第4章 §3 对数函数 3.1 对数函数的概念3.2 对数函数y=log2x的图象和性质(Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书（北师大版）

本高中数学讲义聚焦对数函数核心知识点，前承指数函数构建反函数关系，系统梳理对数函数概念（定义、底数、定义域及定点），通过y=log₂x的图象与性质（定义域、值域、单调性等）搭建学习支架，涵盖概念应用、反函数求解、大小比较及不等式方程求解等探究内容。 资料以诊断分析强化概念辨析，通过例题与变式训练发展数学思维的推理能力，素养小结提炼方法培养数学语言表达。课中助力教师高效教学，课后便于学生回顾反思，有效弥补知识盲点，提升对数函数学习的系统性与应用能力。

§3　对数函数 3.1　对数函数的概念 3.2　对数函数y=log2x的图象和性质 【学习目标】 1.理解对数函数的概念以及对数函数与指数函数的关系. 2.了解指数函数与对数函数互为反函数,并会求指数函数或对数函数的反函数. 3.掌握对数函数y=log2x的图象和性质. ◆ 知识点一　对数函数 1.概念: 函数y=logax(a>0,且a≠1)叫作对数函数,其中a叫作对数函数的　　　　.  2.对数函数的基本性质: (1)定义域是　　　　　;  (2)图象过定点　　　　.  3.两个特殊的对数函数: (1)以10为底的对数函数为常用对数函数,记作　　　　;  (2)以无理数e为底的对数函数为自然对数函数,记作　　　　.  【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)y=loga(x+1)(a>0且a≠1)是对数函数. (　 ) (2)y=logax+1(a>0且a≠1)是对数函数. (　 ) (3)y=logx5是对数函数. (　 ) ◆ 知识点二　反函数 指数函数y=ax(a>0,且a≠1)和对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数. 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y=log3x的反函数是y=3x. (　 ) (2)y=2x与y=2log4x互为反函数. (　 ) ◆ 知识点三　对数函数y=log2x的图象和性质 函数 y=log2x 图象 性质 定义域 (0,+∞) 值域 R 单调性 在(0,+∞)上为　　　　函数  过定点 (1,0) 函数值 变化 当x>1时,　　　  当0<x<1时,　　　  【诊断分析】 1.画对数函数y=log2x的简图时,应抓住哪三个关键点? 2.函数y=log3x与函数y=log2x的性质一样吗? ◆ 探究点一　对数函数的概念及其应用　　　　　 　　　　　 　　　　　 例1 (1)(多选题)[2024·江西抚州金溪一中高一月考] 下列函数中是对数函数的是 (　 ) A.y=x B.y=log2(x+1) C.y=ln x D.y=lg x+1 (2)若函数y=log(a-1)x+(a2-2a-3)是对数函数,则a=　　　　.  变式 函数f(x)=(m2-1)logmx是以m为底的对数函数,则m的值是　　　　.  [素养小结] 判断一个解析式仅含对数符号“log”的函数是对数函数的方法 ◆ 探究点二　反函数 例2 求下列函数的反函数: (1)y=log3x;(2)y=4x. 变式 [2024·福建福州永泰一中高一月考] 已知函数f(x)=log5x,g(x)是f(x)的反函数,则f(1)+g(1)= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.10 B.8 C.5 D.2 [素养小结] 求函数反函数的一般步骤:①反解x;②交换x,y,然后验证此时y是否为关于x的函数;③注明定义域(原函数的值域). ◆ 探究点三　比较大小 例3 比较下列各组数的大小: (1)log2与log2; (2)log2(a2+1)与log2(2a). 变式 [2024·江西赣州南康中学高一月考] 已知a=,b=log2,c=lo,则 (　 ) A.a>b>c B.a>c>b C.c>b>a D.c>a>b [素养小结] 比较对数的大小,主要依据对数函数的单调性.底数相同时,应先弄清相应的对数函数及其单调性,再通过自变量的大小关系得到相应函数值的大小关系. 拓展 已知a=log23,b=log2,c=0.4-1.2,则(　 ) A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.c>b>a ◆ 探究点四　解与对数函数y=log2x有关的不等式或方程 例4 (1)不等式log2(x2-4)>3的解集为　　　　　　　　.  (2)方程log2(x+4)+log2(x-1)=1+log2(x+1)的解为　　　　.  变式 (1)函数f(x)=的定义域为 (　 ) A.[-2,0] B.(-2,0) C.(-2,0] D.(0,+∞) (2)满足2<log2(x+5)<3的x的取值集合为　　　　.  (3)方程log2(x-3)+log2(x+4)=3的解为　　　　.  [素养小结] 对于log2f(x)>log2g(x)的求解,常利用函数y=log2x的单调性,将不等式转化为f(x)>g(x)来求解,但一定要注意f(x)>0,g(x)>0的限制条件.对于方程log2f(x)=log2g(x)的求解,一般通过方程f(x)=g(x)来求解,同样方程的解要保证f(x)>0,g(x)>0. 学科网（北京）股份有限公司 $ §3　对数函数 3.1　对数函数的概念 3.2　对数函数y=log2x的图象和性质 【课前预习】 知识点一 1.底数　2.(1)(0,+∞)　(2)(1,0) 3.(1)y=lg x　(2)y=ln x 诊断分析 (1)×　(2)×　(3)× 知识点二 诊断分析 (1)√　(2)√ 知识点三 增　y>0　y<0 诊断分析 1.解:三个关键点是(2,1),(1,0),. 2.解:性质一样. 【课中探究】 探究点一 例1　(1)AC　(2)3　[解析] (1)根据对数函数的定义,可得y=x和y=ln x都是对数函数,y=log2(x+1)和y=lg x+1不是对数函数.故选AC. (2)若y=log(a-1)x+(a2-2a-3)是对数函数,则解得a=3. 变式　　[解析] 由函数f(x)=(m2-1)logmx是以m为底的对数函数,可得解得m=. 探究点二 例2　解:(1)∵对数函数y=log3x的底数是3,∴它的反函数是指数函数y=3x. (2)∵指数函数y=4x的底数是4,∴它的反函数是对数函数y=log4x(x>0). 变式　C　[解析] 因为函数f(x)=log5x,g(x)是f(x)的反函数,所以g(x)=5x,故f(1)+g(1)=log51+51=5.故选C. 探究点三 例3　解:(1)方法一:因为对数函数y=log2x在(0,+∞)上是增函数,且<,所以log2<log2. 方法二:因为log2<0,log2>0,所以log2<log2. (2)因为对数函数y=log2x在(0,+∞)上是增函数, 且a2+1-2a=(a-1)2≥0,即a2+1≥2a, 所以log2(a2+1)≥log2(2a). 变式　D　[解析] ∵y=2x在R上为增函数,y=log2x在(0,+∞)上为增函数,∴0<a=<20=1,b=log2<log21=0,c=lo=log23>log22=1,∴c>a>b.故选D. 拓展　C　[解析] ∵函数y=log2x在(0,+∞)上为增函数,∴b=log2<log23=a<log24=2,又c=0.4-1.2=>>2,∴c>a>b.故选C. 探究点四 例4　(1){x|x>2或x<-2}　(2)2　[解析] (1)由log2(x2-4)>3,得x2-4>23=8,所以x2-12>0,解得x>2或x<-2,故原不等式的解集为{x|x>2或x<-2}. (2)由已知可得则解得x=2,所以原方程的解为2. 变式　(1)C　(2){x|-1<x<3}　(3)4　[解析] (1)由题意可得解得-2<x≤0,所以函数f(x)的定义域为(-2,0],故选C. (2)由2<log2(x+5)<3,得log24<log2(x+5)<log28,∵函数y=log2x在(0,+∞)上是增函数,∴4<x+5<8,∴-1<x<3.故满足2<log2(x+5)<3的x的取值集合为{x|-1<x<3}. (3)由log2(x-3)+log2(x+4)=3,得log2(x2+x-12)=log28,∴x2+x-12=8,即x2+x-20=0,解得x=4或x=-5.当x=-5时,原方程无意义,舍去,∴方程log2(x-3)+log2(x+4)=3的解为4. 学科网（北京）股份有限公司 $