第三章 空间向量与立体几何（高效培优讲义）数学北师大版高二选择性必修第一册

第三章 空间向量与立体几何 教学目标 理解空间向量相关基本概念；掌握空间向量加法、减法、数乘、数量积运算法则与运算律。 熟练掌握共线向量定理、共面向量定理，掌握四点共面的向量判定条件。 熟练进行空间向量坐标运算：掌握向量平行、垂直的坐标判定条件。 会求平面法向量；熟练运用向量公式求解异面直线所成角、线面角、二面角，掌握点到平面、点到直线距离的向量计算方法。 能够建立空间直角坐标系，用向量方法证明线线、线面、面面平行与垂直； 教学重难点 1. 重点 空间直角坐标系，空间向量的概念、线性运算、数量积运算；共线、共面向量定理，空间基底的判定。 空间向量坐标运算，向量平行、垂直的坐标条件；四点共面的向量推论。 平面法向量的求解；利用向量公式计算异面直线角、线面角、二面角，点到平面的距离。 2. 难点 共面向量定理、空间基底的理解与应用；四点共面向量条件的灵活运用。 区分向量夹角和立体几何三类空间角的范围，二面角中法向量夹角和二面角本身的关系判断。 复杂几何体中建立合适的空间直角坐标系；动点、存在性问题中参数的设置与方程求解。 向量法处理翻折、体积综合问题；立体几何多选命题辨析，综合题型的条件转化。 知识点 1 空间直角坐标系的建立 构成：在空间中取定点O（原点），作三条两两互相垂直的数轴：x轴、y轴、z轴，统称为坐标轴。 x轴（横轴）、y轴（纵轴）、z轴（竖轴）； 右手系规则：右手握住z轴，四指从x轴正方向旋转指向y轴正方向，大拇指指向z轴正方向。 坐标平面：每两条坐标轴确定一个坐标平面，共 3 个 xOy平面（由x,y轴确定） yOz平面（由y,z轴确定） xOz平面（由x,z轴确定） 卦限：三个坐标平面把空间分成8 个卦限。 空间任意一点M，对应唯一有序实数组，叫做点M的空间直角坐标； x：横坐标，y：纵坐标，z：竖坐标。 表格 点的位置 坐标特征 原点O x轴上的点 y轴上的点 z轴上的点 xOy平面内 yOz平面内 xOz平面内 设点P(x,y,z) 关于平面对称：（z变号，x,y不变） 关于平面对称：（x变号，y,z不变） 关于平面对称：（y变号，x,z不变） 关于x轴对称：（x不变，y,z变号） 关于y轴对称：（y不变，x,z变号） 关于z轴对称：（z不变，x,y变号） 关于原点O对称：（x,y,z全部变号） 记忆口诀：关于哪个坐标轴对称，哪个坐标不变，其余坐标取相反数；关于坐标平面对称，不在该平面的那个坐标变号。 知识点2 空间向量的基本概念 空间向量定义：空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量。 表示：；或者，A起点，B终点。 向量的模：向量的长度，记作、。 几类特殊向量 零向量：模长为0，方向任意；与任意向量平行。 单位向量：模长等于1的向量。 相等向量：大小相等，方向相同（起点可以不同）。 相反向量：大小相等，方向相反；。 共线向量（平行向量）：表示向量的有向线段所在直线平行或重合；。 注意：向量只看大小方向，和位置无关，可以自由平移。 知识点3 向量的运算法则 1. 向量加法 三角形法则： 平行四边形法则：同起点两个向量，以它们为邻边作平行四边形，对角线为和向量。 2. 向量减法 ；共起点，指向被减向量。 3. 数乘向量 模长： 方向： 方向相同； 方向相反； ，零向量。 4. 线性运算运算律 ①交换律： ②结合律：； ③分配律： 知识点4 共线向量定理 存在实数，使得。 空间中平行向量定理和平面完全一致；A,B,P三点共线。 共面向量定理： 如果不共线，则向量与共面存在实数x,y，使得 四点P,A,B,C共面等价条件：； 或。 空间向量的数量积（点积，内积） 向量夹角：，范围 ，两向量同向； ，两向量反向； ，。 数量积定义： 重要结论 ①；非零向量） ②，； ③。 数量积运算律 交换律 数乘结合： 分配律： 知识点5 空间向量的坐标运算 设 加减： 数乘： 数量积： 模： 夹角余弦： 平行垂直坐标条件 （对应坐标成比例） 向量坐标求法：若， 终点坐标减起点坐标。 知识点6 空间向量基本计算 1四点共面的向量推论 已知A,B,C三点不共线，则点P在平面ABC内的充要条件： 且 。 这个是高频推论，大题经常用来判断四点共面。 推导： 若P,A,B,C共面，则 整理：，令x=1-m-n,y=m,z=n，则。 2向量平行、垂直的坐标条件 设 平行（共线） 坐标对应成比例。 垂直（非零向量） 知识点7 空间角的向量计算公式 区分：向量夹角和立体几何角范围不一样！ 异面直线所成角 两异面直线方向向量 取绝对值！异面直线角不取钝角。 直线与平面所成角直线方向向量，平面法向量 二面角 两个平面法向量 关键：看图判断二面角是锐角还是钝角，决定结果取正还是取负。 点到平面距离：点P，平面内任取一点A，平面法向量 分子取绝对值。 线面距离、面面距离可以转化成点面距离。 题型 1：空间向量基本概念与基底、共面向量 【典例1】若构成空间的一个基底，则下列能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知是空间的一个基底，则下列选项中，不能构成空间基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式2】在三棱锥中，，，，，为的重心，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】在三棱柱中，，分别为，的中点，则下列向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 题型 2：空间向量坐标运算、数量积、模长、投影 【典例1】已知空间向量，，若，则（ ） A． B． C． D． 【变式1】已知向量，，若，则实数等于（     ） A． B． C． D． 【变式2】已知空间中四点，则下列结论正确的是（） A． B．三点共线 C．在方向上的投影向量为 D．点到直线的距离为 【变式3】．定义两个向量与的向量积是一个向量，它的模，它的方向与和同时垂直，且以，，的顺序符合右手法则（如图），在棱长为2的正四面体中，则______． 题型 3：空间距离计算 【典例1】在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为______． 【变式1】若空间中有三点，，，则点到平面ABC的距离为______. 【变式2】已知空间内三点，，，则点到直线的距离为________． 【变式3】．如图，在四棱锥中，底面是边长为3的菱形，是正三角形，，点为的中点． (1)证明：平面平面； (2)已知，点在棱上，且满足，求点到平面的距离． 题型 4：空间角计算 【典例1】如图，在四棱锥中，点在上，平面，，已知，，，． (1)证明：； (2)若四边形为平行四边形，求直线与平面所成角的余弦值． 【变式1】如图，在直角梯形中，，，，是的中点，将沿折起，使得． (1)求证：平面平面； (2)求二面角的大小． 【变式2】如图，在直三棱柱中，，为的中点．，． (1)求直线与平面所成的角； (2)在棱上是否存在点使平面，若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 【变式3】已知两个非零向量，在空间任取一点O，作，则叫做向量与的夹角，记作.定义与的“向量积”为是一个与都垂直的向量，且它的模.如图，在四棱锥中，底面为矩形，⟂底面为线段上一点. (1)求； (2)若E为线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值； (3)线段上是否存在一点M，使得，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 题型 5：线面、面面位置关系判定 【典例1】在四棱锥中，，，，，平面. (1)证明：平面. (2)若直线与平面所成的角为. （Ⅰ）求的长度； （Ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值. 【变式1】如图，在四棱锥中，平面，．    (1)证明：平面； (2)若底面是正方形，为中点，点为中点，平面交于点． （ⅰ）求； （ⅱ）若，点到平面的距离为，点为线段上一动点(包含端点)，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 【变式2】如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，分别是线段和上的点，且为线段的中点． (1)求证：平面； (2)求直线到平面的距离； (3)在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由． 【变式3】如图，在三棱锥中，，，，，平面平面． (1)求证：平面； (2)求异面直线和所成角的余弦值； (3)在线段上有一点，，，求的值，使得平面和平面所成的角的大小为． 题型 6：立体几何中的动点、存在性问题 【典例1】如图，在三棱锥中，，，为的中点． (1)证明：平面； (2)若点在棱上，与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值． 【变式1】如图1，在梯形中，，，，将沿翻折至，连接，得到图2的三棱锥，且． (1)求证：； (2)若，在线段上是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为？若存在，请说明点的位置；若不存在，请说明理由． 题型 7：几何体体积计算 【典例1】如图，在四棱锥中，底面是菱形，，为棱的中点，，，直线与所成的角的大小为． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)求平面与平面所成角的余弦值． 【变式1】铁蒺藜在古代能抵挡敌人骑兵的进攻，有一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的正四面体组合而成，如图，也可由正方体切割而成，如图，在如图所示的“蒺藜形多面体”中，若，则（     ） A．该几何体的表面积为 B．直线与直线所成的角为 C．该几何体的体积为 D．二面角的余弦值为 题型 8：多选综合与立体几何命题辨析 【典例1】在高为的正四棱锥中，，底面的中心为，且为线段的中点，则（     ） A． B．直线与平面所成的角大于 C．异面直线与所成角的余弦值为 D．正四棱锥的棱切球（与所有棱都相切的球）的体积为 【变式1】．在正方体中，下列说法正确的是（   ） A． B．与共线 C． D．直线与平面ABCD所成角的余弦值为 【变式2】．如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是的中点，Q是线段上的动点（不包含端点），则下列命题正确的个数是（    ） ①对于任意点Q，都有 ②对于任意点Q，不存在BQ∥平面MNP ③过点Q且与BN垂直的平面截正方体所得截面面积的最大值为 ④存在点Q，使得三棱锥体积为 A．1 B．2 C．3 D．4个 1．已知异面直线，的方向向量分别为，，则异面直线，所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 2．已知，，则（     ） A．3 B．13 C． D． 3．已知正方体的棱长为，点在正方体内部（含表面）且满足．若点到直线的距离为，则（    ） A． B． C．或 D． 4．已知向量是空间的一个基底，向量是空间的另一个基底，一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在三棱柱中，点在棱上，且，为线段的中点，则（   ） A． B． C． D． 6．已知空间向量，，则与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 7．平面内有，，三点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 8．已知空间向量，．若与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 9．已知二面角的平面角为，，若，则长为（     ） A．4 B．2 C． D． 10．如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，平面，，动点在线段上，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 11．如图，正四棱台的高为2，，O为底面的中心，则直线与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 12．空间向量，，，向量，其中，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 13．已知动点Q在所在平面内运动，若对于空间不在所在平面内的点P，都有，则实数m的值为（   ） A．0 B． C． D．2 14．如图，平行六面体中，，，，则=（ ） A． B． C． D． 15．已知，，，且，，，四点共面，则的值为（     ） A． B． C． D． 16．在空间直角坐标系中，点到平面的距离等于（     ） A． B． C． D． 1．如图，在四棱锥中，平面平面， ，，，，为的中点，点在棱上，且. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 2．如图，平面平面，四边形为矩形，平面. (1)证明：. (2)已知. ①求几何体体积的最大值； ②若为棱的中点，为线段上的动点，当几何体的体积取得最大值时，求直线与所成角的余弦值的取值范围. 3．在三棱台中，，，平面. (1)证明：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 4．如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，，二面角的大小为，平面平面，平面平面，．    (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成角的大小． 5．棱长为的正方体在空间直角坐标系中的位置如图，点，分别在线段和上，且，． (1)写出点，的坐标； (2)求线段的长； (3)求异面直线，所成角的余弦值． 6．已知正四面体的棱长为，点是的重心，点是线段的中点． (1)用，，表示，并求出； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 7．如图，正方体的棱长为2，和分别为和的中点. (1)证明：； (2)求到平面的距离. 8．如图，四边形是圆柱的轴截面，点在底面圆上，，，点是线段的中点． (1)证明：； (2)求平面与平面所成二面角的正弦值． 9．如图所示，在直三棱柱中，，，，点是的中点． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求平面与平面夹角的正弦值． 10．在三棱柱中，，点为的延长线上一点，且满足. (1)证明：： (2)求直线与平面所成的角. 11．如图，在菱形中，已知，为的中点，现将四边形沿折起至（其中点为折叠后点的位置）． (1)求证：平面； (2)若二面角的大小为，求平面与平面所成角的余弦值． 12．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F． (1)求证：PB⊥平面EFD； (2)求平面CPB与平面PBD的夹角的正弦值； (3)线段PA上是否存在点Q，使得FQ与DB所成角为30°，若存在，求出该点的位置，若不存在，请说明理由． 13．如图（1），在四边形中，，且，为中点，连接，，将图（1）沿，折起使得平面平面，平面平面，连接，，如图（2）． (1)证明：图（2）中的，，，四点共面； (2)求图（2）中平面与平面夹角的余弦值． 14．在如图所示的几何体中，平面，，是的中点，，，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点C到平面的距离． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 空间向量与立体几何 教学目标 理解空间向量相关基本概念；掌握空间向量加法、减法、数乘、数量积运算法则与运算律。 熟练掌握共线向量定理、共面向量定理，掌握四点共面的向量判定条件。 熟练进行空间向量坐标运算：掌握向量平行、垂直的坐标判定条件。 会求平面法向量；熟练运用向量公式求解异面直线所成角、线面角、二面角，掌握点到平面、点到直线距离的向量计算方法。 能够建立空间直角坐标系，用向量方法证明线线、线面、面面平行与垂直； 教学重难点 1. 重点 空间直角坐标系，空间向量的概念、线性运算、数量积运算；共线、共面向量定理，空间基底的判定。 空间向量坐标运算，向量平行、垂直的坐标条件；四点共面的向量推论。 平面法向量的求解；利用向量公式计算异面直线角、线面角、二面角，点到平面的距离。 2. 难点 共面向量定理、空间基底的理解与应用；四点共面向量条件的灵活运用。 区分向量夹角和立体几何三类空间角的范围，二面角中法向量夹角和二面角本身的关系判断。 复杂几何体中建立合适的空间直角坐标系；动点、存在性问题中参数的设置与方程求解。 向量法处理翻折、体积综合问题；立体几何多选命题辨析，综合题型的条件转化。 知识点 1 空间直角坐标系的建立 构成：在空间中取定点O（原点），作三条两两互相垂直的数轴：x轴、y轴、z轴，统称为坐标轴。 x轴（横轴）、y轴（纵轴）、z轴（竖轴）； 右手系规则：右手握住z轴，四指从x轴正方向旋转指向y轴正方向，大拇指指向z轴正方向。 坐标平面：每两条坐标轴确定一个坐标平面，共 3 个 xOy平面（由x,y轴确定） yOz平面（由y,z轴确定） xOz平面（由x,z轴确定） 卦限：三个坐标平面把空间分成8 个卦限。 空间任意一点M，对应唯一有序实数组，叫做点M的空间直角坐标； x：横坐标，y：纵坐标，z：竖坐标。 表格 点的位置 坐标特征 原点O x轴上的点 y轴上的点 z轴上的点 xOy平面内 yOz平面内 xOz平面内 设点P(x,y,z) 关于平面对称：（z变号，x,y不变） 关于平面对称：（x变号，y,z不变） 关于平面对称：（y变号，x,z不变） 关于x轴对称：（x不变，y,z变号） 关于y轴对称：（y不变，x,z变号） 关于z轴对称：（z不变，x,y变号） 关于原点O对称：（x,y,z全部变号） 记忆口诀：关于哪个坐标轴对称，哪个坐标不变，其余坐标取相反数；关于坐标平面对称，不在该平面的那个坐标变号。 知识点2 空间向量的基本概念 空间向量定义：空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量。 表示：；或者，A起点，B终点。 向量的模：向量的长度，记作、。 几类特殊向量 零向量：模长为0，方向任意；与任意向量平行。 单位向量：模长等于1的向量。 相等向量：大小相等，方向相同（起点可以不同）。 相反向量：大小相等，方向相反；。 共线向量（平行向量）：表示向量的有向线段所在直线平行或重合；。 注意：向量只看大小方向，和位置无关，可以自由平移。 知识点3 向量的运算法则 1. 向量加法 三角形法则： 平行四边形法则：同起点两个向量，以它们为邻边作平行四边形，对角线为和向量。 2. 向量减法 ；共起点，指向被减向量。 3. 数乘向量 模长： 方向： 方向相同； 方向相反； ，零向量。 4. 线性运算运算律 ①交换律： ②结合律：； ③分配律： 知识点4 共线向量定理 存在实数，使得。 空间中平行向量定理和平面完全一致；A,B,P三点共线。 共面向量定理： 如果不共线，则向量与共面存在实数x,y，使得 四点P,A,B,C共面等价条件：； 或。 空间向量的数量积（点积，内积） 向量夹角：，范围 ，两向量同向； ，两向量反向； ，。 数量积定义： 重要结论 ①；非零向量） ②，； ③。 数量积运算律 交换律 数乘结合： 分配律： 知识点5 空间向量的坐标运算 设 加减： 数乘： 数量积： 模： 夹角余弦： 平行垂直坐标条件 （对应坐标成比例） 向量坐标求法：若， 终点坐标减起点坐标。 知识点6 空间向量基本计算 1四点共面的向量推论 已知A,B,C三点不共线，则点P在平面ABC内的充要条件： 且 。 这个是高频推论，大题经常用来判断四点共面。 推导： 若P,A,B,C共面，则 整理：，令x=1-m-n,y=m,z=n，则。 2向量平行、垂直的坐标条件 设 平行（共线） 坐标对应成比例。 垂直（非零向量） 知识点7 空间角的向量计算公式 区分：向量夹角和立体几何角范围不一样！ 异面直线所成角 两异面直线方向向量 取绝对值！异面直线角不取钝角。 直线与平面所成角直线方向向量，平面法向量 二面角 两个平面法向量 关键：看图判断二面角是锐角还是钝角，决定结果取正还是取负。 点到平面距离：点P，平面内任取一点A，平面法向量 分子取绝对值。 线面距离、面面距离可以转化成点面距离。 题型 1：空间向量基本概念与基底、共面向量 【典例1】若构成空间的一个基底，则下列能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间基底的核心性质：构成基底的三个向量需线性无关（不共面），逐一判断各选项向量组是否满足线性无关即可． 【详解】对选项A：由，可知三个向量共面，无法构成基底，故A错误； 对选项B：由，可知三个向量共面，无法构成基底，故B错误； 对选项C：假设存在实数使得， 整理得，解得， 解得唯一解，故三个向量线性无关，可构成空间基底，故C正确； 对选项D：由，可知三个向量共面，无法构成基底，故D错误． 【变式1】已知是空间的一个基底，则下列选项中，不能构成空间基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【详解】对于选项A，假设共面，则存在实数，使得， 所以，方程组无解，所以不共面，可以作为基底，故A错误； 对于选项B，假设共面，则存在实数，使得， 所以，方程组无解，所以不共面，可以作为基底，故B错误； 对于选项C，假设共面，则存在实数，使得， 又因为是空间的一个基底，所以不能由线性表示，故矛盾. 所以不共面，可以作为基底，故C错误； 对于选项D，因为，所以共面，不可以作为基底，故D正确； 【变式2】在三棱锥中，，，，，为的重心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用基底表示，由求解. 【详解】取中点，则为上靠近的三等分点， 则 , 所以 ， 所以. 【变式3】在三棱柱中，，分别为，的中点，则下列向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 题型 2：空间向量坐标运算、数量积、模长、投影 【典例1】已知空间向量，，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为空间向量，，且， 所以，解得． 【变式1】已知向量，，若，则实数等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，即，解得. 【变式2】已知空间中四点，则下列结论正确的是（） A． B．三点共线 C．在方向上的投影向量为 D．点到直线的距离为 【答案】BC 【分析】本题以空间点的坐标为载体，通过向量坐标运算，依次验证向量模长、三点共线、投影向量、点到直线距离四个结论，核心是熟练运用空间向量的数量积、共线判定与投影公式. 【详解】，，. 选项A，， 即，A错误； 选项B，，说明与共线；又两向量有公共起点，因此三点共线，B正确； 选项C，，， 故向量在方向上的投影向量为，C正确； 选项D，点到直线的距离为，D错误. 【变式3】．定义两个向量与的向量积是一个向量，它的模，它的方向与和同时垂直，且以，，的顺序符合右手法则（如图），在棱长为2的正四面体中，则______． 【答案】 【分析】根据题中条件确定，设底面的中心为，则平面，可求得，又的方向与相同，代入计算求解. 【详解】 ， 设底面的中心为，连接，，则平面， 又，，平面，故，，， ，， 在中，，则， 又的方向与相同，所以. 题型 3：空间距离计算 【典例1】在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为______． 【答案】 【详解】在空间直角坐标系中，若两点关于平面对称， 则两点的横坐标和纵坐标分别相等，竖坐标（坐标）互为相反数， 已知点，则关于平面的对称点为. 【变式1】若空间中有三点，，，则点到平面ABC的距离为______. 【答案】 【分析】求出平面的法向量，利用空间距离的向量公式求点到平面的距离即可. 【详解】由已知得. 设平面ABC的一个法向量， 所以有，. 令，则，，所以. 所以点到平面ABC的距离为. 【变式2】已知空间内三点，，，则点到直线的距离为________． 【答案】/ 【详解】由题意得，， 所以，又， 所以， 所以点到直线的距离． 【变式3】．如图，在四棱锥中，底面是边长为3的菱形，是正三角形，，点为的中点． (1)证明：平面平面； (2)已知，点在棱上，且满足，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明：因为是正三角形，且点为的中点， 所以，     因为四边形为菱形，且， 连接，则是正三角形，所以，     因为，，平面，所以平面，     在菱形中，    所以平面，     因为平面，所以平面平面． (2) 【分析】（1）利用正三角形三线合一得到AD垂直平面OCP内的两条相交直线，结合菱形对边平行推出BC垂直平面OCP，最终由面面垂直判定定理完成证明； （2）先通过勾股逆定理证明三线两两垂直以建立空间直角坐标系，求出平面法向量与M点坐标，再代入点到平面的距离公式计算结果. 【详解】（1）略 （2）因为与都是边长为3的正三角形，所以， 因为，所以， 所以，    所以，，两两垂直， 以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图空间直角坐标系，     连接，则，，， 设，由得， 故，得，得，     所以，，，     设平面的法向量， 则即 取，得，     设点到平面的距离为， 则． 所以点到平面的距离为 题型 4：空间角计算 【典例1】如图，在四棱锥中，点在上，平面，，已知，，，． (1)证明：； (2)若四边形为平行四边形，求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明：由平面，平面，故．     又，且，，平面， 所以平面，     又平面， 所以． (2) 【分析】（1）先利用线面垂直判定定理得出平面，进而得出线线垂直； （2）先根据线面垂直建立空间直角坐标系，再计算平面的一个法向量，进而应用线面角正弦公式计算，最后应用同角三角函数关系求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）知平面，又平面， 故，且，． 以为原点，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．     则，，，， 由平面，且，得 ， 因为四边形为平行四边形， 所以，即， 设平面的一个法向量， 而，， 所以， 令，则，，．     直线的方向向量，     设直线与平面所成的角为，则， 所以， 所以直线与平面所成角的余弦值为． 【变式1】如图，在直角梯形中，，，，是的中点，将沿折起，使得． (1)求证：平面平面； (2)求二面角的大小． 【答案】(1)直角梯形中，， 所以四边形为正方形. 所以，. 又，平面， 所以平面. 因为平面，所以平面平面. (2) 【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明平面，再由面面垂直的判定定理证得平面平面； （2）建立空间直角坐标系，根据面面角的向量求法求得二面角的大小． 【详解】（1）略 （2）如图所示，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则， 所以平面的一个法向量为. 设平面的一个法向量为， 则， 令，则， 所以平面的一个法向量为. ， 由图可知,二面角为钝角,所以二面角的大小为． 【变式2】如图，在直三棱柱中，，为的中点．，． (1)求直线与平面所成的角； (2)在棱上是否存在点使平面，若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在，. 【分析】（1）由题意建立空间直角坐标系，写出相应的点，求出向量以及平面的法向量，利用向量法求解即可； （2）设在棱上存在点使平面，令， 则，设，利用向量关系求出点关于的坐标，然后求出的坐标，结合（1）中的平面的法向量，得出，解出分析即可. 【详解】（1）在直三棱柱中，由平面，且， 所以直线两两互相垂直， 所以以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，所以，又， 所以， 又为的中点，所以， 由， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，所以 设直线与平面所成的角为，由， 所以， 又，所以，所以直线与平面所成的角为. （2）设在棱上存在点使平面，令， 则，设，由， 所以， 由得：，即， 所以， 又平面的一个法向量为， 所以若平面，则，即 也即， 化简得：，因为，所以，所以由解得：， 所以在棱上存在点使平面，此时. 【变式3】已知两个非零向量，在空间任取一点O，作，则叫做向量与的夹角，记作.定义与的“向量积”为是一个与都垂直的向量，且它的模.如图，在四棱锥中，底面为矩形，⟂底面为线段上一点. (1)求； (2)若E为线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值； (3)线段上是否存在一点M，使得，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在； 【分析】（1）先用定义法求出、夹角，然后代入向量叉乘的计算公式即可. （2）建系法求出两个平面的法向量，代入到两个平面夹角的计算公式即可. （3）由向量叉乘的垂直性质推得同时垂直于、，设出点坐标与点的参数表达，利用向量垂直的坐标运算列方程组求解参数，再结合模长比例关系计算即可. 【详解】（1）因为底面为矩形，所以， 又底面底面，所以， 又平面， 所以平面， 又平面，所以， 因为，所以为直线与所成角，即， 在直角中，， 所以 （2）因为平面且为矩形，所以可如图建立空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量，则， 令，得所以，因为 平面所以平面的法向量可取， 设平面与平面所成角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为 （3）依题意，，又， 所以， 设， 则，所以， 由，得， 所以， 由（1）知，又因，所以， 所以线段上存在点，使得，此时. 题型 5：线面、面面位置关系判定 【典例1】在四棱锥中，，，，，平面. (1)证明：平面. (2)若直线与平面所成的角为. （Ⅰ）求的长度； （Ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明：以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则，，， 则，，， 因为，，     所以，， 又，且，平面， 故平面． (2)（Ⅰ）；（Ⅱ） 【分析】（1）建系，证明垂直平面PAD内两条相交向量，，证线面垂直； （2）（Ⅰ）设，求平面法向量；利用线面角公式列方程求解；（Ⅱ）求平面的法向量，两平面夹角余弦等于两法向量夹角余弦的绝对值，代入公式计算. 【详解】（1）略. （2）（Ⅰ），故，，     设平面的法向量为， 则，即，取，则，     由题意，得，即，即， 解得，故的长度为．     （Ⅱ）由（2）第（Ⅰ）问知，，     设平面的法向量为， 则，即，取，则，     故平面与平面夹角的余弦值为 . 【变式1】如图，在四棱锥中，平面，．    (1)证明：平面； (2)若底面是正方形，为中点，点为中点，平面交于点． （ⅰ）求； （ⅱ）若，点到平面的距离为，点为线段上一动点(包含端点)，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)证明如下： 因为平面，平面PAD， 所以， 又因为平面，平面，， 所以平面． (2)（ⅰ）；（ⅱ）. 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即可证明. （2）（ⅰ）设，利用空间向量基本定理，得到及，对比系数列出方程组即可求；（ⅱ）建立空间直角坐标系，，利用向量法可求得与平面所成角的正弦值与的关系，再利用函数性质求的取值范围. 【详解】（1）略 （2）（ⅰ）设， 则有 ， 因为四点共面，可设， 故， 即， 故，解得，所以.    （ⅱ）由（1）可知平面，所以两两垂直. 设的长度为，则，. 所以，解得，即. 故以为原点，以所在直线分别为轴，轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，    依题意可得， 所以，，，. 在线段(包含端点)上，设，则， 则， 设平面MAD的法向量， 则即 取，则，所以， 设与平面所成角为， 则， 由于，所以，所以 即与平面所成角的正弦值的取值范围为. 【变式2】如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，分别是线段和上的点，且为线段的中点． (1)求证：平面； (2)求直线到平面的距离； (3)在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)因为三棱柱中，底面，平面， 所以. 又，所以. 以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 由，且，为的中点， 可得：. 则，，. ，，. 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，所以. 因为，所以. 又因为平面，所以平面. (2) (3)假设存在点满足条件. 因为在棱上，设，即， 所以，则. 设直线与平面所成角为， 则. 由题意知，化简得， 两边平方得，即，解得. 所以存在点满足条件.此时，则. 故存在满足条件的点，线段的长为. 【分析】（1）根据题意，以为原点建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出向量以及平面的法向量，通过证明且平面，即可得证； （2）由（1）可知平面，将线面距离转化为点到平面的距离，利用点到平面的距离公式求解即可； （3）设，求出点和向量的坐标，利用直线与平面所成角的正弦值为列关于的方程，解出后再求线段的长. 【详解】（1）略 （2）因为平面，所以直线到平面的距离即为点到平面的距离. 由（1）知平面的法向量为，且， 所以距离. （3）略 【变式3】如图，在三棱锥中，，，，，平面平面． (1)求证：平面； (2)求异面直线和所成角的余弦值； (3)在线段上有一点，，，求的值，使得平面和平面所成的角的大小为． 【答案】(1)在平面中作于点， 因为平面平面，平面平面 所以平面． 过点作的平行线，交于点，则平面，则， 由于，故， 如图，以为原点，直线，，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系． 设．因为，所以，． 因为，，所以． 所以，，，，， 则，， 所以，所以， 又，平面，所以平面； (2) (3) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用向量数量积证明，再结合线面垂直的判定定理，即可证明结论； （2）利用异面直线所成角的向量求法，即可求解； （3）根据，可得，从而求出平面的法向量，利用向量夹角公式结合平面和平面所成的角的大小为可列出关于的方程，即可求得答案. 【详解】（1）略 （2）因为，， 所以， 结合异面直线所成角的范围为， 所以直线与所成角的余弦值为． （3）因为，所以，， 所以， 设平面的一个法向量，则， 所以，令，则， 则 平面的一个法向量为， 所以， 整理得，解得或，又因为点在线段上，， 所以 题型 6：立体几何中的动点、存在性问题 【典例1】如图，在三棱锥中，，，为的中点． (1)证明：平面； (2)若点在棱上，与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明：因为，所以是等边三角形． 因为为的中点，所以，且． 因为，，所以，所以． 如图，连接．因为为的中点，所以． 因为，所以． 因为，，平面，所以平面． (2) 【分析】（1）先根据等边三角形性质及勾股定理证明和，然后根据线面垂直的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，根据线面角的向量求法确定M点的位置，再根据面面角的向量求法，即可求得答案. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，，． 因为，为的中点，所以． 以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向， 建立空间直角坐标系．则，，，，， 所以，，． 因为点在棱上，直线方程为， 所以设，则．由题意，得．   设平面的法向量为，则． 设，则，，所以． 由题意，得， 化简得，解得（舍）或，所以． 设平面的法向量为，则． 设，则，，所以． 因为， 由题知，二面角的平面角是锐角， 所以二面角的余弦值为． 【变式1】如图1，在梯形中，，，，将沿翻折至，连接，得到图2的三棱锥，且． (1)求证：； (2)若，在线段上是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为？若存在，请说明点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)在翻折前的梯形中： 由，翻折后对应得； 翻折后，，且，平面， 所以平面， 又平面，因此； (2)存在，为线段的中点，理由如下： 因为，，得. 由，得，又，故， 所以，故， 由（1）知，结合，，平面， 则平面， 以为原点，以为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，. 设在上，令，， 则. 直线的方向向量为， ，， 设平面的法向量为， 则 ， 取，可得，，则， 设直线与平面所成角为， ， 解得，符合， 此时为线段的中点. 【分析】（1）由，，根据线面垂直判定定理证明平面，进而得到； （2）建立空间直角坐标系，求直线的方向向量与平面的法向量，利用向量夹角公式求直线与平面所成角的正弦值，结合条件列方程求结论. 【详解】（1）略； （2）存在点，为线段的中点. 题型 7：几何体体积计算 【典例1】如图，在四棱锥中，底面是菱形，，为棱的中点，，，直线与所成的角的大小为． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明：连接，设与相交于点，连接． 四边形是菱形，为的中点． 是棱的中点，． 又平面，平面， 平面． (2)1 (3) 【分析】（1）设与相交于点，连接，证明，利用线面平行的判定即可证明； （2）利用正弦定理得，再证明，最后利用线面垂直的判定定理即可证明； （3）利用空间向量法求解平面与平面所成角的余弦值. 【详解】（1）略 （2）直线与所成的角为，且， 就是直线与所成的角或其补角． ，，，， 在中，由正弦定理得，， 即，解得． ，即，从而． 四边形是菱形，且，， 是等边三角形，从而． 又，，． ，从而． 又，平面，平面， 平面． 取的中点为，连接， 点为中点，，平面． 又且 三棱锥的体积为． （3）取的中点为，连接，由底面是菱形，，可得， 由第（2）问知平面，以为原点，建立空间直角坐标系， ，， 菱形边长，，因此，，， 为中点，故， ，， 设，则 令，解得，，即， ，， 设，则， 令，解得，，即， 设平面与平面所成的角为，所以， 故平面与平面所成角的余弦值为. 【变式1】铁蒺藜在古代能抵挡敌人骑兵的进攻，有一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的正四面体组合而成，如图，也可由正方体切割而成，如图，在如图所示的“蒺藜形多面体”中，若，则（     ） A．该几何体的表面积为 B．直线与直线所成的角为 C．该几何体的体积为 D．二面角的余弦值为 【答案】ACD 【分析】根据正三角形面积公式及几何体表面积算法可判断A选项，利用割补法结合正方体与三棱锥体积公式可判断C选项，建立空间直角坐标系，利用向量法求空间角，可判断BD选项. 【详解】A选项，由已知，则，即正三角形面积为，所以几何体表面积，A选项正确； C选项，易知三棱锥的体积，又， 则几何体的体积，C选项正确； BD选项，如图所示建立空间直角坐标系，则，，，，，，， 即，，，，， 则， 即直线，所成角余弦值为，所成角为，B选项错误； 设平面的法向量， 则，令，则， 设平面的法向量， 则，令，则， 则， 又二面角为钝二面角，则其余弦值为，D选项正确. 题型 8：多选综合与立体几何命题辨析 【典例1】在高为的正四棱锥中，，底面的中心为，且为线段的中点，则（     ） A． B．直线与平面所成的角大于 C．异面直线与所成角的余弦值为 D．正四棱锥的棱切球（与所有棱都相切的球）的体积为 【答案】ABD 【分析】A：建立空间直角坐标系，求出，计算向量数量积，判断是否垂直；B：利用正四棱锥性质找到平面的法向量，结合线面角公式求出直线与平面所成角，与比较大小；C：计算异面直线与的方向向量，利用异面直线夹角公式计算余弦值进行验证；D：根据棱切球（与所有棱相切）的几何特征求出半径，代入球的体积公式计算体积，判断正误. 【详解】以底面中心为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 由，可得：，，、. 由正四棱锥高得，又为中点，故. 选项A：，，于是， 因此，A正确； 选项B：由正四棱锥性质，底面中，底面，故平面，即平面的一个法向量为. 又向量，设线面角为，根据线面角公式得 ， 所以，B正确； 选项C：向量，，异面直线夹角余弦值为： ，C错误； 选项D：正四棱锥的棱切球与所有棱相切，球心必在高上：底面棱的中点到的距离为2，侧棱长度为， 取侧棱的中点，该点到的距离恰好为2. 因此棱切球半径，体积为： ，D正确. 【变式1】．在正方体中，下列说法正确的是（   ） A． B．与共线 C． D．直线与平面ABCD所成角的余弦值为 【答案】ACD 【分析】根据给定条件建立空间直角坐标系，利用空间位置的向量证明判断A；利用共线向量的定义及空间向量的数量积判断BC；利用线面角的向量法求解判断D. 【详解】在正方体中，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，令， 则， 对于A，，则，即，A正确； 对于B，，由 ，得与不共线，B错误； 对于C，，则，C正确； 对于 D，平面的法向量为，，设直线与平面所成的角为， 则，，D正确. 【变式2】．如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是的中点，Q是线段上的动点（不包含端点），则下列命题正确的个数是（    ） ①对于任意点Q，都有 ②对于任意点Q，不存在BQ∥平面MNP ③过点Q且与BN垂直的平面截正方体所得截面面积的最大值为 ④存在点Q，使得三棱锥体积为 A．1 B．2 C．3 D．4个 【答案】C 【分析】①②建立空间直角坐标系，结合空间向量求解判断；③在平面中作，垂足为，过点在平面中作，交于点，分析可得为的中点时，截面矩形最大，进而求解判断即可；④利用等体积法求解判断即可. 【详解】①在正方体中，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系； 因为正方体棱长为2，可得，，，设， 则，， 则，故对于任意点，都有，①正确； ②因为分别是的中点，故，，； 则，， 设为平面的法向量， 则，可得，解得； 令可得，， 若平面，则，解得，不合题意， 故对于任意点，不存在平面，②正确； ③在平面中作，垂足为，过点在平面中作，交于点， 因为正方体中，平面平面，且交于， 因为平面，故平面，而平面，则， 因为平面，故平面， 即平面截正方体的截面为矩形， 当与重合时，即为的中点时，截面最大， 面积为， 当靠近（靠近）， 此时过作的垂线交于，即截面为矩形为， 如图，是的中点，，且， ，故，所以四边形是平行四边形， 可得的长度为，因此截面的面积为， 故截面面积的最大值为，故③正确； ④由， 可得，因为是线段上的动点（不包含端点），故， 因此，不存在点，使得三棱锥体积为，故④错误． 1．已知异面直线，的方向向量分别为，，则异面直线，所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可得：，因为异面直线所成角的范围为，所以异面直线，所成角的大小为 2．已知，，则（     ） A．3 B．13 C． D． 【答案】C 【详解】，. 3．已知正方体的棱长为，点在正方体内部（含表面）且满足．若点到直线的距离为，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，求向量，，，的坐标，利用向量方法由点到直线的距离公式求解. 【详解】如图，以为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系， 则， 所以， 又， 所以， 取，， 则，， 所以点到直线的距离为 化简得，则或，都符合题意. 4．已知向量是空间的一个基底，向量是空间的另一个基底，一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设在基底下的坐标为， 则， 所以，解得， 故在基底下的坐标为. 5．如图，在三棱柱中，点在棱上，且，为线段的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】连接，因为为线段的中点，所以， 在三棱柱中，，又因为， 且已知，即，所以， 将上述式子代入的表达式中， 得：. 6．已知空间向量，，则与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由空间向量的夹角公式计算可得答案. 【详解】因为， 所以. 7．平面内有，，三点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出平面内两个向量，，再求出平面的法向量，最后利用点到平面的距离公式计算点到平面的距离. 【详解】因为，，，所以，. 设平面的法向量为， 令，解得，，所以. 因为， 所以点到平面的距离为. 8．已知空间向量，．若与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数量积的坐标运算建立方程求解即可. 【详解】设与的夹角为， 则， ， ， ， 所以，显然，即. 整理得：，解得和（舍去）， 综上，. 9．已知二面角的平面角为，，若，则长为（     ） A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】将分解为已知向量的和，通过计算向量模长的平方，结合向量数量积的性质与二面角的平面角条件，最终求出的长度. 【详解】由题意，可得，向量、所成角为，如图所示， 则， 所以 ， 所以，即长为2. 10．如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，平面，，动点在线段上，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先建立空间直角坐标系，把动点设出来，求出距离并且转化，最后利用二次函数求出最值。 【详解】由题意可得且平面， 则以点为坐标原点，以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 因此，，，，， 因为在线段上，设，， 则，，即， 则， ， 当为二次函数对称轴时，即时，取得最小值， 那么.    11．如图，正四棱台的高为2，，O为底面的中心，则直线与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过建立空间直角坐标系，求出直线 与 的方向向量，利用向量夹角公式求解即可. 【详解】设上底面中心为 ，连接 ， 因为几何体为正四棱台，所以 平面 ， 因为 ，所以底面正方形 的对角线 ，则 ， 因为 ，所以上底面正方形 的对角线 ，则 ， 以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系， 由题意可知 ， 则，，，，，， 所以 ，， 设直线 与 所成的角为 ， 则 ， 故直线 与 所成的角的余弦值为. 12．空间向量，，，向量，其中，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造四点共面，当平面时，有最小值，求出平面的一个法向量，利用点到面的距离公式求解即可． 【详解】设，， 则， 因为，所以四点共面， 当平面时，有最小值． 可得，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 所以到平面的距离. 所以的最小值为. 13．已知动点Q在所在平面内运动，若对于空间不在所在平面内的点P，都有，则实数m的值为（   ） A．0 B． C． D．2 【答案】B 【详解】由条件可知，，，，四点共面， 又因为， 所以，解得. 14．如图，平行六面体中，，，，则=（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用作为基底表示向量，再根据数量积求模即可. 【详解】在平行六面体中，， 因为，，，， 所以，， ， 所以 . 所以. 15．已知，，，且，，，四点共面，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】四点共面等价于对应向量共面，利用共面向量定理建立坐标方程组，解方程组即可求出参数值. 【详解】根据共面向量定理：若三个向量共面，则其中一个向量可由另外两个不共线的向量线性表示， 设 ，代入向量坐标得 对应坐标相等，列出方程组得， 先解后两个方程，得， 代入第一个方程得， 因此. 16．在空间直角坐标系中，点到平面的距离等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在空间直角坐标系中，点到平面的距离，即为点的坐标的绝对值， 所以点到平面的距离. 1．如图，在四棱锥中，平面平面， ，，，，为的中点，点在棱上，且. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)取的中点，连接. 因为是的中点，是的中点，所以是的中位线，故. 又，即. 由，，得；而是的中点，，故 . 于是 且，则四边形 是平行四边形，所以. 由，平面，不在平面内，得平面，同理平面，又，平面，则平面平面. 又平面，故平面 . (2) 【分析】（1）取中点 ，由得平面平面，从而平面； （2）由面面垂直取中点作轴，再证作轴建系，求两平面法向量夹角的余弦即得二面角余弦. 【详解】（1）略 （2）取 中点 ，连接.因为，所以为等边三角形，故，. 又平面 平面 ，交线为 ，故 平面. 在底面 内，连接.因为为中点，，故. 在 中，，，， 由余弦定理，，故 . 于是，由勾股定理的逆定理知，即，故两两垂直. 以为原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系. 各点坐标为，，，， 由且，得，可得. 设平面的法向量为. 由，， 得 令，解得，，故. 设平面的法向量为. 由，， 得 令，解得，，故. 设两平面夹角为， 则. 2．如图，平面平面，四边形为矩形，平面. (1)证明：. (2)已知. ①求几何体体积的最大值； ②若为棱的中点，为线段上的动点，当几何体的体积取得最大值时，求直线与所成角的余弦值的取值范围. 【答案】(1)因为平面，又因为平面， 平面平面，所以. (2)① ② 【分析】（1）由线面平行的性质定理证明； （2）①延长至点，使，连接，则几何体的体积等于直三棱柱体积减去小三棱锥体积，结合已知边长得到其体积关于的表达式，再用基本不等式求最大值即可. ②当几何体的体积取得最大值时，即，建立以为坐标原点的空间直角坐标系，再利用向量夹角余弦公式和换元思想，确定余弦值的取值范围. 【详解】（1）略 （2）①延长至点处，使，连接，如下图所示： 因为，且，， 所以四边形为矩形，则且，且, 因为四边形为矩形，则且，且， 所以四边形为平行四边形，所以且， 所以几何体为三棱柱. 在矩形中，， 又因为，又平面， 所以平面，则三棱柱为直三棱柱. 因为平面平面，平面平面，， 所以平面，则. 设，根据勾股定理和基本不等式有， 即，当且仅当时，等号成立. 几何体的体积， 所以当时，几何体的体积的最大值为. ②当几何体的体积取得最大值时，即，以为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系， 则， 则. 设， 则， 所以. 则， 令，                                                     因为，所以，所以，，所以直线与所成角的余弦值的取值范围为. 3．在三棱台中，，，平面. (1)证明：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明：取的中点为， 因为，所以. 以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则，，，， ，， 因为， 所以． (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用即可证明. （2）利用空间向量法即可求直线与平面所成的角的正弦值. 【详解】（1）略 （2）当时，， ，，. 设平面的法向量为， 则，即， 取，则，所以. 设直线与平面所成的角为 则． 所以直线与平面所成角的正弦值为. 4．如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，，二面角的大小为，平面平面，平面平面，．    (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明：因为平面平面，平面平面， ，且平面，所以平面． 又因为平面，所以． 在正方形中，． 因为，，平面，所以平面． (2)或． 【分析】（1）由面面垂直的性质推出，结合，即可证明结论； （2）建立空间直角坐标系，设，利用二面角的大小为，可求出，，，或，，，再根据空间角的向量求法，即可求得答案. 【详解】（1）略 （2）以点为坐标原点，，所在的直线分别为轴、轴， 过点的平面的垂线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，．    设，，则，． 因为，所以．① 由（1）知，平面，因为平面，所以， 所以．② 因为平面，所以平面的一个法向量为． 设平面的法向量为，则． 因为，，所以． 取，则，所以． 因为二面角的大小为， 所以．③ 由①②③解得，，，或，，， 即或． 当点的坐标为时，，，，满足题意． ，． 设平面的法向量为，则，即． 取，则，，所以． 设与平面所成的角为，则， 又因为，所以． 当点的坐标为时，，，，满足题意． ，． 设平面的法向量为，则， 即，取，则，，所以． 设与平面所成的角为，则， 又因为，所以． 综上，直线与平面所成角的大小为或． 5．棱长为的正方体在空间直角坐标系中的位置如图，点，分别在线段和上，且，． (1)写出点，的坐标； (2)求线段的长； (3)求异面直线，所成角的余弦值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）先求出相关点的坐标，再由条件列出向量关系式，即可求出两点坐标； （2）利用向量模的公式计算即得； （3）利用空间向量的夹角公式计算即得. 【详解】（1）因为正方体的棱长为， 所以，，，，， 则，，，． 依题意，，则， 所以，即得． 因为，所以， 所以，即得． （2）由（1）得，，所以， 所以． （3）由（2）得，． 因为，，所以， 则． 设异面直线，所成的角为，因， 则， 所以异面直线，所成角的余弦值为． 6．已知正四面体的棱长为，点是的重心，点是线段的中点． (1)用，，表示，并求出； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由向量加法的三角形法则表示，再把平方即可得到答案. （2）由向量的线性运算可得，利用向量法可求得异面直线与所成角的余弦值． 【详解】（1）因为点是线段的中点，点是的重心， 所以， 因为， 所以 ， ； （2） ． 设直线与直线成角为，， 所以． 所以异面直线与所成角的余弦值为. 7．如图，正方体的棱长为2，和分别为和的中点. (1)证明：； (2)求到平面的距离. 【答案】(1)因为正方体，所以且， 因为和分别为和的中点. 所以，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以； (2) 【分析】（1）利用平行四边形性质可知，再由线面平行判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，由空间距离的向量求法直接计算可得其距离. 【详解】（1）略 （2）在正方体中，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，，， 所以，， 设平面的一个法向量为，则，         取，可得，，所以， 又由向量， 所以点到平面的距离为. 8．如图，四边形是圆柱的轴截面，点在底面圆上，，，点是线段的中点． (1)证明：； (2)求平面与平面所成二面角的正弦值． 【答案】(1)以为原点，所在直线为轴，在底面内过点作垂直于的直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 由题意，圆柱底面半径，高． 可得各点坐标：，，，，， 连接，则为等边三角形，可得，则． 则，， ， ∴，即． (2)1 【分析】（1）利用圆柱轴截面的垂直关系，以为原点，所在直线为轴，在底面内过点作垂直于的直线为轴，所在直线为轴建系.由知为等边三角形，求出点的坐标；为中点，由中点公式得坐标.写出与 的坐标，验证其数量积为 0，即证垂直. 在（1）的坐标系下，分别求平面与平面的法向量.求出后发现两法向量数量积为 0，说明两平面垂直，所成二面角为，故正弦值为 1. 【详解】（1）略 （2）设平面的法向量为， 由（1）可得，， 则，， 令，则，，∴， 设平面的法向量为， 由（1）可得，， 则， ， 令，则，，∴． 设平面与平面所成二面角为， ∵，∴， 故平面与平面所成二面角的正弦值是1． 9．如图所示，在直三棱柱中，，，，点是的中点． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求平面与平面夹角的正弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，根据异面直线所成角的向量求法，即可求得答案； （2）求出平面与平面的一个法向量，根据空间角的向量求法，即可求解. 【详解】（1）由题意平面，平面， 所以，又， 如图，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建系． 由题意容易写出以下点的坐标：，，，，． 所以， 所以， 因为异面直线所成角的范围是， 所以异面直线与所成角的余弦值为． （2），，设面的一个法向量为 由，得，令，得， 则． 又平面的一个法向量是， 设平面与平面夹角的大小为， 所以 所以，所以平面与平面夹角的正弦值为． 10．在三棱柱中，，点为的延长线上一点，且满足. (1)证明：： (2)求直线与平面所成的角. 【答案】(1)连接，因为，所以， 同理，取中点，连接， 由等腰三角形三线合一，得， 又平面平面，所以平面， 因为平面，所以. (2) 【分析】（1）利用证明两个等边三角形取底边的中线，即可得两条线线垂直，从而得证线面垂直，再证明线线垂直； （2）利用线面关系求线面角，利用空间距离求线面角的正弦值，利用空间向量法求线面角的大小. 【详解】（1）略 （2）解法1：依题意，可知点在以为直径的圆上，所以， ，所以， 因为平面平面， 所以平面为平面的一个法向量， 则直线与平面所成的角即直线与直线夹角的余角， 因为，所以为正三角形， 故，故直线与平面所成的角为. 解法2： 因为，可知点在以为直径的圆上，所以， 因为，所以， 因为平面平面， 所以平面， 因为平面，平面，平面， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离， 也就是点到平面的距离的， 因为，所以点到平面的距离为1， 因为为正三角形，，直线与平面所成角的正弦值是， 所以直线与平面所成角为. 解法3：因为平面，又平面，所以平面平面， 在平面内，过作，垂足， 因为平面平面，平面平面，平面， 则平面，过作，可知平面， 由此可知两两垂直， 以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴, 建立空间直角坐标系如图所示, 在等边和等边中，可求得， 则在中，， ， ， 依题意， 可知点在以为直径的圆上，则， 因为，所以， 因为平面平面，所以平面， 则为平面的一个法向量，， 设直线与平面所成角为， ， 直线与平面所成角为. 11．如图，在菱形中，已知，为的中点，现将四边形沿折起至（其中点为折叠后点的位置）． (1)求证：平面； (2)若二面角的大小为，求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)原图中四边形为菱形，且，所以为正三角形， 因为为的中点，所以，，折叠后垂直关系仍然成立， 可知，平面，平面，所以平面. (2) 【分析】（1）根据折叠过程的性质，以及线面垂直的判定定理，说明线面垂直即可； （2）根据几何体的性质，建立空间直角坐标系，进而求出平面法向量，根据面面角的向量方法，求出结果即可. 【详解】（1）略 （2）如图，以点为坐标原点，分别以线段，所在直线为轴，轴， 再以过点且垂直于平面且向上的直线为轴，建立空间直角坐标系． 因为平面，所以为二面角的平面角，所以， 设，则点，，，， 由得点，所以，， 设平面的一个法向量为， 则，整理得， 令，则， 又易得平面的一个法向量， 所以设平面与平面所成角为， 则， 所以平面与平面所成角的余弦值为． 12．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F． (1)求证：PB⊥平面EFD； (2)求平面CPB与平面PBD的夹角的正弦值； (3)线段PA上是否存在点Q，使得FQ与DB所成角为30°，若存在，求出该点的位置，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. ∵底面是边长为的正方形，底面，， ∴. ∵是的中点，∴. ∴，， ∴， ∴，即. 又由题知，且，平面， ∴平面. (2) (3)存在满足条件的点，为线段上靠近的六等分点（），坐标为. 【分析】(1)要证明线面垂直，需证明直线垂直于平面内两条相交直线，结合已知，只需额外证明即可； (2)分别求解两个平面的法向量，利用法向量夹角与面面角的关系计算正弦值 (3)用参数表示线段上的动点坐标，结合异面直线所成角的向量公式列方程求解，通过参数范围验证点是否在线段上 【详解】（1）略 （2）设平面的法向量为， ，， 则，令，得. 设平面的法向量为， ，， 则，令，得. 设平面与平面的夹角为， 则. ∵，∴. 即平面与平面的夹角的正弦值为. （3）， 设，则，， 由，得，即， 解得，因此， 设在线段上，令， 由，得， ，， 异面直线与所成角为，得， 整理得，解得，符合条件， 故存在满足条件的点，为线段上靠近的六等分点（），坐标为. 13．如图（1），在四边形中，，且，为中点，连接，，将图（1）沿，折起使得平面平面，平面平面，连接，，如图（2）． (1)证明：图（2）中的，，，四点共面； (2)求图（2）中平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)翻折前，,因为为的中点， 可得, 又平行于,故 平行于,则四边形为平行四边形， 可得,同理可得. 翻折后，取中点分别为，连接，如下图所示. 在中，由中位线可得平行于, 在等腰和等腰中 ，又因为平面平面， 平面平面,所以平面， 同理平面,所以平行于. 又因为，易得， 所以四边形为平行四边形， 所以平行于，平行于，所以平行于 所以翻折后四点共面. (2) 【分析】（1）构造平面，通过证明平行于，平行于，得到平行于，所以四点共面； （2）建立空间直角坐标系，分别求得平面与平面的法向量，然后利用向量夹角公式得到平面与平面夹角的余弦值. 【详解】（1）略 （2）连接，易知，由（1）得，故以为原点，所在的直线分别为轴， 轴 轴，建立如图空间直角坐标系. 则， 于是， 设平面的法向量， 由， 取其中一组解可得.又因为平面法向量为. 设平面与平面所成的锐二面角为， 则. 所以平面与平面夹角的余弦值为. 14．在如图所示的几何体中，平面，，是的中点，，，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点C到平面的距离． 【答案】(1)取的中点，连接，， 由是的中点，得，而，则 又，于是四边形是平行四边形，则， 在中，，，有， 而平面，，则平面， 因为平面，得， 而，，平面， 因此平面，又，所以平面. (2) (3). 【分析】（1）根据平行四边形的判定及性质，等腰三角形性质及线面垂直的性质判定推理即得； （2）建立空间直角坐标系，求平面的一个法向量，设与平面的夹角为，则，将向量代入求解； （3）利用向量法，点C到平面的距离，将向量代入求解． 【详解】（1）略 （2）    由（1）已知平面，而，则直线，，两两垂直， 如图，以为原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 于是，，，，， ，则，，， 设是平面的一个法向量， 则，故可取， 设与平面的夹角为， 因此， 所以与平面所成角的正弦值是. （3）由（2）知平面的一个法向量为，， 则点到平面的距离. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $