第三章 指数函数（高效培优讲义）数学北师大版高一必修第一册

第三章 指数函数复习讲义 教学目标 1. 理解n次方根、根式的概念，掌握根式两个核心公式，能熟练进行根式与分数指数幂互化。 2. 掌握实数指数幂的运算性质，能准确完成指数幂的化简、求值计算。 3. 理解指数函数的定义，分清指数函数与指数型函数，牢记形式要求；掌握指数函数定义域、值域。 4. 熟练掌握指数函数的图像、定点、单调性，理解底数a对图像的影响。 5. 掌握指数函数图像平移、对称、翻折变换；会求解指数相关复合函数的定义域、值域、单调区间。 6. 能够利用指数函数单调性比较大小，会解决分段指数函数、零点与方程根、指数型不等式，结合奇偶性、单调性解决综合题型。 教学重难点 1.重点 指数函数的定义；指数函数\(y=a^x(a>0,a≠1)\)图像、过定点、值域、单调性。 利用指数函数单调性比较大小；指数复合函数定义域、值域、单调区间求解。 指数型不等式求解；指数函数结合奇偶性的简单综合应用。 2. 难点 底数a对指数函数图像的影响；指数函数各类图像变换（对称、翻折）。 复合指数函数 “换元法”，运用同增异减判断单调性，求值域；分段指数函数的单调性（端点取值）。 指数复合方程零点、根的个数问题，数形结合思想的运用；含参数的指数不等式恒成立、有解问题；分类讨论思想的落实。 知识点 1 n 次方根的概念 定义：如果，，那么x叫做a的n次方根。 n为奇数：实数a的n次方根只有一个，记为； 正数的奇次方根是正数；负数的奇次方根是负数；。 n为偶数： ①a>0，a的n次方根有两个，互为相反数：； ②，负数没有偶次方根； ③。 根式：式子叫做根式；n叫根指数，a叫被开方数。 重要公式 ① （有意义前提下恒成立） ② 知识点 2：分数指数幂 文字：正数的次幂，等于把a先m次方，再开n次方根。 无意义（分母不能为 0）。 核心前提：分数指数幂中，底数必须大于 0，否则不一定成立！ 3 实数指数幂的运算性质 前提条件： 同底数幂相乘： 同底数幂相除： 幂的乘方： 积的乘方： 分式乘方： 知识点 3：指数函数的定义 一般地，函数叫做指数函数。 形式严格要求： 底数：常数； 指数：自变量只能是单独的x； 系数：前面的系数必须为； 定义域：（全体实数）。 区分：指数型函数：形如 ，只是指数型，不是指数函数。 指数函数的定义域、值域 函数： 定义域：（全体实数） 值域： 重要结论：恒成立；指数函数函数值永远大于 0，函数不可能等于 0，也不可能小于 0。 知识点 4 ：指数函数的图像特征 表格 底数分类 过定点 恒过定点，即， 恒过定点 x 取 0 时， 时， 必记定点：不管取何值，指数函数一定经过(0,1)。 知识点5：图像对比a>1与0<a<1 表格 项目 定义域 值域 恒成立 恒成立 过定点 单调性 在上单调递增 在上单调递减 x>0 y>1 0<y<1 x=0 y=1 y=1 x<0 0<y<1 y>1 图像趋势 从左下往右上上升，x 趋向 从左上往右下下降，x 趋向， 图像共性：全部在x轴上方，x轴是指数函数的渐近线，图像无限靠近 x 轴，但永不与 x 轴相交。 知识点6：底数大小对图像的影响 在y轴右侧x>0：图像越高，底数越大。 x>0时：a越大，函数值越大。 在y轴左侧x<0：图像越高，底数越小。 的图像关于轴对称。 ，互为偶函数变换，关于 y 轴对称。 知识点7：指数函数图像变换 设基础函数 左右平移：向右移h单位；h<0向左移|h|单位。 上下平移：，k>0向上移k；k<0向下移|k|。 对称变换 ：与关于轴对称； ：与关于轴对称； ：与关于原点中心对称。 翻折变换 ：保留图像；x<0部分把x>0图像沿 y 轴向右翻折；是偶函数。 恒成立，图像不变。 题型 1：指数函数定义、定点、图像辨析 【典例1】函数（且）恒过定点（    ） A． B． C． D． 【变式1】函数的反函数的图像必过点 A．(1，3) B．(2，5) C．(1，4) D．(4，1) 【变式2】下列各函数中，是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】函数是指数函数，则实数 A． B． C． D．或 题型 2：指数幂运算与化简求值 【典例1】计算： (1)； (2)． 【变式1】已知，，求的值． 【变式2】已知，，求的值． 【变式3】求下列各式的值：   （1）． （2）设，求 的值． 题型 3：比较大小 【典例1】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】若，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】比较下列各题中两个数的大小： (1)，； (2)，； (3)，． 题型 4：函数性质综合 【典例1】设函数若是奇函数，求的值． 【变式1】已知函数. （1）判断的奇偶性，并证明； （2）利用定义证明在区间上是增函数. 【变式2】已知. (1)求函数的定义域； (2)判断的奇偶性，并说明理由； (3)证明. 【变式3】已知定义在上的函数（且）． (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)若，函数，，求函数的值域． 题型 5：复合函数单调性、定义域、值域 【典例1】求下列函数的值域： (1)； (2)． 【变式1】求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3)； (4)（，且）． 【变式2】函数的定义域为. （1）设，求t的取值范围； （2）求函数的值域. 【变式3】求解下列问题 （1）已知函数，求函数的单调递增区间； （2）已知函数，，求函数的值域. 题型 6：分段指数函数问题 【典例1】若函数是上的单调递增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】若函数在上单调递增，则正实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】若函数（且）的值域为，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 题型 7：函数零点、复合方程根的个数 【典例1】已知函数，若方程有且仅有5个不同实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．定义在R上的偶函数满足，当时，，设函数，，则与的图像所有交点的横坐标之和为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6. 【变式2】．已知函数是偶函数，. (1)求实数的值； (2)当时，求函数的零点； (3)若的最小值为2，求实数的值. 【变式3】．若函数的定义域为，则其图象关于直线对称的充要条件是:对任意恒成立，已知函数． (1)若函数关于直线对称，求实数的值； (2)证明：对任意，存在实数使得函数的图象关于直线对称； (3)若，且函数有两个零点，求实数的取值范围． 题型 8：不等式问题 【典例1】．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式1】．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】．已知函数则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【变式3】．已知函数，若对恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 1．若，则等于（    ） A． B． C． D． 2．2021年初，某地区甲、乙、丙三位经销商出售钢材的原价相同．受钢材进价普遍上涨的影响，甲、乙计划分两次提价，丙计划一次提价．设，甲第一次提价，第二次提价；乙两次均提价；丙一次性提价．各经销商提价计划实施后，钢材售价由高到低的经销商依次为（    ） A．乙、甲、丙 B．甲、乙、丙 C．乙、丙、甲 D．丙、甲、乙 3．设函数，.则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D．函数和分别为偶函数和奇函数. 4．设，，，则，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 5．在直角坐标系中，函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 6．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，则满足的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，，若，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 9．已知函数的定义域为R，当时，，当时，，当时，，则（    ） A． B． C．1 D．2 10．已知函数，则（    ） A．是奇函数，且在上是增函数 B．是偶函数，且在上是增函数 C．是奇函数，且在上是减函数 D．是偶函数，且在上是减函数 11．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（    ）. A． B． C． D． 12．设函数，若是的最小值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 13．若函数（且）的图象不经过第一象限，则有 A．且 B．且 C．且 D．且 14．函数的单调递增区间是（　　） A． B．[2，＋∞） C． D． 15．在同一坐标系内，函数和的图象可能是(　　) A． B． C． D． 16．若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．若实数，满足，则下列关系式中可能成立的是（　　） A． B． C． D． 2．设函数的定义域为D，区间，若对任意，存在唯一的，使得，则称是区间I上的“可倒函数”，则下列说法正确的是（   ） A．函数是定义域上的“可倒函数” B．若函数是区间（）上的“可倒函数”，则的取值范围为 C．若函数是区间上的“可倒函数”，则 D．若存在正数t，使得函数是区间上的“可倒函数”，则实数k的取值范围为 3．已知，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，若实数满足，则的最大值为________． 5．已知 (1)判断的奇偶性； (2)判断的单调性；并证明你的结论 (3)若有解，但不恒成立，求实数的取值范围 6．已知函数是奇函数． (1)求实数的值； (2)解不等式． 7．已知，是指数函数，，是幂函数，它们的图象如图所示，判断，，，的大小关系. 8．已知，求的值. 9．已知函数是指数函数，且.求函数的解析式. 10．已知函数. (1)若函数在区间上的最大值比最小值大，求的值； (2)若函数的图象过，比较与的大小. 11．已知函数． (1)求的单调区间； (2)若存在，使得有解，求实数的取值范围． 12．设函数（，，）且为奇函数． (1)若，求的解析式； (2)在（1）的条件下，若函数在上恒成立，求实数的取值范围． 13．比较大小； (1)与； (2)与； (3)与. 14．已知实数，满足． (1)证明：； (2)求的值． 15．已知函数（其中a，b为常量，且，，）的图象经过点，． (1)求函数的解析式； (2)若不等式在区间上恒成立，求实数m的取值范围． 16．已知下列不等式成立，比较m，n的大小： (1)； (2)； (3)（，且） 55．求的值： (1) (2) 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 指数函数复习讲义 教学目标 1. 理解n次方根、根式的概念，掌握根式两个核心公式，能熟练进行根式与分数指数幂互化。 2. 掌握实数指数幂的运算性质，能准确完成指数幂的化简、求值计算。 3. 理解指数函数的定义，分清指数函数与指数型函数，牢记形式要求；掌握指数函数定义域、值域。 4. 熟练掌握指数函数的图像、定点、单调性，理解底数a对图像的影响。 5. 掌握指数函数图像平移、对称、翻折变换；会求解指数相关复合函数的定义域、值域、单调区间。 6. 能够利用指数函数单调性比较大小，会解决分段指数函数、零点与方程根、指数型不等式，结合奇偶性、单调性解决综合题型。 教学重难点 1.重点 指数函数的定义；指数函数\(y=a^x(a>0,a≠1)\)图像、过定点、值域、单调性。 利用指数函数单调性比较大小；指数复合函数定义域、值域、单调区间求解。 指数型不等式求解；指数函数结合奇偶性的简单综合应用。 2. 难点 底数a对指数函数图像的影响；指数函数各类图像变换（对称、翻折）。 复合指数函数 “换元法”，运用同增异减判断单调性，求值域；分段指数函数的单调性（端点取值）。 指数复合方程零点、根的个数问题，数形结合思想的运用；含参数的指数不等式恒成立、有解问题；分类讨论思想的落实。 知识点 1 n 次方根的概念 定义：如果，，那么x叫做a的n次方根。 n为奇数：实数a的n次方根只有一个，记为； 正数的奇次方根是正数；负数的奇次方根是负数；。 n为偶数： ①a>0，a的n次方根有两个，互为相反数：； ②，负数没有偶次方根； ③。 根式：式子叫做根式；n叫根指数，a叫被开方数。 重要公式 ① （有意义前提下恒成立） ② 知识点 2：分数指数幂 文字：正数的次幂，等于把a先m次方，再开n次方根。 无意义（分母不能为 0）。 核心前提：分数指数幂中，底数必须大于 0，否则不一定成立！ 3 实数指数幂的运算性质 前提条件： 同底数幂相乘： 同底数幂相除： 幂的乘方： 积的乘方： 分式乘方： 知识点 3：指数函数的定义 一般地，函数叫做指数函数。 形式严格要求： 底数：常数； 指数：自变量只能是单独的x； 系数：前面的系数必须为； 定义域：（全体实数）。 区分：指数型函数：形如 ，只是指数型，不是指数函数。 指数函数的定义域、值域 函数： 定义域：（全体实数） 值域： 重要结论：恒成立；指数函数函数值永远大于 0，函数不可能等于 0，也不可能小于 0。 知识点 4 ：指数函数的图像特征 表格 底数分类 过定点 恒过定点，即， 恒过定点 x 取 0 时， 时， 必记定点：不管取何值，指数函数一定经过(0,1)。 知识点5：图像对比a>1与0<a<1 表格 项目 定义域 值域 恒成立 恒成立 过定点 单调性 在上单调递增 在上单调递减 x>0 y>1 0<y<1 x=0 y=1 y=1 x<0 0<y<1 y>1 图像趋势 从左下往右上上升，x 趋向 从左上往右下下降，x 趋向， 图像共性：全部在x轴上方，x轴是指数函数的渐近线，图像无限靠近 x 轴，但永不与 x 轴相交。 知识点6：底数大小对图像的影响 在y轴右侧x>0：图像越高，底数越大。 x>0时：a越大，函数值越大。 在y轴左侧x<0：图像越高，底数越小。 的图像关于轴对称。 ，互为偶函数变换，关于 y 轴对称。 知识点7：指数函数图像变换 设基础函数 左右平移：向右移h单位；h<0向左移|h|单位。 上下平移：，k>0向上移k；k<0向下移|k|。 对称变换 ：与关于轴对称； ：与关于轴对称； ：与关于原点中心对称。 翻折变换 ：保留图像；x<0部分把x>0图像沿 y 轴向右翻折；是偶函数。 恒成立，图像不变。 题型 1：指数函数定义、定点、图像辨析 【典例1】函数（且）恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据即可求得指数型函数的定点. 【详解】令，解得：，此时，故函数恒过. 故选：B 【点睛】本题考查指数函数过定点问题，属于基础题. 【变式1】函数的反函数的图像必过点 A．(1，3) B．(2，5) C．(1，4) D．(4，1) 【答案】D 【分析】根据原函数与其反函数的图象关于对称可知,所以它们所过定点也关于 对称. 【详解】令得,,所以,所以函数的图象经过定点(1,4), 所以函数的反函数的图像必过定点(4,1). 故选D. 【点睛】本题考查了原函数与其反函数的图象的对称性以及指数型函数过定点,属于基础题. 【变式2】下列各函数中，是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数的定义，形如：即可求解. 【详解】解：根据指数函数的定义知，， A选项底数错误，B选项系数错误，C选项指数错误； D正确. 故选：D 【点睛】本题考查了指数函数的定义，需掌握住指数函数的定义，即可求解. 【变式3】函数是指数函数，则实数 A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据指数函数的定义，得，即可求解实数的值. 【详解】由指数函数的定义，得，解得或，故选D. 【点睛】本题主要考查了指数函数的定义，其中熟记指数函数的定义的形式，列出方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 题型 2：指数幂运算与化简求值 【典例1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】利用指数运算法则即可得解. 【详解】（1） . （2） . 【变式1】已知，，求的值． 【答案】 【分析】利用完全平方公式与指数的运算法则即可得解. 【详解】因为， 所以， 故可得. 【变式2】已知，，求的值． 【答案】 【分析】利用对指数互换，结合对指数运算法则即可得解. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 故. 【变式3】求下列各式的值：   （1）． （2）设，求 的值． 【答案】（1）89 （2）7 【分析】(1)根据指数运算法则求解; (2)将变形为,即可得解. 【详解】(1)原式; (2), . 【点睛】本题考查根式与分数指数幂的互化及其化简运算,难度不大. 题型 3：比较大小 【典例1】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将化为同底或同指数的性质，利用指数函数和幂函数的单调性即可得答案． 【详解】解：∵ ，为增函数， ∴ ， 又∵ 在上单调递增， ， ∴ ． 故选：A． 【点睛】本题考查利用函数单调性比较大小问题，关键在于能够将自变量变换成相应指数函数和幂函数的形式，比较出自变量的大小关系即可. 【变式1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，在上单调递减， 所以， 同理，函数在上单调递增，所以. 综上，可得． 【变式2】若，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】指数函数的底数，故该函数在R上单调递减，因为，所以； 幂函数的指数，故该函数在上单调递增，因为，所以； 综上，. 【变式3】比较下列各题中两个数的大小： (1)，； (2)，； (3)，． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用指数函数的单调性即可得解. 【详解】（1）因为函数是上的减函数， 而. （2）因为函数是上的减函数， 而. （3）因为，， 所以. 题型 4：函数性质综合 【典例1】设函数若是奇函数，求的值． 【答案】 【分析】根据函数为奇函数及函数的解析式，可得，即可得解. 【详解】解：因为函数为奇函数， 所以， 又， 所以. 【变式1】已知函数. （1）判断的奇偶性，并证明； （2）利用定义证明在区间上是增函数. 【答案】（1）奇函数，证明如下： 函数的定义域为，关于原点对称, 任取一个，则， 因为， 所以，，即是奇函数. （2）证明:任取，，使得， ， 因为，所以，即， 所以在区间上是增函数. 【分析】(1)求出，判断与的关系即可. (2) 根据单调性的定义证明步骤，可证明结论. 【详解】（1）是奇函数，证明略； （2）略. 【点睛】本题考查函数奇偶性的判断，用定义法证明函数的单调性，属于基础题. 【变式2】已知. (1)求函数的定义域； (2)判断的奇偶性，并说明理由； (3)证明. 【答案】(1) (2)函数的定义域关于原点对称，， ， 所以，函数为偶函数； (3)当时，，，则； 由于函数为偶函数，当时，，则. 综上所述，. 【分析】（1）根据分母不为可求得函数的定义域； （2）利用函数奇偶性的定义可证得函数为偶函数； （3）验证当时，，再结合偶函数的性质可得出结论. 【详解】（1）由，得，即. 函数的定义域是； （2）略 （3）略 【变式3】已知定义在上的函数（且）． (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)若，函数，，求函数的值域． 【答案】(1)是奇函数，证明： 因为，函数的定义域为，关于原点对称， 对于定义域内任意，， 故函数是奇函数． (2) 【分析】（1）利用函数奇偶性定义，判断函数的奇偶性； （2）先求，再采用换元法转化为二次函数，最后在给定区间求值域． 【详解】（1）略 （2）已知，则，即，解得（舍去）或， 故，， 令，令， 已知，且函数在上单调递增，在上单调递增， 故在上单调递增， 时，； 时，； 故的取值范围是， 开口向上，对称轴为， 在区间内，最小值为， ；， 综上可得，． 题型 5：复合函数单调性、定义域、值域 【典例1】求下列函数的值域： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用指数函数的性质即可得解； （2）利用二次函数的性质与指数函数的性质，结合复合函数的单调性即可得解. 【详解】（1）由于，则， 故的值域为. （2）当时，开口向上，对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得最小值为，当时，取得最大值为， 则，又为减函数， 所以的值域为，即. 【变式1】求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3)； (4)（，且）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 当时，的定义域为； 当时，的定义域为. 【分析】利用具体定义域的求法，结合指数函数的性质即可得解. 【详解】（1）因为， 所以， 故的定义域为. （2）因为， 所以， 故的定义域为. （3）因为， 所以， 故的定义域为. （4）因为， 所以，即， 当时，得，则的定义域为； 当时，得，则的定义域为； 综上：当时，的定义域为； 当时，的定义域为. 【变式2】函数的定义域为. （1）设，求t的取值范围； （2）求函数的值域. 【答案】（1）（2）. 【分析】（1）由题意，可先判断函数，单调性，再由单调性求出函数值的取值范围即可； （2）由于函数是一个复合函数，可由，将此复合函数转化为二次函数，此时定义域为，求出二次函数在这个区间上的值域即可得到函数的值域. 【详解】（1）在上单调递增 . （2）函数可化为：， 在上单调递减，在上单调递增 比较得， ， 所以函数的值域为. 【点睛】本题考查了对数函数的值域的求法，对数函数与一元二次函数组成的复合函数的值域的求法，解题的关键是熟练掌握指数函数的性质与二次函数的性质，本题的重点在第二小题，将求复合函数的值域转化为求两个基本函数的值域，先求内层函数的值域再求外层函数的值域，即可得到复合函数的值域，求复合函数的值域问题时要注意此技能使用. 【变式3】求解下列问题 （1）已知函数，求函数的单调递增区间； （2）已知函数，，求函数的值域. 【答案】（1）（2）. 【分析】(1)先令，求其减区间，然后由在定义域上为减函数，即可得出答案; (2)令，然后求在上的值域. 【详解】(1)令则其减区间为， 由在定义域上为减函数，得的单调递增区间为:. (2)令，由得， ∴， ∴函数在上为单调减函数，在上为单调增函数， ∴，， ∴， ∴当时，函数的值域为. 【点睛】本题考查了复合函数求单调区间，在给定区间上求值域的问题，考查了学生的运算能力，属中档题. 题型 6：分段指数函数问题 【典例1】若函数是上的单调递增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数是在R上的单调递增函数，则，解得实数a的取值范围. 【详解】因为函数是R上的单调递增函数， ， 解得:， 故选：D. 【点睛】本题考查分段函数的单调性，关键在于得出分段单调后，还需满足端点值的大小关系，属于中档题. 【变式1】若函数在上单调递增，则正实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分析每一段单调递增情况，再综合整个函数递增即可求出结果. 【详解】函数在上单调递增， ，解得. 故选：B. 【点睛】本题考查分段函数的单调性，考查运算能力，属于中档题. 【变式2】若函数（且）的值域为，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时：当时，指数函数单调递增，故，值域为 ， 当时，一次函数的斜率， 函数单调递减，最大值为， 当时 ，故值域为 ，，， 所以两部分值域的并集为 ，无法覆盖大于的实数， 值域不为，不符合题意. 当时：当时，指数函数单调递减，故，值域为 ， 时，一次函数斜率，函数单调递减， 最大值为 ，当时 ，故值域为 ， 若函数值域为，需两段值域覆盖全体实数，即满足， 由于，两边同乘得， 解得或（舍去），结合，得. 综上所述，的取值范围是. 题型 7：函数零点、复合方程根的个数 【典例1】已知函数，若方程有且仅有5个不同实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，则方程转化为的一元二次方程，解出这个的一元二次方程的解，画出的图象，通过图象数形结合得到的取值范围. 【详解】令，有，即， 解得或， 作出的图象，如图， 方程有且仅有5个不同实数根， 则由图得或， 解得或， 即或无解， 所以 故选：D 【变式1】．定义在R上的偶函数满足，当时，，设函数，，则与的图像所有交点的横坐标之和为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据题意，分析可得与的图像都关于直线对称，做出两个函数的图像，分析其交点情况，即可得答案. 【详解】由题意，函数满足可知， 函数的图像关于直线对称， 又函数为偶函数，所以函数的图像关于轴对称， 由函数可知，函数的图像关于直线对称， 画出函数与的图像如图所示：    设图中四个交点的横坐标为， 由图可知，， 所以函数与的图像所有交点的横坐标之和为4. 故选：B 【点睛】本题考查函数的奇偶性和对称性的应用，指数函数图像与性质，考查数形结合思想和运算求解的能力，解题的关键是根据奇偶性和对称性做出函数图像，综合性较强，属中档题. 【变式2】．已知函数是偶函数，. (1)求实数的值； (2)当时，求函数的零点； (3)若的最小值为2，求实数的值. 【答案】(1) (2) （或） (3) 【详解】（1）已知是定义域为的偶函数，因此对任意，恒成立. 化简得，，代入等式得， 移项整理得对任意恒成立. 由于不恒为，因此，即. （2）当时，，由（1）知，令，得， 设，由指数函数性质得，方程转化为， 因式分解得，解得或，因舍去， 即，解得，即函数零点为. （3）由（1）知，由基本不等式得， 当且仅当，即时取等号，因此的取值范围为. 令，则，此时，该二次函数开口向上，对称轴为， 分情况讨论，当，即时，在上单调递增， 最小值为，令，解得，符合的条件； 当，即时，在处取得最小值，最小值为， 令，方程无实根，该情况无解. 综上，实数的值为. 【变式3】．若函数的定义域为，则其图象关于直线对称的充要条件是:对任意恒成立，已知函数． (1)若函数关于直线对称，求实数的值； (2)证明：对任意，存在实数使得函数的图象关于直线对称； (3)若，且函数有两个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)证明：对任意， ， 当，即时，恒有，与取值无关， 故对任意，存在实数使得函数的图象关于直线对称 (3) 【分析】（1）根据偶函数的定义列式求解即可； （2）函数的图象关于直线对称，即，可得，令求解即可； （3）由题意得有两个不相等的实数根，利用换元法设，， 则，有两个不相等正实数根，利用及韦达定理列式求解即可. 【详解】（1）依题意为偶函数， 所以， 所以， 即对任意的实数恒成立， 所以． （2）略 （3）时，， 由题意得有两个不相等的实数根， 设，，则， 因为与一一对应， 所以新方程有两个不相等正实数根， 所以解得， 所以实数的取值范围为． 题型 8：不等式问题 【典例1】．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】D 【详解】由，得， 由，得，得， 则推不出，推不出， 故“”是“”的既不充分又不必要条件． 【变式1】．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】不等式可化为，整理得 ， 解得，即该不等式的解集为. 分式不等式等价于， 解得，即该不等式的解集为. 因为不包含于，也不包含于，所以是既不充分也不必要条件. 【变式2】．已知函数则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简函数解析式，得出其关于直线对称且在时单调递增，利用函数性质将不等式转化为绝对值不等式求解. 【详解】首先化简函数：，可知函数的图象关于直线对称. 当时，单调递增，故单调递增， 单调递增，故单调递减，因此在上单调递增，由对称性可知在上单调递减. 根据函数性质，等价于，因此不等式等价于，即， 两边平方得，展开整理得，因式分解为，解得. 【变式3】．已知函数，若对恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断得函数是定义在上的奇函数，所以对恒成立等价于对恒成立，化简可得对恒成立，令，，由基本不等式化简计算即可求解. 【详解】因为函数定义域为，且， 所以函数是定义在上的奇函数， 所以对恒成立等价于对恒成立， 即，化简可得， 令，， 因为，所以， 当且仅当，时，等号成立，即， 同理可得， 要使不等式对恒成立， 则，即， 所以实数的取值范围为. 1．若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用幂的运算性质直接求得. 【详解】，. .. 故选：B 2．2021年初，某地区甲、乙、丙三位经销商出售钢材的原价相同．受钢材进价普遍上涨的影响，甲、乙计划分两次提价，丙计划一次提价．设，甲第一次提价，第二次提价；乙两次均提价；丙一次性提价．各经销商提价计划实施后，钢材售价由高到低的经销商依次为（    ） A．乙、甲、丙 B．甲、乙、丙 C．乙、丙、甲 D．丙、甲、乙 【答案】A 【分析】根据题意，分别计算出提价后的价格，结合基本不等式，分析即可得答案. 【详解】设提价前价格为1， 则甲提价后的价格为：， 乙提价后价格为：， 丙提价后价格为：， 因为， 所以， 所以，即乙>甲>丙. 故选：A 3．设函数，.则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D．函数和分别为偶函数和奇函数. 【答案】D 【分析】根据选项逐一计算判断. 【详解】A.， 正确； B.，正确； C.，正确； D.，， 故，，所以函数和均为偶函数，错误. 故选：D 【点睛】本题主要考查函数奇偶性以及利用解析式进行计算，是基础题. 4．设，，，则，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用指数函数为上的单调减函数，比较、的大小，再利用幂函数在上为增函数，比较、的大小，即可得正确选项； 【详解】解：因为为减函数，故，又在上为增函数，故， 即，即 故选：B 【点睛】本题主要考查根据指数与幂函数单调性判断函数值大小问题，属于基础题. 5．在直角坐标系中，函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数为奇函数可排除B，再利用的函数值，即可得答案； 【详解】令，，为奇函数可排除B， 当时，，且， 故选：A. 【点睛】本题考查根据函数的解析式选择函数的图象，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力. 6．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】确定函数的奇偶性， 【详解】，是奇函数，排除C，D， 时，，即，当时，又有，因此，排除B， 故选：A． 【点睛】本题考查由函数解析式选取函数图象，可通过研究函数的性质如奇偶性、单调性、对称性等排除某些选项，再通过特殊的函数值，函数值的正负，函数值的变化趋势等排除某些选项，从而得出正确答案． 7．已知函数，则满足的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得是偶函数，且在区间上单调递增，则不等式等价为，即，从而得到答案. 【详解】由，知是偶函数， 不等式等价为， 当时，，在区间上单调递增， 解得：. 故选：A. 【点睛】本题考查根据函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，关键是能够利用单调性将不等式转化为自变量大小关系，从而解出不等式，属于中档题. 8．已知函数，，若，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据函数的奇偶性，判断函数为偶函数，再根据偶函数的性质及单调性，即可得答案； 【详解】解：依题意，有， 则为奇函数，且在上单调递增， 所以为偶函数． 当时，有， 任取，则， 由不等式的性质可得， 即， 所以函数在上递增， 因此，． ∴ ， 故选：C. 【点睛】本题考查偶函数的性质及利用函数的单调性比较大小，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 9．已知函数的定义域为R，当时，，当时，，当时，，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解析】根据函数的奇偶性，周期性，以及函数表达式，可得结果. 【详解】由当时，， 用取代 可知，周期为1 所以 当时， 所以 当时，，所以 故选：B 【点睛】本题考查函数的性质，属基础题. 10．已知函数，则（    ） A．是奇函数，且在上是增函数 B．是偶函数，且在上是增函数 C．是奇函数，且在上是减函数 D．是偶函数，且在上是减函数 【答案】C 【解析】利用函数的单调性、奇偶性定义等方法判断函数的性质. 【详解】解：函数的定义域为， 因为， 所以为奇函数； 因为在上为减函数，在上的减函数， 所以在上的减函数， 综上：函数为奇函数，在上是减函数. 故选：C. 【点睛】本题考查了函数的单调性与奇偶性的研究，解决问题的关键是熟练运用函数性质的定义. 11．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据初等函数的性质逐个分析选项即可得出答案. 【详解】解： A. 在上单调递减，在上单调递减，但是在定义域内不是减函数. B. 在定义域内为减函数，但不是奇函数. C. 是偶函数，也不单调递减. D. 是奇函数，且在定义域内单调递减，复合题意. 故选D. 【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性，解题的关键是熟练掌握初等函数的性质，属于基础题. 12．设函数，若是的最小值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，求得的范围；再求得的单调性，讨论，时函数在的最小值，即可得到所求范围． 【详解】解：函数， 若，可得， 由是的最小值， 由于 可得在单调递增，在单调递减， 若，，则在处取得最小值，不符题意； 若，，则在处取得最小值， 且，解得， 综上可得的范围是，． 故选：． 【点睛】本题考查分段函数的最值的求法，注意运用分类讨论思想方法，以及指数函数的单调性，考查运算能力，属于中档题． 13．若函数（且）的图象不经过第一象限，则有 A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【详解】函数图象不经过第一象限，则指数函数单调递减，即， 且当时，，求解不等式可得：， 综上可得：且. 本题选择C选项. 14．函数的单调递增区间是（　　） A． B．[2，＋∞） C． D． 【答案】C 【分析】利用“同增异减”可求函数的单调增区间. 【详解】令，则， 故函数的定义域为，设，， 则当时，为增函数，此时； 当时，为减函数，此时. 而在上为增函数， 故在上为增函数，在上为减函数，此时. 而在上为减函数， 故在上为减函数，在上为增函数. 故选：C. 15．在同一坐标系内，函数和的图象可能是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的图象与性质，分和讨论，利用排除法，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，若时，函数在递增，此时递增，排除D；纵轴上截距为正数，排除C，即时，不合题意； 若时，函数在递减，又由递减可排除A，故选B. 【点睛】本题主要考查了幂函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记幂函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 16．若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依据复合函数同增异减，问题转换成二次函数在上单调递增，进而可求解． 【详解】令，由于底数 ， 所以指数函数在上单调递减， 因此的单调性与的单调性相反， 要使在上单调递减， 需使在区间上单调递增， 二次函数开口向上，对称轴为， 要使在区间上单调递增， 需满足对称轴在区间的左侧， 所以． 1．若实数，满足，则下列关系式中可能成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据函数的单调性，结合函数图象分析判断即可. 【详解】由题意，实数，满足，可化为， 设，， 由基本初等函数的性质，可得，在上都是单调递增函数， 画出函数，的大致图象，如图所示． 根据图象可知，当时，；当时，. 故当或时，，即成立，A正确； 当时，，B不正确； 当时，可能成立，C正确； 当时，可能成立， D正确． 2．设函数的定义域为D，区间，若对任意，存在唯一的，使得，则称是区间I上的“可倒函数”，则下列说法正确的是（   ） A．函数是定义域上的“可倒函数” B．若函数是区间（）上的“可倒函数”，则的取值范围为 C．若函数是区间上的“可倒函数”，则 D．若存在正数t，使得函数是区间上的“可倒函数”，则实数k的取值范围为 【答案】BCD 【分析】设函数的值域分别为，若是区间上的“可倒函数”，则有.对于A选项，取，求解即可；对于B选项，由以及函数的单调性求解，再利用基本不等式求解即可；对于C选项，利用函数单调递减以及求解即可；对于D选项，结合新概念确定函数的单调性，再结合对分类讨论即可. 【详解】设函数的值域分别为，由题意可知，若是区间上的“可倒函数”，则有. 对于A，的定义域为，令，则， 由，得，即，即， 判别式，方程无解，所以不是“可倒函数”，A错误； 对于B，函数在定义域（）上为“可倒函数”， 由严格递增，所以对于任意的，的取值范围为， 因为是“可倒函数”，所以，所以， 所以的取值范围为，所以， 故，即，故，解得， 通过基本不等式，解得，即，当且仅当时，等号成立， 又因为，所以，且，所以的取值范围为，故B正确； 对于C，当时，单调递减，此时其值域为， 由， ，从而在时的值域为， 由是区间上的“可倒函数”，有， 所以有，解得，C正确； 对于D，由题意，函数在定义域上连续， 若该函数不单调，则存在，使得， 对于，存在不等实数，使得， 不满足可倒函数的定义，所以在定义域上单调， 当时，在上单调递增， 对于任意的，的取值范围为，因为为“可倒函数”， 所以，所以，所以的取值范围为， 所以，故，解得 ，符合题意； 当时，函数的图象抛物线开口向上，对称轴方程为， 由，在上单调递增， 对于任意的，的取值范围为， 因为为“可倒函数”，所以，所以， 所以的取值范围为，所以， 故，解得，即，， 方程有两个不相等的实数根，又，方程有正根，符合题意； 时，函数的图象抛物线开口向下，对称轴方程为， 由，在定义域上单调，则在上单调递增，有， 对于任意的，的取值范围为， 因为为“可倒函数”，所以，所以， 所以的取值范围为，所以， 故，解得，， 当，即时， 方程有两个实数根，又，，两根为正根， 其中满足条件，符合题意； 综上可知，函数是区间上的“可倒函数”， 则实数k的取值范围为，D选项正确. 3．已知，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】选项A，因为，所以，选项A正确； 选项B，因为，，所以，选项B正确； 选项C，因为，当时满足，此时， 所以不一定成立，选项C错误； 选项D，且， 当时，是上的单调递增函数， 因为，所以， 当时，是上的单调递减函数， 因为，所以， 则选项D错误. 4．已知函数，若实数满足，则的最大值为________． 【答案】/ 【分析】先判断的图象关于成中心对称，再判断函数的单调性，从而可得，结合基本不等式可求最大值. 【详解】因为， 故， 故而知的图象关于成中心对称， 而， 因为为上的增函数，故也为上的增函数， 而为上的增函数，故为上的增函数， 而，故， 故即， 又 当且仅当时上式取等，故的最大值为． 5．已知 (1)判断的奇偶性； (2)判断的单调性；并证明你的结论 (3)若有解，但不恒成立，求实数的取值范围 【答案】(1)奇函数 (2)在定义域上单调递减，证明：令，则， 由，，即，， 故在定义域上单调递减. (3) 【分析】（1）利用奇偶性的定义判断函数奇偶性； （2）利用定义法判断并证明函数单调性； （3）结合函数的奇偶性与单调性将问题转换为有解且不恒成立，结合函数的值域求的取值范围. 【详解】（1）由且，得， 则函数为奇函数； （2）略 （3）由，可得， 由（1）知：， 由（2）知：，即有解，但不恒成立， 时，， 又为奇函数，的值域为， 由有解，， 又若恒成立，则， 有解，但不恒成立得. 6．已知函数是奇函数． (1)求实数的值； (2)解不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据奇函数在处有意义，求出的值； （2）将代入，根据不等式的性质及指数函数的单调性求解. 【详解】（1）因为，所以的定义域为， 所以，即，解得，经验证符合； （2）由（1）可知， ， 因为，所以，所以，解得， 所以不等式的解集为. 7．已知，是指数函数，，是幂函数，它们的图象如图所示，判断，，，的大小关系. 【答案】 【分析】先根据递减的指数函数图像得到，再由幂函数单调性判断、，从而比较出，，，大小. 【详解】由指数函数，单调递减，则 当时，有，即，所以. 由，是幂函数，由单调递增，则， 根据的函数图像，可得，单调递减，则. 所以. 8．已知，求的值. 【答案】 【详解】 ， ， ， 所以. 9．已知函数是指数函数，且.求函数的解析式. 【答案】 【分析】根据指数函数定义得到方程，解出值并检验即可. 【详解】由题意有，解得或， 当时，，此时，，所以，舍去； 当时，，此时，，所以，满足题意． 故. 10．已知函数. (1)若函数在区间上的最大值比最小值大，求的值； (2)若函数的图象过，比较与的大小. 【答案】(1)或 (2)， 【分析】（1）按与分类讨论指数函数的单调性，求出最值，利用条件列方程，可得答案； （2）代入点，可得，利用指数函数的单调性可得答案； 【详解】（1）当 时，在 上单调递增，最大值为，最小值为 ， 由题意得，解得； 当 时，在 上单调递减，最大值为，最小值为， 由题意得，解得； 综上， 或 . （2）由得，即，则. 因为，且在上是增函数， 所以. 11．已知函数． (1)求的单调区间； (2)若存在，使得有解，求实数的取值范围． 【答案】(1)的单调递减区间为，单调递增区间为. (2). 【分析】（1）求出，分别解与即得单调区间. （2）将化为关于的二次函数，由求其值域，即为的取值范围. 【详解】（1）的定义域为. . 令，得，即. 当时，，；当时，. 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）设，则. 因为，所以. 设，由基本不等式得，当且仅当时取等号， 则，. 二次函数的图象开口向上，对称轴为， 所以在上单调递增，. 所以的取值范围为， 即存在，使得有解时，实数的取值范围是. 12．设函数（，，）且为奇函数． (1)若，求的解析式； (2)在（1）的条件下，若函数在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数的奇偶性列方程，先求得，然后结合的值求得，从而求得的解析式. （2）利用换元法，结合函数的单调性求得的最小值，进而求得的取值范围. 【详解】（1）因为函数（且）是上的奇函数，则， 即， ，可得，即， 由，得，解得（舍）或， . （2）由（1）得， 在上恒成立， 可转化为：，在上恒成立． ， 令，则在上为增函数，所以， ，所以当时，取得最小值， 所以的取值范围为． 13．比较大小； (1)与； (2)与； (3)与. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）构造幂函数，再利用函数的单调性判断可得； （2）构造幂函数，再利用函数的单调性判断可得； （3）构造幂函数，再利用函数的单调性判断可得. 【详解】（1）因为，所以，因为幂函数在上单调递增， 所以，即. （2）因为幂函数在上单调递增，且， 所以，即. （3）因为幂函数在上单调递减，且， 所以，即. 14．已知实数，满足． (1)证明：； (2)求的值． 【答案】(1)因为，且在R上单调递增，所以， 因为，且在R上单调递增，所以， 故． (2) 【详解】（1）略 （2）由，得；由，得， 两式相乘得， 又在R上单调递增，所以． 15．已知函数（其中a，b为常量，且，，）的图象经过点，． (1)求函数的解析式； (2)若不等式在区间上恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用代入法得到关于的方程组，解之即可； （2）利用恒成立问题的解决方法，结合复合函数与指数函数的单调性即可得解. 【详解】（1）把，代入， 得，结合且，解得， 所以. （2）由（1）知可化为， 故在上恒成立， 则在上的最小值不小于. 由指数函数的单调性可知函数在上为减函数， 所以当时，有最小值2，故， 故的取值范围为. 16．已知下列不等式成立，比较m，n的大小： (1)； (2)； (3)（，且） 【答案】(1) (2) (3) 当时，，所以； 当时，. 【分析】利用指数函数的单调性即可得解. 【详解】（1）因为在上单调递增， 又，所以； （2）因为在上单调递减， 又，所以； （3）当时，在上单调递减， 又且，所以； 当时，在上单调递增， 又且，所以. 55．求的值： (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】利用指数函数的性质得到关于的方程，从而得解. 【详解】（1）因为， 所以，即，解得或， 所以或. （2）因为， 所以，解得， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $