第4章 1 数学建模实例（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

§1　数学建模实例 [学业标准]　 1．了解结题报告是在发现实际问题的基础上用数学解决问题的一个微科研成果． 2．通过结题报告，进一步理解数学建模的全过程：选题、开题、做题、结题． [对应学生用书P122] (一)数学建模及其主要步骤 1．提出问题 实际情境中的问题往往是模糊的和笼统的，原始的问题往往是一个希望得到优化的期待，或是某个不良现象的消失．这就需要透过现象，明确地提出问题． 2．建立模型 在一定的知识积累的基础上，预测建立的数学模型，抓住主要因素，摒弃次要因素，做出适当简化和假设． 在假设的基础上，用数学概念表示实际问题，用数学结构反映实际问题中各个量之间的关系．从不同角度、用不同知识表示同样的问题，就会得到不同的模型． 3．求解模型 这个过程是求解数学问题．值得注意的是，如果目标是求值，一般不容易求得精确值，这就要根据需要求近似解． 4．检验结果 用实际现象或数据检验求得的解是否符合实际．如果不符合实际情况，就要重新建模．数学建模的过程可用框图表示． (二)数学建模示例 国民收入、消费与投资的关系 1．实际情境 在政府文件中，我们经常可以看到有关经济增长与投资、消费的内容． 例如，《国务院关于促进创业投资持续健康发展的若干意见》(国发〔2016〕53号)指出：“近年来，我国创业投资快速发展，不仅拓宽了创业企业投、融资渠道，促进了经济结构调整和产业转型升级，增强了经济发展新动能，也提高了直接融资比重、拉动了民间投资服务实体经济，激发了创业创新、促进了就业增长．” 2016年11月，《国务院办公厅关于进一步扩大旅游文化体育健康养老教育培训等领域消费的意见》(国办发〔2016〕85号)指出：“当前，我国国内消费持续稳定增长，为经济运行总体平稳、稳中有进发挥了基础性作用．顺应群众期盼，以改革创新增加消费领域特别是服务消费领域有效供给、补上短板，有利于改善民生、促进服务业发展和经济转型升级、培育经济发展新动能．” 习惯上，人们用收入来衡量经济状况，因此所谓经济增长或者经济发展，通常指的是收入增加． 2．提出问题 怎样描述投资与经济增长之间的关系呢？为什么说消费增长有利于经济发展呢？这些现象能用数学语言来描述吗？ 3．相关因素分析及假设 要用数学语言描述经济增长、投资、消费之间的关系，实际上是要研究国民收入(简称为收入，用Y表示)、国民投资(简称为投资，用I表示)、国民消费(简称为消费，用C表示)之间的关系． 为了简单起见，可以做出以下假设： (1)收入、投资、消费都用同一单位来衡量，为了方便，以下均省略单位； (2)收入只用于投资和消费； (3)消费可以分为两部分，一部分为基本消费(用C0表示)，另一部分与收入成正比，比例系数为a. 值得注意的是，以上假设都是合理的．例如一个家庭的收入，一般而言，不是用于投资(比如储蓄、购买理财产品等)，就是用于消费(比如家庭成员的生活支出等)；一个家庭的消费，一部分用于满足基本生活需求(比如购买食品等)，而另一部分则依赖于收入的多少(比如家庭成员的旅游支出等)． 4．建立数学模型 由假设可知，收入、投资、消费之间的关系可描述为Y＝C＋I，C＝C0＋aY. 在经济学中，这通常称为凯恩斯静态模型，因为这是英国经济学家凯恩斯最先得出的． 一些经济现象，可以通过凯恩斯静态模型中的量之间的关系来体现．例如，如果不存在透支消费，那就意味着消费不大于收入，即C≤Y，因此aY＜C0＋aY≤Y，从而有a＜1. 另外，如果将消费看成收入的函数，则这个函数在任意区间[Y1，Y2]内的平均变化率均为＝＝a，这表示收入每增加一个单位，消费将增加a个单位．因此，a通常称为边际消费倾向． (1)收入与消费的关系 为了探讨经济增长(即收入)与消费的关系，可以将收入看成消费的函数，即Y＝C－，其中C0与a均为参数．可以算出，这个函数在任意区间内的平均变化率均为＝，这表示消费每增加一个单位，收入将增加个单位． 例如，当C0＝10，a＝时，有Y＝C－，因此： 如果消费C＝30，那么Y＝×30－＝25； 如果消费C＝35，那么Y＝×35－＝31.25. 可以看到消费增长5个单位时，收入增加了6.25个单位． (2)收入与投资的关系 为了探讨经济增长(即收入)与投资的关系，可以将收入看成投资的函数．通过消去C求解Y可得Y＝I＋，此时，C0与a均为参数．可以算出，这个函数在任意区间内的平均变化率均为＝，这表示投资每增加1个单位，收入将增加个单位． 例如，当C0＝10，a＝时，有Y＝5I＋50，因此： 如果投资I＝10，那么Y＝5×10＋50＝100； 如果投资I＝15，那么Y＝5×15＋50＝125. 可以看到，投资增长5个单位时，收入增加了25个单位． 5．检验结果、改进模型 从上述计算结果可以看出，当消费增长或者投资增长时，都将导致收入增加(这样一来，我们也就完成了本章导语中投资与经济增长之间关系问题的解答)．而且，一般情况下，收入增加比消费增长或投资增长快．事实上，当0＜a＜1时，可知＞1且＞1.这就是说，平均变化率和都大于1.经济学上将这种现象称为乘数效应． 可以看出，凯恩斯静态模型能够较好地描述收入、投资与消费的关系． 这个模型中，为了简单起见，假设了基本消费以外的消费与收入成正比，但实际的情况可能会更加复杂，模型的改进可以从这方面入手． (三)研究报告表 条目 内容 题目 国民收入、消费与投资的关系 问题的来 源和意义 来源：《国务院关于促进创业投资持续健康发展的若干意见》(国发[2016]53号)； 意义：描述投资与经济增长之间的关系 解决问题 的思路 利用数学语言描述经济增长、投资、消费之间的关系 相关因素分 析及其假设 国民收入、国民投资、国民消费 假设：(1)收入、投资、消费都用同一单位来衡量；(2)收入只用于投资和消费；(3)消费可以分成两部分，一部分为基本消费，另一部分与收入成正比，比例系数为a 建模、求解 的主要过程 见数学建模示例(略) 结果及其检验 见数学建模示例(略) 小组成员的 分工和各自 的主要贡献 略 研究的收获 和感受，得到 的帮助和致谢 通过数学建模活动得出当消费增长或者投资增长时，都将导致收入增加．而且，一般情况下，收入增加比消费增长或投资增长快．这将为政策调整者提供决策依据，在此感谢山东经济大学王维虎教授等相关人员给与的帮助和支持 主要参考文献 略 (四)结题报告的小论文(略) (五)数学建模实践及结题报告 在以下两个题目中，任选一个进行数学建模实践，并写出结题报告． 1．经济生活中，商品的需求量与供给量都与商品的价格有关．一般来说，商品的价格越低，想购买这种商品的人就越多，因此需求量越大，但此时因为销售的利润低，因此卖的人就会越少，从而供给量越小．与其他同学一起分工合作，查阅有关资料，按照数学建模的步骤与方法，给出商品的需求量与供给量模型，并探讨它们之间的关系． 2．不管是驾驶汽车还是骑自行车，当发现路况有变化需要紧急刹车时，刹车距离会与很多因素有关．例如，人的反应时间、车的速度、车与人的质量等都会影响刹车距离．与其他同学一起分工合作，查阅有关数据或者自行设计试验收集数据，建立有关刹车距离的数学模型． 学科网（北京）股份有限公司 $$