专题02对数的运算（高效培优讲义）数学北师大版2019必修第一册

专题02对数的运算 教学目标 1．理解对数的运算性质推导及换底公式的过程. 2．掌握对数的运算性质及应用 3．学会用对数换底公式进行化简求值等应用. 教学重难点 重点：（1）能推导出对数的换底公式 （2）会用对数换底公式进行化简与求值. 难点：理解对数的运算性质推导及应用. 知识点01 对数的运算性质（重点） 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，n∈R，那么 运算 数学表达式 自然语言描述 的对数 正因数积的对数等于同一底数的各因数的 对数的和 的对数 两个正数的商的对数等于同一底数的被除 数的对数减去除数的对数 的对数 (n∈R) 正数幂的对数等于幂指数乘同一底数的幂 的底数的对数 【记忆口诀】 (1)积的对数等于对数的和． (2)商的对数等于对数的差． (3)真数的幂指数可变积． 【即学即练】 1.lg 2＋lg 5＝________. 2.（24-25高一下·甘肃天水·期末）的值为 . 3.用表示； 知识点02 换底公式（重难） 1.换底公式 (1)一般形式：＝ (a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)； (2)常用形式：logab＝，logab＝. 2.换底公式的推论： (1)=1(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1)； (2) (a>0,且a≠1,b>0,且b≠1,c>0,且c≠1,d>0)； (3)(a>0,且a≠1,b>0,m≠0,n∈R). 【即学即练】 1. 计算：log1627log8132． 2．计算：log225·log34·log59＝________. 题型01　利用对数的运算性质计算或化简 【典例1】计算： (1); (2)lg14-2lg+lg7-lg18; (3); (4) 利用对数的运算性质计算或化简 即利用对数的运算性质对底数相同的对数式的化简和求值，具体策略有两种 ： (1)“收”，将同底的两数的和(差)收成积(商)的对数,即逆用对数的运算性质求解； (2)“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)，即正用对数的运算性质求解. 【变式1-1】（2026高三·河北石家庄·专题练习）计算：（   ） A．10 B．1 C．2 D． 【变式1-2】（25-26高三上·山东青岛·开学考试） ． 【变式1-3】（24-25高一上·全国·课后练习）求下列各式的值： （1）； （2）； （3）. 【变式1-4】（24-25高一上·新疆和田·期末）计算： 题型02　用已知对数表示其他对数式或指数式 【典例2-1】（24-25高一上·全国·阶段练习） 用表示下列各式： （1） ； （2）； （3）. 【典例2-2】 已知lg2=m,lg3=n,求的值. 用已知对数表示其他对数式或指数式 此类题型主要是已知一些指数值、对数值或其等量关系，利用这些条件来表示所要求的式子，解此类问题要能熟练掌握所学的有关对数及其运算性质的知识，有时还会用到整体思想． 【变式2-1】已知，则__________． 【变式2-2】（24-25高一上·湖北武汉·课堂练习）已知，求下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4）. 题型03　利用换底公式简单求值 【典例3】（24-25高一上·全国·课后练习）化简下列各式： （1）； （2）. 利用换底公式进行化简求值的原则和技巧 (1)原则：化异底为同底； (2)技巧：①技巧一：先利用对数运算法则及性质进行部分运算，最后再换成同底； ②技巧二：借助换底公式一次性统一换为常用对数（自然对数），再化简、通分、求值. 【变式3-1】（24-25高一上·江苏南京·课后练习）化简的值为（         ） A．1 B．2 C．4 D．6 【变式3-2】（24-25高一上·山东滨州·期末）式子（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式3-3】（25-26高三上·山东青岛·开学考试） 化简. 题型04 　换底公式之解含参数的求值问题 【典例4】（24-25高二下·山东日照·期末）若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高二下·山东德州·期末）已知，若，则（   ）换底公式之解含参数的求值问题 （1）用换底公式统一底数； （2）整理为关于参数的方程或不等式； （3）结合整体思想转化求解，同时要注意参数的取值限制. A． B． C． D．36 【变式4-2】已知，，则 【变式4-3】（24-25高一上·天津·阶段练习），则用和表示的结果为 【变式4-4】（24-25高二下·天津河北·期末）若正实数m，n，t满足，且，则 . 题型05　换底公式之用已知量表示 【典例5】已知，用表示为（   ） A． B． C． D． 换底公式之用已知量表示 此类题型主要是已知一些指数值、对数值或其等量关系，利用这些条件来表示所要求的式子，求解过程中注意用换底公式将所求式的底数转化为已知式的底数，再借助对数运算加以解决. 【变式5-1】（23-24高三上·福建福州·期中）设a，b，c都是正数，且，那么下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（多选）（24-25高一下·浙江湖州·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25高二下·山东青岛·期末）已知，若，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型06　利用换底公式证明恒等式 【典例6】（24-25高一上·全国·课后练习）证明： （1）； （2）. 利用换底公式证明恒等式 利用换底公式证明恒等式时，要注意从繁琐的一边证到另一边，在证明的过程中，往往借助换底公式化异为同，即将不同的底数的对数化为同底的对数（如自然对数，常用对数），借助对数运算转化到另一边. 【变式6】（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）已知：，求证：． . 题型07 解对数方程 【典例7】（24-25高三上·浙江·开学考试）方程的实数解有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 对数方程的类型及解法 名称 题型 解法 基本型 logaf(x)＝b 将对数式转化成指数式f(x)＝ab 同底型 logaf(x)＝logag(x) 转化成f(x)＝g(x)，需验根 需代换型 F(logax)＝0 换元，令t＝logax，转化成关于t 的方程 【变式7】（23-24高一上·甘肃武威·期末）已知，是方程的两根，则等于（   ） A． B． C． D． 题型08 　对数运算的实际应用 【典例8】（24-25高三上·北京·阶段练习）“学如逆水行舟，不进则退：心似平原跑马，易放难收”（明：《增广贤文》）是勉励人们专心学习的．假设初始值为，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率”都是，那么一年后是一年后“进步者”是“退步者”的倍．照此计算，大约经过（ ）天“进步者”是“退步者”的倍（参考数据：，，） A． B． C． D． 对数运算的实际应用求解策略 在日常实际生活中，经常会遇到一些指数或对数运算的问题.求解对数实际应用题时，一是要合理建立数学模型，寻找量与量之间的关系；二是要充分利用对数的运算性质以及两边取对数的方法计算求解. 【变式8-1】（24-25高三下·河北沧州·阶段练习）假定风力等级与风速的关系满足方程：（其中v为风速，单位：为风力等级），2025年4月12日，河北省气象部门发布大风预瞥，某地区风速达到，则该地区此次大风的风力等级约为（注：）（   ） A．2级 B．3级 C．4级 D．5级 【变式8-2】（24-25高三下·江苏南通·阶段练习）在可观测的宇宙中，平均大约有4000亿个星系，大约有颗恒星，平均而言，一颗恒星的重量约为克，这意味着宇宙的总质量约为克，每克物质含有大约个质子，如果我们假设所有的原子都是氢原子，因为氢原子只含有一个质子，那么氢原子的总数将达到．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，则下列数据中与最接近的是（参考数据：）（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（24-25高一上·四川达州·期末）声强级（单位：dB）公式，其中为声强（单位：），繁忙的交通道路声强约为，其声强级为（   ） A．60dB B．70dB C．80dB D．90dB 题型9　对数运算性质与换底公式综合应用 【典例9】（多选） （24-25高一上·广东汕头·期末）已知正数、、满足，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】求满足下列条件的各式的值： （1）若，求的值； （2）若，求的值. 【变式9-2】（21-22高一下·广西崇左·阶段练习）求满足下列条件的各式的值 (1)若，求的值； (2)设，求证：. 练基础 1．（24-25高一下·云南昆明·期末）（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（24-25高一上·全国·课后作业）（    ） A．1 B． C． D． 3．（24-25高一上·全国·课后作业）设有下列四个等式： ①；     ②；     ③；     ④． 其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 4．（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）已知，则用表示为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 6.（多选）．（24-25高二下·吉林长春·期末）下列表达式正确的是（   ） A． B． C． D． 7.（多选）（24-25高一上·全国·课前预习）（多选题）若且，，，则下列式子中正确的个数为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·山东潍坊·期末） . 9．（24-25高一下·陕西汉中·期末）已知，则 . 10．（24-25高一上·天津·阶段练习），则用和表示的结果为 11．（24-25高一上·全国·课前预习）求下列各式的值： (1)； (2)； (3). 12．（24-25高一上·全国·周测）（1）已知，求的值； （2）已知，求的值. 练提升 13．（24-25高三上·河南·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高一上·吉林长春·期中）若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 15．（多选）（24-25高一下·河北保定·阶段练习）下列各式正确的是（    ） A．（，） B． C．若，则 D． 16.（24-25高二下·辽宁·期末）若，且，则的最小值为 . 17．（24-25高一下·海南海口·期末）某科研团队研究某种放射性物质的衰减规律，发现剩余质量（单位：克）随时间（单位：天）的变化规律满足，其中为初始质量．若初始质量满足，则时，的值为 ． 18.（24-25高一下·贵州六盘水·期末）若函数在上的最大值是最小值的2倍，则 . 19.（24-25高一上·辽宁丹东·期末）已知. (1)求的值； (2)设，求证：. 20．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）设，且，利用对数的换底公式证明： (1)； (2)； (3)计算：若，求的值． 练创新 21．（24-25高一上·宁夏银川·阶段练习）关于的不等式的解集是，那么（    ） A．1 B．3 C．2 D． 22．（23-24高三上·河南·期中）里氏震级（M）是表示地震规模大小的标度，它是由观测点处地震仪所记录到的地震波最大振幅（A）与观测点所在地规模标准地震所应有的振幅（）比值的常用对数演算而来的，其计算公式为.2023年8月6日2时33分，山东省德州市平原县发生5.5级地震，29分钟后又发生3.0级地震，用A5.5和A3.0分别表示震级为5.5和3.0的地震波最大振幅，则（    ）（参考数据：） A．25 B．31.6 C．250 D．316 23．（24-25高一下·广西桂林·开学考试）已知实数m，n满足等式：，．下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 24．（23-24高一上·上海青浦·期中）已知为正实数， (1)若，求证:； (2)若，不等式，对任意实数均成立，求实数的取值范围. 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02对数的运算 教学目标 1．理解对数的运算性质推导及换底公式的过程. 2．掌握对数的运算性质及应用 3．学会用对数换底公式进行化简求值等应用. 教学重难点 重点：（1）能推导出对数的换底公式 （2）会用对数换底公式进行化简与求值. 难点：理解对数的运算性质推导及应用. 知识点01 对数的运算性质（重点） 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，n∈R，那么 运算 数学表达式 自然语言描述 积的对数 正因数积的对数等于同一底数的各因数的 对数的和 商的对数 两个正数的商的对数等于同一底数的被除 数的对数减去除数的对数 幂的对数 (n∈R) 正数幂的对数等于幂指数乘同一底数的幂 的底数的对数 【记忆口诀】 (1)积的对数等于对数的和． (2)商的对数等于对数的差． (3)真数的幂指数可变积． 【即学即练】 1.lg 2＋lg 5＝________. 【答案】1 【分析】根据对数的加法运算求解即可. 【详解】lg 2＋lg 5＝lg 10＝1． 2.（24-25高一下·甘肃天水·期末）的值为 . 【答案】4 【分析】根据对数的乘法运算求解即可. 【详解】. 3.用表示； 【分析】根据对数的乘法运算求解即可. 【详解】. 知识点02 换底公式（重难） 1.换底公式 (1)一般形式：＝ (a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)； (2)常用形式：logab＝，logab＝. 2.换底公式的推论： (1)=1(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1)； (2) (a>0,且a≠1,b>0,且b≠1,c>0,且c≠1,d>0)； (3)(a>0,且a≠1,b>0,m≠0,n∈R). 【即学即练】 1. 计算：log1627log8132． 【分析】 在两个式子中，底数、真数都不相同，因而要用换底公式进行换底以便于计算求值. 【详解】 log1627log8132＝·＝·＝·＝. 2．计算：log225·log34·log59＝________. 【答案】8 【分析】 在三个式子中，底数、真数都不相同，因而要用换底公式进行换底以便于计算求值. 【解析】log225·log34·log59= 题型01　利用对数的运算性质计算或化简 【典例1】计算： (1); (2)lg14-2lg+lg7-lg18; (3); (4) 【分析】(1)注意到,故可逆用对数运算性质将两个对数式“收”在一起;(2)思路1将大数化为较小数的乘方，分数的对数化为对数的差，即利用“拆”的策略；思路2，将其“收”为一个对数式;(2)用lg3表示分子分母或换成底数为3的对数再进行运算;(3)提取公因式，利用化简. 【解析】 (1)原式= . (2)解法一：原式=lg(2×7)-2(lg7-lg3)+lg7-lg(×2) =lg2+lg7-2lg7+2lg3+lg7-2lg3-lg2=0 解法二：原式=lg (3)原式= (4) 原式 = 利用对数的运算性质计算或化简 即利用对数的运算性质对底数相同的对数式的化简和求值，具体策略有两种 ： (1)“收”，将同底的两数的和(差)收成积(商)的对数,即逆用对数的运算性质求解； (2)“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)，即正用对数的运算性质求解. 【变式1-1】（2026高三·河北石家庄·专题练习）计算：（   ） A．10 B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】根据对数运算性质即可得到答案. 【详解】原式. 故选：B. 【变式1-2】（25-26高三上·山东青岛·开学考试） ． 【分析】利用对数运算将目标式转化为关于的表达式，然后展开整理即可. 【详解】 . 【变式1-3】（24-25高一上·全国·课后练习）求下列各式的值： （1）； （2）； （3）. 【详解】（1）； （2）； （3）. 【变式1-4】（24-25高一上·新疆和田·期末）计算： 【分析】根据对数的运算法则进行化简求解. 【详解】. 题型02　用已知对数表示其他对数式或指数式 【典例2-1】（24-25高一上·全国·阶段练习） 用表示下列各式： （1） ； （2）； （3）. 【详解】(1)； (1)； (3). 【典例2-2】 已知lg2=m,lg3=n,求的值. 【分析】 将对数式lg2=m,lg3=n分别转化为指数式. 【解析】∵lg2=m,lg3=n, ∴. ∴ 用已知对数表示其他对数式或指数式 此类题型主要是已知一些指数值、对数值或其等量关系，利用这些条件来表示所要求的式子，解此类问题要能熟练掌握所学的有关对数及其运算性质的知识，有时还会用到整体思想． 【变式2-1】已知，则__________． 【答案】 【解析】∵，∴，∴． 【变式2-2】（24-25高一上·湖北武汉·课堂练习）已知，求下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4）. 【详解】， （1）. （2） （3）. （4）. 题型03　利用换底公式简单求值 【典例3】（24-25高一上·全国·课后练习）化简下列各式： （1）； （2）. 【详解】（1）根据对数的运算性质,结合换底公式,展开化简可得 （2）根据对数的运算性质,化简可得 利用换底公式进行化简求值的原则和技巧 (1)原则：化异底为同底； (2)技巧：①技巧一：先利用对数运算法则及性质进行部分运算，最后再换成同底； ②技巧二：借助换底公式一次性统一换为常用对数（自然对数），再化简、通分、求值. 【变式3-1】（24-25高一上·江苏南京·课后练习）化简的值为（         ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】根据对数的性质可求代数式的值. 【详解】原式 ， 故选：B. 【变式3-2】（24-25高一上·山东滨州·期末）式子（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用对数运算法则及换底公式计算即得. 【详解】 . 故选：C. 【变式3-3】（25-26高三上·山东青岛·开学考试） 化简. 【详解】 题型04 　换底公式之解含参数的求值问题 【典例4】（24-25高二下·山东日照·期末）若，，则（    ） A． B． C． D． 【分析】先根据指数式和对数式互换得出；再根据对数的运算法则及换底公式可求解. 【详解】由可得：. 则 . 【变式4-1】（24-25高二下·山东德州·期末）已知，若，则（   ）换底公式之解含参数的求值问题 （1）用换底公式统一底数； （2）整理为关于参数的方程或不等式； （3）结合整体思想转化求解，同时要注意参数的取值限制. A． B． C． D．36 【答案】B 【分析】利用指数、对数运算法则计算即可得出结果. 【详解】由可得, 由可得； 所以. 故选：B 【变式4-2】已知，，则 【答案】-1 【详解】由题设，， 根据换底公式，则. 故答案为： 【变式4-3】（24-25高一上·天津·阶段练习），则用和表示的结果为 【答案】 【分析】根据给定条件，利用指数式与对数式互化关系、对数的换底公式及对数运算法则求解. 【详解】由，得，而， 所以. 【变式4-4】（24-25高二下·天津河北·期末）若正实数m，n，t满足，且，则 . 【答案】 【分析】根据对数和指数的互化方法，求出参数的表达式，根据换底公式列出方程，根据对数运算公式，求出参数值. 【详解】已知，则， 根据换底公式可得，则， 变形得，解得. 题型05　换底公式之用已知量表示 【典例5】已知，用表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得， 所以 故选：B. 换底公式之用已知量表示 此类题型主要是已知一些指数值、对数值或其等量关系，利用这些条件来表示所要求的式子，求解过程中注意用换底公式将所求式的底数转化为已知式的底数，再借助对数运算加以解决. 【变式5-1】（23-24高三上·福建福州·期中）设a，b，c都是正数，且，那么下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据指对互化，利用对数表示，再结合对数运算判断选项. 【详解】由，得，，， ，，，则， 根据可知. 故选：C 【变式5-2】（多选）（24-25高一下·浙江湖州·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】应用指对数互化、对数运算法则、换底公式及对数函数的性质分别判断各个选项即可. 【详解】对于A，，所以，故A不正确； 对于B，由，得，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：BCD. 【变式5-3】（24-25高二下·山东青岛·期末）已知，若，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用对数运算，结合因式分解，通过分析可得，然后再利用基本不等式可求得最小值. 【详解】由题意得：， 所以或，即或， 因为，所以， 即， 取等号条件为，此时， 故选: D 题型06　利用换底公式证明恒等式 【典例6】（24-25高一上·全国·课后练习）证明： （1）； （2）. 【详解】证明：（1）. 故. （2）， 利用换底公式证明恒等式 利用换底公式证明恒等式时，要注意从繁琐的一边证到另一边，在证明的过程中，往往借助换底公式化异为同，即将不同的底数的对数化为同底的对数（如自然对数，常用对数），借助对数运算转化到另一边. 【变式6】（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）已知：，求证：． 【分析】将指数式化为对数式，再结合对数运算以及换底公式运算分析证明. 【详解】设，显然， 则，可得， 所以. 题型07 解对数方程 【典例7】（24-25高三上·浙江·开学考试）方程的实数解有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】由换底公式变形解对数方程即可. 【详解】，所以或， 所以或， 所以方程的实数解有2个. 故选：C. 对数方程的类型及解法 名称 题型 解法 基本型 logaf(x)＝b 将对数式转化成指数式f(x)＝ab 同底型 logaf(x)＝logag(x) 转化成f(x)＝g(x)，需验根 需代换型 F(logax)＝0 换元，令t＝logax，转化成关于t 的方程 【变式7】（23-24高一上·甘肃武威·期末）已知，是方程的两根，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据根与系数关系、对数运算求得正确答案. 【详解】方程的判别式， 则， 所以. 故选：D 题型08 　对数运算的实际应用 【典例8】（24-25高三上·北京·阶段练习）“学如逆水行舟，不进则退：心似平原跑马，易放难收”（明：《增广贤文》）是勉励人们专心学习的．假设初始值为，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率”都是，那么一年后是一年后“进步者”是“退步者”的倍．照此计算，大约经过（ ）天“进步者”是“退步者”的倍（参考数据：，，） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知可列方程，结合指对数的转化公式化简求值. 【详解】设经过天“进步者”是“退步者”的倍， 即， 即， 化简可得， 故选：A. 对数运算的实际应用求解策略 在日常实际生活中，经常会遇到一些指数或对数运算的问题.求解对数实际应用题时，一是要合理建立数学模型，寻找量与量之间的关系；二是要充分利用对数的运算性质以及两边取对数的方法计算求解. 【变式8-1】（24-25高三下·河北沧州·阶段练习）假定风力等级与风速的关系满足方程：（其中v为风速，单位：为风力等级），2025年4月12日，河北省气象部门发布大风预瞥，某地区风速达到，则该地区此次大风的风力等级约为（注：）（   ） A．2级 B．3级 C．4级 D．5级 【答案】D 【分析】代入,根据指对互化即可求解. 【详解】将代入公式得， 所以，即该地区此次大风的风力等级约为5级， 故选:D． 【变式8-2】（24-25高三下·江苏南通·阶段练习）在可观测的宇宙中，平均大约有4000亿个星系，大约有颗恒星，平均而言，一颗恒星的重量约为克，这意味着宇宙的总质量约为克，每克物质含有大约个质子，如果我们假设所有的原子都是氢原子，因为氢原子只含有一个质子，那么氢原子的总数将达到．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，则下列数据中与最接近的是（参考数据：）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题设条件结合对数运算性质计算即可求解. 【详解】由题得， 所以，所以与最接近的是. 故选：C 【变式8-3】（24-25高一上·四川达州·期末）声强级（单位：dB）公式，其中为声强（单位：），繁忙的交通道路声强约为，其声强级为（   ） A．60dB B．70dB C．80dB D．90dB 【答案】B 【分析】利用给定的模型，代入计算即得答案. 【详解】在中，当时，， 所以所求声强级为70dB. 故选：B 题型9　对数运算性质与换底公式综合应用 【典例9】（多选） （24-25高一上·广东汕头·期末）已知正数、、满足，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】令，可得，，， ，故A正确； ，故B正确； ，，所以，得， 又，所以，得，所以，，故C不正确； ，故D正确； 故选：ABD 【变式9-1】求满足下列条件的各式的值： （1）若，求的值； （2）若，求的值. 【详解】解：（1）， ； （2），. 【点睛】本题考查对数恒等式的应用（且），属于基础题. 【变式9-2】（21-22高一下·广西崇左·阶段练习）求满足下列条件的各式的值 (1)若，求的值； (2)设，求证：. 【详解】（1）， ， ， （2）证明：设， 则，，. 所以，，. 所以， 所以. 练基础 1．（24-25高一下·云南昆明·期末）（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据指对数运算即可得到答案. 【详解】. 故选：C. 2．（24-25高一上·全国·课后作业）（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数的运算法则计算. 【详解】. 故选：A. 3．（24-25高一上·全国·课后作业）设有下列四个等式： ①；     ②；     ③；     ④． 其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【答案】C 【分析】根据对数的运算性质逐一计算即可. 【详解】对于①，，①错误； 对于②，，②正确； 对于③，，③正确； 对于④，，④错误． 故选：C. 4．（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）已知，则用表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数的运算律，可得答案. 【详解】因为，所以. 故选：A. 5．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数的运算性质即可求解. 【详解】. 故选：B 6.（多选）．（24-25高二下·吉林长春·期末）下列表达式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由根式、有理数指数幂的运算判断A、B；由对数的运算性质判断C、D. 【详解】A：若时，，错； B：，对； C：，对； D：，对. 故选：BCD 7.（多选）（24-25高一上·全国·课前预习）（多选题）若且，，，则下列式子中正确的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用对数的运算法则判断A，D，举反例判断B，C即可. 【详解】对于A，由对数的运算法则得，故A正确， 对于B，取，，，则， ，等式不恒成立，故B错误， 对于C，取，，则， ，等式不恒成立，故C错误， 对于D，由对数的运算法则得，故D正确. 故选：AD 8．（24-25高一上·山东潍坊·期末） . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用指数、对数运算胶对数换底公式计算得解. 【详解】. 9．（24-25高一下·陕西汉中·期末）已知，则 . 【答案】1 【分析】利用对数的运算即可求解. 【详解】由，则. 故答案为：1. 10．（24-25高一上·天津·阶段练习），则用和表示的结果为 【答案】 【分析】根据给定条件，利用指数式与对数式互化关系、对数的换底公式及对数运算法则求解. 【详解】由，得，而， 所以. 11．（24-25高一上·全国·课前预习）求下列各式的值： (1)； (2)； (3). 【分析】（1）（2）（3）利用对数的运算性质结合换底公式求解即可. 【详解】（1）原式 . （2）原式 . （3）分子 ； 分母 ，故原式. 12．（24-25高一上·全国·周测）（1）已知，求的值； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）1 【分析】（1）（2）根据对数运算的概念以及运算律，可得答案. 【详解】（1）由已知，，所以. （2）因为，所以，解得， 由，解得， 所以. 练提升 13．（24-25高三上·河南·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指对数互化、对数的运算性质和换底公式计算找到关系式； 【详解】因为，所以， ，故. 故选：A. 14．（24-25高一上·吉林长春·期中）若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对数运算可得，利用基本不等式可求的最小值. 【详解】由，可得，所以，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故选：C. 15．（多选）（24-25高一下·河北保定·阶段练习）下列各式正确的是（    ） A．（，） B． C．若，则 D． 【答案】BC 【分析】利用指数幂的运算判断A；利用对数的运算判断B；利用指数与对数的互化判断C；利用换底公式判断D. 【详解】，A错误； ，B正确； 若，则，所以，C正确； ，错误， 故选：BC. 16.（24-25高二下·辽宁·期末）若，且，则的最小值为 . 【答案】81 【分析】利用基本不等式及对数的运算法则,最后借助对数函数的单调性即可求解. 【详解】，，， ， 当且仅当即时等号成立， 又，， ，则的最小值为. 17．（24-25高一下·海南海口·期末）某科研团队研究某种放射性物质的衰减规律，发现剩余质量（单位：克）随时间（单位：天）的变化规律满足，其中为初始质量．若初始质量满足，则时，的值为 ． 【答案】 【分析】由题意可得，再结合对数的运算即可求解. 【详解】由题意可得当时，， 所以. 18.（24-25高一下·贵州六盘水·期末）若函数在上的最大值是最小值的2倍，则 . 【答案】5 【分析】根据对数函数的单调性，可求得，再结合对数运算即可求解. 【详解】因为，所以函数在单调递增， 所以其最小值为，最大值为， 因为最大值是最小值的2倍，所以，解得或（舍）， 因此， 则. 19.（24-25高一上·辽宁丹东·期末）已知. (1)求的值； (2)设，求证：. 【分析】（1）将两边取对数化简即可得解； （2）由(1)解得，代入计算即可得解. 【详解】解：（1）将两边同取对数得，，则，所以. （2）由，得，. 所以，， 则，故. 20．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）设，且，利用对数的换底公式证明： (1)； (2)； (3)计算：若，求的值． 【分析】（1）直接利用换底公式即可证明结果； （2）直接利用换底公式即可证明结果； （3）根据条件，利用换底公式得到，即可求出结果. 【详解】（1）因为，所以命题得证. （2）因为，所以命题得证. （3）因为，所以， 故，即的值为. 练创新 21．（24-25高一上·宁夏银川·阶段练习）关于的不等式的解集是，那么（    ） A．1 B．3 C．2 D． 【答案】C 【分析】根据不等式的解集结合韦达定理即可求得的值. 【详解】因为关于的不等式的解集是， 则的两根为，由韦达定理可知，， 又，解得，所以. 故选：C 22．（23-24高三上·河南·期中）里氏震级（M）是表示地震规模大小的标度，它是由观测点处地震仪所记录到的地震波最大振幅（A）与观测点所在地规模标准地震所应有的振幅（）比值的常用对数演算而来的，其计算公式为.2023年8月6日2时33分，山东省德州市平原县发生5.5级地震，29分钟后又发生3.0级地震，用A5.5和A3.0分别表示震级为5.5和3.0的地震波最大振幅，则（    ）（参考数据：） A．25 B．31.6 C．250 D．316 【分析】结合题意，利用对指数互化与指数运算进行计算即可得解． 【详解】由题意得，，， 从而，， 因此． 故选：D． 23．（24-25高一下·广西桂林·开学考试）已知实数m，n满足等式：，．下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】构造函数，结合单调性即可求解. 【详解】因为，即， 得，而化简得， 即， 构造函数， 由于在都为增函数， 所以在为单调递增函数， 又知，所以， 解得，，所以，. 故选：BD. 24．（23-24高一上·上海青浦·期中）已知为正实数， (1)若，求证:； (2)若，不等式，对任意实数均成立，求实数的取值范围. 【分析】（1）取对数表示，利用换底公式及对数运算法则证明即可； （2）利用均值不等式求出的最小值，解不等式即可求解. 【详解】（1）令且， 则，，， 所以， ， 故成立. （2）由（1）知，，即， 所以， 当且仅当时，即时等号成立， 由恒成立知，成立， 即，解得. 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$