第4章幂函数、指数函数与对数函数单元复习讲义（培优篇）-2026-2027学年高一上学期数学沪教版必修第一册

2026-2027学年高一数学秋季班同步培优讲义 第4章幂函数、指数函数与对数函数单元复习（提高篇） 知识点一、幂函数 1.幂函数的概念：一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数． 幂函数的特征： ①中前的系数为“1”；②中的底数是单个的自变量“”；③中是常数 2.常见幂函数的图象与性质 幂函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在上递增 上递增， 上递减 在上递增 在上递增 上递增 上递减 定点 注意：幂函数在区间上，当时，是增函数；当时，是减函数． 知识点二、指数函数 1.指数函数的定义：一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数． 2.指数函数的图象与性质 图象 定义域 值域 性质 过定点（0，1），即时， 当时，；当时， 当时，；当时， 在上是增函数 在上是减函数 温馨提示：（1）当时，指数函数的图象是“上升”的；当时，指数函数的图象是“下降”的． （2）指数函数且)的图象恒过点，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数且)的大致图象． 3.图象位置关系 底数的大小决定了图象相对位置的高低． （1）在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，“底大图高”．作出直线，与图象的交点从上至下即为底数从大到小的排列顺序． （2）在轴左侧，图象正好相反．如图所示的指数函数的底数的大小关系为 知识点三、对数函数 1.对数函数的概念 函数，且)叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是． 温馨提示：（1）对数函数是由指数函数反解后将互换得到的． （2）无论是指数函数还是对数函数，都有其底数，且 2.对数函数的图象及性质 图象 性质 定义域 值域 定点 过定点 单调性 是上的增函数 是上的减函数 3.当底数不同时对数函数图象的变化规律 作直线与所给图象相交，交点的横坐标即为对数的底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可得. 知识点一、幂函数 考点01 幂函数的概念、解析式及求值 1.己知幂函数的图象过点，则 . 2.函数是幂函数，则实数的值是_______ 3.已知幂函数的图象过点，则 ． 考点02 幂函数的定义域、值域问题 4.下列函数中定义域为的是（  ） A． B． C． D． 5.幂函数的定义域是（  ） A．R B． C． D． 6．幂函数图象过点，则的定义域为（  ） A． B． C． D． 7.已知幂函数的定义域是，则 ． 8.下列四组函数中，同组两个函数的值域相同的是（  ） A．与 B．与 C．与 D．与 考点03 幂函数的的图像 9.已知函数的大致图像如图所示，则_______． 10.如图所示是函数（、为互素的正整数）的图象，则（　　） A. 是奇数且 B. 是偶数，且 C. 是偶数，是奇数，且 D. 偶数，是奇数，且 11.当时，幂函数的图象总在的图像上方，则a的取值范围为_______ 12.幂函数y=xa，当a取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一组美丽的曲线（如图），设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xa，y=xb的图象三等分，即有BM=MN=NA，那么ab=______. 考点04 幂函数的性质 13．已知幂函数在上单调递减，若，则a的取值范围为 . 14.已知幂函数在上是严格减函数，则不等式的解集是__________. 15.已知函数在区间上是严格减函数且函数值不恒为负，则由整数构成的集合为__________. 16. 函数的大致图像如图，若函数图像经过和两点，且和是其两条渐近线，则________ 知识点二、指数函数 考点05 指数函数的概念、解析式及求值 17.函数是指数函数，则实数的取值范围为（  ） A． B． C． D． 18.已知指数函数的图像经过点，则_____________ 19.若指数函数的图像经过点，则其解析式为__________． 考点06 指数型函数的定义域、值域问题 20. 函数的定义域是 ． 21. 函数的定义域为_____________ 22. 函数的定义域是 ． 23. 函数的值域为（  ） A． B． C． D． 24. 若函数（且）在上的值域为，则（  ） A．3或 B．或 C．或 D．或 考点07 指数型函数的图像 25. 函数 的图象恒过定点（  ） A． B． C． D． 26．幂函数在上单调递增，则的图象过定点（    ） A． B． C． D． 27.设，，以下四幅图像中，可能代表函数与的图像是（ ） A. B. C. D. 28.已知函数的图象如图所示，则函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 29.函数图象的大致形状是（    ） A．  B．  C．  D．   30.已知，函数与的图象如图所示，则（ ） A. B. 且 C. 且 D. 31.已知函数，，且，则（  ） A．，， B．，， C． D． 考点08 指数型函数的性质 32. 已知，，，则三个数的大小关系是（  ） A． B． C． D． 33.若，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 34.若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 35. 若对任意的，都有恒成立，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 36.函数 的值域为（ ） A． B． C． D． 37.函数（且）的值域是，则实数（    ） A．3 B． C．3或 D．或 38．设且，函数在区间上的最小值为－8，则a的取值范围为（　　） A．或 B．或 C．或 D．前面三个答案都不对 39.已知幂函数在区间单调递增. (1)求k的值; (2)若函数，则是否存在实数m，使得的最小值为4?若存在，求m的值；若不存在，说明理由. 知识点三、对数函数 考点09 对数函数的概念、解析式及求值 40. 若函数是对数函数，则a的值是（    ） A．1或2 B．1 C．2 D．且 41．函数（，且）是对数函数，且过点，则 ． 42.已知函数是对数函数，且，则 ． 考点10 对数型函数的定义域、值域问题 43.函数的定义域为______. 44.函数的定义域是 45. 若函数的定义域为，则实数的取值范围为__________， 46.已知函数． (1)若，求的取值范围；(2)若，求的值域． 考点11 对数型函数的图像 47.已知常数且，假设无论取什么值，函数图象恒经过一个定点，则的值为__________. 48.函数，且的图象必经过的点是　　 A. B. C. D. 49.函数（且）的图象恒过定点A，且点A在幂函数的图象上，则______. 50.函数的图象是（ ） A. B. C. D. 51. ，则的范围是（    ） A． B． C． D． 52.利用函数图像解不等式：的解集是 . 考点12 对数型函数的性质 53.已知，则下列不等式一定成立的是　　 A． B． C． D． 54.函数的单调增区间是（   ） A．B．C． D． 55.函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 56.已知函数在上为严格减函数，则实数的取值范围为 . 57.函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 58. 已知函数. （1）当时，求的取值范围； （2）令，求在上的最小值. 59.已知函数，且. (1)求函数的定义域； (2)当时，求函数在[0,2]上的最大值. 60.已知函数，且. (1)若，求函数的单调递增区间； (2)若函数的最小值为，求的值. 知识点四、综合提升 61.已知幂函数的图象关于轴对称． (1)求的解析式； (2)若，且不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围． 62. 已知函数． (1)当时，求该函数的值域； (2)求不等式的解集； (3)若对于恒成立，求的取值范围． 63.已知幂函数在上是严格增函数． (1)求的值； (2)设，求在上的最小值； (3)若存在，使得不等式成立，求的取值范围． 64.已知函数 . （1）解不等式 （2）若关于 的方程 的解集中恰好有一个元素，求 的值； （3）若对任意 ，函数 在区间 上总有意义，且最大值与最小值的差不小于2，求 的取值范围. 65. 已知函数． （1）若，求的定义域； （2）若在上单调递增，求的取值范围； （3）设，若对任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学秋季班同步培优讲义 第4章幂函数、指数函数与对数函数单元复习（提高篇） 知识点一、幂函数 1.幂函数的概念：一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数． 幂函数的特征： ①中前的系数为“1”；②中的底数是单个的自变量“”；③中是常数 2.常见幂函数的图象与性质 幂函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在上递增 上递增， 上递减 在上递增 在上递增 上递增 上递减 定点 注意：幂函数在区间上，当时，是增函数；当时，是减函数． 知识点二、指数函数 1.指数函数的定义：一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数． 2.指数函数的图象与性质 图象 定义域 值域 性质 过定点（0，1），即时， 当时，；当时， 当时，；当时， 在上是增函数 在上是减函数 温馨提示：（1）当时，指数函数的图象是“上升”的；当时，指数函数的图象是“下降”的． （2）指数函数且)的图象恒过点，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数且)的大致图象． 3.图象位置关系 底数的大小决定了图象相对位置的高低． （1）在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，“底大图高”．作出直线，与图象的交点从上至下即为底数从大到小的排列顺序． （2）在轴左侧，图象正好相反．如图所示的指数函数的底数的大小关系为 知识点三、对数函数 1.对数函数的概念 函数，且)叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是． 温馨提示：（1）对数函数是由指数函数反解后将互换得到的． （2）无论是指数函数还是对数函数，都有其底数，且 2.对数函数的图象及性质 图象 性质 定义域 值域 定点 过定点 单调性 是上的增函数 是上的减函数 3.当底数不同时对数函数图象的变化规律 作直线与所给图象相交，交点的横坐标即为对数的底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可得. 知识点一、幂函数 考点01 幂函数的概念、解析式及求值 1.己知幂函数的图象过点，则 . 【答案】 【分析】先根据幂函数的定义及所过的点求出函数解析式，进而可得出答案. 【解析】因为函数是幂函数， 所以，解得， 又幂函数的图象过点， 所以，解得， 所以， 所以. 故答案为：. 2.函数是幂函数，则实数的值是_______ 【答案】或 【分析】根据幂函数的定义求解. 【解析】由幂函数的定义知， 即，解得或． 3.已知幂函数的图象过点，则 ． 【答案】8 【分析】设出解析式，代入点的坐标，求出，再代入求值即可. 【解析】令，由题意得，即， 解得，故， 则． 故答案为：8 考点02 幂函数的定义域、值域问题 4.下列函数中定义域为的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将分数指数幂化为根式，再根据幂函数的图像与性质即可得到答案. 【解析】，定义域为，故A错误； ，定义域为，故B错误； ，定义域为，故C正确； ，定义域为，故D错误， 故选：C. 5.幂函数的定义域是（  ） A．R B． C． D． 【答案】B 【分析】利用幂函数的定义直接求出定义域. 【解析】函数的定义域为. 故选：B. 6．幂函数图象过点，则的定义域为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出幂函数，代入点坐标得到函数解析式，确定函数定义域，得到，解得答案. 【解析】设幂函数为，则，故，， 则的定义域为， 故满足，解得. 故选：A. 7.已知幂函数的定义域是，则 ． 【答案】 【分析】根据幂函数的系数为，求出的值，再结合幂函数的定义域进行检验即可. 【解析】因为函数为幂函数，则，即， 解得或， 当时，函数的定义域为，合乎题意； 当时，函数的定义域为，舍去. 综上所述，. 故答案为：. 8.下列四组函数中，同组两个函数的值域相同的是（  ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】根据幂函数的性质逐项分析即得. 【解析】对于A，的定义域为，∵，∴的值域为， 的定义域和值域均为，故A错误； 对于B，的定义域为，其值域为， 的定义域为，其值域为，故B错误； 对于C，的定义域为，其值域为， 的定义域为，其值域为，故C正确； 对于D，的定义域为，其值域为， 的定义域和值域均为，故D错误， 故选：C. 考点03 幂函数的的图像 9.已知函数的大致图像如图所示，则_______． 【答案】 【分析】根据图像的对称性，可得到函数的奇偶性；再由图像与坐标轴的关系，即可判断的取值. 【详解】因为图像关于轴对称，所以函数是偶函数； 又因为图像与坐标轴无交点，所以指数为负数.综上所述，. 故答案为：. 10.如图所示是函数（、为互素的正整数）的图象，则（　　） A. 是奇数且 B. 是偶数，且 C. 是偶数，是奇数，且 D. 偶数，是奇数，且 【答案】D 【分析】根据给定的图象，结合幂函数的图象性质判断得解. 【详解】观察图象得，函数在上单调递增，则， 当时，，则，BC错误； 函数的图象关于轴对称，则是偶数，是奇数，A错误，D正确. 故选：D 11.当时，幂函数的图象总在的图像上方，则a的取值范围为_______ 【答案】 【分析】问题转化为不等式恒成立问题，利用不等式的性质，结合幂函数的单调性进行求解即可. 【详解】因为当时，幂函数的图象总在的图像上方， 所以当时，恒成立， ， 因此要想时，恒成立，只需， 因此a的取值范围为， 故答案为： 12.幂函数y=xa，当a取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一组美丽的曲线（如图），设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xa，y=xb的图象三等分，即有BM=MN=NA，那么ab=______. 【答案】 【分析】求得的坐标，进而求得，从而求得. 【详解】依题意，，所以是线段的三等分点， 而，所以， 所以， . 故答案为： 考点04 幂函数的性质 13．已知幂函数在上单调递减，若，则a的取值范围为 . 【答案】 【解析】幂函数在上单调递减，则，解得， 不等式化为，显然函数在R上单调递增， 因此，解得， 所以a的取值范围为. 14.已知幂函数在上是严格减函数，则不等式的解集是__________. 【答案】 【分析】利用幂函数的定义确定的值，从而利用单调性解不等式即可求解. 【详解】因为是幂函数，则，得或， 又因为幂函数在上是严格减函数，所以，， 因为，则或或， 所以或. 所以解集为； 故答案为：. 15.已知函数在区间上是严格减函数且函数值不恒为负，则由整数构成的集合为__________. 【答案】 【分析】变形函数式，由减函数及在上的最大值不小于0求出的范围即可. 【详解】函数， 由函数在区间上是严格减函数，得，解得， 由函数值不恒为负，得，解得，因此，而， 所以整数构成的集合为. 故答案为： 16. 函数的大致图像如图，若函数图像经过和两点，且和是其两条渐近线，则________ 【答案】 【分析】先由函数图像，得到函数关于对称，推出，化原函数为，再由函数图像所过定点，即可求出参数，得出结果. 【详解】由图像可得：函数关于对称， 所以有，即，因此， 又函数图像经过和两点， 所以，解得：，因此， 所以. 故答案为： 【点睛】本题主要考查由函数图像求参数，熟记函数的对称性，以及待定系数法求函数解析式即可，属于常考题型. 知识点二、指数函数 考点05 指数函数的概念、解析式及求值 17.函数是指数函数，则实数的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由指数函数的定义得解得，且，故的取值范围是． 故选：C. 18.已知指数函数的图像经过点，则_____________ 【答案】4 【分析】将点代入解析式，求出解析式即可求解. 【解析】由指数函数的图象经过点， 可得，解得，所以， 故答案为：4 19.若指数函数的图像经过点，则其解析式为__________． 【答案】 【分析】设指数函数的解析式为，(且)，代入计算即可得解. 【详解】设指数函数的解析式为，(且)， 因指数函数的图像经过点， 则，即，则其解析式为. 故答案为：. 考点06 指数型函数的定义域、值域问题 20. 函数的定义域是 ． 【答案】且 【分析】根据题意得到求解即可. 【解析】由题知：且. 故答案为：且. 21. 函数的定义域为_____________ 【答案】定义域 【分析】由得定义域； 【解析】要使函数式有意义，则，解得. 所以函数的定义域为. 故答案为: 22. 函数的定义域是 ． 【答案】. 【解析】由题意得，解得且， 所以函数的定义域为， 23. 函数的值域为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，求出的范围，根据指数函数的单调性即可求解. 【解析】依题意， 令，则， 因为单调递减，且 所以， 所以. 故选：A. 24. 若函数（且）在上的值域为，则（  ） A．3或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据指数函数的单调性即可求解. 【解析】当时，在上单调递减， 则，解得， 此时. 当时，在上单调递增， 则，解得或（舍去）， 此时 综上可得：为或. 故选：C 考点07 指数型函数的图像 25. 函数 的图象恒过定点（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过令即可求出定点. 【解析】对于函数（），令，即. 当时，. 所以函数（）的图象恒过定点. 故选：D. 26．幂函数在上单调递增，则的图象过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为幂函数在上单调递增， 所以，解得，所以， 故令得，所以 所以的图象过定点. 故选：D. 27.设，，以下四幅图像中，可能代表函数与的图像是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】逐一分析各选项的指数型函数图象或对数型函数图象得到参数情况，进而得到另一个函数图象性质即可判断得解. 【详解】对A，函数单调递增，且图象与y轴相交于x轴下方， 所以且， 所以函数单调递增且图象为向右平移个单位得到，不可能过原点，故A错误； 对B，函数单调递增，且图象过原点， 所以且， 所以函数单调递增，且图象为向上平移个单位得到，故B正确； 对C，函数单调递减，且图象过原点， 所以且， 所以函数单调递减，且图象为向右平移个单位得到，不可能过原点，故C错误； 对D，函数单调递减，且图象过原点， 所以且， 所以函数单调递减，故D错误. 故选：B 28.已知函数的图象如图所示，则函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】由图可知的两个根其中一个根在，另一个根在，结合，可得的范围，结合指数的单调性即可判断. 【详解】的图象与x轴的交点的横坐标为方程的两个根， 由可得两根为， 又，所以， 由可知，为增函数， 又由，得，所以的图象与y轴的交点在x轴上方， 只有C选项满足题意， 故选：C 29.函数图象的大致形状是（    ） A．  B．  C．  D．   【答案】D 【解析】函数定义域为，且 当时，函数是一个指数函数，因为， 所以函数在上是减函数；故排除A，C； 当时，函数图象与指数函数的图象关于轴对称， 在上是增函数．故排除B． 故选：D. 30.已知，函数与的图象如图所示，则（ ） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】B 【分析】分别对进行讨论分析，得到相应的函数图象，与已知图象进行对比，可得正确答案. 详解】解：函数 因为已知图象连续，且不恒等于1，所以且 当时,,其图象大致为： 当时，,其图象大致为： 因为函数的图象在第一象限单调递增，所以. 当时，其图象大致为： 当时，其图象为： 当时，其图象大致为： 对照已知图象，可得：且 故选：B. 31.已知函数，，且，则（  ） A．，， B．，， C． D． 【答案】D 【分析】画出的图象，根据以及的大小关系确定正确答案. 【解析】令，解得， 画出的图象如下图所示， 由于，且， 由图可知：，，的值可正可负也可为，所以AB选项错误. 当时，， 满足，，所以C选项错误. ， ，所以，D选项正确. 故选：D    考点08 指数型函数的性质 32. 已知，，，则三个数的大小关系是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用指数函数性质比较大小即得. 【解析】依题意，，，， 所以. 故选：A. 33.若，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数的单调性解不等式即可得出结果． 【解析】因，则， 即，解得， 所以的取值范围为． 故选：B． 34.若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】是由与复合而成，先分析外层函数单调性，再根据复合函数单调性确定内层函数单调性，进而求出的取值范围. 【解析】是由与复合而成， 在中，，，所以在上单调递减. 因为在上单调递减，且外层函数在上单调递减， 根据复合函数“同增异减”的原则，可知内层函数在上单调递增. 对于二次函数，其图象开口向上，对称轴为. 二次函数在对称轴右侧单调递增，要使在上单调递增， 则对称轴需满足，解得. 故选：A. 35. 若对任意的，都有恒成立，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将函数化为,分和两种情况讨论在区间上的最大值,进而求【解析】由得， ，所以的最小值为， 所以，． 故选：B． 36.函数 的值域为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的单调性来得到值域. 【详解】因为， 那么可知 ， 而函数在上是增函数，故有：， 所以: ，故C项正确 故选：C. 37.函数（且）的值域是，则实数（    ） A．3 B． C．3或 D．或 【答案】C 【分析】由指数函数的性质分别对和的情况讨论单调性并求值域，从而列方程组即可得到答案. 【详解】函数（且）的值域为， 又由指数函数的单调性可知， 当时，函数在上单调递减，值域是 所以有，即 ，解得； 当时，函数在上单调递增，值域是 所以有，即 ，解得. 综上所述，或. 故选：C. 38．设且，函数在区间上的最小值为－8，则a的取值范围为（　　） A．或 B．或 C．或 D．前面三个答案都不对 【答案】C 【分析】首先换元令，则函数等价于，根据题意能取到，分 和两种情况讨论即可. 【解析】设，则函数等价于， 因为函数函数在区间上的最小值为－8， 所以能取到， 当时，， 所以，可得， 当时，， 所以，可得， 故选：C 39.已知幂函数在区间单调递增. (1)求k的值; (2)若函数，则是否存在实数m，使得的最小值为4?若存在，求m的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)1 (2)存在m=3 【分析】（1）根据幂函数的定义，可求得k值，根据的单调性，分析判断，即可得答案. （2）由（1）得，则，分别讨论对称轴、和三种情况，根据二次函数的性质，求解即可得答案. 【详解】（1）因为是幂函数，所以， 解得或， 当时，在区间单调递减，不符合题意， 当时，在区间单调递增，符合题意， 所以. （2）由 （1） 函数的解析式为， 由函数，得， 函数为开口向上，对称轴为的抛物线， ①当即时，则，解得，满足题意； ②当时，即时，则，无解，舍去； ③当时，即时，则，解得，不满足，舍去； 综上所述，存在使得的最小值为4. 知识点三、对数函数 考点09 对数函数的概念、解析式及求值 40. 若函数是对数函数，则a的值是（    ） A．1或2 B．1 C．2 D．且 【答案】C 【分析】根据对数函数的定义即可得到方程，解出即可. 【详解】∵函数是对数函数， ∴，且， 解得或，∴， 故选：C． 41．函数（，且）是对数函数，且过点，则 ． 【答案】1 【解析】由题设，可得，故， 所以. 42.已知函数是对数函数，且，则 ． 【答案】/ 【分析】根据，求得对数函数解析式，再将代入计算即可. 【详解】设，且， 因为， 所以，解得， 所以， 所以. 故答案为：. 考点10 对数型函数的定义域、值域问题 43.函数的定义域为______. 【答案】 【分析】根据对数真数大于零以及二次根式有意义的条件列不等式求解即可. 【详解】要使函数有意义， 则，解得， 所以函数的定义域为， 故答案为：. 44.函数的定义域是 【答案】 【分析】对数的真数大于零，然后建立不等式求解即可. 【详解】由题可知，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为： 45. 若函数的定义域为，则实数的取值范围为__________， 【答案】 【分析】由题意得到恒成立，结合判别式即可求解. 【详解】由函数的定义域为，可得恒成立， 即， 解得， 所以实数的取值范围为， 故答案为： 46.已知函数． (1)若，求的取值范围；(2)若，求的值域． 【答案】(1)(2) 【分析】利用对数函数的单调性求出函数的值域 【详解】（1）由可知，即得：， 由得：，即， 因在定义域内是增函数，故得，即， 又因，故的取值范围. （2）由可得，因在定义域内是增函数，则， 故得：，即函数的值域为. 考点11 对数型函数的图像 47.已知常数且，假设无论取什么值，函数图象恒经过一个定点，则的值为__________. 【答案】5 【分析】利用对数函数性质求解定点可得，进而求解即可. 【详解】令，得，此时， 则函数的图象恒过定点，即， 所以. 故答案为：5 48.函数，且的图象必经过的点是　　 A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据对数和指数恒过定点即，求出定点的坐标即可． 【详解】由对数可得，由指数可得 故令，解得：，此时，代入得 ， 故图象过， 故选． 【点睛】本题考查了函数恒过定点问题，根据，是解题的关键． 49.函数（且）的图象恒过定点A，且点A在幂函数的图象上，则______. 【答案】 【分析】根据对数的性质结合题意求出点的坐标，再点的坐标代入中求出，从而可求出的解析式. 【详解】因为函数（且）的图象恒过定点A， 所以点的坐标为， 设，则，得， 所以， 故答案为： 50.函数的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数的性质判断． 【详解】，当或时，，，排除AD， 当时，，，排除C， 故选：B． 51. ，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出函数的图象，可得出，再利用对勾函数的单调性求解即可. 【详解】作出函数的图象如下图所示： 由图象可知，，且， 所以，即， 所以， 因为函数在上单调递减，且时，， 所以当时，， 即的范围是. 故选：C. 52.利用函数图像解不等式：的解集是 . 【答案】 【分析】画出函数，的图像，根据图像得到答案. 【详解】画出函数，的图像，如图所示： 当时，，根据图像知：当时， 故答案为：. 考点12 对数型函数的性质 53.已知，则下列不等式一定成立的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由可得，然后对选项一一分析即可得出答案． 【解答】解：由可知， 所以，所以错误； 因为，但无法判定与1的大小，所以错误； 当时，，故错误； 因为，所以，故正确． 故选：． 54.函数的单调增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对数函数单调性、二次函数单调性以及复合函数单调性求解即可. 【详解】由题意中，，解得：， 又因为在上单调递增，在上单调递减，且为增函数， 根据复合函数同增异减的原则可知：函数的单调递增区间是. 故选：B. 55.函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由复合函数的单调性判断方法可得，再由函数的定义域范围可得结果. 【详解】由复合函数的单调性可知，内层函数在上单调递增，故， 且在上恒成立，只需，即，解得. 综上，的取值范围是. 故选：C. 56.已知函数在上为严格减函数，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用对数函数的单调性以及复合函数的同增异减解决问题 【详解】令，函数在上单调递增， 而函数在上为严格减函数， 则，，且在上单调递减， 因此，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 57.函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助复合函数单调性计算即可得. 【详解】由函数在上单调递减， 则函数在上单调递减， 且在上恒成立， 则有，解得， 故实数的取值范围为. 故选：D. 58. 已知函数. （1）当时，求的取值范围； （2）令，求在上的最小值. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）依题意可得，令，求出的取值范围，从而求出的取值范围； （2）依题意可得，再令，结合二次函数的性质计算可得. 【小问1详解】 因为， 令，即，则或， 解得或， 所以的取值范围为； 小问2详解】 因为 ， 令，因为，则， 此时有， 令，， 当时，； 当时，； 当时，； 综上可得. 59.已知函数，且. (1)求函数的定义域； (2)当时，求函数在[0,2]上的最大值. 【答案】(1) (2). 【难度】0.65 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求对数型复合函数的定义域 【分析】（1）根据对数函数定义域解不等式组即可求出函数的定义域；（2）根据对数函数的单调性与二次函数的性质即可求出时函数在[0，2]上的最大值. 【详解】（1）依题意有解得， 故函数的定义域为. （2）当时，，其中， 令， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 又是减函数， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又， 故函数在[0,2]上的最大值为. 60.已知函数，且. (1)若，求函数的单调递增区间； (2)若函数的最小值为，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）确定函数的定义域，结合复合函数的单调性的判断，即可求得答案； （2）令，分和两种情况讨论，根据函数单调性结合最值，即可求得答案. 【详解】（1）因为，所以，解得， 即函数的定义域为， ， 因为在上单调递增，在上单调递减， 又，所以在定义域上单调递增， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 即得的单调递增区间为； （2）由（1）令，则，， 当时，函数在上单调递增，函数不存在最小值，故舍去； 当时，函数在上单调递减，， 所以，解得，符合题意，故. 知识点四、综合提升 61.已知幂函数的图象关于轴对称． (1)求的解析式； (2)若，且不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂函数定义得到系数为，再结合奇偶性计算即可得解； （2）由（1）可得在区间上恒成立，将不等式进行参变分离，得到在上恒成立，由二次函数求出最小值，从而得出结论. 【详解】（1）因为是幂函数， 所以，解得或， 当时，为偶函数，图象关于y轴对称， 当时，为奇函数，图象关于原点对称，不符， 所以， （2）由（1）得， 由不等式在区间 上恒成立， 则在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 令，对称轴为， 则函数在单调递减，在单调递增， 则， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 62. 已知函数． (1)当时，求该函数的值域； (2)求不等式的解集； (3)若对于恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或． (3) 【分析】（1）根据对数的运算性质，结合换元法，将转化为，，利用二次函数的性质即可求解， （2）换元，解一元二次不等式，进而根据对数的单调性求解， （3）换元，分离参数，将问题转化为在上恒成立，即可利用函数的单调性求解最值得解. 【解析】（1）因为 令，，则， 函数转化为，， 则二次函数，对称轴为， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取到最小值为，当时，取到最大值为5， 故当时，函数的值域为． （2）由题得，令， 则，即，解得或， 当时，即，解得； 当时，即，解得， 故不等式的解集为或． （3）由于对于上恒成立， 令，，则，即在上恒成立， 所以在上恒成立， 因为函数在上单调递增，也在上单调递增， 所以函数在上单调递增，它的最大值为， 故时，对于恒成立． 63.已知幂函数在上是严格增函数． (1)求的值； (2)设，求在上的最小值； (3)若存在，使得不等式成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)最小值是 (3) 【分析】（1）由幂函数定义及其性质求解； （2）判断单调性求值； （3）令，将问题转化为求解. 【详解】（1）因为为幂函数，且在单调递增， 所以，解得. （2） 令，而函数在单调递增， 所以在单调递减，所以函数在单调递减， 又是增函数，根据复合函数单调性可知在单调递减， 所以当时，取得最小值. （3）令，因为，所以， 则不等式即，所以，， 所以， 又的对称轴为， 所以当时，取得最小值， 所以的取值范围是. 64.已知函数 . （1）解不等式 （2）若关于 的方程 的解集中恰好有一个元素，求 的值； （3）若对任意 ，函数 在区间 上总有意义，且最大值与最小值的差不小于2，求 的取值范围. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用对数函数的单调性，求不等式的解集即可； （2）根据题意得出方程恰有一个实根，化简转化为判断方程的根的个数问题，通过讨论和即可求解； （3）对任意，函数在区间上总有意义，得对恒成立，求得.根据题意得出，即对任意恒成立，利用二次函数在区间上恒成立求得的范围. 【小问1详解】 由有：， 所以，即， 所以； 【小问2详解】 由有：， 所以，即， 当时，，满足题意， 当时，由， 所以，满足题意， 当时，方程有两个不等的实根，不妨设为， 由有，因为，所以， 所以，所以都满足，不满足题意， 综上所述，或； 【小问3详解】 因为对任意 ，函数 在区间 上总有意义， 所以对恒成立， 因为在上为减函数，故只需对任意恒成立， 所以只要，故，解得， 对任意，函数在区间上单调递减， 所以函数在区间上最大值为，最小值为， 所以， 所以对任意恒成立， 令， 当时，对任意不恒成立， 当时，在单调递增，不满足题意， 当时，对任意恒成立，有三种情况： 第一种：当，所以， 第二种：，又，所以无解， 第三种：，无解， 所以实数a的取值范围是. 65. 已知函数． （1）若，求的定义域； （2）若在上单调递增，求的取值范围； （3）设，若对任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据基本初等函数定义域，列出一元二次不等式，求出解集即可； （2）根据复合函数单调性，判断二次函数在区间上的单调性和值域，列出不等式，求出参数范围即可； （3）根据双变量恒成立的问题，判断函数最值之间的关系，根据复合函数单调性求出函数最值，进而列出不等式，求出参数范围. 【小问1详解】 由题意得，因式分解得，解得或， 即函数定义域为. 【小问2详解】 因为在上单调递增，所以当 在上单调递增时，函数在单调递增且， 因为是对称轴为直线，开口向上的二次函数， 则，解得， 所以的取值范围为. 【小问3详解】 对任意，存在，使得不等式成立，即任意，恒成立， 由， 当时，，则，所以， 可得任意，恒成立，即恒成立， 等价于恒成立； 因为在上单调递增，即在恒成立即可， 即在恒成立， 由对勾函数可知在上单调递减，所以； 可得时在恒成立； 所以的取值范围为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $