辽宁锦州市某校2026-2027学年高三上学期第二次自主考试数学试卷

高三第二次自主考试 数学试题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D A C C A B B AD BCD 题号 11 答案 ABC 1．C【详解】由题集合，因为，，得. 所以. 2．D 【详解】选项A：函数，则，解得且，所以函数的定义域是，故A错误. 选项B：函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不同，所以两个函数不是同一个函数，故B错误. 选项C：函数，因为，所以，解得，所以函数的值域为，故C错误.选项D：由题意可知，定义在上的函数满足①， 用替换得，②， 对于①两边分别乘以2得③， 然后②+③得，所以，故D正确. 3．A 【详解】是方程的两根， 根据韦达定理，所以 4．C 【详解】化简已知：，分子分母分别用诱导公式化简： ，，，， 原式：，分子分母同除以：， 代入，. 5．C 【详解】对于A，函数的定义域为，关于原点对称． 分子为奇函数，分母为奇函数，所以A中的函数为偶函数． 取，有且，从而，而题图在附近位于轴上方，故A错误； 对于B，函数的定义域为，关于原点对称． 分子为偶函数，分母为奇函数，所以B中的函数为奇函数，图象不关于轴对称，故B错误； 对于C，函数的定义域为，关于原点对称． 分子为偶函数，分母为偶函数，所以C中的函数为偶函数． 取，有且，从而，与题图在附近的形状相符，故C正确； 对于D，函数的定义域为，关于原点对称． 分子为奇函数，分母为偶函数，所以D中的函数为奇函数，图象不关于轴对称，故D错误． 6．A 【详解】根据题意的定义域为，①，当时，有，即， 所以满足 ，则 为偶函数，又因为 ，恒成立， 所以 在 单调递增，在 单调递减，因为为偶函数，则， 而，所以， 根据指数函数的性质得出 ，所以， 所以.故选：A 7．B 【详解】不等式，因为，两边除以，得出. 设，求导：. 由条件，又，所以，在R上单调递增. 是偶函数：，说明函数的图像关于直线对称. ，令，得，已知，， 因为单调递增，所以时，，故不等式解集为. 8．B 【详解】对，，故函数的定义域为， ， 因此函数是奇函数，对，， 所以函数在上单调递增，对，不等式恒成立， 即，由于单调递增，所以对任意恒成立， 因为，所以对任意恒成立，所以， 设函数，则， 所以当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 因此在时取最小值，， 要使对恒成立，等价于恒成立， 设，，则， 则当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取最大值，所以，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当，时等号成立. 9．AD 【详解】 选项A：令得，代入函数得，因此图象恒过定点，A正确； 选项B：幂函数的系数必须为1，故，得，此时函数为，定义域为，定义域关于原点对称，设， 则，故是偶函数，B错误； 选项C：将函数变形为，令，因为对勾函数在上单调递增，因此时取最小值为，C错误； 选项D：分段函数在上单调递增需满足两个条件：①二次函数在上单调递增，其开口向下，对称轴为，故即；②左段在处的函数值不大于右段在处的极限值，即，解得，综上得，D正确. 10．BCD 【详解】对于A，因为，， 所以， 当且仅当，即时，取等号，故A错误； 对于B，，当且仅当时取等号，故B正确； 对于C，由，，得，则， 所以，当，时取等号，故C正确； 对于D，由，， 得，当且仅当，即时取等号，故D正确. 11．ABC 【详解】因为， 所以，即，解得，因为，所以， 则是首项为，公比为3的等比数列，故A正确； 因为，所以，即， 所以数列为首项为2，公差为0的等差数列，故B正确； 当时， ， 又符合，所以，故C正确；已知， 则，故D错误． 12． 【详解】因为，故原式 ． 13． 【详解】已知θ为第二象限角，，得： 故，，故 则原点到点P的距离，故. 14．4052 【详解】函数，令， 其定义域为，又，所以为奇函数， 又在为单调增函数，在为单调增函数， 所以在单调递增， 又在为单调增函数，所以在上为单调增函数， 因为为上的奇函数，所以在上为单调增函数， 因为，，所以， ，则，即； 所以． 15【详解】（1）设等比数列的公比为q. 因为，，成等差数列， 所以 --------------------------------------------------------------------1 得， 又，则，即，------------------------------------2 所以，所以，所以---------------------------3 所以. 显然，所以，解得.-----------------------------------------------------4 故数列的通项公式.---------------------------------------5 （2）由（1）知，-----------------7 所以.------------------------------------------------------------------9 则-------------------------------11.--------------------------------------------------------------------------------13 16．【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，且， 所以，即，解得，-------------------------------------1 此时， 又因为，代入得，即，解得，------------------------2 所以 经检验，分母 恒成立，且，符合题意，----------------------3 故函数的解析式为，----------------4 定义域为.-----------------------------5 （2） ,------------------------------------7 当，故在上单调递增------------------------------------8 法二定义法 任取 且，则， 因为且，所以，，且分母大于， 所以，即，故在上单调递增，-----------------8 不等式 等价于， 因为为奇函数，所以，即，-----------------------10 又因为在上单调递增，所以，-----------------------13 解得，--------------------------------14 所以不等式的解集为. -----------------15 .17、【详解】（1）由已知尺寸小于的区间为和，组距为， 对应频率分别为和， 因此尺寸小于的频率为， 已知该部分共个零件，故，-------------------1 由分层抽样规则，、厂每小时生产零件数为和， 因此抽样比例为，总样本个，得厂抽取个，厂抽取个， 优等品区间的频率为， 即总优等品数为，总非优等品数为， 结合已知厂优等品、非优等品， 所以厂优等品、非优等品， 补全列联表如下： 优等品 非优等品 总计 总计 ---------------------------------------------------------------------------------3 根据列联表中的数据，经计算得到 ------------------------------------------------------------------------------------------------------5 根据小概率值的独立性检验， 即可以有99.5%把握认为电压与零件优等品率有关联。-----------------------------------------------------6 （2）厂样本共个，其中优等品个，因此抽样得到的优等品频率为，--------------------7 将该频率作为流水线任意抽取个零件为优等品的概率， 则随意抽取个零件，优等品个数服从二项分布，----------------------------8 因此数学期望；-----------------------------------------------------------------------9 （3） 厂样本共个，其中非优等品个，-------------------------------------10 从厂样本中任取个， 非优等品个数服从超几何分布，的可能取值为， ，， ，----------------------------------------------------------------------13 因此的分布列为： 0 1 2 -----------------------------------------------14 数学期望： -------------------------------------------------------------15 18．【详解】（1）因为函数， 所以 ---------------------------------------------2 ，-------------------------------------------------------3 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，-----------------------------4 则有----------------------------------------6； （2）由（1）可知：， 所以-------------------------------9 所以由， 因为， 所以由，-----------------------------------------------11 设， 由，----------------------------------------13 由二次函数性质可知：当时，函数是减函数， ，， 于是有时，， 所以，，----------------------------------15 因此，----------------------------16 存在，使得成立，则有，-----------------------------------17 因此实数k的最大值. 19． 【详解】（1）函数的定义域为．-------------------1 令，即，解得． 当时，，单调递减；当时，，单调递增；--------------------------------------------------2 因此在处取得极小值（也是最小值），此时．-------------------------------3 无最大值．所以函数的最小值为，无最大值．----------------------------------------4 （2） 由题意知，讨论在上变号零点个数， 对，求导可得．讨论在上的解的个数，即在上的解的个数．------------------------------5 令，则， 当时，，单调递增；当时，，单调递减，-----------------------------------6 所以在处取得最大值，此时且当时，；时，． ---------------------------------------------7 当时，在上无解，此时在上无极值点；当时，在上有2个解，此时在上有2个极值点当时，在上有1个解，但在上为非负数，仅在处取0，故此时在上无极值点； 当时，在上无解，此时在上无极值点； 综上，当或时，无极值点；------------9 当时，有2个极值点．------------------------------------------10 （3），其定义域为， 则，．-------------------------11 令，解得或． 设，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以在处取得最大值，此时， 且当时，；当时，． 因此的大致图象如图所示， --------------------------------------12 因为在定义域内有三个不同的极值点，，，且为的一个根， 所以与有两个不同的交点（且不等于1），所以，---------------------------13 即在上有两个不同的正根，分别位于和，且不等于1． 不妨设，则， 所以，即，，也即，， 所以 ．--------------------------------------14 令，则 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增， 所以， 又，所以，所以在上单调递增-----------15． -因为 因此当时，， 即当时，恒成立， 所以实数a的取值范围是.--------------------------------------------------17 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三第二次自主考试 数学试题 命题教师：高三备课组 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 3．考试时间：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1．已知集合，，，则（ ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（ ） A．函数的定义域是 B．和表示同一个函数 C．函数的值域为 D．定义在上的函数满足，则 3．在等比数列中，，是方程的两根，则等于（ ） A． B． C．或 D． 4．已知，则（ ） A． B． C． D． 5．著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微数形结合百般好，割裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，我们经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如某体育品牌的LOGO为 可抽象为如图所示的轴对称的优美曲线，下列函数中，其图象大致可“完美”局部表达这条曲线的函数是（ ） A． B． C． D． 6．若函数同时满足：①，当时，有； ②，恒成立，则（ ） A． B． C． D． 7．已知函数在上可导，导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 8．已知函数，若不等式对任意恒成立，其中，，则的最大值为（ ） A． B．1 C． D．2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列结论中，正确的是（ ） A．函数（且）的图象恒过定点 B．幂函数是奇函数 C．若，则的最小值为2 D．若函数在上单调递增，则 10．已知，，且，则（ ） A．的最大值为5 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最小值为 11．在数列中，，，且，记数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A．数列为等比数列 B．数列为等差数列 C． D． 三、填空题本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．计算：                        ． 13．已知角的终边经过点，且，为第二象限角，则的值为                        ． 14．已知函数，若等差数列的前n项和为，且，，则                        ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．已知正项等比数列中，，且，，成等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 16．已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）确定函数的解析式； （2）解不等式． 17．已知设备M可在两种电压（220 V和380 V）下生产某种零件，现有A、B两个工厂，A工厂设备M用220 V电压生产一小时得450个零件，B工厂设备M用380 V电压生产一小时得550个零件．为了了解两种电压下生产的零件情况，通过分层抽样的方式共抽取n个零件作为样本，测量其尺寸后，按照以下区间分为九组：；；；：；；；；．得到频率分布直方图如下，已知抽取的零件中尺寸小于162的有6个． 优等品 非优等品 总计 A 30 15 B 总计 （1）求的值，如果把尺寸在内作为优等品的标准，对抽取的个零件，完成列联表．据此资料，你是否认为有把握认为电压与零件优等品率有关？ （2）从B厂设备的生产流水线上随意抽取5个零件，把抽样的频率看作概率，试计算其中优等品个数的数学期望； （3）从A厂抽取的样本中随意抽取2个零件，计算其中非优等品个数的分布列和数学期望． 参考公式及临界值表：，其中． 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 18．已知函数，数列满足，， （1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）设，若存在，使得成立，求实数k的最大值． 19．已知函数，，． （1）求函数的最值； （2）讨论函数在上极值点的个数； （3）设函数，若在定义域内有三个不同的极值点，，，且满足，求实数a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $