辽宁省辽西部分重点高中2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试题

2026-2027学年度高中同步月考测试卷 高三数学 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】等价于，解得， 所以集合， 又， 所以． 2．已知复数满足，则的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得， 则，所以的虚部是. 3．若向量与同向，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据平面向量共线的坐标运算求得的可能取值，再结合向量同向的性质即可求解. 【详解】因为向量与同向，故，解得或， 当时，，，此时，两向量方向相反， 当时，，，此时，两向量方向相同，故. 4．已知，，，，则，，的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数与绝对值的性质化简，再由指数函数、对数函数和幂函数的单调性比较大小即可． 【详解】由题意可得， 因为函数在上单调递增，故， 所以， 又因为，且在上单调递增， 所以，即，故． 5．已知，是椭圆的左、右焦点，为上一点，且，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正弦定理和椭圆定义可得，求出答案 【详解】设． 在中，由三角形内角和得． 由正弦定理得，即． 由椭圆定义得，即，所以． 其中， ， 椭圆离心率，得． 6．已知圆，若直线上至少存在一点，使得圆上恰有两个点与点的距离都为2，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得到以为圆心，以为半径的圆与圆相交，进而得到，转化为圆的圆心到直线的距离小于列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】因为圆上恰有两个点与点的距离都为2， 所以以为圆心，以为半径的圆与圆相交， 因为圆的圆心为，半径为， 所以，即， 所以直线上至少存在一点使得， 所以点到直线的距离小于， 即，解得， 所以的取值范围是. 7．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正切的和差角公式化简得，进而根据正弦的差角公式以及二倍角公式，结合齐次式即可弦切互化求解. 【详解】由可得， 即，解得， . 8．已知正三棱台 的侧面与底面的夹角为 ， ，且正三棱台 的 个顶点均在球 的球面上，则球 的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由正三棱台的边角关系求出上下底面半径及高，再假设球心位置，利用球心到各顶点距离相等建立方程，解出半径后求表面积. 【详解】设正三棱台上下底面中心分别为 、，下底面边长 ，上底面边长 . 上下底面的外接圆半径分别为， ； 内切圆半径分别为， . 侧面与底面夹角为，该二面角在垂直于底边的截面中， 斜高 满足. 棱台高. ①若 在 和 之间，设 到 距离为 （），则到 距离为 . 由球心到上下底面顶点距离相等，可得， 代入 ，得，矛盾. ②若在 和 下方，如图. 设 ，则球心到上底面中心距离为 . 由球心到上下底面顶点距离相等可得， 化简得， 因此，可得球的表面积. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知一组数据，，…，的平均数为5，方差为4.令.则下列结论正确的是（    ） A．数据，，…，的平均数为11 B．数据，，…，的方差为16 C．在原数据中增加一个数据4，所得11个数据的平均数仍为5 D．将原数据中的每个数都增加3，所得数据的方差仍为4 【答案】ABD 【分析】根据平均数及方差的性质计算判断AB，根据平均数计算公式计算判断C，根据方差计算公式计算判断D. 【详解】对于A，，，A正确. 对于B，，，B正确. 对于C，由，得. 所以新数据平均数，C错误. 对于D，每个数都增加3后，数据为，，…，， 平均数为， 所以方差为 ，D正确. 10．已知数列的首项，前项和为，且，则（   ） A． B．是等差数列 C．是递减数列 D． 【答案】ACD 【分析】首先代入递推公式求，判断A，利用构造法，判断B，再求数列的通项公式判断C，再利用放缩法求和，判断D. 【详解】A.，故A正确； B.由可知，，则， 而，故 即，且， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，故B错误； C.由B可知，，则，数列是正项单调递增数列， 所以数列是递减数列，故C正确； D.当时，， 所以时，，即， 所以， ， 所以，故D正确. 故选：ACD 11．已知如图是函数的部分图象，则（     ） A． B．在上单调递增 C．的图象关于中心对称 D．的图象向左平移个单位长度后为偶函数 【答案】ABD 【分析】对于A，根据题图有，进而求出的值即可判断；再根据题图有和，从而求出的值，进而得到的解析式．对于B，根据余弦函数的单调性即可判断；对于C，根据余弦函数的对称性即可判断；对于D，根据函数平移及余弦函数的奇偶性即可判断． 【详解】对于A，由题图可得，即，又，得，故A正确； 又，即，得，得， 又，且，即，即，得，所以． 对于B，由，得，所以函数在上单调递增，故B正确； 对于C，由，所以不是函数的对称中心，故C错误； 对于D，将向左平移个单位长度后，得，则为偶函数，故D正确． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．将的展开式中的三项改为各自的相反数，其余项不变．若所得多项式在时的值为0，则不同的修改方案共有______种．（修改不同次数的项视为不同方案．） 【答案】 【详解】， 展开式各项系数依次为，共项， 当时，原式的值为， 设选中修改的三项系数之和为，将这三项改为相反数后，代入， 新多项式的值为， 由题意得，，解得， 问题转化为：从系数中选取个系数，使其和为， 只有满足条件， 系数为的项有项，系数为的项有项，系数为的项有项， 选取方案数为. 13．记 为钝角三角形，其内角 的对边分别为 ，已知 ，则 _____． 【答案】 【分析】先化简已知三角恒等式，结合三角形内角和性质求出的值，再分情况利用余弦定理求解，最后结合钝角三角形的条件舍去不符合的解。 【详解】因为 为钝角三角形，， ，因为， 则 ，因为，则， 则，因为，由正弦定理可得， 则，即，因为，所以或， 当时，，由余弦定理可得， 解得，此时，为最大值，由余弦定理可得， 即，为直角三角形，不符合题意，舍去； 当时，，由余弦定理可得， 解得，此时为钝角，符合题意. 14．已知为双曲线的上焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点．若（为坐标原点），则的面积为______． 【答案】 【分析】设设圆与轴交于点两点，利用双曲线的性质可知焦点到渐近线的距离为，由垂径定理可知，再结合圆的切割定理可知 即,求解出，再代入双曲线方程中利用圆的性质求的面积. 【详解】双曲线的渐近线方程为即， 设，则，点到渐近线的距离为， 所以，由于，所以点位于轴上方， 如图所示，设圆与轴交于点两点，根据圆的切割定理可知， 即, 即 又， 所以，故，解得（负值舍去）， 所以双曲线方程为，，. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15．在中，角，，所对的边分别为，，，是的面积，且满足． (1)证明：； (2)若，求的最大值． 【答案】(1)因为，所以， 由，所以，可得， 由余弦定理可得，即. 由正弦定理得，即， 所以， 即. 因为，所以，即. (2)3 【分析】（1）先利用三角形面积公式代入条件约去得到边的关系式，再结合余弦定理、正弦定理以及三角恒等变换化简，最后由正弦相等结合三角形内角范围推出； （2）利用第（1）问结论，先用内角和把表示为，借助正弦定理将统一为的表达式，确定范围后，把目标式转化为关于的二次函数，进而求最大值. 【详解】（1）略 （2）由得，，由正弦定理得， 即， ，又因为，得， 所以，所以， 当时，取得最大值. 16．如图，在四棱锥中，平面，，，，为的中点． (1)证明：平面，且． (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明：因为平面PAB，平面PAB，所以． 又，E为PB的中点，所以． 因为，所以平面ADE．因为平面ADE，所以． 又E为PB的中点．所以． (2) 【分析】（1）先由线面垂直的性质推出线线垂直，再通过线面垂直判定定理证明线面垂直；最后由线段垂直平分线的性质得出； （2）以点为原点建立空间直角坐标系，用空间向量法计算两平面夹角余弦值即可求解. 【详解】（1）略 （2）以为坐标原点，，所在直线分别为轴，轴，过点垂直于平面的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，，． 由（1）知平面ADE，所以平面ADE的一个法向量为． 设平面ACE的法向量为，因为，． 所以令，得． 设平面ADE与平面ACE的夹角为， 则， 即平面ADE与平面ACE夹角的余弦值为． 17．某普洱茶厂有甲、乙两个车间生产同一种茶饼，甲车间产量占总产量的，乙车间占，甲车间产品渥堆发酵不合格率为，乙车间为． (1)从该厂生产的茶饼中随机抽取1饼，若已知抽到的茶饼渥堆发酵不合格，求它由乙车间生产的概率； (2)质检员另取5饼茶，已知其中3饼合格、2饼不合格，外观无法区分，将其逐一、不放回地盲测，当2饼不合格茶饼均被测出时停止，记实际检测次数为，求的分布列、数学期望． 【答案】(1) (2)的分布列为： 2 3 4 5 数学期望 【分析】（1）先通过全概率公式计算抽中不合格茶饼的总概率，再利用条件概率公式求解不合格茶饼来自乙车间的概率； （2）确定的所有可能取值，结合古典概型计算各取值对应的概率，得到分布列后计算数学期望． 【详解】（1）解：设事件为“抽到的茶饼由甲车间生产”，事件为“抽到的茶饼由乙车间生产”，事件为“抽到的茶饼不合格”． 由题意得：， 根据全概率公式：， 根据条件概率公式：， 则所求概率为． （2）解：由题意，的所有可能取值为． 将2个不合格茶饼的检测位置视为从5个位置中任选2个，共种等可能的结果， 当时，两个不合格茶饼位于第1、2位，共1种情况，故； 当时，第3位为不合格茶饼，前2位恰好有1个不合格茶饼，共种情况，故； 当时，第4位为不合格茶饼，前3位恰好有1个不合格茶饼，共种情况，故； 当时，第5位为不合格茶饼，前4位恰好有1个不合格茶饼，共种情况，故． 的分布列为： 2 3 4 5 数学期望． 18．在平面直角坐标系中，已知曲线和双曲线． (1)设两个定点，，动点M在曲线上，且点M在第一象限．证明：为定值； (2)双曲线上有两个点，，并且．求的值； (3)设双曲线上关于原点对称的两点分别为和，以为圆心，为半径的圆与双曲线交于另外三点B，C，D．证明：为等边三角形． 【答案】(1)方法一：由题可设， 则， 同理可得：， ，，则， ，即为定值. 方法二：设点， 因为，当且仅当时等号成立 所以 方法三：设点， 所以，即 因为，当且仅当时等号成立． 所以， 即，所以． 方法四：如图， 作垂直轴于点垂直轴于点，则， 将绕原点顺时针旋转后，点,,对应点， 其中在直线上，在直线上，设点， 则， 所以可得在双曲线上，实轴长为又其左右焦点分别对应， 所以． 方法五：将绕原点顺时针旋转， 对应 所以 又在上，即 所以，下同方法四. (2)； (3)将双曲线绕原点逆时针旋转可得曲线， 如下图设， 联立得， 对比系数可得 过点作的垂线，交于点， 因为， 同理可得， 因为， 所以， 所以，即为的垂心， 根据和可得，即与重合， 即的垂心与外心重合，所以为等边三角形. 【分析】（1）方法一：利用两点间的距离公式将表示出来，化简即可得证；方法二：设点，再代入计算，最后去掉绝对值即可；方法三：设点，再代入因式分解得，则得到其为定值；方法四：利用反比例函数进行旋转，再利用矩形面积不变即可得到答案；方法五：旋转反比例函数得到，再计算得即可； （2）方法一：设直线，根据两角差的正切公式得到，再计算出即可；方法二：利用参数方程法设，再计算得，从而得到其为定值；方法三：将双曲线绕原点逆时针旋转得到，再利用参数方程法即可得到答案；方法四：利用极坐标法，得到，，代入化简可求解. （3）将双曲线绕原点逆时针旋转可得曲线，再合理设点，利用交点式进行待定系数，从而得到，再作出合理辅助线，得到相关斜率的乘积关系即可. 【详解】（1）略； （2）方法一：如图设直线，其倾斜角为，直线，其倾斜角为， 可得， 联立解得， 将代入化简可得 同理可得， 所以． 方法二：如上图设， 则代入可得 ， 从而． 方法三：将双曲线绕原点逆时针旋转可得曲线， 如上设，则代入可得 ，从而 方法四：由极坐标法，设，代入双曲线得： 解得. 设点对应的极角为，则， ，则, . （3）略； 19．如果函数与的图象在处有公共点，且，则称的图象与的图象在处相切，其中称为与的“点”． (1)若与有“点”，求的值； (2)证明：对任意的，，与的“点”个数最多为1； (3)若的图象与的图象相切，且存在实数，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)证明：设是与的“点”， 由，得，     又，， 由，得，， 若，则，矛盾，所以， 把代入， 得，设，     假设，是与的两个不同的“点”， 则，是方程的2个不同实根， 所以，，且， 于是，     因为，所以， 所以，方程的判别式，与矛盾， 所以对于任意的，，与的“点”个数最多为1． (3) 【分析】（1）求导，由导数相等求出切点横坐标，再代入函数，求出的值； （2）利用反证法，假设存在两个不同点，联立条件消参，结合韦达定理推出矛盾； （3）联立相切条件解出参数，求函数的单调性与最小值，得到值域，根据存在实数，使得解不等式，求出的取值范围. 【详解】（1）解：与有“点”，即直线与的图象相切， 因为，令，得，，     所以切点坐标为，     代入，得． （2）略 （3）解：因为，， 所以，． 若的图象与的图象相切，设“点”为， 则即     因为不满足方程，所以，，     代入，得， 所以问题转化为关于的方程有实根，     若，代入得，矛盾，所以，     所以，整理得， 所以，， 代入，得，所以．     所以，， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 由，且时，， 可得的值域是．     若存在实数，使得，则，所以， 所以的取值范围是． 第4页，共4页 第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度高中同步月考测试卷 高三数学 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 2．已知复数满足，则的虚部是（    ） A． B． C． D． 3．若向量与同向，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，，，，则，，的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 5．已知，是椭圆的左、右焦点，为上一点，且，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．已知圆，若直线上至少存在一点，使得圆上恰有两个点与点的距离都为2，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7．已知，则（   ） A． B． C． D． 8．已知正三棱台 的侧面与底面的夹角为 ， ，且正三棱台 的 个顶点均在球 的球面上，则球 的表面积为（    ） A． B． C． D． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知一组数据，，…，的平均数为5，方差为4.令.则下列结论正确的是（    ） A．数据，，…，的平均数为11 B．数据，，…，的方差为16 C．在原数据中增加一个数据4，所得11个数据的平均数仍为5 D．将原数据中的每个数都增加3，所得数据的方差仍为4 10．已知数列的首项，前项和为，且，则（   ） A． B．是等差数列 C．是递减数列 D． 11．已知如图是函数的部分图象，则（     ） A． B．在上单调递增 C．的图象关于中心对称 D．的图象向左平移个单位长度后为偶函数 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．将的展开式中的三项改为各自的相反数，其余项不变．若所得多项式在时的值为0，则不同的修改方案共有______种．（修改不同次数的项视为不同方案．） 13．记 为钝角三角形，其内角 的对边分别为 ，已知 ，则 _____． 14．已知为双曲线的上焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点．若（为坐标原点），则的面积为______． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15．在中，角，，所对的边分别为，，，是的面积，且满足． (1)证明：； (2)若，求的最大值． 16．如图，在四棱锥中，平面，，，，为的中点． (1)证明：平面，且． (2)求平面与平面夹角的余弦值． 17．某普洱茶厂有甲、乙两个车间生产同一种茶饼，甲车间产量占总产量的，乙车间占，甲车间产品渥堆发酵不合格率为，乙车间为． (1)从该厂生产的茶饼中随机抽取1饼，若已知抽到的茶饼渥堆发酵不合格，求它由乙车间生产的概率； (2)质检员另取5饼茶，已知其中3饼合格、2饼不合格，外观无法区分，将其逐一、不放回地盲测，当2饼不合格茶饼均被测出时停止，记实际检测次数为，求的分布列、数学期望． 18．在平面直角坐标系中，已知曲线和双曲线． (1)设两个定点，，动点M在曲线上，且点M在第一象限．证明：为定值； (2)双曲线上有两个点，，并且．求的值； (3)设双曲线上关于原点对称的两点分别为和，以为圆心，为半径的圆与双曲线交于另外三点B，C，D．证明：为等边三角形． 19．如果函数与的图象在处有公共点，且，则称的图象与的图象在处相切，其中称为与的“点”． (1)若与有“点”，求的值； (2)证明：对任意的，，与的“点”个数最多为1； (3)若的图象与的图象相切，且存在实数，使得，求实数的取值范围． 第4页，共4页 第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $