专题14 对数函数（8大题型+能力训练）培优讲义-2025-2026学年高一上学期数学沪教版必修第一册

2025-2026学年高一数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题13 对数函数 知识点01对数函数的概念 1、对数函数的概念 一般地，函数叫做对数函数，其中指数是自变量，定义域是. 判断一个函数是对数函数的依据 （1）形如；（2）底数满足；（3）真数是，而不是的函数；（4）定义域.例如：是对数函数，而、都不是对数函数，可称为对数型函数. 2、两种特殊的对数函数 特别地,我们称以10为底的对数函数为常用对数函数,记作;称以无理数为底的对数函数为自然对数函数,记作. 知识点02对数函数的图象与性质 函数的图象和性质如下表： 底数 图象 性质 定义域 值域 单调性 增函数 减函数 知识点03底数a对对数函数图象的影响 (1)底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”.当a>1时，对数函数的图象“上升”;当0<a<1时,对数函数的图象“下降”. (2)函数y=与y= (a>0,且a≠1)的图象关于x轴对称. (3)底数的大小决定了图象相对位置的高低：无论是a>1还是0<a<1,在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大.①上下比较：在直线x=1的右侧,a>1时,a越大,图象越靠近x轴;0<a<1时,a越小,图象越靠近x轴;②左右比较：比较图象与直线y=1的交点,交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数越大. 考点一、对数函数的概念 题型01：对数函数的概念辩析 【例1】下列函数是对数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数(且)为对数函数， 所以ABC均为对数型复合函数，而D是底数为自然常数的对数函数. 故选：D. 【例2】若函数为对数函数，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题可知：函数为对数函数 所以或，又且 所以 故选：B 【跟踪训练】 1.已知函数①；②；③；④；⑤；⑥.其中是对数函数的是（    ） A．①②③ B．③④⑤ C．③④ D．②④⑥ 【答案】C 【解析】根据对数函数的定义，只有符合（且）形式的函数才是对数函数，其中x是自变量，a是常数.易知，①是指数函数；②中的自变量在对数的底数的位置，不是对数函数；③中，是对数函数；④中，是对数函数；⑤⑥中函数显然不是对数函数，由此可知只有③④是对数函数. 故选：C. 2.给出下列函数： （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．其中是对数函数的是 ．（将符合的序号全填上） 【答案】（1）（2）（3） 【分析】根据对数函数的定义判断． 【详解】（4）的系数不是1，（5）的真数不是x，（6）的真数不是x． 故答案为：（1）（2）（3）． 3.若函数为对数函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数函数的定义，令直接计算即可. 【详解】由题可知：函数为对数函数 所以或，又且 所以 故选：B 4.函数中，实数的范围是______ 【分析】利用对数函数的定义列出不等式解出即可. 【详解】因为， 所以根据对数函数的定义得：， 即：，所以或， 题型02：求对数函数的解析式或值 【例3】对数函数的图像过点M(125，3)，则此对数函数的解析式为（    ） A．y＝log5x B．y＝ C．y＝ D．y＝log3x 【答案】A 【解析】设函数解析式为y＝logax(a>0，且a≠1)． 由于对数函数的图像过点M(125，3)， 所以3＝loga125，得a＝5. 所以对数函数的解析式为y＝log5x. 故选：A. 【例4】函数（且），若它的图象经过，，则 ． 【答案】8 【分析】先将坐标代入函数中求出的值，从而可求出函数解析式，再将代入函数中可求出. 【详解】因为的图象经过，所以， 所以，因为，所以， 所以， 因为点在函数图象上，所以. 故答案为：8 【跟踪训练】 1.对数函数的图象过点M(16,4)，则此对数函数的解析式为(　　) A．y＝log4x B．y＝ x C．y＝ x D．y＝log2x 【答案】D 【解析】由于对数函数的图象过点M(16,4)，所以4＝loga16， 得a＝2所以对数函数的解析式为y＝log2x，故选D. 2.已知函数的图象过点（8，3），则的值为（    ） A．－1 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】将点代入函数解析式计算求得，即，即，再代入，即可得到答案． 【详解】因为函数的图象过点，所以，即， 则，解得，所以，则， 故选:B． 3.已知函数，若图象过点，则的值为（    ） A．－2 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】首先代入点求函数的解析式，再求函数值. 【详解】由条件可知，，得， 所以. 故选：B 考点二、对数函数的图像及应用 题型03：对数函数的图象识别 【例5】如图所示的曲线分别是对数函数，，，的图象，则，，，，1，0的大小关系为 （用“＞”号连接）． 【答案】 【分析】由对数函数的图象与性质判断 【详解】由题图可知，，，． 直线与四个函数图象交点的横坐标从左向右依次为，，，， 故答案为： 【例6】已知（且，且），则函数与的图像可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【解析】，即为，即有ab＝1. 当a＞1时，0＜b＜1， 函数与均为减函数，四个图像均不满足 当0＜a＜1时，b＞1， 函数数与均为增函数，排除ACD 在同一坐标系中的图像可能是B， 故选：B． 【跟踪训练】 1.如图（1）（2）（3）（4）中，不属于函数，，的一个是（    ） A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 【答案】B 【分析】根据对数函数的性质判断即可. 【详解】因为， （3）是，（4）是，又与关于轴对称， （1）是． 故选：B． 2．函数的大致图象为（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】先通过对数运算化简，然后由对数函数的图象变换即可求解. 【解析】令，解得， 由题意，，且， 所以的图象由图象向上平移一个单位长度即可. 故选：C. 3.函数与的图象只可能是下图中的（   ） A．  B． C．  D． 【答案】C 【分析】由一次函数图象得出的取值范围，利用对数函数的图象和性质逐项判断可得. 【详解】A中，由的图象知，则为增函数，A错； B中，由的图象知，则为减函数，B错； C中，由的图象知，则为减函数，所以C对； D中，由的图象知，此时无意义，D错． 故选：C. 4.已知，函数与函数的图象可能是（    ） A．  B．C．   D． 【答案】C 【分析】根据题意结合指数函数和对数函数的单调性判断. 【详解】则，从而， 当时，函数与函数在定义域内都是单调递增； 当时，函数与函数在定义域内都是单调递减； 函数与函数在定义域内单调性相同. 故选：C. 题型04：对数函数的图象变换 【例7】作出下列函数的图象： (1)；(2)；(3)；(4)． 【分析】（1）应用对数函数图像结合关于轴得出对称的图像； （2）应用对数函数图像结合关于轴得出对称的图像； （3）应用对数函数图像将轴下方的图像翻折到轴上方； （4）应用对数函数图像结合关于轴得出对称的图像； 【详解】（1）作出关于轴对称的图像，可得的图像，如图（1）． （2）作出关于轴对称的图像，可得的图像，如图（2）． （3）作出，将轴下方的图像翻折到轴上方，可得的图像，如图（3）． （4）作出的图像，再作出关于轴对称的图像，即得到另外一半图像，可得的图像，如图（4）． 【例8】函数（ 且 ）的图像大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数图像过的定点和函数的值域可判断正确选项. 【详解】，函数定义域为， 有，函数图像过原点，AD选项不符合，，B选项不符合. 故选：C. 【跟踪训练】 1.画出下列函数的图像： (1)；(2)；(3)． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 【分析】（1）利用描点法作出函数图象. （2）（3）利用变换法作出函数图象. 【详解】（1）函数的定义域为，列表如下： x 1 3 y 0 1 描点、连线，作出图象： （2）作出函数的图象，把函数的图象向右平移1个单位长度得的图象，如图： （3）作出函数的图象，把函数的图象在x轴下方部分沿x轴向上翻折得的图象，如图： 2.如图，其所对应的函数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设函数为，由图可知，，排除C,D，又，排除A. 故选：B. 题型05:根据对数型函数图 象判断参数的范围 【例9】已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】因为函数为减函数，所以 又因为函数图象与轴的交点在正半轴，所以，即 又因为函数图象与轴有交点，所以，所以， 故选：D 【跟踪训练】 1.已知实数且，函数的大致图象如下，则，的取值范围可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数的单调性可得，由，可求得. 【详解】由图象可知函数是减函数，所以； 当时，，所以． 故选：C. 2.已知函数为常数，其中的图象如图，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图象可根据函数的单调性以及经过的点求解. 【详解】由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，所以； 因为图象与轴的交点在轴上方，所以，所以. 故选：D 3.若函数的大致图象如图，其中为常数，则函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数的图象可推得，，且，可得函数的图象递减，且，从而可判断答案. 【详解】由函数的图象为减函数可知，， 再由图象的平移变换知，的图象由向左平移不超过一个单位，可知， 故函数的图象递减，且，则符合题意的只有B中图象 故选：B. 题型06：对数型函数过定点问题 【例10】若且，则函数的图像恒过定点（    ） A．（2，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（2，2） 【答案】D 【解析】根据对数函数的性质，当时，则，则函数过定点. 故选：D. 【例11】函数的图象恒过定点，若在直线上，其中，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，，即 因为在直线上，所以 当且仅当时，取等号，即的最小值为 故选：A 【跟踪训练】 1.函数且的图象必经过点 . 【答案】 【分析】由对数函数的性质即可得出. 【详解】因为且， 当时，， 所以且的图象恒过定点. 故答案为：. 2.已知函数（且）的图象过定点，正数、满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为（且），令，解得，所以，即函数过定点，所以，故A错误； 因为、，，当且仅当时取等号，，当且仅当时取等号，，当且仅当时取等号. 故选：D 3.已知幂函数的图象过函数且的图象所经过的定点，则的值等于（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】首先根据函数是幂函数求，再根据函数所过定点求. 【详解】因为函数为幂函数，所以，得，即， 函数且的定点为， 即. 故选：D 4.若函数（且）的图象恒过定点，且点在指数函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数恒过定点分析得出点坐标，再设指数函数，代入点即可得出结果． 【详解】由对数函数恒过定点得函数恒过定点，设指数函数（且），则，故． 故选：A． 题型07：对数函数图象的应用 【例12】已知函数，若且，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】作出函数的图象，可得出，利用双勾函数的单调性可求得的取值范围. 【详解】画出的图象如图： ∵，且， ∴且，， ∴，即，∴，， 由图象得在上为减函数， ∴， ∴的取值范围是. 故答案为：. 【例13】已知函数，若，则（    ） A． B． C． D．以上选项均有可能 【答案】C 【解析】作出函数的图象，如图： 由题意可知，，且由图象可知，， 所以即， 所以，即，， 即， 故选：C 考点三、对数函数的性质 题型08：研究对数函数的单调性 【例14】下列函数中，在区间上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】逐项判断函数的单调性即可得出答案. 【详解】对于A，在区间上是增函数，故A错误； 对于B，在区间上是减函数，故B正确； 对于C，在上单调递增，故C错误； 对于D，在区间上是增函数，故D错误； 故选：B. 【例15】已知，条件，条件，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合对数函数的性质即可判断. 【详解】若成立，根据对数函数的性质，可得，即由可以推出. 若成立，当，时，满足. 但是此时无意义，所以不成立，即由不能推出. 综上，是的必要不充分条件. 故选：B 题型09：求对数型函数的单调区间 【例16】函数的单调递增区间为 . 【答案】 【分析】利用复合函数法可得出函数的单调递增区间. 【详解】对于函数，有，解得或， 所以，函数的定义域为， 因为内层函数在区间上单调递减，在上单调递增， 外层函数为增函数， 故函数的单调递增区间为. 故答案为：. 【跟踪训练】 1.函数的严格增区间为 . 【答案】 【分析】根据复合函数“同增异减”的法则，即可求解. 【详解】设，， 函数的定义域需满足，得， 根据复合函数“同增异减”的法则，可知，外层函数为单调递减函数， 要求复合函数的单调增区间，只需内层函数单调递减，即， 综上可知，，即函数的严格增区间为. 故答案为： 2.函数的单调递增区间是________． 【答案】 【解析】由，解得，所以函数的定义域为，令， 则函数在上单调递增，在上单调递减，又函数在其定义域上单调递增， 所以函数的单调递增区间是． 故答案为：. 3.函数的严格增区间是 . 【答案】 【分析】先求得对数型复合函数的定义域，再利用复合函数单调性求解即可. 【详解】由，即， 即，解得， 所以函数的定义域为， 设，则其图象开口向下，对称轴为， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又在定义域内单调递减， 因此函数的严格增区间是. 故答案为：. 题型10：根据对数型函数的单调性求参数 【例17】已知函数，函数在上单调递减，则的取值范围 ． 【答案】 【分析】由复合函数单调性的同增异减原则可知在上单调递减，且真数，在上恒成立，建立不等式求解即可. 【详解】函数在上单调递减，则在上单调递减， 因为二次函数的对称轴为，且开口向上，则， 要使得有意义，则，在上恒成立， 则， 故，解得，所以. 【例18】若函数在区间（2,4）上单调递增，则的取值范围是（    ） A．（0,2） B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复合函数的单调性及对数函数的定义域计算即可． 【详解】因为在区间（2,4）上单调递增， 底数，函数在定义域上单调递减， 又在区间（2,4）上单调递增， 则由复合函数单调性“同增异减”，可得在区间（2,4）上单调递减且恒为正， 所以且，所以 故选：C． 【跟踪训练】 1.已知函数在区间上递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】函数是由和复合而来，由复合函数单调性结论，只要在区间上单调递增且即可． 【详解】解：令， 由题意知：在区间上单调递增且， ，解得， 则实数的取值范围是． 故选：C． 2.若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数、复合函数的单调性，对数函数的定义域计算求解. 【详解】因为函数在上单调递减， 且函数在上单调递增， 所以在上单调递减，且在上恒成立， 则，解得， 所以的取值范围是. 故选：D. 3.函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复合函数的单调性和对数函数的定义域列不等式，解不等式即可. 【详解】由题意得，解得. 故选：D. 题型11：利用对数型函数的单调性解不等式 【例19】不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据对数函数的性质，把原不等式转化为不等式组，即可求解. 【详解】因为，可得对数函数为单调递增函数， 则原不等式等价于，解得，即原不等式的解集为. 故答案为：. 【例20】不等式的解集为 . 【答案】 【分析】由对数函数的性质列不等式组求解集即可. 【详解】由题设， 则，即，可得. 故答案为： 【跟踪训练】 1.不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用对数运算法则及对数函数单调性求解不等式. 【详解】不等式， 因此，解得， 所以原不等式的解集是. 故选：A 2.不等式的解集 . 【答案】 【分析】根据对数不等式的解法求得正确答案. 【详解】， 故原不等式化为， 即，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 3.不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，利用函数的单调性进行求解． 【详解】因为函数在定义域内均单调递增， 所以函数在定义域单调递增， 又， 所以不等式,即不等式的解集为． 故选：A 题型10：利用对数型函数单调性比较大小 【例21】比较下列各题中两个数的大小： (1)，； (2)，； (3)，（，且）． 【答案】(1)； (2)； (3)当时，；当时，. 【分析】（1）（2）（3）构造对数函数，利用对数函数的单调性比较大小得解. 【详解】（1）函数在上单调递增，而，所以. （2）函数在上单调递减，而，所以. （3）函数（，且）， 当时，在上单调递减，而，所以； 当时，在上单调递增，而，所以. 【例22】已知，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为为减函数，所以，即； 因为为增函数，所以，即； 因为为增函数，所以，即； 所以. 故选：D 【跟踪训练】 1.设，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数与对数函数的单调性比较大小即可. 【详解】易知， 所以，， 即. 故选：C 2.已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数的单调性得，由指数函数的性质得，即可比较. 【详解】，， 又，所以，即. 故选：A. 3.若，，，则实数a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由， 而：当时不满足；当时不满足， 所以. 综上，. 故选：A 考点四、综合提升 题型11：对数函数的实际应用 【例23】北京时间2023年2月10日0时16分，经过约7小时的出舱活动，神舟十五号航天员费俊龙、邓清明、张陆密切协同，圆满完成出舱活动全部既定任务，出舱活动取得圆满成功.载人飞船进入太空需要搭载运载火箭，火箭在发射时会产生巨大的噪声，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中大于0的常数是听觉下限阈值，是实际声压.声压级的单位为分贝，声压的单位为帕.若人正常说话的声压约为，且火箭发射时的声压级比人正常说话时的声压级约大，则火箭发射时的声压约为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定的模型，列出火箭发射时的声压级和人正常说话时的声压级表达式，联立求解即可. 【详解】令人正常说话时的声压级为，火箭发射时的声压级为，则， 而人正常说话的声压，火箭发射时的声压为， 于是，，两式相减得，解得， 所以火箭发射时的声压约为. 故选：D 【跟踪训练】 1.已知强度为的声音对应的等级为时，有，喷气式飞机起飞时，声音约为；一般说话时，声音约为.计算喷气式飞机起飞时的声音强度是一般说话时声音强度的（    ）倍. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设喷气式飞机起飞时的声音强度和一般说话时声音强度分别为、，利用对数的运算可求得的值. 【详解】设喷气式飞机起飞时的声音强度和一般说话时声音强度分别为、， 则，， 上述两个等式作差可得，解得， 因此，喷气式飞机起飞时的声音强度是一般说话时声音强度的倍. 故选：B. 【例24】“打水漂”是一种游戏：按一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好．小乐同学在玩“打水漂”游戏时，将一石片按一定方式投掷出去，石片第一次接触水面时的速度为5m/s，然后石片在水面上继续进行多次弹跳．不考虑其他因素，假设石片每一次接触水面时的速度均为上一次的，若石片接触水面时的速度低于2m/s，石片就不再弹跳，沉入水底，则小乐同学这次“打水漂”石片的弹跳次数为 ．（参考数据：） 【答案】4 【分析】根据题意得，即，根据指数函数的单调性和对数换底公式求解即可. 【详解】设这次“打水漂”石片的弹跳次数为， 由题意得，即，得. 因为， 所以,故. 故答案为：4 题型12：对数型函数的定义域 【例25】函数的定义域为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，解出即可得. 【详解】由，得，解得， 故的定义域为 故选：D． 【例26】函数定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得：，解得， 故选：B. 【例27】已知函数的定义域为，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【解析】因为的定义域为， 所以恒成立， 所以，所以． 故实数a的取值范围是． 故答案为：. 【跟踪训练】 1.函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数的真数大于0和二次根式被开方数大于等于0，直接求解即可. 【详解】由 解得，所以函数的定义域为. 故选：A. 2.函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数解析式，建立不等式组，可得答案. 【详解】由题意可得，解得. 故选：A. 3.函数定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以，解得且， 所以函数的定义域为； 故选：C 题型13：对数型函数的值域（最值） 【例28】下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分式型函数、对数函数、二次函数、指数型函数的性质，分别求出函数的值域即可判断. 【详解】对A，函数的值域为，故A不正确； 对B，函数的值域为，故B不正确； 对C，函数的值域为，故C不正确； 对D，因为，故函数值域为，故D正确. 故选：D. 【例29】函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断出在上单调递增即可求解． 【详解】， 在上单调递增， 在上单调递增， 当时，， 当时，， 在上的值域为， 故选：B． 【例30】函数，的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，，由换元法可得，利用二次函数的单调性即可求解. 【详解】令，因为，所以， 因为 ， 所以，， 函数在区间上单调递增， 所以，， 所以函数，的值域为. 故选：. 【例31】设常数且，若函数在区间上的最大值为1，最小值为0，则实数 . 【答案】2 【分析】通过对与分别判断函数的单调性，求出函数的最大值与最小值，进而求解. 【详解】当时，函数在区间上单调递增， 所以，解得 当时，函数在区间上单调递减， 所以，无解 故答案为：2 【跟踪训练】 1.函数 的值域为（    ） A．(3，＋∞) B．(－∞，3) C．[3，＋∞) D．(－∞，3] 【答案】C 【解析】因为， 所以， 所以, 即函数的值域为[3，＋∞). 故选：C 2.已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性求出函数的值域，再根据交集的定义计算即可. 【详解】因为对数函数是上的增函数， 所以由，得，则； 因为指数函数是上的减函数， 所以由，得，则， 由此，. 故选：B. 3.已知函数（，且）在上的值域为，则实数a的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】若，则在上单调递减，则，不符合题意； 若，则在上单调递增，则， 又因为的值域为，所以，解得． 故选：A． 4.函数的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】利用对数的运算法则与换元法得到，结合配方法即可得解. 【详解】因为， 令，则，则， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 5.已知函数. (1)求函数的定义域； (2)若函数的最大值为2，求实数a的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用对数的真数大于零可得出关于实数的不等式组，即可解得函数的定义域； （2）求得，求出的取值范围，利用对数函数的最值可得出关于实数的等式，结合可求得实数的值. 【详解】（1）对于函数，有，解得， 因此，函数的定义域为. （2）因为且， 则，因为，则函数为上的增函数， 故，可得，又，解得. 题型14：对数函数的综合应用 【例32】已知是定义在上的偶函数，且时，且单调递增. (1)求函数的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，，， 又为上的偶函数，； . （2）在上单调递增，又为偶函数， 关于轴对称，且在上单调递减； 又，则由得：，解得：或， 即实数的取值范围为. 【例33】已知函数是定义在R上的奇函数，当时，. (1)求函数在上的解析式； (2)求不等式的解集. 【解析】（1）当时，， . 所以函数在上的解析式为. （2）当时，为增函数，所以在上为增函数. 由得， 所以， 所以， 所以不等式的解集为. 一、填空题 1．（2024上海·同济大学第二附属中学高一期末）对数函数（且）的图象经过点，则此函数的解析式________． 【答案】 【分析】将点的坐标代入函数解析式，求出的值，由此可得出所求函数的解析式. 【详解】由已知条件可得，可得，因为且，所以，. 因此，所求函数解析式为. 故答案为：. 2．（2023上海·高一单元测试）函数的定义域为___________. 【答案】 【分析】根据函数定义域的求法，即可求解. 【详解】解：,解得,故函数的定义域为:. 故答案为：. 3．（2024上海·高一单元测试）若，则函数的图象不经过第______象限 【答案】A 【分析】利用图像的平移变换即可得到答案. 【详解】当时，把函数的图象向左平移5个单位得到函数的图象，如图所示， ∴函数的图象不经过第一象限， 故选A 【点睛】本题考查对数函数的图象，考查平移变换，考查数形结合的思想，属于简单题型. 4.（2024上海·高一单元测试）不等式的解集为___________. 【答案】 【分析】根据对数函数的单调性解不等式即可. 【详解】由题设，可得：，则， ∴不等式解集为. 故答案为：. 5．（2025上海市大同中学高一期末）函数的单调增区间为__． 【答案】 【解析】首先求函数的定义域，再利用复合函数的单调性，求函数的增区间. 【详解】由，得或． 函数的定义域为，，． 当时，内函数为减函数， 当时，内函数为增函数， 而外函数为减函数， 函数的单调递增区间为． 6．函数f（x）=loga（ax﹣3）在[1，3]上单调递增，则a的取值范围是______ 【解答】解：∵函数f（x）=loga（ax﹣3）在[1，3]上单调递增，而函数t=ax﹣3在[1，3]上单调递增， 根据复合函数的单调性可得a＞1，且a﹣3＞0，求得a＞3， 7. 已知函数的定义域是R，则实数a的取值范围是______ 【解答】解：∵函数的定义域是R， ∴不等式x2+ax+1＞0恒成立， 即△=a2﹣4＜0， ∴﹣2＜a＜2， 即实数a的取值范围是（﹣2，2）． 8．将按由大到小的顺序排列为　　． 【解答】解：∵0＜a=0.50.1＜1，b=log40.1＜0，c=0.40.1＜0.50.1=a． ∴a＞c＞b， 故答案为：a＞c＞b． 9．（2023上海市吴淞中学高一期末）函数（且）的图像恒过定点，则点的坐标是________. 【答案】 【分析】令对数的真数为1，求出所对应的的值，再求出，即可得解； 【详解】解：因为函数（且）的图像恒过定点，所以令即时，所以点坐标为； 故答案为： 10．（2021秋•浦东新区校级月考）函数f（x）＝loga（10﹣3x）+9的图象恒过定点A，且点A在幂函数g（x）的图象上，则g（8）＝　　． 【分析】令真数等于1，求得x、y的值，可得定点A的坐标，再利用待定系数法求幂函数g（x）的解析式，g（8）的值． 【解答】解：对于函数f（x）＝loga（10﹣3x）+9，令10﹣3x＝1，求得x＝3，f（x）＝9， 可得它的图象恒过定点A（3，9）． ∵点A在幂函数g（x）＝xα的图象上，∴3α＝9，∴α＝2，g（x）＝x2， 则g（8）＝8²＝64， 故答案为：64． 【点评】本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，用待定系数法求幂函数的解析式，属于基础题． 11．（2024秋•金山区期末）已知函数f（x）＝logax（0＜a＜1）在[2，4]上的最大值比最小值大2，则a的值为 　　． 【分析】由0＜a＜1可得f（x）为减函数，求得最值代入条件可得解． 【解答】解：∵0＜a＜1时，∴函数f（x）为减函数， 则loga2﹣loga4＝1，即loga＝2，解得， 所以实数a的值为． 故答案为：． 【点评】本题考查对数函数的图象及性质，对数的运算，属于基础题． 12．（2024上海闵行·高一期末）如图，函数的图象为折线，则不等式的解为___________. 【答案】## 【分析】先作函数图象，再求交点，最后根据图象确定解集. 【详解】 因为经过， 所以时，令， 当时，可得， 所以的解集为. 故答案为：. 二、选择题 13．（2023上海·高一单元测试）给出下列函数： ①；②；③；④. 其中是对数函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据对数函数的特征判断即可得答案. 【详解】①②不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量x； ③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数． 故选:A. 14．（2021·上海·曹杨二中高一期末）函数与在同一坐标系中的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】分别讨论和时函数与在的单调性和所过定点，利用排除法即可求解. 【详解】由对数和指数函数的性质可得且， 当时，过点在上单调递减，过点在单调递减，所以排除选项C， 当时，过点在上单调递增，过点在单调递增，所以排除选项AD， 故选：B. 15．（2024上海·同济大学第二附属中学高一期末）下列函数中，在区间上为增函数的是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本初等函数的单调性可得出合适的选项. 【详解】函数、在区间上为减函数， 函数在区间上为增函数， 函数在区间上不单调. 故选：B. 16．（2024上海·高一单元测试）已知a、，有以下3个命题：①若，则；②若，则；③若，则．其中真命题的个数是（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】C 【分析】取值验证判断命题①、③；利用对数函数性质分析判断命题②作答. 【详解】当时，取，则，即命题①不正确； 当时，函数，在都是减函数， 于是得，即命题②正确； 当时，取，则，，即不成立，命题③不正确， 所以真命题个数是1. 故选：C 三、解答题 17．设全集为U=R，集合A={x|（x+3）（x﹣6）≤0}，B={x|log2（x+2）＜4}． （1）求如图阴影部分表示的集合； （2）已知C={x|x＞2a且x＜a+1}，若C⊆B，求实数a的取值范围． 【解答】解：（1）由（x+3）（x﹣6）≤0，得﹣3≤x≤6，即A=[﹣3，6]， 由0＜x+2＜16，解得﹣2＜x＜14，即B=（﹣2，14）， ∵阴影部分为A∩CRB， ∴A∩CRB=[﹣3，﹣2]． （2）∵C={x|x＞2a且x＜a+1}， ∴①2a≥a+1，即a≥1时，C=∅，成立； ②2a＜a+1，即a＜1时，C=（2a，a+1）⊆（﹣2，14）， 则， 解得﹣1≤a＜1． 综上所述，a的取值范围为[﹣1，+∞）． 18．已知函数f（x）=lg（2+x）+lg（2﹣x）． （1）求函数f（x）的定义域； （2）若不等式f（x）＞m有解，求实数m的取值范围． 【解答】解：（1）要使函数的解析式有意义， 自变量x须满足：，可得﹣2＜x＜2． 故函数f（x）=lg（2+x）+lg（2﹣x）的定义域为（﹣2，2）． （2）∵不等式f（x）＞m有解，∴m＜f（x）max， 令t=4﹣x2，∵﹣2＜x＜2，∴0＜t≤4， ∵y=lgx，为增函数， ∴f（x）的最大值为lg4， ∴m的取值范围为m＜lg4． 19．（2021·上海·华师大二附中高一期末）已知函数． （1）若函数的值域为，求实数的取值范围； （2）若函数在区间上严格增，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）根据条件分析出的值域包含，由此根据与的关系分类讨论，求解出结果； （2）根据两种情况结合复合函数单调性的判断方法进行分类讨论，然后求解出的取值范围. 【详解】（1）当时，满足题意； 当时，要使得的值域为， 只需要满足，解得，综上 （2）， 当时，外层函数为严格增，所以只需满足； 当时，外层函数为严格减， 所以只需满足，此时不存在，舍去； 综上． 【点睛】思路点睛：形如的函数，若函数的定义域为，则有；若函数的值域为，则有. 20.（2024·上海·高一课时练习）已知函数． (1)若，求函数的定义域． (2)若函数的值域为R，求实数m的取值范围． (3)若函数在区间上是增函数，求实数m的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【解析】（1）由题设，，则或，所以函数定义域为. （2）由函数的值域为R，则是值域的子集，所以，即. （3）由在上递减，在上递增，而在定义域上递减， 所以在上递增，在上递减， 又在上是增函数，故，可得. 21．（2024秋•金山区校级月考）已知函数f（x）＝loga（ax﹣1）（a＞0，a≠1）． （1）讨论函数f（x）的定义域； （2）当a＞1时，解关于x的不等式：f（x）＜f（1）； （3）当a＝2时，不等式f（x）﹣log2（1+2x）＞m对任意实数x∈[1，3]恒成立，求实数m的取值范围． 【分析】（1）由ax﹣1＞0，得ax＞1 下面分类讨论：当a＞1时，x＞0；当0＜a＜1时，x＜0即可求得f（x）的定义域 （2）根据函数的单调性解答即可； （3）令g（x）＝f（x）﹣log2（1+2x）＝log2（1﹣在[1，3]上是单调增函数，只需求出最小值即可． 【解答】解：（1）由ax﹣1＞0，得ax＞1． 当a＞1时，x＞0； 当0＜a＜1时，x＜0． 所以f（x）的定义域是当a＞1时，x∈（0，+∞）；当0＜a＜1时，x∈（﹣∞，0）． （2）当a＞1时，任取x1、x2∈（0，+∞），且x1＜x2， 则＜，所以﹣1＜﹣1． 因为a＞1，所以loga（﹣1）＜loga（﹣1），即f（x1）＜f（x2）． 故当a＞1时，f（x）在（0，+∞）上是增函数． ∵f（x）＜f（1）； ∴ax﹣1＜a﹣1， ∵a＞1， ∴x＜1， 又∵x＞0， ∴0＜x＜1； （3）∵g（x）＝f（x）﹣log2（1+2x）＝log2（1﹣在[1，3]上是单调增函数， ∴g（x）min＝﹣log23， ∵m＜g（x）， ∴m＜﹣log23，即m∈（﹣∞，﹣log23）． 【点评】本题主要考查对数函数有关的定义域、单调性、值域的问题，属于中档题． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题13 对数函数 知识点01对数函数的概念 1、对数函数的概念 一般地，函数叫做对数函数，其中指数是自变量，定义域是. 判断一个函数是对数函数的依据 （1）形如；（2）底数满足；（3）真数是，而不是的函数；（4）定义域.例如：是对数函数，而、都不是对数函数，可称为对数型函数. 2、两种特殊的对数函数 特别地,我们称以10为底的对数函数为常用对数函数,记作;称以无理数为底的对数函数为自然对数函数,记作. 知识点02对数函数的图象与性质 函数的图象和性质如下表： 底数 图象 性质 定义域 值域 单调性 增函数 减函数 知识点03底数a对对数函数图象的影响 (1)底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”.当a>1时，对数函数的图象“上升”;当0<a<1时,对数函数的图象“下降”. (2)函数y=与y= (a>0,且a≠1)的图象关于x轴对称. (3)底数的大小决定了图象相对位置的高低：无论是a>1还是0<a<1,在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大.①上下比较：在直线x=1的右侧,a>1时,a越大,图象越靠近x轴;0<a<1时,a越小,图象越靠近x轴;②左右比较：比较图象与直线y=1的交点,交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数越大. 考点一、对数函数的概念 题型01：对数函数的概念辩析 【例1】下列函数是对数函数的是（    ） A． B． C． D． 【例2】若函数为对数函数，则（       ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.已知函数①；②；③；④；⑤；⑥.其中是对数函数的是（    ） A．①②③ B．③④⑤ C．③④ D．②④⑥ 2.给出下列函数： （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．其中是对数函数的是 ．（将符合的序号全填上） 3.若函数为对数函数，则（ ） A． B． C． D． 4.函数中，实数的范围是______ 题型02：求对数函数的解析式或值 【例3】对数函数的图像过点M(125，3)，则此对数函数的解析式为（    ） A．y＝log5x B．y＝ C．y＝ D．y＝log3x 【例4】函数（且），若它的图象经过，，则 ． 【跟踪训练】 1.对数函数的图象过点M(16,4)，则此对数函数的解析式为(　　) A．y＝log4x B．y＝ x C．y＝ x D．y＝log2x 2.已知函数的图象过点（8，3），则的值为（    ） A．－1 B．1 C． D． 3.已知函数，若图象过点，则的值为（    ） A．－2 B．2 C． D． 考点二、对数函数的图像及应用 题型03：对数函数的图象识别 【例5】如图所示的曲线分别是对数函数，，，的图象，则，，，，1，0的大小关系为 （用“＞”号连接）． 【例6】已知（且，且），则函数与的图像可能是（    ） A．B．C． D． 【跟踪训练】 1.如图（1）（2）（3）（4）中，不属于函数，，的一个是（    ） A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 2．函数的大致图象为（    ） A．B．C． D． 3.函数与的图象只可能是下图中的（   ） A．  B．C．  D． 4.已知，函数与函数的图象可能是（    ） A．  B．C．   D． 题型04：对数函数的图象变换 【例7】作出下列函数的图象： (1)；(2)；(3)；(4)． 【例8】函数（ 且 ）的图像大致为（    ） A．B．C． D． 【跟踪训练】 1.画出下列函数的图像： (1)；(2)；(3)． 2.如图，其所对应的函数可能是（    ） A． B． C． D． 题型05:根据对数型函数图象判断参数的范围 【例9】已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【跟踪训练】 1.已知实数且，函数的大致图象如下，则，的取值范围可能为（    ） A． B． C． D． 2.已知函数为常数，其中的图象如图，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 3.若函数的大致图象如图，其中为常数，则函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 题型06：对数型函数过定点问题 【例10】若且，则函数的图像恒过定点（    ） A．（2，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（2，2） 【例11】函数的图象恒过定点，若在直线上，其中，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.函数且的图象必经过点 . 2.已知函数（且）的图象过定点，正数、满足，则（    ） A． B． C． D． 3.已知幂函数的图象过函数且的图象所经过的定点，则的值等于（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 4.若函数（且）的图象恒过定点，且点在指数函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 题型07：对数函数图象的应用 【例12】已知函数，若且，则的取值范围为 . 【例13】已知函数，若，则（    ） A． B． C． D．以上选项均有可能 考点三、对数函数的性质 题型08：研究对数函数的单调性 【例14】下列函数中，在区间上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【例15】已知，条件，条件，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 题型09：求对数型函数的单调区间 【例16】函数的单调递增区间为 . 【跟踪训练】 1.函数的严格增区间为 . 2.函数的单调递增区间是________． 3.函数的严格增区间是 . 题型10：根据对数型函数的单调性求参数 【例17】已知函数，函数在上单调递减，则的取值范围 ． 【例18】若函数在区间（2,4）上单调递增，则的取值范围是（    ） A．（0,2） B． C． D． 【跟踪训练】 1.已知函数在区间上递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3.函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型11：利用对数型函数的单调性解不等式 【例19】不等式的解集为 ． 【例20】不等式的解集为 . 【跟踪训练】 1.不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 2.不等式的解集 . 3.不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 题型12：利用对数型函数单调性比较大小 【例21】比较下列各题中两个数的大小： (1)，； (2)，； (3)，（，且）． 【例22】已知，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.设，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2.已知，，，则（    ） A． B． C． D． 3.若，，，则实数a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 考点四、综合提升 题型13：对数函数的实际应用 【例23】北京时间2023年2月10日0时16分，经过约7小时的出舱活动，神舟十五号航天员费俊龙、邓清明、张陆密切协同，圆满完成出舱活动全部既定任务，出舱活动取得圆满成功.载人飞船进入太空需要搭载运载火箭，火箭在发射时会产生巨大的噪声，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中大于0的常数是听觉下限阈值，是实际声压.声压级的单位为分贝，声压的单位为帕.若人正常说话的声压约为，且火箭发射时的声压级比人正常说话时的声压级约大，则火箭发射时的声压约为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.已知强度为的声音对应的等级为时，有，喷气式飞机起飞时，声音约为；一般说话时，声音约为.计算喷气式飞机起飞时的声音强度是一般说话时声音强度的（    ）倍. A． B． C． D． 【例24】“打水漂”是一种游戏：按一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好．小乐同学在玩“打水漂”游戏时，将一石片按一定方式投掷出去，石片第一次接触水面时的速度为5m/s，然后石片在水面上继续进行多次弹跳．不考虑其他因素，假设石片每一次接触水面时的速度均为上一次的，若石片接触水面时的速度低于2m/s，石片就不再弹跳，沉入水底，则小乐同学这次“打水漂”石片的弹跳次数为 ．（参考数据：） 题型14：对数型函数的定义域 【例25】函数的定义域为（    ） A．或 B． C． D． 【例26】函数定义域为（    ） A． B． C． D． 【例27】已知函数的定义域为，则实数a的取值范围为________． 【跟踪训练】 1.函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2.函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 3.函数定义域为（    ） A． B． C． D． 题型15：对数型函数的值域（最值） 【例28】下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【例29】函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【例30】函数，的值域为（   ） A． B． C． D． 【例31】设常数且，若函数在区间上的最大值为1，最小值为0，则实数 . 【跟踪训练】 1.函数 的值域为（    ） A．(3，＋∞) B．(－∞，3) C．[3，＋∞) D．(－∞，3] 2.已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 3.已知函数（，且）在上的值域为，则实数a的值是（    ） A． B． C． D． 4.函数的最小值为 ． 5.已知函数. (1)求函数的定义域； (2)若函数的最大值为2，求实数a的值. 题型16：对数函数的综合应用 【例32】已知是定义在上的偶函数，且时，且单调递增. (1)求函数的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 【例33】已知函数是定义在R上的奇函数，当时，. (1)求函数在上的解析式； (2)求不等式的解集. 一、填空题 1．（2024上海·同济大学第二附属中学高一期末）对数函数（且）的图象经过点，则此函数的解析式________． 2．（2023上海·高一单元测试）函数的定义域为___________. 3．（2024上海·高一单元测试）若，则函数的图象不经过第______象限 4.（2024上海·高一单元测试）不等式的解集为___________. 5．（2025上海市大同中学高一期末）函数的单调增区间为__． 6．函数f（x）=loga（ax﹣3）在[1，3]上单调递增，则a的取值范围是______ 7. 已知函数的定义域是R，则实数a的取值范围是______ 8．将按由大到小的顺序排列为　　． 9．（2023上海市吴淞中学高一期末）函数（且）的图像恒过定点，则点的坐标是________. 10．（2021秋•浦东新区校级月考）函数f（x）＝loga（10﹣3x）+9的图象恒过定点A，且点A在幂函数g（x）的图象上，则g（8）＝　　． 11．（2024秋•金山区期末）已知函数f（x）＝logax（0＜a＜1）在[2，4]上的最大值比最小值大2，则a的值为 　　． 12．（2024上海闵行·高一期末）如图，函数的图象为折线，则不等式的解为___________. 二、选择题 13．（2023上海·高一单元测试）给出下列函数： ①；②；③；④. 其中是对数函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．（2021·上海·曹杨二中高一期末）函数与在同一坐标系中的图像可能是（    ） A．．C． D． 15．（2024上海·同济大学第二附属中学高一期末）下列函数中，在区间上为增函数的是（       ） A． B． C． D． 16．（2024上海·高一单元测试）已知a、，有以下3个命题：①若，则；②若，则；③若，则．其中真命题的个数是（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 三、解答题 17．设全集为U=R，集合A={x|（x+3）（x﹣6）≤0}，B={x|log2（x+2）＜4}． （1）求如图阴影部分表示的集合； （2）已知C={x|x＞2a且x＜a+1}，若C⊆B，求实数a的取值范围． 18．已知函数f（x）=lg（2+x）+lg（2﹣x）． （1）求函数f（x）的定义域； （2）若不等式f（x）＞m有解，求实数m的取值范围． 19．（2021·上海·华师大二附中高一期末）已知函数． （1）若函数的值域为，求实数的取值范围； （2）若函数在区间上严格增，求实数的取值范围． 20.（2024·上海·高一课时练习）已知函数． (1)若，求函数的定义域． (2)若函数的值域为R，求实数m的取值范围． (3)若函数在区间上是增函数，求实数m的取值范围． 21．（2024秋•金山区校级月考）已知函数f（x）＝loga（ax﹣1）（a＞0，a≠1）． （1）讨论函数f（x）的定义域； （2）当a＞1时，解关于x的不等式：f（x）＜f（1）； （3）当a＝2时，不等式f（x）﹣log2（1+2x）＞m对任意实数x∈[1，3]恒成立，求实数m的取值范围． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $