精品解析：辽宁葫芦岛市连山区世纪高级中学2026-2027学年高三上学期10月月考数学卷

葫芦岛市世纪高中2026年高三十月月考 数 学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合 ， ，则 中元素的个数为（　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【详解】由 得 ，故 ； 由 得 ，故 . 所以 ，元素个数为 . 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用对数函数，指数函数的单调性，结合充分条件、必要条件分析判断即可. 【详解】充分性：当时，因为函数在上单调递增，所以， 此时无意义，故充分性不成立； 必要性：函数在上单调递增，所以由得出， 又函数在上单调递增，所以，故必要性成立， “”是“”的必要不充分条件. 3. 下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】对于选项A：因为的定义域为，且， 所以函数为偶函数， 令，则，解得，可知函数的零点为，故A正确； 对于选项B：当时，；当时，； 因为，可知函数不为偶函数，故B错误； 对于选项C：因为的定义域为，不关于原点对称， 所以函数不为偶函数，故C错误； 对于选项D：因为，当且仅当时，等号成立， 所以函数没有零点，故D错误. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性，寻找中间量（如和）进行比较.分别估算、、的大致范围，即可得出大小关系. 【详解】因为在上单调递增，且， 所以，即. 因为在上单调递减，且， 所以，即. 因为在上单调递减，且， 所以，即. 综合以上分析，有，即. 5. 已知角的终边在第三象限，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合角的范围利用二倍角正切公式求得，然后利用诱导公式及“1”的代换技巧将所求式子化为，代入求解即可. 【详解】由，可得， 即，解得或. 又角的终边在第三象限，故， 故 . 故选：D 6. 研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年提出铅酸电池的容量C、放电时间t（单位：h）和放电电流I（单位：A）之间关系的经验公式，其中为与蓄电池结构有关的常数（称为常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为7.5A时，放电时间为48 h；当放电电流为25A时，放电时间为12h，则该蓄电池的常数约为（参考数据：，）（ ） A. 1.14 B. 1.15 C. 1.16 D. 1.17 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得，故，所以，， 两边取常用对数得，所以. 7. 已知直线与曲线和均相切，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的几何意义，分别设直线与两条曲线的切点，结合切点同时在直线和对应曲线上列方程，求解、的值即可得到结果. 【详解】设直线与的切点为，与的切点为. 对求导得，可知，且切点在切线上，因此， 对求导得，同理得，且切点在切线上，因此， 由得，代入化简得. 由得，代入得. 将代入上式，整理得，解得，代入得，故. 8. 已知函数在区间上单调递增，且在区间上有且仅有2个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出相位的范围，再结合正弦函数的性质可求参数的取值范围.. 【详解】当时，， 因为在上单调递增，故，故. 当时，， 因为在区间上有且仅有2个零点， 故，故， 综上， 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，，，则（ ） A. 最小值为 B. 最大值为 C. 最小值为 D. 最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，利用的几何意义，转化为原点到直线的距离最小值即可；对于B，利用乘“1”法变形代数式，利用基本不等式可求最值；对于C，直接应用基本不等式可求的最值；对于D，先将目标式子平方化简，再用基本不等式求最值. 【详解】对于A，的几何意义为直线上第一象限内的点到原点的距离的平方， 原点到直线的距离为：， 对应距离的平方，此为的最小值，故A正确. 对于B，， ， 当且仅当时等号成立，结合可解得a，b均为正数，符合条件， 所以最小值为，故B错误. 对于C，由，变形得， 当且仅当，即，时等号成立， 当趋近于0时，趋近于，趋近于0， 因此，没有最小值，故C错误. 对于D，， 当且仅当，即，时等号成立，所以， 最大值为，故D正确. 10. 已知函数对任意实数满足且恒成立，在区间上单调递增，则以下说法中正确的是（ ） A. 是的零点 B. C. 函数是偶函数； D. 若函数在区间内有5个零点，则在此区间内有且只有2个极大值点． 【答案】ABC 【解析】 【分析】先由得对称中心，由得最小值点，结合单调条件求出，得到函数解析式；A代入验证零点，B直接看所求参数，C利用平移化简判断奇偶性，D求出零点确定的范围，再统计区间内极大值点个数，逐一判定选项正误． 【详解】由，得关于点中心对称， 所以①， 由，得在处取最小值， 所以②， 由①②得， 化简得，即， 解得， 由在区间上单调递增，得，解得， 因为时，，时， 而，取，， 将代入②中，得，解得， 因为，所以，所以， 对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，， 因为是偶函数，所以是偶函数，C正确； 对于D，由，得， 列出零点，筛选落在区间内的零点， ，，不在内， ，，第个零点， ，，第个零点， ，，第个零点， ，，第个零点， ，，第个零点， ，，第个零点， 因为区间内有个零点，所以， 由，得， 代入整数，判断极大值点是否在内， ，，在内， ，，在内， ，，在内， ，，不在内，超出了， 所以区间内极大值点共个，D错误． 11. 已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，若，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的一个周期为4 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用奇函数推中心对称，偶函数推轴对称，通过变量替换联立等式，从而推出函数递推关系和周期；再结合特殊点函数值、周期求和公式，逐一验证. 【详解】因为为奇函数，所以，即， 故函数关于点中心对称. 因为为偶函数，所以，令，得， 故函数关于直线轴对称，有. 对于A，令，由解得，故A错误. 对于B，由，把换成，得， 又因为，故有， 再把换成，得， 两式相减得，故的一个周期为4，故B正确. 对于C，由上述分析满足，故C正确. 对于D，因为，且周期为，而，故； 由，令，得； 令，得；又因为周期为，故. 故函数在一个周期内的和是， 又因为，所以，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是奇函数，当时，，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用奇函数的性质将转化为，再代入时的函数解析式计算即可得到结果. 【详解】根据奇函数的定义，对定义域内的任意，均满足,， 已知当时，，且， 因此先计算： ，， 故， 因此. 13. 若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先对函数求导，结合函数在区间上单调递增的性质可得导数在上恒大于等于0，参变分离后求对应二次函数在区间上的最大值，即可得到的取值范围. 【详解】函数的定义域为，对其求导得. 由于在上单调递增，因此对任意，均满足恒成立， 即，因为，则在恒成立. 令，，该二次函数开口向上，对称轴为， 因此在上单调递增，其最大值为， 故. 14. 已知函数，的零点为，极值点为，则_______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用导数，求得，从而求得. 【详解】函数， ， 令，得，即，； 令，得，即，. 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值 ，极小值点为. 所以，. 令，得， 所以，即， 所以. 因为，所以，. 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的最小值为． （1）求的值； （2）求的最小正周期和单调增区间： （3）若，，求的值． 【答案】（1）， （2），增区间为 （3） 【解析】 【分析】（1）利用倍角公式及辅助角公式，得到，再结合条件，即可求解； （2）利用（1）中结果及正弦函数的性质，即可求解； （3）根据条件，利用平方关系，求出，再由倍角公式及诱导公式，即可求解. 【小问1详解】 因为 ， 所以，，解得. 【小问2详解】 由（1）知，所以， 由，得到， 所以函数的增区间为. 【小问3详解】 因为，且，则， 所以，， 则， 又，所以. 16. 如图，在平面四边形中，，，． （1）若的面积为，求的长； （2）若，，求的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用三角形面积公式求出边长，再借助余弦定理即可求出； （2）设，在直角三角形中表示，结合正弦定理得到三角方程，最后根据锐角条件即可求出的大小. 【小问1详解】 在中，因为，， 所以的面积为，解得， 在中，由余弦定理得， 所以． 【小问2详解】 设，则， 在中，因为，所以， 在中，， 由正弦定理，可得，即， 所以，因为为锐角，所以， 解得，即的大小为． 17. 已知． （1）若，求不等式的解集； （2）若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 【答案】（1） （2）且. 【解析】 【分析】（1）先求出，从而原不等式即为，构建新函数，由该函数为增函数可求不等式的解； （2）求出函数的导数，就分类讨论后可得参数的取值范围. 【小问1详解】 因为，故，故，故， 故即为， 设，则，故在上为增函数， 而即为，故， 故原不等式的解为. 【小问2详解】 在有极大值即为有极大值点. ， 若，则时，，时，， 故为的极小值点，无极大值点，故舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 若，则时，，无极值点，舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 综上，且. 18. 记锐角的内角，，的对边分别为，，.已知，且. （1）证明：； （2）若，，且，求，； （3）若存在最小值，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明： 因为， 由正弦定理得， 所以， 所以， 所以或， 因为，所以，又，所以不可能成立， 所以. （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理进行边角转化，结合三角恒等变换可证； （2）根据三角形三个内角的关系求出的取值，再用向量法建立关于，的方程进行求解； （3）将原式中的角都转化为，确定的取值范围，构造关于的函数，再用换元法将函数化为二次函数，根据函数性质求解. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由，，则， 因为，所以， 因为，所以，， 所以， 因为，则， 所以， 将其两边平方得， 所以①，由正弦定理知，， 因为，所以，所以②， 联立①②解得，. 【小问3详解】 因为为锐角三角形，且， 所以，即，解得， 所以，， 又， 令，则， 所以，其中对称轴为， 因为存在最小值，所以，解得， 故实数的取值范围为. 19. 已知函数，． （1）求函数的极值； （2）若直线与曲线相切，求a的值； （3）若对任意的恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1）极大值为，无极小值． （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）利用导数法求出的单调性，利用单调性得到极值． （2）设切点为，利用导数的几何意义求出切线的斜率，得到一个关于的等式，将切点代入得到另一个关于的等式，这两个等式相减得到的方程，构造函数，利用导数法得到的单调性，从而得到所求. （3）由对任意的恒成立，得到，构造函数，利用恒成立得到，解得的范围．通过放缩法得到，构造函数，求导，构造函数，利用导数法得到的单调性，从而得到的取值范围． 【小问1详解】 因为，所以， 令，解得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，极大值为，无极小值． 【小问2详解】 直线与曲线相切，设切点为， 因为，所以， 所以，解得，① 因为切点在上， 所以，即，② 由②-①并整理得：． 令，则，令，解得， 则当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 当时，，且， 则方程有唯一解为，将代入①式，可得． 【小问3详解】 ，， 因为对任意的恒成立， 所以， 因为，所以， 即， 即恒成立，则， 解得． 则， 令，则， 设， 则在恒成立，则在上单调递增， 又，则由，由， 所以在上单调递减， 在上单调递增，所以， 即恒成立，所以的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 葫芦岛市世纪高中2026年高三十月月考 数 学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合 ， ，则 中元素的个数为（　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知角的终边在第三象限，，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年提出铅酸电池的容量C、放电时间t（单位：h）和放电电流I（单位：A）之间关系的经验公式，其中为与蓄电池结构有关的常数（称为常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为7.5A时，放电时间为48 h；当放电电流为25A时，放电时间为12h，则该蓄电池的常数约为（参考数据：，）（ ） A. 1.14 B. 1.15 C. 1.16 D. 1.17 7. 已知直线与曲线和均相切，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在区间上单调递增，且在区间上有且仅有2个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，，，则（ ） A. 最小值为 B. 最大值为 C. 最小值为 D. 最大值为 10. 已知函数对任意实数满足且恒成立，在区间上单调递增，则以下说法中正确的是（ ） A. 是的零点 B. C. 函数是偶函数； D. 若函数在区间内有5个零点，则在此区间内有且只有2个极大值点． 11. 已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，若，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的一个周期为4 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是奇函数，当时，，则的值是________． 13. 若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是______． 14. 已知函数，的零点为，极值点为，则_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的最小值为． （1）求的值； （2）求的最小正周期和单调增区间： （3）若，，求的值． 16. 如图，在平面四边形中，，，． （1）若的面积为，求的长； （2）若，，求的大小． 17. 已知． （1）若，求不等式的解集； （2）若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 18. 记锐角的内角，，的对边分别为，，.已知，且. （1）证明：； （2）若，，且，求，； （3）若存在最小值，求实数的取值范围. 19. 已知函数，． （1）求函数的极值； （2）若直线与曲线相切，求a的值； （3）若对任意的恒成立，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $