4.1 对数的概念-【新课程学案】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦对数的概念这一核心知识点，从指数式与对数式的等价关系（a^b=N ⇔ log_a N=b）切入，系统梳理对数的定义、常用对数与自然对数，进而衔接对数与指数的互化及性质应用，构建阶梯式学习支架。 该资料采用“逐点理清式教学”，通过“微点助解”解析概念本质（如a>0且a≠1的理由），“微点练明”设计梯度练习，培养抽象能力与推理意识。课中辅助教师分层教学，课后助力学生巩固，有效弥补知识盲点。

　对数运算与对数函数 §1　对数的概念 [教学方式:基本概念课逐点理清式教学] 　　　　　　　　　　　　[课时目标] 要准确把握对数的定义,以及ab=N(a>0,且a≠1)⇔logaN=b的等价关系, 学会将对数与幂进行相互转化.会进行对数式与指数式的互化,会求简单的对数值. 逐点清(一)　对数的概念 　　　　　　　　　　　　　　　　 [多维理解] 1.对数的概念 一般地,如果a(a>0,且a≠1)的b次幂等于N,即ab=N,那么数b称为以a为底N的对数,记作logaN=b.其中a叫作对数的底数,N叫作真数. 2.常用对数与自然对数 名称 定义 记法 常用对数 当对数的底数a=10时,通常称之为常用对数 lg N 自然对数 以无理数e=2.718 281…为底数的对数,称之为自然对数 ln N |微|点|助|解| (1)定义中为什么规定a>0,且a≠1? 理由:①当a<0且N为某些数值时,x不存在,如式子(-2)x=3没有实数解,所以log (－2) 3不存在,因此,规定a不能小于0.由指数函数的定义也可知a不能小于0. ②当a=0,且N≠0时,logaN不存在;当a=0,且N=0时,x可取无数个值,因此规定a≠0. ③当a=1,且N不为1时,x不存在;而a=1且N=1时,x可以为任何实数,因此规定a≠1. (2)“log”同“+”“×”“”等符号一样,表示一种运算,即已知一个数和它的幂求指数的运算,这种运算叫做对数运算,不过对数运算的符号要写在数的前面. [微点练明] 1.lg 7与ln 8的底数分别是 (　 ) A.10,10 B.e,e C.10,e D.e,10 答案:C 2.已知b=c,则有 (　 ) A.a2b=c B.=b C.bc=2a D.=b 解析:选B　由题意得(a2)c=b,即=b. 3.在M= log (x－3) (x+1)中,要使式子有意义,x的取值范围为 (　 ) A.(-∞,3] B.(3,4)∪(4,+∞) C.(4,+∞) D.(3,4) 解析:选B　由对数的概念可得解得3<x<4或x>4. 4.若logx+1(x+1)=1,则x的取值范围是 (　 ) A.(-1,+∞) B.(-1,0)∪(0,+∞) C.(-∞,-1)∪(-1,+∞) D.(-∞,0)∪(0,+∞) 解析:选B　∵logx+1(x+1)=1, ∴∴x>-1且x≠0. 逐点清(二)　对数与指数的关系 [多维理解] 1.对数与指数的关系 当a>0,a≠1时,ab=N⇔b=logaN. 2.对数与指数的关系示意图 |微|点|助|解| 　　指数式ab=N,根式=a和对数式logaN=b(N>0,a>0,且a≠1)是同一种数量关系的三种不同表达形式.具体对应如下: 表达形式 a b N 对应的运算 ab=N 底数 指数 幂 乘方,由a,b求N =a 方根 根指数 被开方数 开方,由N,b求a logaN=b 底数 对数 真数 对数,由N,a求b 由此可知: ①开方运算和对数运算都是乘方运算的逆运算; ②弄清对数式与指数式的互换规则是掌握对数意义及其运算的关键. [微点练明] 1.已知loga9=-2,则a的值为 (　 ) A.-3 B.- C.3 D. 解析:选D　∵loga9=-2,a>0,且a≠1,∴a-2=9.解得a=.故选D. 2.(多选)下列指数式与对数式互化正确的是 (　 ) A.100=1与lg 1=0 B.2=与log27=-3 C.log39=2与32=9 D.log55=1与51=5 解析:选ACD　选项A中,指数式100=1化为对数式为lg 1=0,A正确;选项B中,指数式2=化为对数式为log27=-,B不正确;选项C中,对数式log39=2化为指数式为32=9,C正确;选项D中,对数式log55=1化为指数式为51=5,D正确. 3.求下列各式的值. (1)log981=　　　　;(2)log0.41=　　　　　;(3)ln e2=　　　.  解析:(1)设log981=x,所以9x=81=92.故x=2,即log981=2. (2)设log0.41=x,所以0.4x=1=0.40.故x=0,即log0.41=0. (3)设ln e2=x,所以ex=e2.故x=2,即ln e2=2. 答案:(1)2　(2)0　(3)2 逐点清(三)　对数的性质及对数恒等式的应用 [多维理解] 对数的性质 (1)loga1=0(a>0,且a≠1); (2)logaa=1(a>0,且a≠1); (3)零和负数没有对数 对数恒等式 =N(a>0,且a≠1,N>0) |微|点|助|解| 1.利用对数性质求解的两类问题的解法 (1)求多重对数式的值的解题方法是由内到外,如求loga(logbc)的值,先求logbc的值,再求loga(logbc)的值. (2)已知多重对数式的值,求变量值,应从外到内求,逐步脱去“log”后再求解. 2.对数恒等式的作用 (1)化简求值,如=x+2(a>0,且a≠1,x>-2). (2)将有关数值转化成幂的形式,如3=. [微点练明] 1.已知log3(log2x)=0,那么x= (　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:选B　因为log3(log2x)=0,所以log2x=1.则x=2. 2.设=25,则x的值等于 (　 ) A.10 B.13 C.100 D.±1 001 解析:选B　由对数的性质,得=2x-1=25.所以x=13. 3.若log2[log0.5(log2x)]=0,则x的值是 (　 ) A. B.2 C. D.1 解析:选A　因为log2[log0.5(log2x)]=0, 所以log0.5(log2x)=1.所以log2x=0.5.所以x=. 4.计算:3log22+2log31-3log77+3ln 1=　　　.  解析:原式=3×1+2×0-3×1+3×0=0. 答案:0 [课时检测] 1.下列选项中,可以求对数的是 (　 ) A.0 B.-5 C.π D.-x2 解析:选C　根据对数的定义,得0和负数没有对数,∴选项A、B不可以求对数.又-x2≤0,∴选项D没有对数.∵π>0,∴选项C可以求对数. 2.已知81=x,则x等于 (　 ) A.-8 B.8 C.4 D.-4 解析:选B　由题意得()x=81,即=34,则x=8. 3.方程=的解是 (　 ) A. B. C. D.9 解析:选A　∵==2-2,∴log3x=-2.∴x=3-2=. 4.(多选)下列指数式与对数式互化正确的一组是 (　 ) A.e0=1与ln 1=0 B.=与log8=- C.log39=2与=3 D.log77=1与71=7 解析:选ABD　e0=1⇔ln 1=0,故A正确;=⇔log8=-,故B正确;log39=2⇔32=9,=3⇔log93=,故C不正确;log77=1⇔71=7,故D正确. 5.对于a>0且a≠1,下列说法正确的是 (　 ) A.若M=N,则logaM=logaN B.若logaM=logaN,则M=N C.若logaM2=logaN2,则M=N D.若M=N,则logaM2=logaN2 解析:选B　A中,若M,N小于或等于0时,logaM=logaN不成立;B正确;C中,M与N也可能互为相反数;D中,当M=N=0时不正确. 6.(多选)下列等式正确的有 (　 ) A.lg(lg 10)=0 　B.lg(ln e)=0 C.若lg x=10,则x=10 　D.若ln x=e,则x=e2 解析:选AB　lg(lg 10)=lg 1=0,故A正确;lg(ln e)=lg 1=0,故B正确;若lg x=10,则x=1010,故C错误;若ln x=e,则x=ee,故D错误. 7.已知x2+y2-4x-2y+5=0,则logx(yx)的值是 (　 ) A.1 B.0 C.x D.y 解析:选B　由x2+y2-4x-2y+5=0,则(x-2)2+(y-1)2=0,∴x=2,y=1.∴logx(yx)=log2(12)=0. 8.若logx=z,则x,y,z之间满足 (　 ) A.y7=xz B.y=x7z C.y=7xz D.y=z7x 解析:选B　由题意得=xz,所以y=(xz)7=x7z. 9.使式子log(2x-1)有意义的x的取值范围是 (　 ) A.(2,+∞) B. C.(-∞,2) D.∪(1,2) 解析:选D　要使式子log(2x-1)有意义,则即解得<x<1或1<x<2.所以x的取值范围是∪(1,2). 10.声强是指声音在传播途径上每平方米面积上的声能流密度,用I表示.由于声强I的变化范围非常大,为方便起见,引入声强级的概念,规定声强级L=lg,其中I0=10-12 W/m2,称为基准声强,声强级的单位是Bel, Bel又称为1 dB,生活在30 dB左右的安静环境有利于人的睡眠,而长期生活在90 dB以上的噪音环境中会严重影响人的健康,根据所给信息,可得90 dB声强级的声强是30 dB声强级的声强的 (　 ) A.3倍 B.103倍 C.106倍 D.10500倍 解析:选C　设90 dB和30 dB声强级的声强分别是I1,I2,由题意,得90=10lg,30=10lg.则I1=I0·109,I2=I0·103,所以==106. 11.已知2log2x=log7y,且x=14,则xy的值是 (　 ) A.98 B.49 C.28 D.14 解析:选A　由对数性质,得log2x2=log7y,令z=log2x2=log7y,则x2=2z,y=7z;因为x=14,所以x2y=196.即2z·7z=(2×7)z=14z=196,解得z=2.所以x=2,y=49.故xy=98. 12.(5分)若log(x+1) (2x2+1)=2,则x=　　　.  解析:依题意得解得x=2. 答案:2 13.(5分)若a=log23,则2a+2-a=　　　　.  解析:∵a=log23,∴2a==3. ∴2a+2-a=2a+=3+=. 答案: 14.(5分)已知log3(log5a)=log4(log5b)=0,则的值为　　　　.  解析:由log3(log5a)=0得log5a=1,即a=5.同理b=5,故=1. 答案:1 15.(10分)若x>0,y>0,且log7x=log14y=log28(x+y),求的值. 解:令log7x=log14y=log28(x+y)=t,则x=7t,y=14t,x+y=28t,∴7t·28t=(14t)2.即x(x+y)=y2,则1+=.∵>0,∴=或=(舍去). 16.(10分)若log2[lo(log2x)]=log3[lo(log3y)]=log5[lo(log5z)]=0,试确定x,y,z的大小关系. 解:由log3[lo(log3y)]=0, 得lo(log3y)=1,log3y=,y==(310. 由log2[lo(log2x)]=0, 得lo(log2x)=1,log2x=,x==(215. 由log5[lo(log5z)]=0, 得lo(log5z)=1,log5z=,z==(56, ∵310>215>56, ∴y>x>z. 学科网（北京）股份有限公司 $