专题3.1 空间直角坐标系（高效培优讲义）数学北师大版高二选择性必修第一册

专题3.1 空间直角坐标系 教学目标 了解空间直角坐标系的建立过程，理解右手系规则，识别坐标轴、坐标平面、卦限的概念； 掌握空间中点的坐标表示，熟记坐标轴、坐标平面上特殊位置点的坐标特征； 熟练掌握空间点关于坐标轴、坐标平面、原点的对称变换，会求点在坐标平面上的射影坐标； 掌握空间两点间距离公式、中点坐标公式，理解球面方程的几何含义，能区分球面与球体； 能够根据几何体条件建立合适的空间直角坐标系，正确写出几何体中点的坐标； 会利用坐标求解距离、轨迹问题，结合坐标处理外接球、内切球相关问题，能借助建系完成简单立体几何证明与角度计算。 教学重难点 1.重点 空间直角坐标系的构成，空间点的坐标，特殊位置点的坐标规律； 空间点关于坐标轴、坐标平面、原点的对称变换； 空间两点间距离公式、中点坐标公式、球面方程； 简单几何体中建立空间直角坐标系，写出各点坐标。 2.难点 理解空间射影、点到坐标轴 / 坐标平面的距离计算； 根据几何条件识别空间轨迹，理解球面方程的几何意义； 结合空间坐标求解几何体的外接球、内切球相关问题； 复杂几何体（翻折、四面体、棱台）中合理建系，把几何条件转化为坐标运算。 知识点 1：空间直角坐标系的建立 构成：在空间中取定点O（原点），作三条两两互相垂直的数轴：x轴、y轴、z轴，统称为坐标轴。 x轴（横轴）、y轴（纵轴）、z轴（竖轴）； 右手系规则：右手握住z轴，四指从x轴正方向旋转指向y轴正方向，大拇指指向z轴正方向。 坐标平面：每两条坐标轴确定一个坐标平面，共 3 个 xOy平面（由x,y轴确定） yOz平面（由y,z轴确定） xOz平面（由x,z轴确定） 卦限：三个坐标平面把空间分成8 个卦限。 空间任意一点M，对应唯一有序实数组，叫做点M的空间直角坐标； x：横坐标，y：纵坐标，z：竖坐标。 知识点 2：特殊位置点的坐标规律（高频记忆） 表格 点的位置 坐标特征 原点O x轴上的点 y轴上的点 z轴上的点 xOy平面内 yOz平面内 xOz平面内 知识点 3：空间点的对称变换（必考） 设点P(x,y,z) 关于平面对称：（z变号，x,y不变） 关于平面对称：（x变号，y,z不变） 关于平面对称：（y变号，x,z不变） 关于x轴对称：（x不变，y,z变号） 关于y轴对称：（y不变，x,z变号） 关于z轴对称：（z不变，x,y变号） 关于原点O对称：（x,y,z全部变号） 记忆口诀：关于哪个坐标轴对称，哪个坐标不变，其余坐标取相反数；关于坐标平面对称，不在该平面的那个坐标变号。 【即学即练】 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点关于轴对称的坐标性质进行判断即可. 【详解】点关于轴对称的点的坐标为， 所以点关于轴对称的点的坐标为. 故选：C 知识点 4：空间两点间距离公式 已知空间两点 特殊：空间一点到原点距离： 对比平面：平面是两项平方和，空间多z坐标的平方项。 【即学即练】 在空间直角坐标系中，点到轴的距离为（   ） A．2 B． C．1 D．4 【答案】B 【分析】利用空间直角坐标系中，点到轴的距离为求解即可． 【详解】点到轴的距离为. 故选：B 知识点 5：空间线段中点坐标公式 若M(x,y,z)是与的中点，则： 知识点 6：空间球面方程 球心C(a,b,c)，半径为R，球面上任意一点P(x,y,z) 由距离公式 球心在原点： 注意：这是球面（曲面），不是球体；球体还要满足小于等于。 题型 1：空间点的对称与投影 【典例1】已知，则点在Oyz平面内（O为坐标原点）的射影坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】点在Oyz平面上的射影坐标特征是不变，变为0， 所以点在平面上的射影坐标为． 【变式1】点关于平面对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点关于平面对称的性质判断即可. 【详解】点关于平面对称时，坐标不变，坐标不变，坐标变为相反数， 所以点关于平面对称的点的坐标为点. 【变式2】在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若空间中两点关于平面对称，则它们的坐标相同，坐标互为相反数， 综上点的对称点坐标为. 【变式2】在空间直角坐标系中，为坐标原点，对空间中一点，则下列叙述正确的是（   ） A．点关于轴的对称点是 B．点关于平面的对称点是 C．点关于轴的对称点是 D．点关于原点的对称点是 【答案】C 【分析】根据空间直角坐标系中点关于坐标轴、坐标平面、原点的对称坐标变换规则，逐一验证各选项即可. 【详解】 选项A，任意点，关于轴对称的点坐标为：因此关于轴的对称点为，A错误； 选项B，关于平面对称的点坐标为：因此关于平面的对称点为，B错误； 选项C，关于轴对称的点坐标为：因此关于轴的对称点为，C正确； 选项D，关于原点对称的点坐标为：因此关于原点的对称点为，D错误. 【变式3】在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】点关于平面Oxy对称的点的坐标为. 题型 2：空间距离计算（点到轴、点到平面、两点距离） 【典例1】已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】代入空间向量模的公式即可求出答案. 【详解】,. 【变式1】在空间直角坐标系中，点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，则点到平面的距离为． 【变式2】在空间直角坐标系Oxyz中，点到平面Oxy的距离为（    ） A．1 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】空间点到平面的距离即为该点坐标的绝对值. 【详解】因为，所以点P到平面Oxy的距离为5. 【变式3】在空间直角坐标系中，点到轴的距离为（ ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【详解】点到轴的距离为. 题型 3：空间轨迹与空间曲面方程 【典例1】在正方体中，E是棱的中点，S是正方形ABCD及其内部的点构成的集合，设集合，则T表示的轨迹是（    ） A．线段 B．圆的一部分 C．椭圆的一部分 D．抛物线的一部分 【答案】B 【分析】首先建立空间直角坐标系，进一步利用两点间的距离公式化简求出结果． 【详解】根据正方体中，建立空间直角坐标系，如图所示：    设正方体的棱长为1， 则， 由于， 所以， 整理得，即， 所以，动点的轨迹为圆的一部分． 【变式1】在空间直角坐标系中，已知点的坐标满足方程，则点P的轨迹是（    ）． A．圆 B．直线 C．球面 D．线段 【答案】C 【分析】平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是一个圆，而在空间内到一定点的距离等于定长的点的轨迹则是一个球面． 【详解】表示点到点的距离的平方为1， 它表示以点为球心，以1为半径的球面． 故选：C 【变式2】在空间直角坐标系中，下列说法正确的是（    ） A．方程z＝0 表示坐标平面xOy B．方程x2＋y2＋z2＝1 表示以坐标原点为球心，1为半径的球面 C．方程x2＋y2＝1 表示以坐标原点为圆心，1为半径的面 D．方程x2＋y2＝0 表示z轴 【答案】ABD 【分析】结合选项，根据方程形式逐个求解可得答案. 【详解】设空间一点的坐标为，方程，说明点在坐标平面，故A正确； 可化为，表示以坐标原点为球心，1为半径的球面，故B正确； 方程可化为，表示以轴为轴，1为半径的圆柱面，故C不正确； 方程可得，所以表示轴，故D正确； 故选：ABD. 【变式3】如图，在正方体中，点为对角线的三等分点，点到正方体的各顶点的距离的不同取值的个数为______（个）. 【答案】 【分析】通过建立空间直角坐标系，利用两点间距离公式计算点到正方体各顶点的距离，进而统计不同取值的个数． 【详解】 不妨设正方体的棱长为， 如图，以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， ，，，， ，，，， 因为点为对角线的三等分点，由正方体的对称性可知，无论靠近还是靠近，其到各顶点距离的取值集合相同，不妨设， 因为，所以， 设，则，解得， 所以，， ，， ，， ，， 综上点到各顶点的距离的不同取值有，共个不同的值． 题型 4：外接球、内切球问题 【典例1】空间直角坐标系中，满足条件的点构成一几何体，则该几何体（   ） A．为正多面体 B．体积为 C．外接球体积为 D．内切球表面积为 【答案】BCD 【分析】根据题意确定构成的几何体为三棱锥即可判断A；利用体积公式求其体积即可判断B；三棱锥外接球即为正方体外接球，半径，得到体积即可判断C，利用等体积法求其内切球半径，得到表面积即可判断D． 【详解】解：如图，在棱长为1的正方体中， 则满足条件的点构成一几何体为三棱锥， 四个面为直角三角形，不是正多面体，故A错误； ，故B正确； 三棱锥的外接球为正方体的外接球，半径， 体积，故C正确； 三棱锥的表面积 ， 所以三棱锥的内切球半径， 表面积，故D正确． 【变式1】已知正方体的棱长为2，点P是线段AB上的动点（不含端点），则当三棱锥的外接球的表面积最小时，AP的长为______． 【答案】/ 【分析】依题意建系，设，，三棱锥的外接球的球心为，根据球的性质结合空间中两点间距离公式解得，进而求外接球半径的最小值. 【详解】如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 设，，三棱锥的外接球的球心为， 则，即， 解得，即， 可得外接球的半径， 当且仅当时，等号成立， 所以当三棱锥的外接球的表面积最小时，AP的长为. 故答案为：. 【变式2】在空间直角坐标系中，四面体各顶点坐标分别为，则该四面体外接球的表面积是__________. 【答案】 【分析】将该四面体补成长方体，如图，则四面体和该长方体同外接球，根据勾股定理和球的表面积公式计算即可求解. 【详解】将该四面体补成长方体，如图，建立空间直角坐标系， 则， 易知四面体和该长方体同外接球，长方体的体对角线的长. 所以外接球半径为，所以该四面体外接球的表面积.    故答案为： 【变式3】如图1，在矩形ABCD中，M是CD边上的中点，且，.将沿着AM翻折至，连接PB，PC，得到如图2所示的四棱锥，则四棱锥体积的最大值为______，此时三棱锥的外接球的表面积为______.    【答案】 【分析】根据已知有，再由平面平面时体积最大，即可求体积最大值，构建合适的空间直角坐标系，设外接球的球心为，半径为，结合的坐标求参数值，即可得半径，进而求球体的表面积. 【详解】在原矩形中，，是中点， 因此，则，，    满足，故，翻折后仍成立， 当平面平面时，四棱锥的高最大，体积最大， 是等腰直角三角形，到的距离（即四棱锥的高）， 底面是梯形，面积， 因此体积最大值，    如图建立坐标系，则，，，， 设外接球的球心为，半径为，则，解得，，，， 因此外接球表面积. 题型 5：建系写坐标 【典例1】如图，在边长为4的正方体中，，，分别是，，的中点．以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．写出，，，，五点的坐标； 【答案】，，，， 【详解】由题可知，，，，，. 【变式1】已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，底面，且，是棱的中点，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．求点的坐标； 【答案】，，， 【详解】由底面ABCD是边长为的正方形，底面，且，是棱PD的中点， 由图知，，，，，，． 题型 6：建系综合立体几何大题 【典例1】如图，在四棱锥中，，，，，，． (1)求证：； (2)若点是线段（含端点）上一点，直线与平面所成角的正弦值为，求的值． 【答案】(1)已知，则， 为直角三角形，且， ，且，平面， 由线面垂直判定定理可得，平面， 平面， ． (2) 【分析】（1）利用线面垂直判定定理结合已知条件证明结论； （2）建立空间直角坐标系，得出点和相关向量坐标，进而求出法向量，利用向量夹角余弦公式结合已知条件构造方程，进而求出． 【详解】（1）略 （2）以为坐标原点，为轴正向，为轴正向，过点垂直于轴为轴， 建立下图所示空间直角坐标系， 则，设， ， ，解得， ， 设，，则， ， ，故， ，设平面的法向量为，则 ，令，故， 直线与平面所成角的正弦值为，设该角为， 则， ，化简整理得， 解得或， ， ，故． 【变式1】如图，直角三角形中，，，，分别为边的中点.将△沿向上翻折使二面角的大小为，得到四棱锥，点为上的点，且平面⊥平面. (1)证明：点为的中点； (2)过点作四棱锥的截面，求此截面将该四棱锥分成上下两部分的体积之比. 【答案】(1)证明：在平面图中，因为分别为的中点，所以， 所以翻折后有 ，又平面 ，所以 平面 ， 又因为 平面 ，所以平面平面 ， 那么存在一直线平面 使得平面且平面， 因为平面 平面 ，所以存在直线平面使得平面 且平面 ， 则 ，又平面，平面，所以平面， 又平面 ，平面平面，所以， 所以 平面 ， 因为平面 ，所以 ， 又因为，所以点为 的中点； (2) 【分析】（1）根据折叠前后的几何性质结合线面垂直判定定理可得 平面 ，从而得平面平面 ，存在平面使得平面 且平面 ，从而可得 ，于是可得，进而 平面 ，根据垂直关系可得结论； （2）建立空间直角坐标系利用空间向量的坐标运算确定的坐标，在 平面内，得直线，直线，联立解得的坐标，该根据四棱锥 的截面性质求解分成上下两部分的体积之比. 【详解】（1）略 （2）延长交于点，连接 交于点，则截面即为 ， 记该截面将四棱锥分成上下两部分的体积分别为， 以为原点，过点垂直于平面的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 因为平面 平面 ， 所以是二面角的平面角，即， 又因为 ，所以，则， 在平面内，直线即，直线即， 联立解得，而，所以， 则， ， 所以， 所以. 【变式2】已知正四面体的棱长为4，顶点在平面的同侧，点，顶点到平面的距离分别为1，2，直线与平面交于点，则（   ） A．直线与平面所成角为 B．平面与平面所成角为 C． D．点到平面的距离为 【答案】ACD 【分析】对于A，根据线面角的定义可求其正弦值，故可判断其正误，对于B，求出的面积，进而求出面面角的余弦值判断其正误，对于C，利用空间垂直关系的转化可判断其正误，对于D，利用向量法可求点到平面的距离，从而可判断其正误. 【详解】 设在平面内的射影为，在平面内的射影为，连接， 则， 对于A，因为，所以为直线与平面所成的角， 而，而为锐角，故，故A正确； 对于B，因为，故，故四边形为梯形， 而，，故，故四边形为直角梯形， 同理 而，故. 在中，， 故， 而，设平面与平面所成角为， 则，故平面与平面所成角不为，故B错误； 对于C，由题设平面，而，故平面平面， 故三点共线，而，故为的中点， 故，故， 连接，则，而，，故， 而平面，故平面，而平面， 故，故C正确； 对于D，由C的分析可得，故. 由可得为的中点，故， 连接，则，故. 过作平面的垂线，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，故， 设，则， 故，消元可得，故， 故D正确. 【变式3】如图，二面角的大小为，点A在半平面内，点B，均在半平面内，于点C，于点C，于点D，，，则（    ） A． B．平面 C． D． 【答案】ABD 【详解】以为原点，在平面内过作的垂线为轴，直线为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系. 由题意得，，，；二面角的平面角为，，故. 对选项A，，与方向一致，又且，由线面平行判定定理得，故A正确. 对选项B，由，，，得平面， 又，故平面，故B正确. 对选项C，，平面的法向量为， 因为与法向量不平行，故不垂直于，C错误. 对选项D，，，即，故D正确. 题型 7：正方体、长方体、正四面体、棱台综合 【典例1】在正四面体中，点，则点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】把正四面体补全为正方体，根据正方体的性质，结合三角形重心坐标公式进行求解即可. 【详解】由正四面体对棱相等，补全为如图所示的正方体，易知． 由对称性可知，点还有可能落在图中点处，因四面体为正四面体， 所以是正三角形，取的重心为点． 由正三角形性质可得 因为点与点关于点对称， 设， 则根据中点坐标公式可得，， 所以． 故选：BC 【变式1】如图，在长方体中， ，，，直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则（   ） A．点的坐标为 B．点关于点对称的点为 C．点关于直线对称的点为 D．点关于平面对称的点为 【答案】ACD 【分析】利用空间点的对称性即可逐项判断得出结论. 【详解】由图形及已知可得，点的坐标为，A选项正确； 点关于点对称的点为，B选项错误； 因为，所以四边形为菱形， 所以点关于直线对称的点为，C选项正确； 点关于平面对称的点为，D选项正确； 【变式2】在正方体 中，设棱长为，则下列结论正确的有（    ） A．向量的模长为2 B．向量的坐标为 C．直线与平面垂直 D．异面直线与所成角为 【答案】CD 【详解】对于A，因为正方体的棱长为，则，所以A错误， 对于B，因为题设没有给定确定的空间直角坐标系，建系不一样，的坐标不同， 建立如图所示的空间直角坐标系，易知，所以，故B错误， 对于C，由正方体的性质知平面，所以C正确， 对于D，由正方体的性质知平面，又平面，则， 所以异面直线与所成角为，故D正确. 【变式3】已知且，则的值可能是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】CD 【分析】由的几何意义可求得其范围，即可得答案. 【详解】因，则表示以原点为球心，半径为1的球表面上的点. 则表示到距离的平方. 类比点到圆上距离的范围，可得， ， 结合，可得，则 ，. 故，则只有CD满足条件. 故选：CD 1．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间点关于坐标平面的对称点特征可求对称点的坐标. 【详解】点关于平面的对称点坐标为. 故选：D. 2．在空间直角坐标系中，已知点、，则线段的中点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用中点坐标公式可得答案. 【详解】因为点、，则线段的中点坐标为， 即. 故选：B. 3．在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间直角坐标系的定义，结合关于坐标平面的对称点的特点，即可求解. 【详解】根据空间直角坐标系的定义，结合关于坐标平面的对称点的特点， 可得点关于平面对称的点的坐标是. 故选：D. 4．在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据坐标平面中点的坐标定义及对称点的坐标特征易得. 【详解】因空间中的点的横坐标、纵坐标、竖坐标分别是该点在轴上的投影的坐标， 故点关于平面对称的点的横坐标、纵坐标不变，竖坐标为原竖坐标的相反数， 故所求点坐标为. 故选：B. 5．点关于xOy平面的对称点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间点关于平面的对称点特点即可得到答案. 【详解】点关于xOy平面的对称点是， 所以点关于xOy平面的对称点的坐标为． 故选：C． 6．已知是空间直角坐标系中一点，与点关于平面对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点关于平面对称的点应该满足不变，变为相反数确定即可得解. 【详解】空间直角坐标系中，点关于平面对称的点应该满足不变，变为相反数， 故点关于平面对称的点是. 故选：D. 7．已知点，，则线段的中点关于平面对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出的中点的坐标，再求出关于平面对称的点的坐标即可． 【详解】因为点， 所以的中点， 所以关于平面对称的点的坐标为， 故选：C． 8．在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间点的坐标规律即可得解. 【详解】根据“关于谁对称谁不变”的原则可知： 点关于平面对称点的坐标为. 故选：B 9．空间直角坐标系中，已知点关于坐标平面对称的点为，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】利用对称性求出，再根据两点间的距离公式可得答案. 【详解】点关于坐标平面对称的点为， 所以. 故选：D 10．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间坐标系中点关于平面的对称点满足坐标互为相反数求解. 【详解】在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点满足坐标互为相反数， 所以点关于平面的对称点为， 故选：B 11．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对称的性质直接得到结果. 【详解】依题意，点关于平面的对称点坐标为， 故选： 12．已知是空间直角坐标系中的一点，下列点的坐标与点关于平面对称的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点关于平面对称的点应该满足不变，变为相反数确定即可 【详解】空间直角坐标系中，点关于平面对称的点应该满足不变，变为相反数， 故点关于平面对称的点是. 故选：D 13．点关于平面对称的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用空间直角坐标系中对称的特征直接求解. 【详解】关于平面对称的两点的轴，轴坐标相同，轴坐标互为相反数， 所以点关于平面对称的点是. 故选：B. 14．在空间直角坐标系中，点的坐标为，则到平面的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】根据坐标的定义可知. 【详解】由空间点的坐标的意义可知，点到平面的距离为2. 故选：B 15．在空间直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用关于原点对称的两点间的关系直接求解. 【详解】因为点， 所以点关于原点对称的点的坐标为. 故选：C 16．在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间直角坐标系中点的坐标特点结合对称即可求解. 【详解】点关于轴对称的点的坐标为． 故选：B. 1．在矩形中，，，将沿对角线翻折为．若点到平面的距离为，则线段长度的取值范围是_________． 【答案】 【分析】建立坐标系、确定点的轨迹、用代数方法关联距离与参数计算即可得出结果. 【详解】设原矩形 中， ， ， ，则 . 翻折后， 满足： ， ， 所以，. 两式相减得： ，即 . 点 ，则 . 代入 ，展开得：， 点到平面 的距离 ，将 代入 ， 整理得： 由 ，得 ，代入上式： ； ，解得 或 所以 由 ： 当 时， ，故 ； 当 时， ，故 . 综上， . 2．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是2，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子P，Q分别在正方形对角线和上移动，且，则的最小值为________． 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量表示出对应线段长度，即可求解最值. 【详解】以为坐标原点，分别以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 因为正方形的边长为且两平面垂直，则各顶点的坐标为， ，，，，，， 因此，，该方向上的单位向量为， 由题意得，点坐标为， 同理，，该方向上的单位向量为， 故点坐标为， 则， 故当时，. 3．已知点关于坐标平面的对称点为，点关于z轴的对称点为，则 ______． 【答案】 【详解】因为空间点关于坐标平面对称时，坐标取反，坐标不变， 所以关于坐标平面的对称点为， 因为空间点关于轴对称时，坐标不变，坐标都取反， 所以关于轴的对称点为， 所以． 4．在空间直角坐标系中， ，点在平面内运动， 则当取最小值时，的坐标为_________． 【答案】 【分析】设点，利用空间两点距离公式展开得出关于的二次多元函数，根据平面内一点到三角形三顶点距离平方和的最小值在该三角形重心处取得，再利用空间三角形重心坐标公式求解． 【详解】设点，则 ， 是关于的二次凸函数，的最小值在的重心处取得， 重心坐标为，即． 该点在平面上，符合要求． 5．点关于平面对称的点的坐标是________． 【答案】 【分析】在空间直角坐标系中，点关于平面对称的规律为：横坐标、纵坐标保持不变，竖坐标变为原坐标的相反数. 【详解】已知点，横纵坐标不变，竖坐标取反得，因此所求对称点的坐标为. 6．在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点坐标为________． 【答案】 【分析】空间直角坐标系中，关于坐标平面对称的点，其横坐标和纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数. 【详解】由题意得，点关于坐标平面的对称点坐标为. 故答案为： 7．点关于平面对称的点的坐标是_____________． 【答案】 【分析】根据点关于平面对称点的特征进行求解即可. 【详解】点关于平面对称的点的坐标是， 故答案为： 8．在空间直角坐标系中，点到轴的距离为__________. 【答案】 【分析】根据空间直角坐标系下点的坐标的特征计算可得. 【详解】点到轴的距离为. 故答案为： 9．在空间直角坐标系中，点关于x轴的对称点坐标是_________． 【答案】 【分析】根据空间中点的坐标，利用对称性即可求解. 【详解】由关于x轴的对称点坐标：x坐标符号不变，y、z坐标符号改变，故对称点为； 故答案为：. 10．已知三角形的三个顶点分别为，，，则的中点坐标为______. 【答案】 【分析】直接利用中点坐标公式求出结果. 【详解】由点，点，可知的中点坐标为，即. 故答案为： 11．在空间直角坐标系中，点关于坐标平面对称的点为_____. 【答案】 【分析】根据空间直角坐标系中点的坐标的定义易得. 【详解】根据定义，点关于坐标平面对称的点为. 故答案为：. 12．已知直四棱柱的各棱长均为2，，设棱，的中点分别为，，若底面内一动点满足，则的运动轨迹长度为_____. 【答案】/ 【分析】先根据，得出点在以为直径的球与底面的交线上，再通过建立空间直角坐标系得出球心的坐标，最后根据平面几何关系即可求出. 【详解】由，知，所以点在以为直径的球与底面的交线上. 以为坐标原点，垂直于方向，方向，方向分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，故球的直径长为， 球心为的中点. 因为球心到底面的距离为1， 所以底面截球所得圆的半径为，圆心为， 则在以为直径的圆与菱形的交线上， 如图，由平面几何关系得，菱形中，则， 实际交线为劣弧和劣弧， 易知和为等边三角形，劣弧和劣弧相等， 则， 故的运动轨迹长为. 故答案为:. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1 空间直角坐标系 教学目标 了解空间直角坐标系的建立过程，理解右手系规则，识别坐标轴、坐标平面、卦限的概念； 掌握空间中点的坐标表示，熟记坐标轴、坐标平面上特殊位置点的坐标特征； 熟练掌握空间点关于坐标轴、坐标平面、原点的对称变换，会求点在坐标平面上的射影坐标； 掌握空间两点间距离公式、中点坐标公式，理解球面方程的几何含义，能区分球面与球体； 能够根据几何体条件建立合适的空间直角坐标系，正确写出几何体中点的坐标； 会利用坐标求解距离、轨迹问题，结合坐标处理外接球、内切球相关问题，能借助建系完成简单立体几何证明与角度计算。 教学重难点 1.重点 空间直角坐标系的构成，空间点的坐标，特殊位置点的坐标规律； 空间点关于坐标轴、坐标平面、原点的对称变换； 空间两点间距离公式、中点坐标公式、球面方程； 简单几何体中建立空间直角坐标系，写出各点坐标。 2.难点 理解空间射影、点到坐标轴 / 坐标平面的距离计算； 根据几何条件识别空间轨迹，理解球面方程的几何意义； 结合空间坐标求解几何体的外接球、内切球相关问题； 复杂几何体（翻折、四面体、棱台）中合理建系，把几何条件转化为坐标运算。 知识点 1：空间直角坐标系的建立 构成：在空间中取定点O（原点），作三条两两互相垂直的数轴：x轴、y轴、z轴，统称为坐标轴。 x轴（横轴）、y轴（纵轴）、z轴（竖轴）； 右手系规则：右手握住z轴，四指从x轴正方向旋转指向y轴正方向，大拇指指向z轴正方向。 坐标平面：每两条坐标轴确定一个坐标平面，共 3 个 xOy平面（由x,y轴确定） yOz平面（由y,z轴确定） xOz平面（由x,z轴确定） 卦限：三个坐标平面把空间分成8 个卦限。 空间任意一点M，对应唯一有序实数组，叫做点M的空间直角坐标； x：横坐标，y：纵坐标，z：竖坐标。 知识点 2：特殊位置点的坐标规律（高频记忆） 表格 点的位置 坐标特征 原点O x轴上的点 y轴上的点 z轴上的点 xOy平面内 yOz平面内 xOz平面内 知识点 3：空间点的对称变换（必考） 设点P(x,y,z) 关于平面对称：（z变号，x,y不变） 关于平面对称：（x变号，y,z不变） 关于平面对称：（y变号，x,z不变） 关于x轴对称：（x不变，y,z变号） 关于y轴对称：（y不变，x,z变号） 关于z轴对称：（z不变，x,y变号） 关于原点O对称：（x,y,z全部变号） 记忆口诀：关于哪个坐标轴对称，哪个坐标不变，其余坐标取相反数；关于坐标平面对称，不在该平面的那个坐标变号。 【即学即练】 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 知识点 4：空间两点间距离公式 已知空间两点 特殊：空间一点到原点距离： 对比平面：平面是两项平方和，空间多z坐标的平方项。 【即学即练】 在空间直角坐标系中，点到轴的距离为（   ） A．2 B． C．1 D．4 知识点 5：空间线段中点坐标公式 若M(x,y,z)是与的中点，则： 知识点 6：空间球面方程 球心C(a,b,c)，半径为R，球面上任意一点P(x,y,z) 由距离公式 球心在原点： 注意：这是球面（曲面），不是球体；球体还要满足小于等于。 题型 1：空间点的对称与投影 【典例1】已知，则点在Oyz平面内（O为坐标原点）的射影坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式1】点关于平面对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式2】在空间直角坐标系中，为坐标原点，对空间中一点，则下列叙述正确的是（   ） A．点关于轴的对称点是 B．点关于平面的对称点是 C．点关于轴的对称点是 D．点关于原点的对称点是 【变式3】在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型 2：空间距离计算（点到轴、点到平面、两点距离） 【典例1】已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】在空间直角坐标系中，点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式2】在空间直角坐标系Oxyz中，点到平面Oxy的距离为（    ） A．1 B． C．5 D． 【变式3】在空间直角坐标系中，点到轴的距离为（ ） A．2 B． C． D．3 题型 3：空间轨迹与空间曲面方程 【典例1】在正方体中，E是棱的中点，S是正方形ABCD及其内部的点构成的集合，设集合，则T表示的轨迹是（    ） A．线段 B．圆的一部分 C．椭圆的一部分 D．抛物线的一部分 【变式1】在空间直角坐标系中，已知点的坐标满足方程，则点P的轨迹是（    ）． A．圆 B．直线 C．球面 D．线段 【变式2】在空间直角坐标系中，下列说法正确的是（    ） A．方程z＝0 表示坐标平面xOy B．方程x2＋y2＋z2＝1 表示以坐标原点为球心，1为半径的球面 C．方程x2＋y2＝1 表示以坐标原点为圆心，1为半径的面 D．方程x2＋y2＝0 表示z轴 【变式3】如图，在正方体中，点为对角线的三等分点，点到正方体的各顶点的距离的不同取值的个数为______（个）. 题型 4：外接球、内切球问题 【典例1】空间直角坐标系中，满足条件的点构成一几何体，则该几何体（   ） A．为正多面体 B．体积为 C．外接球体积为 D．内切球表面积为 【变式1】已知正方体的棱长为2，点P是线段AB上的动点（不含端点），则当三棱锥的外接球的表面积最小时，AP的长为______． 【变式2】在空间直角坐标系中，四面体各顶点坐标分别为，则该四面体外接球的表面积是__________. 【变式3】如图1，在矩形ABCD中，M是CD边上的中点，且，.将沿着AM翻折至，连接PB，PC，得到如图2所示的四棱锥，则四棱锥体积的最大值为______，此时三棱锥的外接球的表面积为______.    题型 5：建系写坐标 【典例1】如图，在边长为4的正方体中，，，分别是，，的中点．以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．写出，，，，五点的坐标； 【变式1】已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，底面，且，是棱的中点，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．求点的坐标； 题型 6：建系综合立体几何大题 【典例1】如图，在四棱锥中，，，，，，． (1)求证：； (2)若点是线段（含端点）上一点，直线与平面所成角的正弦值为，求的值． 【变式1】如图，直角三角形中，，，，分别为边的中点.将△沿向上翻折使二面角的大小为，得到四棱锥，点为上的点，且平面⊥平面. (1)证明：点为的中点； (2)过点作四棱锥的截面，求此截面将该四棱锥分成上下两部分的体积之比. 【变式2】已知正四面体的棱长为4，顶点在平面的同侧，点，顶点到平面的距离分别为1，2，直线与平面交于点，则（   ） A．直线与平面所成角为 B．平面与平面所成角为 C． D．点到平面的距离为 【变式3】如图，二面角的大小为，点A在半平面内，点B，均在半平面内，于点C，于点C，于点D，，，则（    ） A． B．平面 C． D． 题型 7：正方体、长方体、正四面体、棱台综合 【典例1】在正四面体中，点，则点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在长方体中， ，，，直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则（   ） A．点的坐标为 B．点关于点对称的点为 C．点关于直线对称的点为 D．点关于平面对称的点为 【变式2】在正方体 中，设棱长为，则下列结论正确的有（    ） A．向量的模长为2 B．向量的坐标为 C．直线与平面垂直 D．异面直线与所成角为 【变式3】已知且，则的值可能是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 1．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为（   ） A． B． C． D． 2．在空间直角坐标系中，已知点、，则线段的中点坐标是（    ） A． B． C． D． 3．在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 4．在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 5．点关于xOy平面的对称点的坐标为（   ） A． B． C． D．． 6．已知是空间直角坐标系中一点，与点关于平面对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 7．已知点，，则线段的中点关于平面对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 8．在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 9．空间直角坐标系中，已知点关于坐标平面对称的点为，则（   ） A．1 B． C． D．2 10．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为（    ） A． B． C． D． 11．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标是（   ） A． B． C． D． 12．已知是空间直角坐标系中的一点，下列点的坐标与点关于平面对称的点是（   ） A． B． C． D． 13．点关于平面对称的点是（   ） A． B． C． D． 14．在空间直角坐标系中，点的坐标为，则到平面的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 15．在空间直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 16．在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点为（    ） A． B． C． D． 1．在矩形中，，，将沿对角线翻折为．若点到平面的距离为，则线段长度的取值范围是_________． 2．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是2，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子P，Q分别在正方形对角线和上移动，且，则的最小值为________． 3．已知点关于坐标平面的对称点为，点关于z轴的对称点为，则 ______． 4．在空间直角坐标系中， ，点在平面内运动， 则当取最小值时，的坐标为_________． 5．点关于平面对称的点的坐标是________． 6．在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点坐标为________． 7．点关于平面对称的点的坐标是_____________． 8．在空间直角坐标系中，点到轴的距离为__________. 9．在空间直角坐标系中，点关于x轴的对称点坐标是_________． 10．已知三角形的三个顶点分别为，，，则的中点坐标为______. 11．在空间直角坐标系中，点关于坐标平面对称的点为_____. 12．已知直四棱柱的各棱长均为2，，设棱，的中点分别为，，若底面内一动点满足，则的运动轨迹长度为_____. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $