天津市梧桐中学2026-2027学年高二年级上学期10月月考数学试卷

阶段性随堂练习高二数学试卷 一、单选题：本题共9小题，每小题4分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知直线1的一个方向向量为(3,5)，则直线1的倾斜角a=() A.30° B.60° C.120° D.150° 2.如图，在平行六面体ABCD-ABCD,中，M为AC与BD的交点，若AB=a,AD=b,AA=c,则下列向 量中与B,M相等的向量是() D C A 1→1- A.--a+-b-c B.-Ia-1b-c 2 2 22 Dis-- 1a-1b-o C. 2a-2b +- D. B 3.在空间直角坐标系中，O为坐标原点，对空间中一点P(2,-3,4),则下列叙述正确的是() A.点P关于x轴的对称点是P(-2,-3,4) B.点P关于平面yOz的对称点是P(2,3,-4) C.点P关于y轴的对称点是乃(-2，-3，-4) D.点P关于原点的对称点是P(-2,3,4) 4.在三棱锥P-ABC中，M是平面ABC内一点，且14PM=8PA+PB+5PC,则t=() A.月 B.1 C.2 D.3 5.若直线l:ax-y+3=0与l2:x-(2+a)y+1=0互相垂直，则a=() A.0 B.2 C.-1 D.-2 6.已知两条不重合的直线l:ar+2y-1=0和l:x+(a+1)y-1=0,aeR,若l1l,则a的值为() A.-2 B.-2或1 C.1 D.-1或2 7.在平行六面体ABCD-AB,CD,中，AB=AD=AA=1,且∠AAB=∠AAD=∠BAD=60°，M为AC的中点， 则AM的长度为() A.√2 B.5 C.② 2 D.3 2 8.已知向量a=（-l,-2,2),b=(3,0,-1),则向量ā在向量ā+b上的投影向量的坐标为() 后副 B. 10105 884 C. 333 D. 9-9'g 9.如图，在正方体ABCD-ABCD中，F为线段BC的中点，E为线段AC上的动点，下列四个结论中，错误 的是() A.存在点E,EF∥平面ABB,A D B.对任意点E,EF⊥DB C.存在点E,使得EF与BD所成的角是60° D D.不存在点E,使得EF与平面AACC所成的角是30° 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10.直线1：(m+2)x+(2-2m)y-3=0过定点 11.过直线x-y+1=0与直线2x+y-4=0的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 12.己知直线l:x+m+3=0与2：2x-6y+n=0平行，且1与l2间的距离是10，则m+n=· 13.与y轴相切，且圆心坐标为(2，-1)的圆的方程为 14.如图，直三棱柱ABC-ABC中，∠BCA=90°，M,N分别是AB,AC的中点，BC=CA=CC,则BM与AN 所成角的余弦值为 15.棱长为1的正方体ABCD-AB,CD中，点P为BD上的动点，O为底面ABCD的中心，则OP的最小值为 三、解答题：本题共3小题，共34分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.已知△ABC的顶点为A(2,4),B(7,-1),C(6,1). (I)求过点C且平行于直线AB的直线方程： (2)求AB边上的中线CM所在直线方程； (3)求边AB上的高CD所在直线方程. 17.己知圆C经过A(3,2),B(5,4)两点，且圆心C在直线2x+y-10=0上 (1)求线段AB的中垂线1的方程： (2)求圆C的标准方程。 18.如图，己知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥DA,PD⊥DC,M是棱AD的中点，N是 棱PD上一点，PD=2AB=4 (1)若N是棱PD的中点时， ①求证：PA/平面MNC; ②求直线PB与平面MWC成角的正弦值： D Q洁点D到平面AC的矩离为号求线段DN的长度 参考答案 题号 2 3 4 6 8 9 答案 A A C B A C D D 1.A 【解1由直线1的个方向向亚为同)可得ma-5.又因为ae[c,10).所以a=30 2.A 【详解】由题意得.BM=BB+BM=-c+BD=-+(BM+D列=-G+-a+6) 2 2 1·1→ =--a+-b-c 2 2 3.C 【分析】根据空间直角坐标系中点关于坐标轴、坐标平面、原点的对称坐标变换规则，逐一验证各选项即 可 【详解】选项A,任意点(a,b,c),关于x轴对称的点坐标为(a,-b,-c):因此P(2,-3,4)关于x轴的对称点 为(2,3，-4)，A错误： 选项B,关于平面yOz对称的点坐标为(-a,b,c):因此P关于平面yOz的对称点为(-2，-3,4)，B错误： 选项C,关于y轴对称的点坐标为(-a,b,-c):因此P关于y轴的对称点为(-2，-3,4)，C正确： 选项D,关于原点对称的点坐标为(-a,-b,-c):因此P关于原点的对称点为(-2,3，-4)，D错误. 4.B 【分析】根据空间向量线性运算法则得到PM=8PA+{PB+5P心，再由空间共面定理的推论得到方程， 14 14 14 解得即可 【详解】己知14PM=8PA+tPB+5PC, 则PM=8PA+{PB+5PC, 14 14141 因为M是平面ABC内一点， 所以8++5=， 1414'14 解得t=1. 故选：B. 5.C 【分析】根据两直线垂直，斜率之间的关系列出等式求解即可. 【详解】直线l的斜率k=a.当a=-2时，直线l的斜率不存在，不满足l⊥12 当≠-2时，直线马的斜率k,=,1 2+a 由1山2，得kk2=1,即，a=-1,解得a=-1. 2+a 故选：C 6.A 【详解】两直线1：ax+2y-1=0,1,:x+(a+1)y-1=0平行， 测9a-小.交汉相来得aa+训=20+a-2=0(a+2a-小=0 故a=-2或a=1,但两直线不重合，需进一步检验. 当a=1时，1：x+2y-1=0,12:x+2y-1=0,两直线重合，不符合题意； 当a=-2时，1：-2x+2y-1=0,12:x-y-1=0,两直线不重合，且斜率相等，满足平行. 因此a=-2. 7.C 【分析】根据空间向量的数量积运算律，以及空间向量的线性运算，用基底表示出向量，进而求出模长即 可 【详解】在平行六面体ABCD-ABCD中，取AB=ā，AD=b,AA=c, 由AB=AD=AA=1,且∠AAB=∠AAD=∠BAD=60°， 则有问-月=日=l,a6=6d=ic= 因为4M-4C-(4+Ag+40)-M+丽+D)=a+万-d小： 所以4M=2a+6--层++c2+2a.6-2a:c-26-d =)+1+1+1-1=2 2 故选：C 8.D 【详解】因为a=(-1,-2,2),b=(3,0,-1),所以a+b=(2,-2,1), 所以a:(a+b)=-2+4+2=4,a+bl=3, m在86上程为g的格-子：不-2初-得 9.D 【分析】设正方体的棱长为1，以点D为坐标原点，以DA,DC,DD所在的直线为x,y,z轴建立空间直 角坐标系，利用空间向量方法求解选项A,取平面ABB,A的一个法向量DA=L,0,0),将EF∥平面ABB,A 平面转化为EF.DA=0;选项B,EF⊥DB,转化为EF.DB=0:选项C,EF与BD所成的角是60°转化 为os(EF,BD列-选项D.由BD1平面44CC,结合选项C可知 【详解】设正方体的棱长为1，以点D为坐标原点， 以DA,DC,DD所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系， Z D A B D B 则D0,00,B0,10,C01,0,400,),B0,11.C(0,11), 设CE=1CA(0≤1≤1)，又CA=(1,-1,0), ∴.CE=(2,-,0),又DC=(0,l,1), 则DE=DC+CE=(2,1-,1), 选项A,取平面ABBA的一个法向量DA=(1,0,0), 令F.D1-=0,解得=分此时F1Da, :当元=时，EF与DA垂直，而EFg平面ABB,4, 2 故EF∥平面ABB,A,故A项正确； 选项B,DB=(L,l,I), 则所.D丽=号+-0， 故对任意点E,EF⊥DB,故B项正确： 选项c0=-(l-0则F.m=分= 2 1 EF.BD 令Cos(EF,BD) 厂2 EF BD + 化简得222-1=0，解得2= 2’或1=0， 故存在点E,使得EF与BD所成的角是60°，故C项正确： 选项D,连接BD, 在正方体ABCD-AB,CD中， 由底面ABCD是正方形，则AC⊥BD, 由AA⊥平面ABCD,BDC平面ABCD,则AA⊥BD, 又A4c平面AACC,ACc平面A4CC,AA∩AC=A, 则BD⊥平面AACC,即BD是平面AACC的一个法向量， 由C项分析可知，存在点E,使得EF与BD所成的角是60°， 即存在点E,使得EF与平面AACC所成的角是30°，故D项错误 故选：D 【分析】将直线方程整理成关于m的方程，根据题意列方程组求解即得定点. 【详解】由1：(m+2)x+(2-2m)y-3=0整理得：m(x-2y)+2x+2y-3=0, x-2y=0 x=1 因m∈R,则 2x+2y-3=0'解得 1,即直线1经过定点 y=- 2 2 故答案为： 2 11.2x-y=0或x+y-3=0 【分析】联立两直线方程求交点坐标，再结合直线截距式求直线方程， x-y+1=0 x=1 【详解】由 2x+y-4=0'解得 则两直线交点P(L,2) 由题意所求直线在两坐标轴上截距相等， ①当截距为0时，则过点P的直线方程为y=2x,即2x-y=0: ②当截距不等于0时，设直线方程为x+y=a,a≠0 将点P(l,2)坐标代入1+2=a,得a=3,解得x+y-3=0 故答案为：2x-y=0或x+y-3=0. 12.-17或23 【分析】根据直线平行求出m,再由平行线间的距离公式求解， 【详解】直线4：x+m+3=0与1，：2x-6y+n=0平行，所以】=m,解得m=-3, 2=6 所以直线l的方程为x-3y+3=0,即为2x-6y+6=0. 因为直线1与1，间的距离是√10，即 6-川_6-n=0, 22+(-6}210 所以6-n=20,解得n=-14或n=26, 所以m+n=-3-14=-17或m+n=-3+26=23. 故答案为：-17或23 13.(x-2)2+(y+1)2=4 【详解】已知圆的圆心坐标为(2,1)，且圆与y轴相切， 由直线与圆相切的性质可知，圆的半径r等于圆心到切线y轴的距离， 圆心(2，-)到y轴的距离为其横坐标的绝对值，即”=2=2. 根据圆的标准方程(x-a+(y-b)=r2(其中(a,b)为圆心坐标，r为半径). 将a=2,b=-1,r=2代入，可得所求圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=4. 14.30 10 【分析】根据已知条件建立空间直角坐标系，再利用已知条件结合直三棱柱的性质得出相关点坐标，进而 得出AN,BM的坐标，最后利用向量夹角的余弦公式求解. 【详解】三棱柱ABC-ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，∴.BC⊥CA⊥CC, 以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC为z轴，建立下图所示空间直角坐标系， ZA M 6 :BC=CA=CC,M,N分别是AB,AC的中点，令BC=|CA=|CC=2,则 C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),N(1,0,2),M(1,1,2), AN=(-1,0,2),BM=(1,-1,2), AN.BM -1×1+(-1)×0+2×2 .∴cos(AN,BM= 3-V30 AW·BM V-2+22xVP+(-+225x610 二BM与AN所成角的余弦值为V30 10 故答案为： √30 10 15.v6 6 【分析】建立空间直角坐标系，设BP=1BD(0≤1≤I),先求OP,再求OP,最后利用二次函数即可求 解。 【详解】以D为原点，分别以DA,DC,DD为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图， 自楼长为1，所以0行0t,o0)AQa), 所以m-(l-.0a-（220 设BP=BD(0≤2≤1)， 所以0P=0B+P=0B+B题-（220+(1，--（22名2 两o网-g行小+--2a+号日 所以当元=时，0丽的最小值为 6 D B D A B 16.(1)x+y+5=0 (2)x-21y+27=0 (3)x-y+7=0 【详解】(1)直线AB的斜率为，-4-1， 7-2 设平行于直线AB的直线方程为y=-x+m,将C(-6,1)代入得m=-5, 故过点C且平行于直线AB的直线方程为x+y+5=0: 1 3 93 则kw=2。 1 (2)线段AB的中点M 2'2 9-211 -6- 2 则AB边上的中线CM所在直线方程为y-1x+6),即x-2少+27=0 (3)因为直线AB的斜率为-1，所以直线CD的斜率为1， 所以边AB上的高CD所在直线方程为y-1=x+6,即x-y+7=0. 17.(1)x+y-7=0 (2)(x-3)2+y-4)2=4 【分析】(1)求出A,B的中点M坐标、线段AB的中垂线的斜率，利用直线的点斜式方程可得答案： (2)求出圆心坐标、圆C的半径可得答案 4-2-1 【详解】(1)由A(3,2),B(5,4)可知其中点M(4,3),ka-5-3 设线段AB的中垂线I的斜率为k, 则kkB=-1,k=-1, 易知I过点M,所以1：y-3=-（x-4),即1：x+y-7=0: [2x+y-10=0。 (2)由 x+y-7=0 解得 少=4故圆心坐标为3,4)， x=3 圆C的半径为r=V(3-3)2+(4-2)2=2, 故圆C的标准方程为(x-3)2+y-4)2=4。 18.(1)①.M是棱AD的中点，N是棱PD的中点， .MN //PA, ,MNc平面MWC,PAE平面MWC, .PA/I平面MNC 6 (2)3 【分析】(1)①由直线与平面平行的判定定理证明即可！ ②建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用直线与平面成角的正弦值，计算即可 (2)求平面的法向量，利用点到平面的距离公式计算即可 【详解】(1)①略 ②PD⊥DA,PD⊥DC, 底面ABCD为正方形，.CD⊥AD, 以D为原点，DA,DC,DP为x,y,z轴建立空间直角坐标系， ZA PD=2AB=4,.AB=2, D A☑ :M是棱AD的中点，N是棱PD的中点， ∴DM=1,DN=2 则各点坐标为：D(0,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),P(0,0,4),M(1,0,0),N(0,0,2), .PB=(2,2,-4),MN=(-1,0,2),MC=（-1,2,0) n-MN=0「-x+2z=0 设平面MNC法向量为n=(xy,z),则 即 nMC=0 -x+2y=0 令x=2,y=1,z=1,则n=(2,1,1), 直线PB与平面MNC成角为O, 则直线PB与平面MWC成角的正弦值为 sin =cos(PB, PB.n 2×2+2×1-1×4 21 PB列 V22+22+(-4}V22+2+12V24×x66 (2)设DN=1(0≤t≤4)，则N=(0,0,t),MN=（-1,0,),MC=（-1,2,0),DM=(1,0,0), n·MN=0「-x+z=0 设平面MWC法向量为i=(x,y,z),则 ，即 n.MC=0’-x+2y=01 令x=21,则y=1,z=2,i=(2t,1,2), 点D到平面MNC的距离为， 6 DM.月_21×1+ix0+2x0 d= -21-6 2+P+22V5+47,解得：1=3.