数是偶函数，且定义域是，求的值. （2）已知函数，若函数为偶函数，求的值. 题型五：利用函数的奇偶性、单调性判断函数的图像 1．已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可以是（　　） A． B． C．－1 D． 2．函数的图象大致为（     ） A．B．C．D． 3．函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 4．若函数y=f（x）的大致图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（　　） A．f（x）= B．f（x）= C．f（x）= D．f（x）= 5．函数的图象大致为（   ） A．  B．  C．  D．   6．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，则函数的图象大致为（    ） A．B．C．D． 7．函数的大致图象是（   ） A．B．C．D． 8．函数的大致图象为（    ） A．B．C．D． 9．函数的图象大致是（    ） A．  B．  C． D．   10．函数的大致图象为（    ） A．B．C．D． 题型六：利用函数的单调性与奇偶性解不等式 1．若，则满足的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知是定义在上的奇函数，对任意且，都有，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 3．已知函数是定义在上的奇函数，在上单调递减，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．若函数是定义在的奇函数，，当时，都有，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．已知是定义在上的奇函数，且在上单调递减，，则的解集为（   ） A． B． C． D． 7．已知定义在上的函数满足，且对任意的、且均有，若，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 8．定义域在上的函数，满足，若当时，的图象如图所示，则不等式的解集为_________． 9．已知函数是定义域在上的奇函数，且在上为增函数，若，则实数的取值范围是______． 10．已知函数是定义在上的奇函数，．若且，都有，则不等式的解集为______． 题型七：抽象函数的单调性与奇偶性的应用 1．已知定义在上的函数满足，，且当时，，则下列说法正确的是（ ） A．是奇函数但不是偶函数 B．是偶函数但不是奇函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 2．已知定义域为的函数满足，，且时，，则下列说法正确的（    ） A． B．为减函数 C．为奇函数 D．不等式的解集为 3．已知函数的定义域为，且对于任意实数，，都有，若函数在定义域内的最大值为，最小值为，则（    ） A． B． C． D． 4．已知函数的定义域为，，且当时，． (1)判断函数的奇偶性，并写出必要的证明过程； (2)证明：函数在区间上单调递减； (3)解不等式：． 5．已知函数的定义域为，对定义域内任意，都有，且当时，，请解答以下问题： (1)证明函数为偶函数； (2)判定函数的单调性并加以证明； (3)若，解不等式． 6．已知定义在上的函数满足：对任意的，，，且当时，． (1)求，； (2)证明：是偶函数； (3)若在上单调递减，求不等式的解集． 7．已知函数满足，，，且当时． (1)求的值； (2)证明：，； (3)判断的单调性并用单调性定义给出证明． 8．已知函数的定义域是，对定义域内的任意都有，且当时， (1)证明：是偶函数； (2)解不等式. 9．已知定义域为的函数满足，且当时，恒成立． (1)求； (2)证明：为奇函数； (3)若，求实数的取值范围． 10．已知函数定义在实数集上，且对任意均有，又对任意的，都有． (1)判断函数的奇偶性． (2)证明函数在上为单调减函数． (3)试求函数在，且上的值域． 11．已知定义在上的函数满足：对，都有，当时，，且. (1)求和的值； (2)证明函数是奇函数； (3)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 12．定义在上的函数满足：①对任意，都有；②当时，都有. (1)求证是奇函数； (2)求证在上单调递减； (3)若且对所有恒成立，求实数t的范围. 题型八：函数单调性、奇偶性及对称性的综合应用 1．已知为奇函数，与的图像关于直线对称，若，则（    ） A．3 B． C．2 D． 2．已知是定义在R上的奇函数且，当时，，则（     ） A． B． C． D． 3．若，当时，，则下列说法正确的是（   ） A．函数为奇函数 B．函数在上单调递增 C． D．函数在上单调递减 4．已知函数，，，和有相同的对称中心.若直线与的图象交于两点，则（   ） A． B． C． D． 5．已知定义在上的函数，的图象分别关于点，对称，则下列点一定是函数的图象的对称中心是（   ） A． B． C． D． 6．已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.那么函数图象的对称中心为（   ） A． B． C． D． 7．已知函数对任意满足，任意，且，都有，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 8．若定义上的函数满足：对任意且有若的最大值和最小值分别为，则的值为（    ） A．2026 B．2027 C．4054 D．4052 9．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数的图象只有一个对称中心，函数在区间上的最大值和最小值分别为，则（    ） A． B． C．2 D． 10．（多选）函数图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学据此推出以下结论，其中正确的是（   ） A．函数的图象关于点成中心对称的图形的充要条件是为奇函数 B．函数的图象的对称中心为 C．函数的图象关于成轴对称的充要条件是函数是偶函数 D．函数的图象关于直线对称 11．已知是定义在上的奇函数． (1)求，的值及的解析式； (2)判断在定义域上的单调性，并证明； (3)解不等式：． 12．已知函数是定义在上的奇函数，且 (1)求的解析式； (2)用定义法证明：在上是增函数； (3)若实数满足，求实数的范围． 13．已知函数，． (1)求证：在上单调递增； (2)判断的奇偶性并证明； (3)若，求实数的取值范围． 14．已知函数. (1)若函数为偶函数，求的值 (2)当时，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 15．已知函数． (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)用定义证明：函数在上的单调性； (3)若关于的不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围. 16．已知奇函数，满足． (1)求实数m，n的值； (2)判断的单调性，并利用定义证明； (3)若对，对恒成立，求实数p的取值范围． 题型九：与函数性质有关的恒成立问题 1．已知函数的定义域为，对于任意的，都有．若，且对于恒成立，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 2．定义域为的函数满足：对任意的都有，当．若关于的不等式恒成立，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．已知定义域为的函数满足，且对任意的时，恒成立，则“不等式成立”的充要条件为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，，若对，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．已知定义在上的函数满足，当 且 时，成立. 若 对任意的恒成立，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．已知函数，若对于任意，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．若是定义在上的偶函数，且在上是减函数，且不等式对于一切恒成立，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 8．已知是定义在上的奇函数，对任意的，当时，恒成立．若，，则不等式的解集为______． 9．已知是定义在区间上的奇函数，且，若，时，有，若对所有，恒成立，则实数的取值范围为___________． 10．已知函数的定义域为，并且满足下列条件：①；②对任意，；③当时，． (1)证明：为奇函数； (2)判断的单调性，并求解不等式； (3)若对所有，恒成立，求实数t的取值范围． 11．已知定义在上的函数满足：对任意的实数，均有，且，当时，． (1)判断的奇偶性并证明； (2)判断在上的单调性，并证明； (3)若对任意，总有恒成立，求实数的取值范围． 12．若定义域为 的函数满足：对任意的 和，都有，且，就称这个函数是“优美函数”. (1)判断并证明优美函数的奇偶性； (2)若优美函数的值域为，且当 时，，判断并证明优美函数的单调性； (3)若题（2）中优美函数还满足，且不等式对任意的恒成立，试求实数的取值范围. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数的单调性、奇偶性及对称性的综合应用五大常考题型 题型一 复合函数的单调性及单调区间 题型二 利用函数的单调性求参数 题型三 利用函数的单调性求函数的最值与值域 题型四 利用函数的奇偶性求参数 题型五 利用函数的奇偶性、单调性判断函数的图像 题型六 利用函数的单调性与奇偶性解不等式 题型七 抽象函数的单调性与奇偶性的应用 题型八 函数单调性、奇偶性及对称性的综合应用 题型九 与函数性质有关的恒成立问题 题型一：复合函数的单调性及单调区间 1．【答案】D 2．【答案】C 3．【答案】B 4．【答案】D 5．【答案】 6．【答案】 7．【答案】 8．【答案】 9．【答案】 10．【答案】(1)增区间为，减区间为 （2）在上单调递减，证明如下： 任取， ， 其中， 所以， 所以在区间上单调递减. 题型二：利用函数的单调性求参数 1．【答案】A 2．【答案】A 3．【答案】B 4．【答案】A 5．【答案】A 6．【答案】D 7．【答案】BCD 8．【答案】AC 9．【答案】 10．【答案】 题型三：利用函数的单调性求函数的最值与值域 1．【答案】B 2．【答案】B 3．【答案】C 4．【答案】B 5．【答案】D 6．【答案】D 7．【答案】 8．【答案】 9．【答案】(1)(2) 10．【答案】(1)(2)(3) 题型四：利用函数的奇偶性求参数 1．【答案】B 2．【答案】C 3．【答案】C 4．【答案】D 5．【答案】D 6．【答案】1 7．【答案】 8．【答案】3 9．【答案】 10．【答案】（1）.（2）. 题型五：利用函数的奇偶性、单调性判断函数的图像 1．【答案】A 2．【答案】B 3．【答案】A 4．【答案】C 5．【答案】D 6．【答案】D 7．【答案】B 8．【答案】D 9．【答案】B 10．【答案】C 题型六：利用函数的单调性与奇偶性解不等式 1．【答案】C 2．【答案】B 3．【答案】D 4．【答案】D 5．【答案】C 6．【答案】D 7．【答案】A 8．【答案】 9．【答案】 10．【答案】 题型七：抽象函数的单调性与奇偶性的应用 1．【答案】B 2．【答案】D 3．【答案】A 4．【答案】(1)为偶函数，证明如下： 首先，的定义域为关于原点对称； 其次，令，则，得． 令，则，得． 令，则，， 所以是偶函数． (2)证明：，设， ， 因为，所以，则，即， 所以，即． 所以在区间上单调递减． (3)或 5．【答案】(1) 由于对定义域内任意，都有， 取，则， 取，则， 取，则，所以是偶函数 (2)在上单调递增，在上单调递减， 令，则，由时得， ∵， ∴在上单调递减；由为偶函数，所以在上单调递增； (3). 6．【答案】(1)， (2)令，则， 即对任意的，，所以是偶函数． (3) 7．【答案】(1) (2)证明：①当时，显然，有，符合题意； ②当时，令，则，所以， 因为，所以，所以， 所以当时，，此时，符合题意； ③当时，则，，符合题意． 综上所述，，． (3)单调递增.     证明：设任意，，且， 则 ， 由（2）可知，对，， 又，得， 所以，即， 所以函数在上单调递增． 8．【答案】(1) 证明：因为的定义域是，， 令，得，故， 令，得，故， 令，得，则， 所以是偶函数 . (2) 9．【答案】(1) (2) 法一：因为函数的定义域为，所以定义域关于原点对称， 先证明：不存在使得， 假设存在，使得，对于这样的，一定，使得，于是，由，得， 由已知得， 则，这与矛盾， 因此使得， 再由已知得到使得； 令，有，得， 用代替，用代替，有， 即， 即， 整理得，所以，则为奇函数. 法二：因为函数的定义域为，所以定义域关于原点对称， 先证明：不存在使得， 假设存在，使得，对于这样的，一定，使得，于是，由，得， 由已知得， 则，这与矛盾， 因此使得， 再由已知得到使得； 再由知，， 令，则， 于是， 两式相加得，，即，因此， 即，故为奇函数； (3) 10．【答案】(1)奇函数 (2)证明：对任意的，都有，令，则， 因为，可得，所以， 所以函数在上为单调减函数． (3) 11．【答案】(1)， (2)证明： 取，则， 又函数的定义域为，关于原点对称， 则是奇函数 (3) 12．【答案】(1) 令，则有，所以； 对任意，令，则. 所以是奇函数. (2) 对任意，若，则 ， 由于，所以， 又因为，所以. 因此， 所以函数在上单调递减. (3) 题型八：函数单调性、奇偶性及对称性的综合应用 1．【答案】C 2．【答案】A 3．【答案】C 4．【答案】B 5．【答案】A 6．【答案】C 7．【答案】D 8．【答案】D 9．【答案】D 10．【答案】ABD 11．【答案】(1) (2) 在定义域上单调递增，证明如下： 设 ，易知 ，，，. 则 则 ，所以 在 上单调递增. (3) 12．【答案】(1) (2)任取，且， 那么， 由于且，所以，，而，， 所以，即，因此在上是增函数. (3) 13．【答案】(1)证明：令，则 ， 因为，，，所以， 所以，即, 则在上单调递增. (2)是奇函数，证明：的定义域为，关于原点对称，且， 所以是奇函数. (3) 14．【答案】(1) (2) 15．【答案】(1)奇函数，证明： 由函数，可得其定义域为，关于原点对称． 又由 所以函数为定义域上的奇函数． (2) 证明：当时， 任取，，且， 可得 因为，，且，可得， 所以，即，所以函数在上是增函数 (3)． 16．【答案】(1) (2) 在上单调递增，证明如下： 令，则 ， 由，则，， 故，故在上单调递增； (3)或或 题型九：与函数性质有关的恒成立问题 1．【答案】B 2．【答案】C 3．【答案】D 4．【答案】B 5．【答案】A 6．【答案】D 7．【答案】C 8．【答案】 9．【答案】 10．【答案】(1) 证明：由函数的定义域为，关于原点对称， 因为对任意，， 令，可得，可得， 令，可得，所以， 所以函数为奇函数. (2)为单调递减函数； (3) 11．【答案】(1) 函数为R上的奇函数， 证明如下：函数的定义域为， 令，则，又， 所以，所以函数为奇函数． (2) 在上的单调递增， 证明如下：由（1）知，， 当时，，所以， 从而， ，则 ， 因为，所以，又当时，， 所以，所以，所以， 故在上的单调递增． (3) 12．【答案】(1)奇函数，证明： 的定义域为 ，关于原点对称， 令，得，解得或， 又不存在，使得，∴， 令，得， ∴， ∴ 为奇函数. (2)任取，设， 解法一：， 因为，，又，， 所以，， 所以，即， 所以 在 上是严格递增函数. 解法二：由（1）函数为奇函数，则 任取，且，则，故且. 所以，； 所以，函数 在上严格递增. (3). 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数的单调性、奇偶性及对称性的综合应用五大常考题型 题型一 复合函数的单调性及单调区间 题型二 利用函数的单调性求参数 题型三 利用函数的单调性求函数的最值与值域 题型四 利用函数的奇偶性求参数 题型五 利用函数的奇偶性、单调性判断函数的图像 题型六 利用函数的单调性与奇偶性解不等式 题型七 抽象函数的单调性与奇偶性的应用 题型八 函数单调性、奇偶性及对称性的综合应用 题型九 与函数性质有关的恒成立问题 题型一：复合函数的单调性及单调区间 1．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，可知函数在上单调递增， 设，可作出函数图像： 可知函数在上单调递减，在上， 则的定义域为. 根据复合函数同增异减原则，可知在上单调递减，D正确. 2．已知函数在上单调递减，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复合函数的单调性求解判断即可. 【详解】令，因为在上单调递增， 所以在上单调递减， 对于， 由解得：， 令，当时， 随增大而减小， 当时，随增大而增大， 因为在上单调递减， 所以的单调递增区间是函数的单调递减区间， 所以的单调递增区间是， 故选：C. 3．函数的单调递增区间是（   ） A． B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性判断即可. 【详解】令，解得且， 所以函数的定义域为， 又在上单调递减，在上单调递增， 由反比例函数性质得在，上单调递减， 所以的单调递增区间为，. 故选：B 4．函数的最小值为（    ） A．0 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】先求函数单调性，即可得最值. 【详解】根据题意，函数的定义域为， 且由于在区间上单调递增， 在区间上单调递增， 所以函数在区间上单调递增， 所以． 故选：D． 5．函数的单调递减区间为______. 【答案】 【分析】由，求出函数的定义域，再利用复合函数的单调性即可求解. 【详解】由，可得：， 因在上单调递增，而在上单调递增，在上单调递减， 由复合函数的单调性，可知的单调递减区间为. 故答案为： 6．已知函数是定义在上的增函数，则的单调递减区间是______. 【答案】 【分析】先求函数的定义域，令，再利用复合函数求单调性即可. 【详解】∵的定义域为，∴，即，解得或， 故函数的定义域为， 令，则， 当时，单调递增，则单调递增； 当时，单调递减，则单调递减， 故的单调递减区间为. 故答案为：. 7．已知函数是定义在上的单调递减函数，则的单调递增区间为______. 【答案】 【分析】先确定的定义域，然后利用的单调性和的单调性，即可确定的单调区间. 【详解】要求的单调递增区间，即求的单调递减区间， 又的定义域为或. 令, 当时，单调递减，从而单调递减； 当时，单调递增，从而单调递增， 因此函数的单调递增区间为. 故答案为：. 8．函数的单调递增区间是______． 【答案】 【分析】先求得函数的定义域，然后根据复合函数单调性同增异减来判断出正确答案. 【详解】函数的定义域为． ∵在上单调递增，在上单调递增， ∴在上单调递增． 又在上也为增函数，从而在上是增函数． 故答案为： 9．函数的递增区间是______． 【答案】 【分析】分析内层函数和外层函数的单调性，利用复合函数“同增异减”原则得出函数的递增区间. 【详解】令，则内层函数的递减区间为，递增区间为. 外层函数为增函数， 由复合函数“同增异减”原则可知，函数的递增区间是. 故答案为. 【点睛】本题考查函数单调区间的求解，考查复合函数单调区间的求解，解题的关键就是分析出内层函数和外层函数的单调性，利用同增异减法得出函数的单调区间，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 10．求解下列问题： (1)求函数的单调区间； (2)判断函数在上的单调性，并证明． 【答案】(1)增区间为，减区间为 (2)在上单调递减，证明详见解析. 【分析】（1）先求得函数的定义域，然后根据复合函数的单调性同增异减求得函数的单调区间. （2）利用函数单调性的定义证得的单调性. 【详解】（1）由得， 解得，函数的图象开口向下，对称轴为， 根据复合函数的单调性同增异减可知， 函数的增区间为，减区间为. （2）在上单调递减，证明如下： 任取， ， 其中， 所以， 所以在区间上单调递减. 题型二：利用函数的单调性求参数 1．已知函数的单调递减区间为，单调递增区间为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用韦达定理求解即可. 【详解】由题知，当时，或， 所以可得，即， 所以. 2．已知在上满足，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由得出在上单调递增，因为其中二次函数的系数，故分和两类讨论，结合一次函数单调性，二次函数单调性列出不等式可求得的范围. 【详解】由题意知，在上单调递增， 当时，，满足题意； 当时，得， 所以． 3．已知函数对任意的，总满足以下不等关系：，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可得： 当时，有， 当时，有， 说明在上严格单调递减. 已知， 可知是一个斜率为的一次函数，在上单调递减， 是一个开口向下的二次函数，对称轴为轴， 在上单调递减，故满足即可实现在上严格单调递减. ，，则， 解得. 4．函数，若对任意  都有成立，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意判断函数在R上单调递减，根据分段函数在R上单调递减即要在每一段上都单调递减，即可求出a的取值范围，另外还要考虑分界点处的大小关系. 【详解】因为对任意  都有 成立， 所以函数在R上单调递减， 所以设在上单调递减， 即，即. 设在上单调递减， 为二次函数开口向上，对称轴为直线. 所以，即. ，， 因为在R上单调递减，所以， 即，解得. 综上所述，a的取值范围是. 5．设函数，若，且，使成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考虑的对称轴与2比较，分与两种情况，结合函数的单调性，列出不等式，求出实数的取值范围. 【详解】当时，函数，对称轴为， 当，即时，此时，使得，满足题意； 当，即时，在上单调递增，在上也单调递增， 要想，且，使得，则，得， 而，矛盾. 综上. 6．若函数是上的单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数在上单调，且开口向下，在区间上不可能单调递减， 函数在上不可能单调递减，故在上单调递增， ，解得， 的取值范围是． 7．（多选）设，若满足，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据题意，利用初等函数的性质，求得函数的单调性和值域，画出函数的图像，设，得到，求得，结合换元法和函数的单调性，求得函数的值域，即可求解. 【详解】当时，，可得在上单调递减，且值域为， 当时，， 若，可得，此时在上单调递减，且值域为， 若，可得，此时在上单调递增，且值域为， 画出函数的图像，如图所示， 设，则，其中，，， 由，可得；由，可得； 由，可得， 所以， 令，则且，代入可得， 因为在上为单调递增函数， 当时，，当时，，所以， 所以，结合选项，可得，即B、C、D选项符合题意. 8．（多选）已知函数在区间上单调递减，则实数的可能取值为（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】AC 【分析】先将分离常数得，结合在区间上单调递减，则有，进而可解得的取值范围. 【详解】由分离常数法可知，反比例型函数可化为， 因为在区间上单调递减，所以，即， 故选项中只有AC满足， 故选：AC. 9．已知是函数在上单调递增的必要条件，则的最大值为_________． 【答案】 【分析】先根据二次函数单调性规律求出分段函数在上单调递增的参数的取值范围，再结合必要条件的集合包含关系求解的最大值. 【详解】因为当时，，单调递增区间为， 所以要使在上单调递增，需满足. 因为当时，，单调递增区间为， 所以要使在上单调递增，需满足. 同时需满足分段点处左段函数值不大于右段函数值，即， 整理得，对任意实数恒成立. 综上，函数在上单调递增的充要条件为. 因为是在上单调递增的必要条件，即单调递增可推出恒成立， 所以需小于等于的最小值，即，故的最大值为. 10．若函数与在区间上都单调递减，则实数的取值范围是______ 【答案】 【分析】分别求出二次函数、分式函数在区间上单调递减的的取值范围，取交集即可得到结果. 【详解】由题意，函数的图象对应的抛物线开口向下，对称轴为直线， 故在上单调递减， 若在区间上单调递减，则，解得； 若函数在区间上单调递减， 则，且或，即或. 综上，实数的取值范围是. 题型三：利用函数的单调性求函数的最值与值域 1．若，则的最小值是（　　） A．－2 B． C．2 D．0 【答案】B 【详解】任取，且，则， 因为，且，故，， 故，即，故在上为减函数，当时，有最小值. 2．若时，则的最大值与最小值分别是（    ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】通过换元将含根式的函数转化为二次函数，利用二次函数在闭区间上的最值性质求解． 【详解】令，由可得，且， 代入原函数得，，该函数为开口向下的二次函数，对称轴为， 将代入函数，得； 开口向下的二次函数在闭区间上的最小值在端点处取得， 分别代入端点： 当时，； 当时，； 比较得， 因此当时，函数取最大值，最大值为， 当时，函数取最小值，最小值为. 3．已知表示，中的最小者，则函数的最大值为（    ） A．0 B．1 C．3 D．4 【答案】C 【详解】令，整理得一元二次方程，解得或. 当或时，，因此； 当时，，因此. 求分段函数的最大值： 时，； 时，是递减函数，； 时，是递增函数，. 综上，当时的最大值为3. 4．定义为中的最小值，设，则的最大值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】作出函数的图象，根据图象即可求解. 【详解】画出，，的图像，观察图像可知， 当时，， 当时，， 当时，， 所以的最大值在时取得为，故B正确． 5．已知函数，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，然后分离常数，再令，结合基本不等式和反比例函数性质，用表示出函数值域，结合列不等式求解可得. 【详解】设，则， 令，则， 因为，所以，当且仅当时等号成立， ， ，函数在上单调递减，则， 所以，时，，， 由于对任意的，都有成立， 所以，，解得， 的取值范围为. 6．已知，若对任意的正实数，总存在，使得．则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定函数在上的最大值，再按分类讨论，进而求出的范围. 【详解】，函数在上都单调递减，则函数在上单调递减， 当时，，因此， 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，， 对任意的正实数，当时，恒成立， 由总存在，使得，得， 所以实数的取值范围为. 7．设定义在上的函数，则的最小值是______． 【答案】 【分析】令，，分析的单调性，即可求得的最小值，即的最小值. 【详解】令，. 设， . 因为，所以，所以，所以，即. 所以在上单调递增，所以． 故答案为：. 8．定义：表示不超过的最大整数，如，则函数的值域为________. 【答案】 【分析】分别求出当、时的函数值域即可. 【详解】当时，， 因为在上单调递增，所以， 此时函数范围为； 当时，； 因为在上单调递增，所以， 此时函数范围为， 综上，当时，的值域为. 故答案为： 9．设为实数，函数. (1)若，求的取值范围； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）不等式代入，化简得到，则需满足即可求的取值范围；（2）去掉绝对值把函数写成分段二次函数，分别求出两段的对称轴，依据正负判断对称轴是否落在对应定义域，求出每一段的局部最小值，再比较两段得到整个函数的最小值。 【详解】（1）因为函数，所以， 故，所以，解得. （2）当时，， 所以，如图所示： 当时，，所以，如图所示： 综上所述：. 10．已知函数（）． (1)对都有成立，求实数取值范围； (2)求在上的最小值； (3)求（2）中函数的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据计算； （2）分、、三种情况讨论； （3）根据分段函数的单调性求最值. 【详解】（1）由题意得，对恒成立， 则，得， 故的取值范围为； （2）对称轴为，且开口朝上， 则在上单调递减，在上单调递增， 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，， 则； （3）由（2）可知，当时，； 当时，； 当时，， 故的最大值为. 题型四：利用函数的奇偶性求参数 1．已知是定义在上的奇函数，那么的值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据定义域关于原点对称，求得，再由，求得，即可求解. 【详解】由题意，函数是定义在上的奇函数， 则，解得，可得， 又由，所以，可得， 所以. 故选：B. 2．若函数是奇函数，则实数的值是 A．-10 B．10 C．-5 D．5 【答案】C 【详解】试题分析：∵函数是奇函数， ∴当时，， ∴． 考点：函数的奇偶性． 3．已知函数为奇函数，则的值是（   ） A．3 B．1或3 C．2 D．1或2 【答案】C 【分析】根据奇函数在原点处有意义则求出的值，再将的值代回原函数检验即可得解. 【详解】因为为奇函数，所以， 解得或. 当时，，，故不合题意，舍去； 当时，，，故符合题意. 故选：C. 4．已知函数为奇函数，则（    ） A． B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据条件，利用奇函数的性质，得到对于恒成立，即可求解. 【详解】由题意得，，即， 整理得，即对恒成立， ∴，∴，. 故选：D. 5．若函数是奇函数，则实数a、b的值分别为（   ） A．1，1 B．， C．，1 D．1， 【答案】D 【分析】根据奇函数的定义，分别对和的情况进行分析，从而求出和的值. 【详解】已知时，. 当时，，根据函数表达式，.   因为是奇函数，所以. 当时，. 由可得. 对于，等式两边对应项系数相等. 对于的系数，可得，解得. 对于的系数，可得.   故，. 故选：D. 6．已知是定义在上的偶函数，且对任意有，则_________． 【答案】1 【分析】利用换元法得到，由偶函数的性质求解即可. 【详解】令，则， 所以， 因为为偶函数，所以表达式中的一次项系数为0， 即，解得. 7．若函数是上的偶函数，则的值为______． 【答案】 【详解】函数是定义在上的偶函数， ，即． ， ， ， ． 8．若为偶函数，则________． 【答案】3 【详解】因为为偶函数，故， 即， 即， 所以，即，所以，则． 9．若函数为奇函数，求的值. 【答案】 【详解】由题意得，则且， 因为为奇函数，其定义域关于原点对称， 所以，故， 又，即， 所以，则. 10．（1）函数是偶函数，且定义域是，求的值. （2）已知函数，若函数为偶函数，求的值. 【答案】（1）. （2）. 【分析】（1）根据函数是偶函数，定义域关于原点对称，建立方程组即可求解. （2）根据题意得 为奇函数，利用奇函数的定义即可求解. 【详解】（1）因为偶函数的定义域是，所以，得到； 所以是偶函数，所以，所以， 所以. （2）令， 因为函数为偶函数，且为三次函数， 所以为奇函数，即， 所以， 即， 即， 所以，解得. 题型五：利用函数的奇偶性、单调性判断函数的图像 1．已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可以是（　　） A． B． C．－1 D． 【答案】A 【详解】由函数图象可知，函数为奇函数，而选项C是偶函数，排除C; 选项B，当,,与图象矛盾，排除B. 若函数为则时，，排除D，故选A. 2．函数的图象大致为（     ） A．B．C．D． 【答案】B 【详解】由于函数的定义域为，且对任意的，，故为偶函数，其图像关于轴对称，此时排除CD选项， 当时，，此时可排除A，故选B. 3．函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由取值情况判断B；由时函数值情况判断C；由的值判断D；分析函数性质判断A. 【详解】对于B，函数的定义域为R，而给定图象对应函数中，B不是； 对于C，函数，当时，，此时图象在下方，C不是； 对于D，函数，，其图象过点，D不是； 对于A，函数，定义域为， ，函数为奇函数，图象关于原点对称， 当时，；当时，，A可能是. 4．若函数y=f（x）的大致图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（　　） A．f（x）= B．f（x）= C．f（x）= D．f（x）= 【答案】C 【详解】解析:由图可知，当x∈（0，1）时，f（x）<0， 取x=，则对于B，f（）==1>0，所以排除B; 对于D，f（）==>0，所以排除D; 当x>0时，对于A，f（x）==1+，此函数是由y=向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的，所以x>1时，f（x）>1恒成立，而题图中，当x>1时，f（x）可以小于1，所以排除A.故选C. 5．函数的图象大致为（   ） A．  B．  C．  D．   【答案】D 【分析】利用函数的奇偶性排除B，C，利用函数的单调性排除A即可. 【详解】对于函数，定义域为， 因为， 所以函数为偶函数，故B，C错误， 当时，， 又在上单调递增，在上单调递减， 故在上单调递增，故A错误，D正确． 故选：D． 6．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，则函数的图象大致为（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】分别求出函数的定义域、奇偶性和单调性，结合性质辨别图象即可. 【详解】因为的定义域是，排除A，B； 定义域关于原点对称， ， 所以为偶函数，排除C； 又时，为增函数，所以图象如D. 故选：D. 7．函数的大致图象是（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】利用函数零点和单调性判断即可. 【详解】令，因为， 所以当时有：，方程无实数解， 当时有：，解得（舍去）或， 所以函数有一个零点，即函数图象与轴负半轴有交点，故A、D选项错误； 当时，函数，因为与在上单调递减， 所以当在上单调递减， 故B选项正确，C选项错误. 8．函数的大致图象为（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】由题可得函数定义域，函数的奇偶性及其在时的函数值符号，结合排除法即得. 【详解】对任意的，， 故函数的定义域为，故A错误； 又当时，，故B错误； 因为，所以为奇函数，故C错误. 故选：D. 9．函数的图象大致是（    ） A．  B．  C． D．   【答案】B 【分析】利用函数的奇偶性和特殊值逐个排除即可. 【详解】，且函数定义域过于原点对称， 为奇函数，图象关于原点对称，故排除D， 又且时，，故排除C， 当时，，故排除A. 故选：B. 10．函数的大致图象为（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】根据函数图像上的特殊点，对选项进行排除，由此得出正确选项. 【详解】依题意，由此排除A,B选项.而，由此排除D选项. 故选C. 题型六：利用函数的单调性与奇偶性解不等式 1．若，则满足的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析出函数为上的偶函数，且在上为增函数，利用偶函数的性质将所求不等式变形为，结合函数的单调性可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为函数的定义域为，且， 故函数为定义域上的偶函数． 由得， 又当时，在上单调递增，所以，即,即，解得. 2．已知是定义在上的奇函数，对任意且，都有，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性，结合已知条件判断函数的单调性，再分类讨论解不等式即可. 【详解】因为对任意且， 都有，则在上单调递减， 又是定义在上的奇函数，则在上单调递减， 又，则，即， 当或时，，当或时，， 对于不等式，当时，则，即， 当时，则，即， 所以不等式的解集是. 3．已知函数是定义在上的奇函数，在上单调递减，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由奇偶性得到，当时，，结合单调性，求出，同理得到当时，，故， 【详解】因为是定义在上的奇函数，， 所以， 因为在上单调递减，当时，， 故， 因为是定义在上的奇函数，故在上单调递减， 又，当时，， 故， 综上，的解集为. 故选：D 4．若函数是定义在的奇函数，，当时，都有，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论. 【详解】因为对且时，都有，且, 所以在上单调递减, 根据奇函数的对称性可知，在 上单调递减且， 由可得或 即或， 解得或， 故选：D 5．已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断函数的奇偶性，由偶函数对称区间上单调性相反，得到函数值不等式对应的不等式，解得解集. 【详解】的定义域为，∵， ∴为偶函数， ∵当时，，∴在上单调递增， ∵，∴， 解得或. 故选：C. 6．已知是定义在上的奇函数，且在上单调递减，，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由和是定义在上的奇函数，得到，且，由在上单调递减得到在上单调递减，由得到或，分别按照这两种情况结合单调性和奇函数讨论求解. 【详解】因为，是定义在上的奇函数， 所以，且， 因为在上单调递减， 所以在上单调递减， 因为， 所以或， 当时， 因为，， 所以， 因为，且在单调递减， 所以，即， 又，则. 当时， 因为，所以两部分讨论： 当时，即当时， 因为在单调递减，， 所以，即， 当时，即当时， 因为在单调递减，， 所以，即，与矛盾，舍去， 当时，即当时， ，不满足，所以. 综上，解集为. 7．已知定义在上的函数满足，且对任意的、且均有，若，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，分析函数在上的单调性及奇偶性，可得出其在上的单调性，将所求不等式变形为，结合函数的定义域与单调性可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】由题意可知，函数的定义域为， 不妨设，由可得， 所以，， 令，可得， 所以，函数在定义域上为增函数， 易知函数的定义域为， 因为， 所以，，即函数为奇函数， 因为函数在为增函数，故该函数在上也为增函数， 所以，函数在上为增函数， 由， 可得，即， 所以，，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：A. 8．定义域在上的函数，满足，若当时，的图象如图所示，则不等式的解集为_________． 【答案】 【分析】根据奇函数的性质结合一元二次不等式的解法可求不等式的解集. 【详解】因为满足，所以为奇函数，结合图象可知， 当或时，；当或时，. 对于可分为两种情况： 情况一：，即，解得， 情况二：，即，解得， 所以不等式的解集为. 9．已知函数是定义域在上的奇函数，且在上为增函数，若，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】先判断在上为增函数，再根据奇偶性和单调性可得关于的不等式组，从而可得实数的取值范围. 【详解】因为为奇函数且在上为增函数，故在上为增函数， 因为为上的奇函数，故即为， 故，故. 10．已知函数是定义在上的奇函数，．若且，都有，则不等式的解集为______． 【答案】 【分析】设，即可判断为偶函数且在上单调递增，不等式即，结合单调性与奇偶性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】设， 由且，， 得，所以在上单调递增． 因为为奇函数，所以， 所以，即为偶函数． 因为，所以， 所以不等式，即， 所以． 又因为在上单调递增，所以，即，解得， 所以不等式的解集为． 故答案为： 题型七：抽象函数的单调性与奇偶性的应用 1．已知定义在上的函数满足，，且当时，，则下列说法正确的是（ ） A．是奇函数但不是偶函数 B．是偶函数但不是奇函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 【答案】B 【分析】对进行赋值即可根据奇偶性的定义进行函数奇偶性的判断. 【详解】已知的定义域关于原点对称， 因为，， 故令时，则， 令时，， 令，时，， 所以，即 ，所以是偶函数， 又当时，，即不恒为零，故只能为偶函数，不能为奇函数，故B正确. 2．已知定义域为的函数满足，，且时，，则下列说法正确的（    ） A． B．为减函数 C．为奇函数 D．不等式的解集为 【答案】D 【分析】首先令得到，令，求出可判断A；当时，由可得进而确定单调性可判断B；令，结合得可判断C；根据的单调性和解不等式可判断D. 【详解】令，则，得， 对于A，令，则，故A错误； 对于B，若，则，此时， 所以， 即时，，所以为上的增函数，故B错误； 对于C，令，则，所以， 不满足，所以不是奇函数，故C错误； 对于D，因为为上的增函数，且， 所以当时，；当时，， 不等式的解集为，故D正确. 故选：D 3．已知函数的定义域为，且对于任意实数，，都有，若函数在定义域内的最大值为，最小值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可得为奇函数，为奇函数，然后由奇函数性质可得答案. 【详解】因对于任意实数，，都有， 令，可得， 再令，则，从而为奇函数. 注意到， 结合为R上奇函数，为R上偶函数， 可得为R上奇函数， 由题可得存在，且为，存在，且为. 又由奇函数性质可得， 从而. 4．已知函数的定义域为，，且当时，． (1)判断函数的奇偶性，并写出必要的证明过程； (2)证明：函数在区间上单调递减； (3)解不等式：． 【答案】(1)为偶函数，证明如下： 首先，的定义域为关于原点对称； 其次，令，则，得． 令，则，得． 令，则，， 所以是偶函数． (2)证明：，设， ， 因为，所以，则，即， 所以，即． 所以在区间上单调递减． (3)或 【分析】（1）判断函数定义域，利用赋值法证明函数的奇偶性； （2）运用定义法证明函数单调性； （3）先用函数恒等式变形，结合函数单调性和奇偶性列出不等式，解不等式求解集． 【详解】（1）略 （2）略 （3）由题意得， 因为为偶函数，所以， 又在上单调递减， 则由，得， 解得或， 所以不等式的解集为或． 5．已知函数的定义域为，对定义域内任意，都有，且当时，，请解答以下问题： (1)证明函数为偶函数； (2)判定函数的单调性并加以证明； (3)若，解不等式． 【答案】(1) 由于对定义域内任意，都有， 取，则， 取，则， 取，则，所以是偶函数 (2)在上单调递增，在上单调递减， 令，则，由时得， ∵， ∴在上单调递减；由为偶函数，所以在上单调递增； (3). 【分析】（1）由分别令、求出，即可令按定义证得偶函数； （2）根据定义证单调性，区别是由说明符号； （3）由得，再进一步求得，由函数单调性，结合的符号分类讨论去绝对值，即可结合及单调性求解. 【详解】（1）略 （2）略 （3）∵，. 由且在上单调递减； 当时，原不等式可化为：，则得； 当时，原不等式可化为：，即，得； 当时，由是偶函数可得或. 故原不等式的解集是：． 6．已知定义在上的函数满足：对任意的，，，且当时，． (1)求，； (2)证明：是偶函数； (3)若在上单调递减，求不等式的解集． 【答案】(1)， (2)令，则， 即对任意的，，所以是偶函数． (3) 【详解】（1）令，则，又，所以． 令，则，即， 又，所以． （2）略 （3）由(2)知， 因为在上单调递减，，， 所以由，得，解得， 即不等式的解集为． 7．已知函数满足，，，且当时． (1)求的值； (2)证明：，； (3)判断的单调性并用单调性定义给出证明． 【答案】(1) (2)证明：①当时，显然，有，符合题意； ②当时，令，则，所以， 因为，所以，所以， 所以当时，，此时，符合题意； ③当时，则，，符合题意． 综上所述，，． (3)单调递增.     证明：设任意，，且， 则 ， 由（2）可知，对，， 又，得， 所以，即， 所以函数在上单调递增． 【分析】（1）根据赋值法代入求解即可. （2）结合已知条件，分情况证明即可. （3）根据单调性的定义判断证明即可. 【详解】（1）将，代入得， 即， 因为当时，，所以， 所以．     （2）略 （3）略 8．已知函数的定义域是，对定义域内的任意都有，且当时， (1)证明：是偶函数； (2)解不等式. 【答案】(1) 证明：因为的定义域是，， 令，得，故， 令，得，故， 令，得，则， 所以是偶函数 . (2) 【分析】（1）利用赋值法依次求得，，从而得证； （2）先利用函数单调性的定义证得在上是增函数，再将不等式转化为，从而得到且，解之即可得解.． 【详解】（1）略 （2）设，则， 又当时，，所以 则， 故，所以在上是增函数， 因为，所以， 所以由，得， 又因为是偶函数，所以，且， 解得且， 所以不等式的解集为. 9．已知定义域为的函数满足，且当时，恒成立． (1)求； (2)证明：为奇函数； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 法一：因为函数的定义域为，所以定义域关于原点对称， 先证明：不存在使得， 假设存在，使得，对于这样的，一定，使得，于是，由，得， 由已知得， 则，这与矛盾， 因此使得， 再由已知得到使得； 令，有，得， 用代替，用代替，有， 即， 即， 整理得，所以，则为奇函数. 法二：因为函数的定义域为，所以定义域关于原点对称， 先证明：不存在使得， 假设存在，使得，对于这样的，一定，使得，于是，由，得， 由已知得， 则，这与矛盾， 因此使得， 再由已知得到使得； 再由知，， 令，则， 于是， 两式相加得，，即，因此， 即，故为奇函数； (3) 【分析】（1）令，即可求解； （2）先利用反证法求证不存在使得，法一，赋值法，令，用代替，用代替，法二，构造，则，求证为奇函数即可； （3）先利用单调性的定义求证在为减函数，再根据，以及的正负性得出. 【详解】（1）令，则， 因，得， 令，则， 因，则，即， 因，则； （2）略 （3）， ，且，则， 则， 因当时，恒成立，所以，即， 因此函数在为减函数， 因为当时，，由（2）知为奇函数，所以当时，， 因，则，即， 因为， 所以，解得， 故实数的取值范围为. 10．已知函数定义在实数集上，且对任意均有，又对任意的，都有． (1)判断函数的奇偶性． (2)证明函数在上为单调减函数． (3)试求函数在，且上的值域． 【答案】(1)奇函数 (2)证明：对任意的，都有，令，则， 因为，可得，所以， 所以函数在上为单调减函数． (3) 【分析】（1）根据题意，分别令和，结合函数奇偶性的定义与判断方法，即可求解； （2）根据题意，利用函数单调性的定义与判定方法，即可得证； （3）根据题意，化简求得，得到，进而求得且，结合函数的单调性，即可求解. 【详解】（1）解：令，所以，所以， 令，由，可得， 所以，所以函数是奇函数． （2）略 （3）解：由，知．且在上单调递减，所以， 由，有 可知， 所以，可得， 所以且， 所以，即函数的值域为. 11．已知定义在上的函数满足：对，都有，当时，，且. (1)求和的值； (2)证明函数是奇函数； (3)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2)证明： 取，则， 又函数的定义域为，关于原点对称， 则是奇函数 (3) 【分析】（1）取，可求出和的值； （2）利用奇函数的定义证明； （3）先根据函数单调性的定义证明其是减函数，然后结合单调性推出，转化成，然后求不等式右边最小值即可. 【详解】（1）取可知，，则； 取，则 （2）略； （3）先证明函数是减函数，， ， 由题知时，，则，则， 故在上单调递减， ，结合， 则， 即，于是， 由，则， 不等式转化为， 而，当取得等号， 故 12．定义在上的函数满足：①对任意，都有；②当时，都有. (1)求证是奇函数； (2)求证在上单调递减； (3)若且对所有恒成立，求实数t的范围. 【答案】(1) 令，则有，所以； 对任意，令，则. 所以是奇函数. (2) 对任意，若，则 ， 由于，所以， 又因为，所以. 因此， 所以函数在上单调递减. (3) 【分析】（1）利用赋值法及奇函数的定义证明； （2）由已知条件及函数单调性的定义证明； （3）由条件得在上最大值为1，从而对所有恒成立，令，，由题意得且，解不等式即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）由于在上单调递减且为奇函数， 所以在上单调递减，最大值为. 由于对所有恒成立， 所以对所有恒成立， 即对所有恒成立， 令，， 由题意得且， 即且， 解得. 即实数t的范围是. 题型八：函数单调性、奇偶性及对称性的综合应用 1．已知为奇函数，与的图像关于直线对称，若，则（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】先由是奇函数推导的中心对称点，再根据反函数的对称关系得到的中心对称点，最后利用中心对称性质求解. 【详解】由为奇函数，可得对定义域内任意，满足， 令，变形得，即，因此的图象关于点中心对称， 由于与的图象关于直线对称，点关于的对称点为， 因此的图象关于点中心对称，满足， 已知，即，代入得. 2．已知是定义在R上的奇函数且，当时，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用是定义在R上的奇函数且，可得到，即可得，由可求，即可得. 【详解】因为是定义在R上的奇函数，所以，即.所以. 又因为，所以. 所以. 当时，，所以. 所以. 3．若，当时，，则下列说法正确的是（   ） A．函数为奇函数 B．函数在上单调递增 C． D．函数在上单调递减 【答案】C 【分析】根据函数对称性可得的解析式，由此可得的单调性，再依次判断各个选项即可. 【详解】若，则函数的图象关于对称. 当时，； 当时，， 所以. 因此，函数在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增. 且的最小值为. 故B，D错误，C正确. 又，所以函数不是奇函数，所以A错误. 4．已知函数，，，和有相同的对称中心.若直线与的图象交于两点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过函数图像平移的性质得到和的对称中心，从而得到，再令，解得两点的横坐标，再求出的值. 【详解】可看成是平移得到，所以对称中心为. ， 令，则， 所以为奇函数，对称中心为. ，的对称中心为. 和有相同的对称中心,，即. 则直线为， 令，解得， 由题意知两点在直线上， 所以. 5．已知定义在上的函数，的图象分别关于点，对称，则下列点一定是函数的图象的对称中心是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，，， 则， 则的图象的对称中心是 6．已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.那么函数图象的对称中心为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意设函数的对称中心为，再根据函数为奇函数，求出参数即可得解. 【详解】解：设函数的对称中心为， 则函数为奇函数， 由， 得， 整理得， 所以，解得， 所以函数图象的对称中心是. 故选：C 7．已知函数对任意满足，任意，且，都有，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可得的图象关于直线对称轴，在上单调递增，在上单调递减，结合函数单调性和对称性解不等式. 【详解】因为对任意满足，所以的对称轴为直线， 因为函数对任意，都有， 又，所以对任意，都有， 所以函数在上单调递增，则有在上单调递减， 因为，所以，即，解得． 所以不等式的解集是. 故选：D. 8．若定义上的函数满足：对任意且有若的最大值和最小值分别为，则的值为（    ） A．2026 B．2027 C．4054 D．4052 【答案】D 【详解】对任意有， 则令， 令，，， 令，则，故为上的奇函数， 则有， 所以， 故，故选D. 9．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数的图象只有一个对称中心，函数在区间上的最大值和最小值分别为，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出函数的对称中心，再利用对称性求出目标值. 【详解】依题意，， 令函数，，即函数是奇函数， 则，因此函数是奇函数，函数图象对称中心为， 而，则函数在上的图象关于点成中心对称， 由函数在上的最大值和最小值分别为，得. 故选：D 10．（多选）函数图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学据此推出以下结论，其中正确的是（   ） A．函数的图象关于点成中心对称的图形的充要条件是为奇函数 B．函数的图象的对称中心为 C．函数的图象关于成轴对称的充要条件是函数是偶函数 D．函数的图象关于直线对称 【答案】ABD 【分析】由函数奇偶性的定义分析即可判断A；根据一次分式函数分离常数，结合反比例函数图象性质判断对称性即可判断B；因为函数的图象关于成轴对称的充要条件是函数是偶函数，即可判断C；根据解析式求解从而结合对称性进行判断，即可判断D． 【详解】对于A，函数的图象关于点成中心对称的图形， 则有， 函数为奇函数，则有，即有， 所以函数的图象关于点成中心对称的图形的充要条件是为奇函数，故A正确； 对于B，，则， 因为为奇函数，结合A选项可知函数关于点对称，故B正确； 对于C，函数的图象关于成轴对称的充要条件是， 即函数是偶函数，故C不正确； 对于D，，则， 则，所以关于对称，故D正确. 故选：ABD. 11．已知是定义在上的奇函数． (1)求，的值及的解析式； (2)判断在定义域上的单调性，并证明； (3)解不等式：． 【答案】(1) (2) 在定义域上单调递增，证明如下： 设 ，易知 ，，，. 则 则 ，所以 在 上单调递增. (3) 【详解】（1）由已知 是定义在 上的奇函数，可得 . 又 ，所以 ，，.经检验，满足条件. （2）略 （3）因为 是定义在 上的奇函数，且 在 上单调递增， 由 可得 所以解得 ，故原不等式的解集为 . 12．已知函数是定义在上的奇函数，且 (1)求的解析式； (2)用定义法证明：在上是增函数； (3)若实数满足，求实数的范围． 【答案】(1) (2)任取，且， 那么， 由于且，所以，，而，， 所以，即，因此在上是增函数. (3) 【分析】（1）根据题意得到，再结合即可求解； （2）任取，假设，用作差法即可证明； （3）根据题意将不等式转化为，再结合定义域为即可求解. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以有，即，所以， 又因为，即，解得，所以（经检验符合题意）. （2）略. （3）实数满足，即满足， 由于是奇函数，所以，不等式化为， 由（2）可知在上是增函数，所以，解得， 所以实数的取值范围为. 13．已知函数，． (1)求证：在上单调递增； (2)判断的奇偶性并证明； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明：令，则 ， 因为，，，所以， 所以，即, 则在上单调递增. (2)是奇函数，证明：的定义域为，关于原点对称，且， 所以是奇函数. (3) 【详解】（1）略. （2）略. （3）由是奇函数，得， 因为在上单调递增， 所以解得. 故实数的取值范围是. 14．已知函数. (1)若函数为偶函数，求的值 (2)当时，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据偶函数定义可求得； （2）对参数的取值进行分类讨论，再由不等式恒成立限定得出满足的表达式，即可求出的取值范围. 【详解】（1）由函数为偶函数可知，对任何都有， 得，即对任何恒成立， 平方得对任何恒成立，而不恒为0， 则； （2）将不等式化为， 即（*）对任意恒成立， ①当时，将不等式（*）可化为，对上恒成立， 又在为单调递增， 只需，解得； ②当时，不等式（*）可化为对恒成立， 由①可知，则在为单调递减， 只需，解得或， 即； ③当时，将不等式（*）可化为对恒成立 又在为单调递增， 只需，解得或， 即， 综合①②③可知：的取值范围为. 15．已知函数． (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)用定义证明：函数在上的单调性； (3)若关于的不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)奇函数，证明： 由函数，可得其定义域为，关于原点对称． 又由 所以函数为定义域上的奇函数． (2) 证明：当时， 任取，，且， 可得 因为，，且，可得， 所以，即，所以函数在上是增函数 (3)． 【分析】（1）根据奇偶性的定义判断即可； （2）根据函数单调性的定义证明即可； （3）通过奇偶性和单调性去掉符号“”，得到不等式对于任意实数恒成立，求解不等式即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）因为函数为定义域上的奇函数，且在上是增函数 所以函数在上也是增函数，又因为，所以函数在上是增函数． 又由，可得 因为不等式对于任意实数恒成立， 即不等式对于任意实数恒成立， 可得不等式对于任意实数恒成立， 即不等式对于任意实数恒成立 当时，不等式即为恒成立，符合题意 当时，则满足，解得 综上可得，，即实数的取值范围 16．已知奇函数，满足． (1)求实数m，n的值； (2)判断的单调性，并利用定义证明； (3)若对，对恒成立，求实数p的取值范围． 【答案】(1) (2) 在上单调递增，证明如下： 令，则 ， 由，则，， 故，故在上单调递增； (3)或或 【分析】（1）结合奇函数性质计算即可得； （2）借助单调性定义，令，比较与的大小关系即可得； （3）求出最大值后，结合一次函数性质计算即可得. 【详解】（1）由奇函数性质及其定义域为，可得，则， 又，则，即， 检验：当时，有， 又定义域为，故为奇函数，符合要求； 故； （2）略 （3）由在上单调递增，则， 则对恒成立， 即对恒成立， 令，则当时，，符合要求； 当时，为关于的一次函数， 则有，解得或； 综上所述：实数的取值范围为或或. 题型九：与函数性质有关的恒成立问题 1．已知函数的定义域为，对于任意的，都有．若，且对于恒成立，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，且判断函数的单调性；结合的定义域和的单调性求解的取值范围. 【详解】因为，所以由，可得， 即． 令，可得，则可知在上单调递减． 由得：， 因为的定义域为，所以，, 故，即. 由得，，因此，所以即， 该式对所有恒成立，因此，即， 又，得的取值范围为. 2．定义域为的函数满足：对任意的都有，当．若关于的不等式恒成立，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先通过已知条件和函数的性质，判断出 是减函数，再利用函数的单调性和性质将不等式转化为不等式组，最后通过求二次函数的最值，确定 的取值范围即可. 【详解】设，且，则， 因为当时，，所以。 因为， 所以，即， 因此， 在 上是减函数， 因为，令， 则，即，解得， 又因为，根据 可得：， 又因为函数在上单调递减，所以可得不等式组： ， 因为，， 因为，所以， 令 ，其中 ， 函数 在 处取得最大值 ， 所以在端点和 处，故， 原不等式 在 上恒成立，即， 因为，所以，故， 结合，得. 3．已知定义域为的函数满足，且对任意的时，恒成立，则“不等式成立”的充要条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先构造函数，由题意判断其单调性，然后将不等式转化为，再利用函数的单调性和对称性解抽象不等式，最后得到其充要条件. 【详解】因为对任意的时，恒成立， 设，则 ， 故函数在上单调递减， 又， 因为， 则不等式成立”等价于， 又定义域为的函数满足，即函数关于直线对称， 当即时，由在上单调递减，可得，解得， 当，即时，因为， 所以关于直线对称，故. 此时，故与4均在的单调递减区间上. 不等式等价于，可得，解得. 因此，这种情况下的解为. 综上，不等式成立的条件为， 故“不等式成立”的充要条件为. 故选：D. 4．已知函数，，若对，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法，令，求出的范围，然后由函数单调性求解最大值与最小值，解不等式即可. 【详解】    如图所示，的对称轴为，在上单调递减，在上单调递增； 并且，，； 因为，令，则； 不等式恒成立等价于在恒成立； 当，单调递减；当，单调递增，显然满足条件， 故有，即，解得； 且有，，即， 则，解得； ，则， 解得，故； 综上，由，； 故选：B. 5．已知定义在上的函数满足，当 且 时，成立. 若 对任意的恒成立，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数奇偶性及单调性转化为恒成立，分离参数后求最值得解. 【详解】由题意知为偶函数，且在上单调递减，所以在上单调递增， 因为恒成立， 所以恒成立， 当时，不等式显然成立， 当时，原不等式恒成立可化为恒成立， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，解得， 综上，实数a的取值范围为. 故选：A 6．已知函数，若对于任意，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定是增函数，奇函数，利用这两个性质变形不等式，再由分离参数法化为，然后利用勾形函数的单调性求得右边的最大值即得． 【详解】是上的增函数，又，即是奇函数， 所以不等式可化为， 所以，又，所以， 由勾形函数的性质知在上是增函数，所以时，， 所以， 故选：D． 7．若是定义在上的偶函数，且在上是减函数，且不等式对于一切恒成立，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得在上单调递增，不等式对于一切恒成立，可转化为对于一切恒成立，设，求与即可. 【详解】因为是定义在上的偶函数，且在上是减函数， 所以在上单调递增. 因为不等式对于一切恒成立， 所以对于一切恒成立， 所以对于一切恒成立， 即对于一切恒成立. 设， 则. 因为的开口向上，且，， 所以. 因为在上单调递增， 所以， 所以. 故选:C. 8．已知是定义在上的奇函数，对任意的，当时，恒成立．若，，则不等式的解集为______． 【答案】 【分析】首先根据题设不等式结构特征构造函数，由的单调性和奇偶性以及、即可得出不等式的解集. 【详解】对任意且，不妨令，则， 则由得， 设函数，则，所以在上单调递增， 因为为上的奇函数，所以， 所以为上的奇函数，所以在上单调递增； 因为 ，， 所以，； 所以由得，即，所以； 故答案为：. 9．已知是定义在区间上的奇函数，且，若，时，有，若对所有，恒成立，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【分析】由奇函数的定义求得，由奇函数的定义整理不等式，得到函数的单调性，从而求得在区间上，函数的最值，又不等式恒成立得到新的不等式，然后分离常数后再利用函数的单调性求得不等式一边的最值，从而得到实数的取值范围. 【详解】由题意可知， ， ∴函数在上单调递增，函数， 要想不等式恒成立，即恒成立，即， ∵，∴恒成立， 由基本不等式得，当且仅当，即取等号， ∴由双勾函数性质可知函数在上单调递减， ∴，即. 故答案为：. 10．已知函数的定义域为，并且满足下列条件：①；②对任意，；③当时，． (1)证明：为奇函数； (2)判断的单调性，并求解不等式； (3)若对所有，恒成立，求实数t的取值范围． 【答案】(1) 证明：由函数的定义域为，关于原点对称， 因为对任意，， 令，可得，可得， 令，可得，所以， 所以函数为奇函数. (2)为单调递减函数； (3) 【分析】（1）令，求得，再令，求得，结合奇函数的定义，即可得证； （2）根据函数单调性的定义与判定方法，证得为定义域上的单调递减函数，由 ，且为奇函数，求得，把不等式转化为，再由为单调递减函数，得到，结合一元二次不等式的解法，即可求解； （3）由（2）知，函数为递减函数，得到最大值为，根据题意，转化为在恒成立，设，结合一次函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）略 （2）解：任取，且，则， 因为当时，，所以， 又因为， 所以，即， 所以为定义域上的单调递减函数， 因为，且函数为奇函数，可得， 则， 不等式，可化为， 因为函数为奇函数， 可得， 则不等式即为， 又因为函数为单调递减函数，所以， 即，解得， 所以不等式的解集为. （3）解：由（2）知，函数在上为单调递减函数， 所以函数在上的最大值为， 要使得对所有，恒成立， 则满足恒成立，即在恒成立， 设，则在恒成立， 则满足，即，解得， 所以实数的取值范围为. 11．已知定义在上的函数满足：对任意的实数，均有，且，当时，． (1)判断的奇偶性并证明； (2)判断在上的单调性，并证明； (3)若对任意，总有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) 函数为R上的奇函数， 证明如下：函数的定义域为， 令，则，又， 所以，所以函数为奇函数． (2) 在上的单调递增， 证明如下：由（1）知，， 当时，，所以， 从而， ，则 ， 因为，所以，又当时，， 所以，所以，所以， 故在上的单调递增． (3) 【分析】（1）根据奇函数的定义即可证明； （2）先说明，再根据函数单调性的定义即可证明； （3）由（1）（2）得，在上单调递增，问题转化为对恒成立，列出不等式组求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）由（1）知，函数为R上的奇函数，所以， 由（2）知，当时，，且在上的单调递增， 所以在上单调递增， 所以当时，函数的最大值为，最小值为， 又任意，总有恒成立， 所以，即， 由题意，对恒成立， 令，则， 所以，解得或， 故实数的取值范围是． 12．若定义域为 的函数满足：对任意的 和，都有，且，就称这个函数是“优美函数”. (1)判断并证明优美函数的奇偶性； (2)若优美函数的值域为，且当 时，，判断并证明优美函数的单调性； (3)若题（2）中优美函数还满足，且不等式对任意的恒成立，试求实数的取值范围. 【答案】(1)奇函数，证明： 的定义域为 ，关于原点对称， 令，得，解得或， 又不存在，使得，∴， 令，得， ∴， ∴ 为奇函数. (2)任取，设， 解法一：， 因为，，又，， 所以，， 所以，即， 所以 在 上是严格递增函数. 解法二：由（1）函数为奇函数，则 任取，且，则，故且. 所以，； 所以，函数 在上严格递增. (3). 【分析】（1）令，得，令，得证明； （2）解法一：可得，根据题意结合单调性的定义证明；解法二：根据题意整理可得，结合单调性的定义证明； （3）由函数单调性，将问题转化为对恒成立，讨论求解. 【详解】（1）略 （2）略 （3）， 则， ， 又不等式对恒成立， 则对恒成立， 又 在 上严格递增， ∴对恒成立，即对恒成立， 当时，对恒成立， 当时，对恒成立，则，解得， 综上，. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $