4.2 指数函数（讲义）高一数学沪教版必修第一册

第4章 幂函数、指数函数与对数函数 4.2 指数函数 课标要点 ①理解指数函数的概念，掌握y=ax（a>0且a≠1）的结构特征，能准确判断一个函数是否是指数函数。 ②会用描点法画出指数函数的图象，归纳并记忆其定义域、值域、定点与单调性。 ③会利用指数函数的单调性比较幂的大小，会求指数型复合函数的定义域与值域。 ④体会数形结合的思想，理解底数a的大小对图象升降与相对位置的影响。 学习重难点 重点： ①指数函数的定义及判断方法，掌握底数大于0且不等于1这一前提条件。 ②指数函数y=ax的图象与性质，包括定义域、值域、定点与单调性。 ③运用单调性比较幂的大小，会求指数型复合函数的定义域与值域。 难点： ①理解底数a>0且a≠1规定的原因，正确辨析指数函数与幂函数。 ②由图象归纳底数与图象升降、陡缓、相对位置的关系，体会数形结合。 知识点一 指数函数的概念 1、一般地，函数y=ax（a>0且a≠1）叫做指数函数，其中指数x是自变量，底数a是一个大于0且不等于1的常量，定义域是R。 2、指数函数的定义，需注意以下几点： （1）定义域为：R。 （2）规定a>0且a≠1，是因为： ①若a=1，则y=ax≡1（恒等于1），没有研究价值； ②若a=0，则x>0时y=ax≡0（恒等于0），而x≤0时ax无意义； ③若a<0，则an/m中m为偶数、n为奇数时无意义。 只有当0<a<1或a>1，即a>0且a≠1时，x可以是任意实数。 （3）函数解析式的形式要求——判断指数函数的关键有三点： ①ax的系数必须为1（前面不能有非1的系数或常数）； ②底数必须是大于0且不等于1的常数，不能是自变量； ③指数处只能有一个自变量x，不能是含自变量的多项式。 易错提醒 判断函数时最易错：底数必须是大于0且不等于1的常数。注意y=x2（底数是自变量x，属于幂函数）、y=2x+1（ax的系数不为1、多加常数）、底数含自变量或因式的形式，都不是指数函数。 即学即练 1．若函数是指数函数，则（   ） A．或 B． C． D．，且 知识点二 指数函数的图象与性质 1、函数y=ax（a>0且a≠1）的图象与性质： a的范围 a>1 0<a<1 图象 定义域 R R 值域 (0,+∞) (0,+∞) 定点 图象过定点(0,1) 图象过定点(0,1) 单调性 增函数 减函数 函数值的变化情况 x>0时ax>1；x=0时ax=1；x<0时0<ax<1 x>0时0<ax<1；x=0时ax=1；x<0时ax>1 对称性：y=ax与y=(1/a)x的图象关于y轴对称 2、底数a对图象的影响 2.1底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”。 （1）当a>1时，图象“上升”（增函数），且当x>0时，底数a越大，图象越“陡”，函数值增长越快。 （2）当0<a<1时，图象“下降”（减函数），且当x<0时，底数a越小，图象越“陡”，函数值减小越快。 2.2底数a的大小决定了图象相对位置的高低。 不论a>1还是0<a<1，底数越大，在第一象限内的图象越“靠上”； 在y轴右侧，图象从上到下底数由大变小，即“底数大图象高”； 在y轴左侧，图象从上到下底数由小变大，即“底数大图象低”。 即学即练 2．若在函数（且）的图象上，则函数的单调递减区间是____. 知识点三 指数函数的定义域与值域 1、定义域 （1）指数函数y=ax的定义域为R； （2）y=af(x)的定义域与y=f(x)的定义域相同； （3）y=f(ax)的定义域与y=f(x)的定义域不一定相同。 2、值域 （1）指数函数y=ax的值域为(0,+∞)； （2）求y=af(x)的值域：先求f(x)的值域，再结合y=ax的性质确定； （3）求y=f(ax)的值域：先求t=ax的值域，再将t的取值范围代入y=f(t)。 易错提醒 比较ax与ay大小时，必须先判断底数a是大于1还是0<a<1，再决定不等号方向；同时牢记ax>0恒成立（值域为正），求值域或解不等式时不要遗漏正数范围。 即学即练 3．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 题型01 指数函数的概念 解题贴士 判断指数函数紧扣定义y=ax（a>0且a≠1）：底数必须是大于0且不等于1的常数，不能含自变量；指数只能是单个自变量x，不能是多项式；ax前的系数必须为1。 能化简成y=ax标准形式的应先变形再判断，如y=2x+1=2·2x不是指数函数；同时注意与幂函数y=xa区分，不要混淆。 典｜例｜精｜析 【例1】给出下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，指数函数的个数是________． 【例2】下列判断正确的是（    ） A．是幂函数，且是指数函数 B．是幂函数，且不是指数函数 C．不是幂函数，且是指数函数 D．不是幂函数，且不是指数函数 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】下列以为自变量的函数中是指数函数的有（    ） A． B． C． D．且 【变式1-2】下列函数是指数函数的有______（填序号）. ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦为常数，且. 【变式1-3】“”是“为指数函数”的（   ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 题型02 求指数函数的解析式或函数值 典｜例｜精｜析 【例3】若指数函数的图象经过点，则______，______． 【例4】若指数函数满足，则_____． 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】若指数函数的图象经过点，则______． 【变式2-2】已知函数是指数函数．求的表达式. 【变式2-3】已知指数函数和幂函数的图象都过点，若，则__________． 题型03 指数函数的值域 解题贴士 y=ax的值域恒为(0,+∞)；复合型y=af(x)先求f(x)的值域，再结合ax的单调性（a>1递增、0<a<1递减）确定整体值域。 形如y=f(ax)的可设t=ax>0，先求t的取值范围再代入f(t)求值域；注意指数函数值恒正，换元后t>0的范围不能丢。 典｜例｜精｜析 【例5】函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【例6】函数的值域为__________． 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】集合，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知函数，则的值域为_______． 【变式3-3】函数的值域是______________． 题型04 指数函数的图象 典｜例｜精｜析 【例7】已知下列函数：（1）；（2）；（3）；（4）．如图是上述函数的图象，则a，b，c，d与1，0的大小关系是____________． 【例8】函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式4-1】已知且，则在同一直角坐标系中，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 题型05 指数（型）函数的单调性 解题贴士 指数函数y=ax的单调性由底数决定：a>1时在R上单调递增，0<a<1时单调递减，且恒过定点(0,1)。 复合型y=af(x)遵循“同增异减”：a>1时与f(x)增减一致，0<a<1时相反；先求定义域，再划分单调区间。 典｜例｜精｜析 【例9】已知，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例10】若函数（，）满足，则的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式5-1】“幂函数在单调递增”是“指数函数 在上单调递增”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式5-2】若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】若函数的单调递增区间是，则______. 题型06 比较两数的大小 典｜例｜精｜析 【例11】设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【例12】若，则（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式6-1】若，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】比较下列各组数的大小： (1)与 (2)与 (3)与 【变式6-3】已知，则（ ） A． B． C． D． 题型07 解简单的指数不等式 解题贴士 把不等式两边化为同底数幂，再依据底数与1的大小利用单调性去掉底数：a>1时不等号方向不变，0<a<1时反向，切勿颠倒。 解时要兼顾指数式的定义域与恒正性；含参数时先判断底数再定不等号方向，底数含x或为1时须单独讨论。 典｜例｜精｜析 【例13】设全集，，， 则（    ） A． B． C． D． 【例14】设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 变｜式｜巩｜固 【变式7-1】已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【变式7-2】不等式的解集为____________. 【变式7-3】已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 题型08 指数函数的分类讨论 解题贴士 凡涉及底数a与1的大小而未给定范围时，先按a>1与0<a<1分类，再分别研究单调性、图象位置与不等号方向。 讨论后把各类结果汇总，用区间或分段形式完整写出，不遗漏边界情形（如a=1），保证分类互斥且无遗漏。 典｜例｜精｜析 【例15】已知函数的定义域和值域都是，则____________. 【例16】若函数且在区间上的值域为，则（   ） A． B． C．3 D．5 变｜式｜巩｜固 【变式8-1】已知函数且，若函数的图象恒过定点，则的坐标为__________；若在上的值域为，则的值为__________. 【变式8-2】指数函数在区间上最大值与最小值的差为2，则等于______. 【变式8-3】若函数（且）的值域为，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 题型09 指数函数的综合问题 典｜例｜精｜析 【例17】不等式的解集为，则实数的取值范围是________． 【例18】已知函数． (1)若对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围； (2)若关于x的方程有实根，求实数m的取值范围． 变｜式｜巩｜固 【变式9-1】若不等式 对于任意恒成立，则实数的取值范围是__________． 【变式9-2】关于的方程在上有实根的充要条件是___________；一个必要不充分条件可以是___________. 【变式9-3】已知定义在上的函数() (1)若，求函数在上的最大值； (2)若存在，使得，求实数的取值范围． 基础通关 1．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．函数（，且）的图象恒过定点为（   ） A． B． C． D． 3．若函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，则（   ） A．0 B． C．1 D．2 4．为了得到函数图象，只需（   ） A．把函数的图象上的所有点向右平移1个长度单位 B．把函数的图象上的所有点向左平移2个长度单位 C．把函数的图象上的所有点横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 D．把函数的图象上的所有点纵坐标变为原来的9倍，横坐标不变 5．设集合，，则_________ 6．已知指数函数，且满足，则实数的取值范围是______. 7．若曲线与直线没有公共点，则b的取值范围是________________． 8．函数(且)的定义域是 ，则实数的取值范围为____. 9．已知函数是指数函数，且.求函数的解析式. 10．已知函数满足. (1)求的值； (2)求函数的单调区间； (3)求函数的值域. 11．已知且，解关于的不等式：． 素养提升 12．是上的单调递增函数，则实数a的取值范围为（      ）. A． B． C． D． 13．已知，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．若函数（，且）在上的最大值为4，最小值为，且函数在上是增函数，则_________，_________． 15．若函数的图象恒过定点，则的取值范围是_________. 16．已知函数（，）的图象所过的定点在直线上，则的最小值为______. 17．已知函数是奇函数，且． (1)求，的值； (2)求不等式的解集． 迁移创新 18．已知实数使得对任意恒成立，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 19．已知函数，若对任意实数，都有，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 20．在上定义运算：，当时，不等式有解，则实数的取值范围是________. 21．已知函数，若，则的解集为_________；若，，则实数的取值范围是_________. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 幂函数、指数函数与对数函数 4.2 指数函数 课标要点 ①理解指数函数的概念，掌握y=ax（a>0且a≠1）的结构特征，能准确判断一个函数是否是指数函数。 ②会用描点法画出指数函数的图象，归纳并记忆其定义域、值域、定点与单调性。 ③会利用指数函数的单调性比较幂的大小，会求指数型复合函数的定义域与值域。 ④体会数形结合的思想，理解底数a的大小对图象升降与相对位置的影响。 学习重难点 重点： ①指数函数的定义及判断方法，掌握底数大于0且不等于1这一前提条件。 ②指数函数y=ax的图象与性质，包括定义域、值域、定点与单调性。 ③运用单调性比较幂的大小，会求指数型复合函数的定义域与值域。 难点： ①理解底数a>0且a≠1规定的原因，正确辨析指数函数与幂函数。 ②由图象归纳底数与图象升降、陡缓、相对位置的关系，体会数形结合。 知识点一 指数函数的概念 1、一般地，函数y=ax（a>0且a≠1）叫做指数函数，其中指数x是自变量，底数a是一个大于0且不等于1的常量，定义域是R。 2、指数函数的定义，需注意以下几点： （1）定义域为：R。 （2）规定a>0且a≠1，是因为： ①若a=1，则y=ax≡1（恒等于1），没有研究价值； ②若a=0，则x>0时y=ax≡0（恒等于0），而x≤0时ax无意义； ③若a<0，则an/m中m为偶数、n为奇数时无意义。 只有当0<a<1或a>1，即a>0且a≠1时，x可以是任意实数。 （3）函数解析式的形式要求——判断指数函数的关键有三点： ①ax的系数必须为1（前面不能有非1的系数或常数）； ②底数必须是大于0且不等于1的常数，不能是自变量； ③指数处只能有一个自变量x，不能是含自变量的多项式。 易错提醒 判断函数时最易错：底数必须是大于0且不等于1的常数。注意y=x2（底数是自变量x，属于幂函数）、y=2x+1（ax的系数不为1、多加常数）、底数含自变量或因式的形式，都不是指数函数。 即学即练 1．若函数是指数函数，则（   ） A．或 B． C． D．，且 【答案】C 【分析】根据指数函数的概念，即可求解. 【详解】因为函数是指数函数， 所以，解得，满足，且. 知识点二 指数函数的图象与性质 1、函数y=ax（a>0且a≠1）的图象与性质： a的范围 a>1 0<a<1 图象 定义域 R R 值域 (0,+∞) (0,+∞) 定点 图象过定点(0,1) 图象过定点(0,1) 单调性 增函数 减函数 函数值的变化情况 x>0时ax>1；x=0时ax=1；x<0时0<ax<1 x>0时0<ax<1；x=0时ax=1；x<0时ax>1 对称性：y=ax与y=(1/a)x的图象关于y轴对称 2、底数a对图象的影响 2.1底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”。 （1）当a>1时，图象“上升”（增函数），且当x>0时，底数a越大，图象越“陡”，函数值增长越快。 （2）当0<a<1时，图象“下降”（减函数），且当x<0时，底数a越小，图象越“陡”，函数值减小越快。 2.2底数a的大小决定了图象相对位置的高低。 不论a>1还是0<a<1，底数越大，在第一象限内的图象越“靠上”； 在y轴右侧，图象从上到下底数由大变小，即“底数大图象高”； 在y轴左侧，图象从上到下底数由小变大，即“底数大图象低”。 即学即练 2．若在函数（且）的图象上，则函数的单调递减区间是____. 【答案】 【分析】求出函数解析式，利用指数函数单调性求解. 【详解】因为在函数（且）的图象上， 所以，解得， 所以， 故的单调递减区间是， 故答案为： 知识点三 指数函数的定义域与值域 1、定义域 （1）指数函数y=ax的定义域为R； （2）y=af(x)的定义域与y=f(x)的定义域相同； （3）y=f(ax)的定义域与y=f(x)的定义域不一定相同。 2、值域 （1）指数函数y=ax的值域为(0,+∞)； （2）求y=af(x)的值域：先求f(x)的值域，再结合y=ax的性质确定； （3）求y=f(ax)的值域：先求t=ax的值域，再将t的取值范围代入y=f(t)。 易错提醒 比较ax与ay大小时，必须先判断底数a是大于1还是0<a<1，再决定不等号方向；同时牢记ax>0恒成立（值域为正），求值域或解不等式时不要遗漏正数范围。 即学即练 3．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由结合题设可得答案. 【详解】因对任意实数，，从而，则的值域为. 题型01 指数函数的概念 解题贴士 判断指数函数紧扣定义y=ax（a>0且a≠1）：底数必须是大于0且不等于1的常数，不能含自变量；指数只能是单个自变量x，不能是多项式；ax前的系数必须为1。 能化简成y=ax标准形式的应先变形再判断，如y=2x+1=2·2x不是指数函数；同时注意与幂函数y=xa区分，不要混淆。 典｜例｜精｜析 【例1】给出下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，指数函数的个数是________． 【答案】1 【详解】根据指数函数的定义：形如（且）的函数为指数函数， 则①②④⑤均不符合题意，③符合题意，故指数函数的个数是1．故答案为1． 【例2】下列判断正确的是（    ） A．是幂函数，且是指数函数 B．是幂函数，且不是指数函数 C．不是幂函数，且是指数函数 D．不是幂函数，且不是指数函数 【答案】C 【分析】根据已知条件，结合幂函数､指数函数的定义，即可求解. 【详解】解：由幂函数的定义可知，不是幂函数， 因为，所以是指数函数. 故选：C. 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】下列以为自变量的函数中是指数函数的有（    ） A． B． C． D．且 【答案】B 【详解】由指数函数的定义：形如且的函数，其中指数为自变量，定义域是.根据定义逐一判断： 选项A：底数为，不满足指数函数底数大于的要求，不是指数函数，故A不符合； 选项B：底数（满足且），符合指数函数定义，是指数函数，故B符合； 选项C：函数可写为，指数部分的系数为，不符合“系数为”的要求，不是指数函数，故C不符合； 选项D：解析式中指数不是自变量，这是一个值为常数的常函数，不是指数函数，故D不符合. 【变式1-2】下列函数是指数函数的有______（填序号）. ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦为常数，且. 【答案】①④⑦ 【分析】由指数函数的定义逐一判断即可. 【详解】因为形如且的函数称为指数函数， 所以所给的7个函数中，只有①④⑦是指数函数. 【变式1-3】“”是“为指数函数”的（   ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据指数函数的定义及充分条件、必要条件的概念得解. 【详解】当时，为指数函数； 当为指数函数时，即，只需； 所以“”是“为指数函数”的充分不必要条件. 故选：C 题型02 求指数函数的解析式或函数值 典｜例｜精｜析 【例3】若指数函数的图象经过点，则______，______． 【答案】 【分析】答题空1：由指数函数过点，先求出底数，进而求出指数函数表达式；答题空2：由指数函数表达式，分别求出，从而求出的值. 【详解】由题知，即，，，. 【例4】若指数函数满足，则_____． 【答案】27 【分析】令且，根据题设得，即可求解. 【详解】令且，因为， 则，即，解得或（舍）， 所以，则， 故答案为：. 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】若指数函数的图象经过点，则______． 【答案】 / 【分析】先设出指数函数的标准解析式，代入已知点坐标求出底数，再将代入解析式计算结果. 【详解】设指数函数的解析式为（且）， 将点代入解析式，得，解得， 因此， 所以. 【变式2-2】已知函数是指数函数．求的表达式. 【答案】 【详解】函数是指数函数，且， ， 可得或舍去， 【变式2-3】已知指数函数和幂函数的图象都过点，若，则__________． 【答案】/0.25 【分析】根据指数函数、幂函数的知识求得和，通过解方程求得，由此求得正确答案. 【详解】依题意，设，， 代入得，，解得. 所以，，由，， 解得：，所以. 故答案为：. 题型03 指数函数的值域 解题贴士 y=ax的值域恒为(0,+∞)；复合型y=af(x)先求f(x)的值域，再结合ax的单调性（a>1递增、0<a<1递减）确定整体值域。 形如y=f(ax)的可设t=ax>0，先求t的取值范围再代入f(t)求值域；注意指数函数值恒正，换元后t>0的范围不能丢。 典｜例｜精｜析 【例5】函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 又函数是增函数，所以， 则所求函数的值域为． 【例6】函数的值域为__________． 【答案】 【详解】当 时， . 由于底数 ， 该函数在 上单调递增. 最小值为 ，最大值为 . 故此段值域为 . 当 时， . 幂指数 ， 该函数在 上单调递增. 当 时， ，最大值为 时， . 故此段值域为 . 综上， 函数的值域为 . 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】集合，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知，求出判断A；因为，求出判断B；求出判断C，D. 【详解】因为， 所以，故A错误； 因为， 所以，故B错误； 所以，故C正确，D错误. 【变式3-2】已知函数，则的值域为_______． 【答案】 【分析】根据指数函数的性质结合反比例函数的性质求解即可. 【详解】因为，所以， 又因为， 所以， 所以的值域为. 故答案为：. 【变式3-3】函数的值域是______________． 【答案】 【详解】因为，，即函数的值域是. 题型04 指数函数的图象 典｜例｜精｜析 【例7】已知下列函数：（1）；（2）；（3）；（4）．如图是上述函数的图象，则a，b，c，d与1，0的大小关系是____________． 【答案】 【分析】根据指数函数的图象性质即可求解. 【详解】根据指数函数图象在第一象限的图象特征，底数大于1，图象上升，底数小于1，图象下降；底数越大，图象越高， 即由图可知：， 故答案为： 【例8】函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的定义域，分析函数的奇偶性，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】对于函数，有，解得， 所以，函数的定义域为，排除BC选项， 又因为，故函数为偶函数，排除A选项， 故选：D. 变｜式｜巩｜固 【变式4-1】已知且，则在同一直角坐标系中，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】易得两个函数的图象都经过定点，即可排除B；再分和两种情况讨论即可得解. 【详解】题目所给的两个函数的图象都经过定点，故B错误； 因为且，所以为增函数， 当时，为增函数，此时的零点，故A错误； 当时，为减函数，此时的零点，故C正确，D错误. 故选：C. 【变式4-2】函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】函数图象是由函数图象向左平移1个单位，作出函数的图象，即可求解. 【详解】作出函数的图象，如下图所示， 将的图象向左平移个单位得到图象. 故选：B 【变式4-3】函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分和讨论，再结合指数函数单调性即可判断. 【详解】当时，，此时函数在上单调递增，故AB错误， 当时，，此时函数在上单调递减，故C错误，D正确. 故选：D. 题型05 指数（型）函数的单调性 解题贴士 指数函数y=ax的单调性由底数决定：a>1时在R上单调递增，0<a<1时单调递减，且恒过定点(0,1)。 复合型y=af(x)遵循“同增异减”：a>1时与f(x)增减一致，0<a<1时相反；先求定义域，再划分单调区间。 典｜例｜精｜析 【例9】已知，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】记命题，命题. 幂函数在上单调递增，，所以， 指数函数在上单调递增，当时，必有，即， 所以； 指数函数在上单调递增，，所以， 幂函数在上单调递增，当时，必有，即， 所以； 所以是的充要条件. 【例10】若函数（，）满足，则的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数值求参数，再根据复合函数单调性法则求单调递减区间. 【详解】因为， 所以，即，解得或（舍）， 所以， 令，则， 由于在上单调递减，在上单调递增， 由指数函数知，在定义域上单调递减， 所以在上单调递减. 变｜式｜巩｜固 【变式5-1】“幂函数在单调递增”是“指数函数 在上单调递增”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】分别求出两个命题成立时的取值范围，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】设命题：幂函数在单调递增，当为真命题时，， 命题：指数函数 在上单调递增，当为真命题时，， 判断充分性：若成立即，取，此时指数函数 在上单调递减， 即不成立，充分性不成立. 判断必要性：若成立即，则命题成立，必要性成立. 综上所述，是的必要不充分条件. 【变式5-2】若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依据复合函数同增异减，问题转换成二次函数在上单调递增，进而可求解． 【详解】令，由于底数 ， 所以指数函数在上单调递减， 因此的单调性与的单调性相反， 要使在上单调递减， 需使在区间上单调递增， 二次函数开口向上，对称轴为， 要使在区间上单调递增， 需满足对称轴在区间的左侧， 所以． 【变式5-3】若函数的单调递增区间是，则______. 【答案】2 【详解】设， 因为函数的对称轴为，其单调递增区间为， 且函数为上增函数， 则依题意可得，解得. 题型06 比较两数的大小 典｜例｜精｜析 【例11】设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用幂函数，指数函数单调性结合题设可判断选项. 【详解】因为函数在上单调递增，且，所以，即. 因为函数在R上单调递减，且，所以，即， 所以. 【例12】若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，则，C错误，D正确； 取，满足，而，AB错误. 变｜式｜巩｜固 【变式6-1】若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由在上单调递增，则，即； 由在上递增，则，即. 所以. 【变式6-2】比较下列各组数的大小： (1)与 (2)与 (3)与 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由于指数函数在上单调递增，而，所以. （2）因为函数在上单调递减，而，所以， （3）因为在上单调递减，所以； 又在轴右侧， 函数的图象在的图象的上方，所以，所以. 【变式6-3】已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先对底数相同的代数式，利用指数函数单调性进行比较，得到，；再对指数相同的代数式，利用幂函数单调性比较与，得到，最后整合不等式，排出大小即可. 【详解】， 在单调递减， ， ， 在单调递增， ， ， 在单调递增，， ， 综上：. 题型07 解简单的指数不等式 解题贴士 把不等式两边化为同底数幂，再依据底数与1的大小利用单调性去掉底数：a>1时不等号方向不变，0<a<1时反向，切勿颠倒。 解时要兼顾指数式的定义域与恒正性；含参数时先判断底数再定不等号方向，底数含x或为1时须单独讨论。 典｜例｜精｜析 【例13】设全集，，， 则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解指数函数不等式化简集合，结合交集和补集运算法则即可求解. 【详解】不等式等价于，故， 所以，所以， 因为，所以， 所以. 【例14】设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由，解得；由，即，解得； 因为是的必要不充分条件． 所以“”是“”的必要不充分条件. 变｜式｜巩｜固 【变式7-1】已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由可得，解得，即集合， 又因为集合，所以. 【变式7-2】不等式的解集为____________. 【答案】 【详解】， 又在R上单调递增，故， 化简得，解得，故解集为 【变式7-3】已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数是一个减函数，所以当时，函数最小值为， 因此，即，化简可得，即， 因为，所以解得或， 即不等式的解集为. 题型08 指数函数的分类讨论 解题贴士 凡涉及底数a与1的大小而未给定范围时，先按a>1与0<a<1分类，再分别研究单调性、图象位置与不等号方向。 讨论后把各类结果汇总，用区间或分段形式完整写出，不遗漏边界情形（如a=1），保证分类互斥且无遗漏。 典｜例｜精｜析 【例15】已知函数的定义域和值域都是，则____________. 【答案】 【分析】可知数在上单调递减，结合单调性和最值列式求解即可. 【详解】因为函数在上单调递减， 由题意可得，解得， 所以. 故答案为：. 【例16】若函数且在区间上的值域为，则（   ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】利用指数函数性质计算即可得. 【详解】由指数函数的性质知必是单调函数， 又， 因为值域为，所以函数在上单调递增，故， 即，解得，又，故. 故选：B. 变｜式｜巩｜固 【变式8-1】已知函数且，若函数的图象恒过定点，则的坐标为__________；若在上的值域为，则的值为__________. 【答案】 【分析】根据，可求得函数所过定点的坐标，按和两种情况分析函数的单调性求出值域，列式即可求的值. 【详解】当时，，即，故. 当时，函数且在上是增函数， 其值域为，则，解得； 当时，函数且在上是减函数， 其值域是，不符合题意，故实数. 故答案为：；. 【变式8-2】指数函数在区间上最大值与最小值的差为2，则等于______. 【答案】2 【分析】分与两种情况，结合函数单调性得到方程，求出. 【详解】当时，单调递增，故，解得或（舍去）， 当时，单调递减，故，无解， 综上，等于2. 故答案为：2 【变式8-3】若函数（且）的值域为，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时：当时，指数函数单调递增，故，值域为 ， 当时，一次函数的斜率， 函数单调递减，最大值为， 当时 ，故值域为 ，，， 所以两部分值域的并集为 ，无法覆盖大于的实数， 值域不为，不符合题意. 当时：当时，指数函数单调递减，故，值域为 ， 时，一次函数斜率，函数单调递减， 最大值为 ，当时 ，故值域为 ， 若函数值域为，需两段值域覆盖全体实数，即满足， 由于，两边同乘得， 解得或（舍去），结合，得. 综上所述，的取值范围是. 题型09 指数函数的综合问题 典｜例｜精｜析 【例17】不等式的解集为，则实数的取值范围是________． 【答案】 【详解】由不等式的解集为，则，则， 则，当且仅当，即时，取等号， 所以，即实数的取值范围是． 【例18】已知函数． (1)若对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围； (2)若关于x的方程有实根，求实数m的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）参变分离得到，由基本不等式得到，从而得到不等式，求出； （2）换元，得到有正根，分有两个正根，有一个正根一个负根和有一个正根一个零根三种情况，结合根的判别式和韦达定理得到不等式，求出答案. 【详解】（1）， 又，当且仅当，即时，等号成立， 则，解得； （2）由题，有实根， 令，则有正根， ①有两个正根，； ②有一个正根一个负根，； ③有一个正根一个零根，； 综上，. 变｜式｜巩｜固 【变式9-1】若不等式 对于任意恒成立，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【详解】设，则，所以问题转化为，恒成立． 因为 在上单调递减，所以 所以． 【变式9-2】关于的方程在上有实根的充要条件是___________；一个必要不充分条件可以是___________. 【答案】 （答案不唯一） 【分析】利用换元法将指数方程转化为分式方程，结合基本不等式求出函数的值域，将“方程有实根”转化为“落在函数值域内”，再通过“放大范围”构造必要不充分条件. 【详解】令，，原方程转化为：. 对任意，由基本不等式得：， 当且仅当，即时取等号，因此的值域为. 方程在上有实根，等价于属于函数的值域，即. 必要性：若方程有实根，则； 充分性：若，则存在使得，即存在满足方程. 根据集合法“放大范围”原则，取的超集即可，如. 验证：方程有实根时，；但时，方程不一定有实根（如）. 故答案为：；（答案不唯一）. 【变式9-3】已知定义在上的函数() (1)若，求函数在上的最大值； (2)若存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)8 (2) 【分析】（1）换元，令，可得，结合二次函数求最值； （2）由，换元令，整理得，结合函数单调性分析求解. 【详解】（1）若，则， 因为，令， 可得的图象开口向上，对称轴为， 可知：当时，取得最大值， 所以函数在上的最大值为8. （2）因为， 即， 整理得， 令，当且仅当，即时，等号成立， 则，， 则，整理得， 由题意可知：方程在内有解， 因为在内单调递增，可知在内单调递增， 则，可得， 所以实数的取值范围为. 基础通关 1．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】不等式，解得， 因为“”可以推出“”,“”不可以推出“”, 所以“”是“”的充分不必要条件 2．函数（，且）的图象恒过定点为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于函数，令，可得，则， 所以函数（且）的图象恒过定点坐标为. 3．若函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，则（   ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】由题设，，结合过原点求得，再计算求解函数值. 【详解】由的图象无限接近直线但又不与该直线相交，所以，， 令，则，即，则， 4．为了得到函数图象，只需（   ） A．把函数的图象上的所有点向右平移1个长度单位 B．把函数的图象上的所有点向左平移2个长度单位 C．把函数的图象上的所有点横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 D．把函数的图象上的所有点纵坐标变为原来的9倍，横坐标不变 【答案】D 【详解】对于A，把函数的图象上的所有点向右平移1个长度单位，得到，故A错误； 对于B，把函数的图象上的所有点向左平移2个长度单位，得到，故B错误； 对于C，把函数的图象上的所有点横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到，故C错误； 对于D，把函数的图象上的所有点纵坐标变为原来的9倍，横坐标不变，得到，故D正确． 5．设集合，，则_________ 【答案】 【分析】分别解一元二次不等式和指数不等式，得到集合 、，再求两集合的交集． 【详解】由 ，得 ，所以 ． 因为函数 在实数集上单调递增，且 ，所以 等价于 ，从而 ． 因此 ． 6．已知指数函数，且满足，则实数的取值范围是______. 【答案】 【详解】由函数是指数函数，得，解得且， 又，而，因此函数是减函数，即，解得， 所以实数的取值范围是. 7．若曲线与直线没有公共点，则b的取值范围是________________． 【答案】 【分析】利用函数图象判断即可. 【详解】由已知画出的图象 因为，所以. 当时，直线表示直线， 由图可知，直线与函数图象无公共点，符合题意， 当时，直线表示直线和， 直线与函数图象无公共点， 若直线与函数图象无公共点，则， 综上的取值范围是. 8．函数(且)的定义域是 ，则实数的取值范围为____. 【答案】 【详解】因为函数的定义域为， 所以，不等式的解集为， 因此，函数是减函数，即， 故实数的取值范围为. 9．已知函数是指数函数，且.求函数的解析式. 【答案】 【分析】根据指数函数定义得到方程，解出值并检验即可. 【详解】由题意有，解得或， 当时，，此时，，所以，舍去； 当时，，此时，，所以，满足题意． 故. 10．已知函数满足. (1)求的值； (2)求函数的单调区间； (3)求函数的值域. 【答案】(1) (2)单调递减区间为 ，无增区间. (3) 【分析】（1）根据代入计算即可； （2）依题意可得，再根据指数函数的性质判断即可； （3）根据指数函数的值域即可求解. 【详解】（1）由题可得，因为且，所以； （2）函数为复合函数， 令，在上单调递增， ，在上单调递减，所以函数在上单调递减， 所以函数的单调递减区间为 ，无增区间. （3）因为，则，所以，所以函数的值域为. 11．已知且，解关于的不等式：． 【答案】 当时，不等式的解集为． 当时，不等式的解集为． 【分析】原不等式可化为：，然后按照和分类讨论，根据指数函数单调性和一元二次不等式的解法解不等式即可． 【详解】原不等式可化为：． 讨论如下： 当时，，解得或， 此时，原不等式的解集为． 当时，，解得， 此时，原不等式的解集为． 素养提升 12．是上的单调递增函数，则实数a的取值范围为（      ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接根据分段函数的单调递增所满足的三个条件计算可求解. 【详解】因为分段函数在上单调递增，需要同时满足三个条件： ①当时，指数函数且单调递增，所以底数需满足； ②当时，一次函数单调递增：所以一次项系数需满足，解得； ③在分界点处，左段的函数值不能超过右段在处的起始值， 即当时： ，化简得，解得. 联立三个条件，解得，即. 因此实数的取值范围为. 13．已知，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，构造函数，利用的单调性将不等式转化为即可求解. 【详解】已知函数， 令，构造新函数，则，因此，， 要满足，即满足， 由于指数函数在实数集上单调递增，一次函数也在实数集上单调递增， 所以在实数集上单调递增，所以不等式等价于，解得， 所以的取值范围是，故C正确. 14．若函数（，且）在上的最大值为4，最小值为，且函数在上是增函数，则_________，_________． 【答案】 / / 【分析】分类讨论的值，结合指数函数和幂函数的单调性得出答案. 【详解】当时，由的单调性知，，， 此时，，此时为减函数，不合题意； 当时，则，， 故，，在上是增函数，符合题意． 15．若函数的图象恒过定点，则的取值范围是_________. 【答案】 【分析】利用指数函数过定点，由指数为0求出参数，再结合指数函数的单调性求出的范围，进而可求的取值范围. 【详解】因为函数的图象恒过定点， 所以，解得，所以， 因为在上单调递增，所以，所以， 即的取值范围是. 16．已知函数（，）的图象所过的定点在直线上，则的最小值为______. 【答案】/ 【分析】先根据指数函数性质求得函数图象所过定点，代入直线方程得到，的线性关系，再通过基本不等式的“1的代换”求解最小值. 【详解】函数所过定点为， 依题意，该定点在直线上，则， 即， 故 ， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值为. 17．已知函数是奇函数，且． (1)求，的值； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据可得，再结合，即可求，的值. （2）结合函数的奇偶性，原不等式可化为，再结合函数的单调性，可把函数不等式转化为代数不等式求解. 【详解】（1）因为是奇函数，所以， 则． 因为， 所以． 又，所以， 解得，． （2）由（1）可得， 易得在上单调递增． 因为， 所以等价于， 则，解得或， 故不等式的解集为． 迁移创新 18．已知实数使得对任意恒成立，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数单调性将原不等式转化为二次函数恒成立问题，推导得到与的不等关系，再化简目标表达式结合基本不等式求解最小值. 【详解】因为对任意恒成立， 所以，即对任意恒成立. 所以，则，且. 所以，当且仅当即时等号成立. 所以当时，取得最小值. 19．已知函数，若对任意实数，都有，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由对任意实数，都有，得到，从而得到在上是单调递减函数，利用单调性得到的取值范围. 【详解】因为对任意实数，都有， 所以， 所以在上是单调递减函数， 所以， 所以实数的取值范围为，故选项A正确. 20．在上定义运算：，当时，不等式有解，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】利用运算的定义，结合不等式的性质可得的取值范围，从而得到实数的取值范围. 【详解】依题意得， 由得，所以 所以，所以. 当时，不等式有解，所以， 即实数的取值范围是. 21．已知函数，若，则的解集为_________；若，，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【分析】代入，分和两种情况，分别求解，最后取并集即可得出的解集；原题等价于“当时，恒成立”以及“当时，恒成立”同时满足，分别求出a的取值范围，最后取公共部分即可得解. 【详解】当时，. 当时，由可得，解得； 当时，由可得，解得. 综上所述，的解集为或. “若，”等价于“当时，恒成立”以及“当时，恒成立”同时满足. 当时，恒成立，因为当时，单调递增， 所以应满足，即； 当时，恒成立，则. 则，即a的取值范围为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $