专题4.2 对数的运算（高效培优讲义）数学北师大版高一必修第一册

专题4.2 对数的运算 教学目标 1. 知识与技能：理解对数的运算性质，掌握积、商、幂的对数运算法则；理解换底公式及其推论，能熟练进行对数式的化简、求值与证明。 2. 过程与方法：通过由指数运算性质推导对数运算性质的过程，体会归纳与类比的数学思想；通过换底公式的推导，体会转化与化归的思想方法。 3. 情感态度与价值观：通过对数运算性质的学习，感受数学体系的严谨与和谐；通过对数在实际问题中的应用，体会数学的应用价值。 教学重难点 重点：对数的运算性质及其应用；换底公式及其应用。 难点：对数运算性质的灵活运用；换底公式的推论及其证明；对数式的化简与求值。 知识点01 对数运算性质一：积的对数 若 a>0，且 a≠1，M>0，N>0，则：loga(M·N)=logaM+logaN 【语言叙述】两个正数积的对数，等于同一底数下这两个数的对数之和。 【推广】loga(M₁·M₂·…·Mₙ)=logaM₁+logaM₂+…+logaMₙ。 【注意】公式成立前提：a>0，a≠1，M>0，N>0；loga(M+N)≠logaM+logaN。 【即学即练】 1．已知，，则18可以表示为（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）下列运算结果正确的是（     ） A． B． C．（其中，） D． 知识点02 对数运算性质二：商的对数 若 a>0，且 a≠1，M>0，N>0，则：loga(M/N)=logaM-logaN 【语言叙述】两个正数商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数。 【即学即练】 1、（   ） A．1 B． C．2 D． 2、已知，则（     ） A． B． C． D． 知识点03 对数运算性质三：幂的对数 若 a>0，且 a≠1，M>0，b∈R，则：。 【推论】 ④logamMn＝logaM(m，n∈R，且m≠0). 【口诀】积的对数变加法，商的对数变减法，幂的乘方取对数，指数提到前。 【即学即练】 1、若，，则下列各式中，恒等的是（    ） A． B． C． D． 2、（多选题）下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 知识点04 对数运算性质四：底数的幂 若 a>0，且 a≠1，M>0，m，n∈R，且m≠0，则：logamMn＝logaM。 举例： 【即学即练】 1．已知，则（   ） A． B． C． D． 2．___________． 知识点05 换底公式 （1）常用换底： logbN＝(a，b均大于零且不等于1).如：． （2）倒数原理： 。 如：． （3）约分法则： 如． （4）归一法则：． 【即学即练】 1．（多选题）已知，则（    ） A． B．当时， C．当时， D．当时， 2．已知，，则______． 题型 01 对数运算性质的直接应用（化简求值） 【典例1】 计算：_________. 【变式1】 计算： (1)； (2)； (3)设，，求． 【变式2】 （1）求值； （2）已知，求的值． 【变式3】 （1）求值：； （2）已知，且，求的值； （3）求值：． 题型 02 利用幂的对数性质化简 【典例1】 已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】 _____________． 【变式2】 计算： (1)； (2). 【变式3】 （1）求值：； （2）已知，求的值； 题型 03 换底公式的应用 【典例1】 已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式1】 （多选题）设，，，，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】 （1）已知，求的值； （2）已知，，证明：. 【变式3】 回答下列问题： (1)已知，且，求的最小值； (2)已知，若，求的最大值． 题型 04 对数运算性质的逆用 【典例1】 若，，则不正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式1】 已知正数a，b满足，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式2】 （多选）下列选项中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，且，的最大值为2 D．若，，且，的最小值为 【变式3】 函数的图象的对称中心坐标为_________. 题型 05 对数的实际应用 【典例1】 标准的围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有种不同的情况．而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即，下列数据最接近的是（）（     ） A． B． C． D． 【变式1】 “打水漂”是一种游戏，通过一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好．现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的，若要使石片的速率低于，则至少需要“打水漂”的次数为（    ） （参考数据：取，） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式2】 “打水漂”是一种游戏，通过一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好．现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的，若要使石片的速率低于，则至少需要“打水漂”的次数为（    ） （参考数据：取，） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式3】 “打水漂”是一种游戏，通过一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好．现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的，若要使石片的速率低于，则至少需要“打水漂”的次数为（    ） （参考数据：取，） A．4 B．5 C．6 D．7 题型 06 对数运算中的条件求值 【典例1】 （多选）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，．则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】 已知. (1)求的值； (2)设，求证：. 【变式2】 计算下列式子的值（请务必书写必要的计算步骤） (1) (2) (3)设，求的值． 【变式3】 （1）计算：； （2）已知，，求的值； （3）实数，满足，求的最小值． 一、单选题 1．设，，则（     ） A． B． C． D． 2．形如（是非负整数）的数称为费马数，记为．数学家费马根据都是质数提出了猜想：费马数都是质数．多年之后，数学家欧拉计算出不是质数，那么的位数是（     ） （参考数据：） A． B． C． D． 二、多选题 3．已知非零实数，，满足，则（    ） A．若，则 B．若，则 C． D． 三、填空题 4．若，且，则______． 5．若满足，当时，，则__________. 四、解答题 6．（1）计算： ①； ②． （2）已知，求下列各式的值： ①；　　 ②． 7．计算下列各式的值． (1)； (2)； (3)已知，，为正实数，，，求的值． 8．（1）已知，，用，分别表示和； （2）已知，求的值. 9．（1）解关于的不等式． （2）已知，，试用，表示． 10．（1）计算：； （2）已知，求的值 一、单选题 1．的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．若关于x的不等式恒成立，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 3．设函数，若函数在区间上的最大值为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，若对任意的，均有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．已知，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．已知函数，则下列选项中正确的是（    ） A．的最小值为1 B．的图像关于直线对称 C．在上不具有单调性 D．若，则 三、填空题 7．已知函数，如果，那么的值是________． 8．已知函数的图象关于点对称，也关于直线对称，且当时，，则______. 29 / 29 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.2 对数的运算 教学目标 1. 知识与技能：理解对数的运算性质，掌握积、商、幂的对数运算法则；理解换底公式及其推论，能熟练进行对数式的化简、求值与证明。 2. 过程与方法：通过由指数运算性质推导对数运算性质的过程，体会归纳与类比的数学思想；通过换底公式的推导，体会转化与化归的思想方法。 3. 情感态度与价值观：通过对数运算性质的学习，感受数学体系的严谨与和谐；通过对数在实际问题中的应用，体会数学的应用价值。 教学重难点 重点：对数的运算性质及其应用；换底公式及其应用。 难点：对数运算性质的灵活运用；换底公式的推论及其证明；对数式的化简与求值。 知识点01 对数运算性质一：积的对数 若 a>0，且 a≠1，M>0，N>0，则：loga(M·N)=logaM+logaN 【语言叙述】两个正数积的对数，等于同一底数下这两个数的对数之和。 【推广】loga(M₁·M₂·…·Mₙ)=logaM₁+logaM₂+…+logaMₙ。 【注意】公式成立前提：a>0，a≠1，M>0，N>0；loga(M+N)≠logaM+logaN。 【即学即练】 1．已知，，则18可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将 写成 ，再利用对数的运算性质把 用 表示. 【详解】由对数的运算性质，. 代入 和 ，得 . 所以 . 2．（多选题）下列运算结果正确的是（     ） A． B． C．（其中，） D． 【答案】BD 【详解】对于A：，所以A不正确； 对于B：当时，，所以B正确； 对于C：若，，则， 例：当时，，，所以C不正确； 对于D：，，所以D正确. 知识点02 对数运算性质二：商的对数 若 a>0，且 a≠1，M>0，N>0，则：loga(M/N)=logaM-logaN 【语言叙述】两个正数商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数。 【即学即练】 1、（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据对数的运算即可求解. 【详解】． 2、已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，又函数在实数范围内单调递增，故； 由得，所以． 因为，，且，所以，因此． 知识点03 对数运算性质三：幂的对数 若 a>0，且 a≠1，M>0，b∈R，则：。 【推论】 ④logamMn＝logaM(m，n∈R，且m≠0). 【口诀】积的对数变加法，商的对数变减法，幂的乘方取对数，指数提到前。 【即学即练】 1、若，，则下列各式中，恒等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于选项A，，故A错误； 对于选项B，，故B正确； 对于选项C，，故C错误； 对于选项D，，故D错误. 2、（多选题）下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 知识点04 对数运算性质四：底数的幂 若 a>0，且 a≠1，M>0，m，n∈R，且m≠0，则：logamMn＝logaM。 举例： 【即学即练】 1．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，则，解得． 2．___________． 【答案】/ 【详解】原式. 知识点05 换底公式 （1）常用换底： logbN＝(a，b均大于零且不等于1).如：． （2）倒数原理： 。 如：． （3）约分法则： 如． （4）归一法则：． 【即学即练】 1．（多选题）已知，则（    ） A． B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】ABD 【分析】令，得，再结合对数的运算求解． 【详解】令， 得， 对于A项，，故A项正确； 对于B项，当时，得，则， 得，故B项正确； 对于C项，当时，得，而， 则，得，但推不出，故C项错误； 对于D项，当时，得， 则 ， 而，得，得，得， 得，而， 得，得，得，故D项正确． 2．已知，，则______． 【答案】 【详解】由，得， 则， 即， 所以． 题型 01 对数运算性质的直接应用（化简求值） 【典例1】 计算：_________. 【答案】10 【详解】 【变式1】 计算： (1)； (2)； (3)设，，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用指数幂运算律进行计算； （2）利用对数运算律进行计算 （3）化简后利用立方和公式进行计算. 【详解】（1） . （2）. （3）， ， 所以 . 【变式2】 （1）求值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先算分数指数幂，再用化简对数式； （2）先平方求，再平方求． 【详解】（1）， ， 所以原式． （2）由两边平方得，所以， 再两边平方得，所以． 【变式3】 （1）求值：； （2）已知，且，求的值； （3）求值：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）利用指数幂的运算法则即可计算； （2）先求，再用立方和公式即可计算； （3）利用指数幂的运算法则即可计算． 【详解】（1）原式． （2）因为，所以， 又，所以， 因此． （3）因为，，， ，，， 所以原式． 题型 02 利用幂的对数性质化简 【典例1】 已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得：，所以. 【变式1】 _____________． 【答案】 【分析】根据指数幂的运算公式和对数的运算公式及对数性质求解. 【详解】因为， ，， ，， 所以 【变式2】 计算： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【详解】（1）. （2）. 【变式3】 （1）求值：； （2）已知，求的值； 【答案】 （1）；（2）. 【详解】（1），，， 原式 . （2）令 . 分子 ，分母 ， 故原式 . 题型 03 换底公式的应用 【典例1】 已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为在上单调递增，且， 所以，即， 因为，， 所以. 【变式1】 （多选题）设，，，，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】先将已知对数统一底数为2，再结合对数运算公式和基本不等式逐个验证选项即可. 【详解】因为，，故，且，因此即. 选项A：，故A正确； 选项B：，故B错误； 选项C：，故C正确； 选项D：设，，则 ，， 故. 时，， 所以，等号当且仅当时成立，故D正确. 【变式2】 （1）已知，求的值； （2）已知，，证明：. 【答案】（1） （2），， 则 ，即. 【分析】（1）根据立方和公式和平方差公式，结合平方法、指数运算性质进行求解即可； （2）根据对数的换底公式，结合对数的运算性质进行求解即可. 【详解】（1），则， ， ， 由，则； （2）略. 【变式3】 回答下列问题： (1)已知，且，求的最小值； (2)已知，若，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，且， 所以 ， 等号成立时且，即， 故的最小值为 （2）因为，所以，所以， 即，得或， 因为，所以，所以，所以，     所以，当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为 题型 04 对数运算性质的逆用 【典例1】 若，，则不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A， ，A 正确； 对于B，由题：，， 所以， ，B正确； 对于C，由选项A可知，所以， 所以，当且仅当时取等号，因为，所以，C错误； 对于D，由选项A可知，由选项B可知，， 由基本不等式得，则，当且仅当时取等号， 因为，所以，D正确． 【变式1】 已知正数a，b满足，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】先利用对数的运算性质化简已知等式，得到的关系，再结合基本不等式求解目标式的最值. 【详解】∵， ∴，且均为正数. ∴， 当且仅当即（）时等号成立，故原式最小值为6. 【变式2】 （多选）下列选项中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，且，的最大值为2 D．若，，且，的最小值为 【答案】ACD 【详解】A：由，且两边均非负，得，A正确． B：取，则左边为，右边为2，不等式不成立，B错误． C：由， 令，得，即，故，即，当，时等号成立，C正确． D：由，得，所以． 当时等号成立，此时，，满足条件，D正确． 【变式3】 函数的图象的对称中心坐标为_________. 【答案】 【分析】先利用定义域得出的图象的对称中心横坐标，然后再计算，得到函数的图象的对称中心坐标为. 【详解】函数定义域为，解得， 所以若的图象存在对称中心，则其横坐标为-2. 因为 ， 所以函数的图象的对称中心坐标为 题型 05 对数的实际应用 【典例1】 标准的围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有种不同的情况．而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即，下列数据最接近的是（）（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以. 所以更接近. 【变式1】 “打水漂”是一种游戏，通过一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好．现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的，若要使石片的速率低于，则至少需要“打水漂”的次数为（    ） （参考数据：取，） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】设第n次“打水漂”时的速率为，则，则可建立不等式求解. 【详解】设石片第n次“打水漂”时的速率为，则． 由，得，则， 即，则，故至少需要“打水漂”的次数为6． 【变式2】 “打水漂”是一种游戏，通过一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好．现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的，若要使石片的速率低于，则至少需要“打水漂”的次数为（    ） （参考数据：取，） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】设第n次“打水漂”时的速率为，则，则可建立不等式求解. 【详解】设石片第n次“打水漂”时的速率为，则． 由，得，则， 即，则，故至少需要“打水漂”的次数为6． 【变式3】 “打水漂”是一种游戏，通过一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好．现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的，若要使石片的速率低于，则至少需要“打水漂”的次数为（    ） （参考数据：取，） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】设第n次“打水漂”时的速率为，则，则可建立不等式求解. 【详解】设石片第n次“打水漂”时的速率为，则． 由，得，则， 即，则，故至少需要“打水漂”的次数为6． 题型 06 对数运算中的条件求值 【典例1】 （多选）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，．则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】由为奇函数与为偶函数，得到函数的对称性与周期性，先由特值确定，再根据性质求值即可，C、D选项结合周期特点使用并项求和法求和即可. 【详解】由为奇函数，得关于对称，且满足； 由为偶函数，得关于直线对称，且满足. 故，所以是周期函数，周期. 对选项A，由，令，得，A错误； 对选项B，已知时，，， 故时，.，B错误； 对选项C，，，，，周期. 由题意得 一个周期和为. 可得，C正确. 对选项D，得到 ，D正确. 【变式1】 已知. (1)求的值； (2)设，求证：. 【答案】(1) (2) 由，得，. 所以，， 则，故. 【分析】（1）将两边取对数化简即可得解； （2）由(1)解得，代入计算即可得解. 【详解】解：（1）将两边同取对数得，，则，所以. （2）略 【变式2】 计算下列式子的值（请务必书写必要的计算步骤） (1) (2) (3)设，求的值． 【答案】(1) (2)2 (3)1 【分析】（1）使用指数幂的运算求解； （2）使用对数的运算性质求解； （3）使用指数与对数的互化运算求解. 【详解】（1）原式 （2）原式 （3）因为，所以，， 所以，， 所以． 【变式3】 （1）计算：； （2）已知，，求的值； （3）实数，满足，求的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）分别计算负指数幂、零次幂，利用对数运算性质合并对数项，再把偶次根式加绝对值化简，最后合并所有项； （2）利用换底公式得到，再代入对数式化简计算得到结果； （3）先根据指数幂的运算变形已知等式，得到，再利用基本不等式求最值，最后结合对数运算求出的最小值． 【详解】（1） ； （2）已知，，解得，， 则， 所以； （3）由得， ， 因为，由基本不等式得：， 当且仅当，即，时等号成立， 此时，即， 则， 所以的最小值为． 一、单选题 1．设，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数换底公式、对数运算性质及同底对数互倒关系，将所求对数用已知的a、b表示即可得到结果. 【详解】由则， 利用换底公式得到， 因为， ， 所以. 2．形如（是非负整数）的数称为费马数，记为．数学家费马根据都是质数提出了猜想：费马数都是质数．多年之后，数学家欧拉计算出不是质数，那么的位数是（     ） （参考数据：） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据所给定义表示出，进而分析可以判断出其位数． 【详解】由题意知：， 因为，所以的位数是. 二、多选题 3．已知非零实数，，满足，则（    ） A．若，则 B．若，则 C． D． 【答案】AB 【分析】设，由换底公式判断A；由A得，由得，再根据先判断与大小，再判断B；利用指数幂运算判断C；利用基本不等式判断D. 【详解】设，因为，，为非零实数，所以且，则 对于A，由换底公式得，所以. 若，则，解得，A正确； 对于B，若，则，所以，因此； 由A知，，则，所以，又因为，所以，B正确； 对于C，，由得 因为，所以，因此，C错误； 对于D，由A知，，所以， 又因为，当且仅当时取等，因为，所以，所以； 当时，，整理得； 当时，，整理得，所以D错误. 三、填空题 4．若，且，则______． 【答案】 【分析】根据已知条件结合对数的运算性质，用表示出，代入中可得到关于的方程，解方程即可求解. 【详解】由知， 所以，且， 两边取以2为底的对数得，所以. 同理，由得. 所以，即，解得. 5．若满足，当时，，则__________. 【答案】 【分析】利用周期函数的性质将自变量平移到区间内，再代入已知解析式计算结果. 【详解】因为，所以函数是周期为的周期函数， 因为，，所以，所以， 所以， . 四、解答题 6．（1）计算： ①； ②． （2）已知，求下列各式的值： ①；　　 ②． 【答案】（1）①；②．（2）①；②． 【详解】（1）①原式． ②原式． （2）①因为，两边平方得 ，所以． ②设，则，且 ， 所以，即． 7．计算下列各式的值． (1)； (2)； (3)已知，，为正实数，，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）； （2）． （3）设，所以，，， 因为，则，即， 所以，则． 8．（1）已知，，用，分别表示和； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）12 【详解】（1）因为，， 所以； 即. （2）由分别转化为对数式， 即， 即， 结合换底公式可得： . 9．（1）解关于的不等式． （2）已知，，试用，表示． 【答案】（1）当时，解集为；当时，解集为；当时解集为或；当时，解集为或；当时，解集为.（2）. 【分析】（1）根据解一元二次不等式的方法对分类讨论即可； （2）利用换底公式及对数运算求解即可. 【详解】（1），即， 当时，方程为，解得； 当时，，即，解得， 当时，， ，解得或， 当时，， ，解得或， 当时，，解得； 综上，不等式的解集为：当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为或； 当时，解集为. （2），可得， . 10．（1）计算：； （2）已知，求的值 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）结合对数和有理指数幂的运算法则求解； （2）结合完全平方公式和立方差公式求解. 【详解】（1）原式 （2）由，可得， 所以. 因为 ， 所以原式. 一、单选题 1．的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数的运算可得原式等于，利用基本不等式可求出的最大值，即可求得答案. 【详解】由可知， ， 由于，当且仅当时等号成立， 故， 结合，则，故，当且仅当时等号成立， 故，当且仅当时取等号， 故的最大值为. 2．若关于x的不等式恒成立，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】结合绝对值函数的最小值性质，确定的取值，再根据的区间最值条件求解的值，再代入对数公式计算。 【详解】关于x的不等式恒成立. 1、恒成立， 即当时，恒成立， 所以只需， 所以； 2、恒成立恒成立， 即当时，恒成立，而， 当a=0时，不可能对整个区间成立， 故a>0，恒成立， 所以只需， 所以， 联立即， 计算. 3．设函数，若函数在区间上的最大值为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先用换底公式化简，再换元求出的最大值，进而求出的最小值. 【详解】，令， 故， 令，根据对勾函数图象可知，， 所以在区间上的最大值为， 令，， 根据函数图像可知的最小值在时取到，即时， 此时的最小值为. 4．已知函数，若对任意的，均有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将待求不等式转化为成立，通过构造一次函数，结合单调性列不等式组求解即可. 【详解】由，得， 整理得，即，即. 设，这是关于的一次函数， 要对任意，， 需满足两个等号不能同时成立，解得. 故实数的取值范围为. 5．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过指数与对数的恒等变换，将含对数指数的表达式转化为关于与的代数方程，再求比值即可. 【详解】， 令，则，所以，， 即，所以， 令，则，所以，即， 所以是一元二次方程的根，且大于0，所以； , 令，则，即，所以， 令，则，所以， 即，所以是一元二次方程的根，且大于0，所以， 因为是单调递减函数，由得:. 所以. 二、多选题 6．已知函数，则下列选项中正确的是（    ） A．的最小值为1 B．的图像关于直线对称 C．在上不具有单调性 D．若，则 【答案】ABD 【分析】对函数进行化简后，结合基本不等式求解最小值判断A，利用函数对称性的定义判断B，利用复合函数的单调性判断C，结合对称性与换元法判断D即可. 【详解】对于A，由题意得 ， 令，则变为， 由基本不等式得，当且仅当时取等， 此时解得，，得到的最小值为1，即的最小值为1，故A正确， 对于B，由题意得， 且， 可得，则的图像关于直线对称，故B正确， 对于C，令，由对勾函数性质得在上单调递增， 由对数函数性质得在上单调递增， 可得在上单调递增，即在上单调递增，故C错误， 对于D，由题意得，且， 令，则，， 因为，所以， 则，且， 而欲证，则证，即证， 则证，则证，即证， 而，则得证，即得证， 而在上单调递增，可得， 即，得到，故D正确. 三、填空题 7．已知函数，如果，那么的值是________． 【答案】 【分析】先证明，因为，则可以求解. 【详解】 ， ，所以，所以. 8．已知函数的图象关于点对称，也关于直线对称，且当时，，则______. 【答案】 【分析】利用函数的对称性与单调性可得. 【详解】设，则函数的图象过点. 设点与关于点对称，可得； 设点与关于直线对称，可得； 设点与关于点对称，可得. 由于在上单调递增，值域为， 根据图象的对称性可知，在上单调递增. 故当且仅当时，. 因为，所以点的横坐标在区间内，即. 所以，所以， 故. 29 / 29 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $