4.3 对数函数（讲义）高一数学沪教版必修第一册

第4章 幂函数、指数函数与对数函数 4.3 对数函数 课标要点 ①理解对数函数的概念，掌握y=logax（a>0且a≠1）的结构特征，能准确判断一个函数是否是对数函数。 ②会用描点法画出对数函数的图象，掌握其定义域、值域、定点与单调性。 ③认识常用对数y=lgx与自然对数y=lnx，能正确识别与书写。 ④体会数形结合的思想，理解底数a的大小对图象升降与位置的影响。 学习重难点 重点： ①对数函数的概念及判断依据，掌握底数a>0且a≠1、真数为x这一前提。 ②对数函数的图象与性质，包括定义域、值域、定点与单调性。 ③常用对数y=lgx与自然对数y=lnx的记法与特点。 难点： ①理解真数必须大于0，对数函数的定义域为(0,+∞)这一前提条件。 ②正确辨析对数函数y=logax与对数型函数，准确应用判断依据。 ③由图象理解底数与1的大小对单调性、图象位置的影响，数形结合。 知识点一 对数函数的概念 1、对数函数的概念： 一般地，函数y=logax（a>0且a≠1）叫做对数函数，其中真数x是自变量，定义域是(0,+∞)。 2、判断一个函数是对数函数的依据： （1）形如y=logax； （2）底数a满足a>0且a≠1； （3）真数是x，而不是x的函数； （4）定义域为(0,+∞)。 例如y=log5x是对数函数，而y=log5(x+1)、y=log5(x/5)都不是对数函数，可称为对数型函数。 3、两种特殊的对数函数： 以10为底的对数函数叫常用对数函数，记作y=lgx；以无理数e为底的对数函数叫自然对数函数，记作y=lnx。 易错提醒 判断对数函数时最易错：真数必须是自变量x，底数必须满足a>0且a≠1。注意y=log5(x+1)、y=log5(x/5)的真数不是x，只是对数型函数而非对数函数；底数含x、等于1或真数小于等于0的式子都不符合定义。 即学即练 1．给出下列函数：①；②；③；④，其中是对数函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据对数函数的定义判断即可. 【详解】形如（且）的函数叫对数函数，其中底数为常数，真数只有自变量， 故只有④满足对数函数的定义，故对数函数有1个. 知识点二 对数函数的图象与性质 1、函数y=logax（a>0且a≠1）的图象与性质： a的范围 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0,+∞) (0,+∞) 值域 R R 定点 图象过定点(1,0) 图象过定点(1,0) 单调性 增函数 减函数 函数值的变化情况 0<x<1时y<0；x>1时y>0 0<x<1时y>0；x>1时y<0 2、图象特征： 对数函数图象过定点(1,0)，以y轴（即直线x=0）为渐近线，定义域x>0时才有意义；a>1时图象上升，0<a<1时图象下降。 易错提醒 求定义域或解对数不等式时，最易忽略“真数大于0”。如求y=loga(2x-1)的定义域，须令2x-1>0解得x>1/2；比较两个对数大小时，先判断底数a与1的关系，再决定单调性与不等号方向，勿颠倒。 即学即练 2．下列函数中，在其定义域内是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用解析式，结合指数函数、对数函数单调性逐项判断即得. 【详解】对于A，函数在定义域上单调递增，A错误； 对于B，函数在定义域上单调递减，B正确； 对于C，函数在定义域上单调递增，C错误； 对于D，函数在定义域上不单调，D错误. 故选：B 3．函数（，）的图象经过定点（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数的运算性质进行求解即可. 【详解】因为， 所以该函数的图象经过定点. 题型01 对数函数的概念 解题贴士 判断是否是对数函数紧扣y=logax：底数a必须为常数且满足a>0、a≠1；真数必须是自变量x；log前的系数必须为1。 能化简成y=logax形式的先化简再判断，如y=log2x2=2log2x不是对数函数；注意与对数型函数y=logaf(x)区别，勿混淆。 典｜例｜精｜析 【例1】函数为以a为底的对数函数，则实数的值为（    ） A．3 B． C．2 D．或2 【答案】C 【分析】根据题意，由求解. 【详解】因为函数为对数函数， 所以，解得， 所以实数的值为2， 故选：C 【例2】下列函数是对数函数的是（    ） A．（且） B． C． D．（且） 【答案】B 【分析】利用对数函数的定义求解． 【详解】根据对数函数的定义且, 分析A,B,C,D函数形式， 函数为对数函数. 故选：B. 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】若函数是对数函数，则a的值是（    ） A．1或2 B．1 C．2 D．且 【答案】C 【分析】本题考查的是对数函数的定义，根据定义求出符合条件的参数. 【详解】函数是对数函数， 且， 解可得或，，故选：C． 【变式1-2】函数（，且）是对数函数，且过点，则________． 【答案】1 【分析】根据函数为对数函数及所过的点列方程求参数，进而求对应函数值. 【详解】由题设，可得，故， 所以. 故答案为：1 【变式1-3】若函数是对数函数，则______． 【答案】 【分析】根据对数函数的定义求解即可. 【详解】由对数函数的定义可知，解得. 故答案为：. 题型02 求对数函数的解析式或函数值 典｜例｜精｜析 【例3】已知对数函数（且）的图象经过点，且该函数图象经过点，则实数的值是____________. 【答案】9 【分析】根据点在图象上可求出，进而可求解. 【详解】因为对数函数（且）的图象经过点， 所以解得， 所以， 因为该函数图象经过点，所以解得， 故答案为:9. 【例4】已知，其中且，若，，则___________． 【答案】4 【分析】依题意得到方程组，即可求出、的值，从而得到函数解析式，再根据分段函数解析式计算可得. 【详解】解：因为，，所以，所以， 所以， 所以，所以； 故答案为：4． 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】点，都在同一个对数函数上，则t=__________. 【答案】9 【分析】设出函数解析式，利用得出解析式，代入可得答案. 【详解】设对数函数为，因为在函数上，所以，解得； 因为也在函数上，所以，解得. 故答案为：9 【变式2-2】已知为对数函数，，则_______，_______． 【答案】 【分析】设且，根据求出的值，即可求出函数解析式，再代入计算可得. 【详解】设且，则，即，解得， 所以， 所以． 故答案为：， 【变式2-3】已知函数． (1)求函数的解析式； (2)解方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）在等式中，用替代，可得出，联立这两个等式，即可得出函数的解析式； （2）求出的值，然后直接解方程即可. 【详解】（1）由题意可知，函数的定义域为， 在等式中， 用替代可得， 所以，解得， （2）因为，由可得， 整理得，可得或，解得或. 题型03 对数函数的定义域 解题贴士 求对数函数定义域的关键是“真数大于0”：令真数式大于0解出x的范围即可，同时底数须满足a>0且a≠1。 复合或含分式、根式时，把各约束联立成不等式组求交集；底数含x时须单独限定其范围，不能遗漏。 典｜例｜精｜析 【例5】函数的定义域为（     ） A． B． C． D．R 【答案】B 【分析】由对数函数的真数大于零，进而求解. 【详解】由题意得：， 所以的定义域为. 【例6】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对数函数定义域结合根号下非负的条件即可求解. 【详解】由题意：，解得；又且，即， 所以函数的定义域为． 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，，B正确. 【变式3-2】函数的定义域为__________. 【答案】 【详解】由得. 【变式3-3】函数 的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】要使函数有意义，则需，解得且， 所以函数的定义域为 题型04 对数函数的图象 解题贴士 对数函数图象过定点(1,0)，以y轴（x=0）为渐近线，位于x轴右侧。 a>1时上升、0<a<1时下降；a>1时底数越大图象越平缓，0<a<1时底数越小下降越陡。 含绝对值或复合的对数图象，抓住定点、渐近线，按平移、对称、翻折变换逐层画出。 典｜例｜精｜析 【例7】函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由对数函数的图象性质可知，底数，则此对数函数是上的单调递增函数， 则选C正确． 【例8】函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由可知定义域为， 令，则，即为偶函数， 又当时，，此时函数单调递减，且过点， 综合上述，符合题意的函数图象只有D. 变｜式｜巩｜固 【变式4-1】在同一坐标系中，函数（且）与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】从所过定点和单调性上判断出答案 【详解】函数（且）恒过点，恒过点， 且两函数单调性一致，只有B满足要求 【变式4-2】在同一平面直角坐标系内，函数 （，且），的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别根据图象确定参数的取值范围，再判断选项. 【详解】A.由可知，，，由的图象可知，，，参数取值不一致，故A错误； B. 由可知，，，由的图象可知，，，参数取值不一致，故B错误； C. 由可知，，，由的图象可知，，，参数取值一致，故C正确； D. 由可知，，，由的图象可知，，，参数取值不一致，故D错误； 【变式4-3】函数的图象如下图所示，则的示意图是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图象判断值域，然后利用对数函数判断正负，即可根据函数值判断图象选择. 【详解】由已知函数的图象可以看出的值域为. 又因为对于，当，时，. 所以函数图象总在轴下方，当时，函数值为0. 所以只有选项C正确. 题型05 求对数（型）函数的单调区间 解题贴士 求单调区间先求定义域，真数大于0是前提，忽略则区间出错。 复合对数函数y=logaf(x)遵循“同增异减”：底数a>1时与f(x)同增减，0<a<1时相反。 由内层f(x)的单调区间与定义域求交集，结合外层单调性写出对应的增减区间。 典｜例｜精｜析 【例9】已知函数（且），若，则的递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得，所以，又且，所以， 而 的定义域为，处无定义， 当时，，因为，所以对数函数在上单调递增； 当时，， 根据复合函数性质得，内层在单调递减， 外层单调递增，因此在上单调递减. 则的递增区间是． 【例10】函数的递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令t＝＞0，求得函数的定义域．再由f（x）＝可得本题即求函数t在定义域上的减区间，再利用二次函数的性质可得函数t在定义域上的减区间． 【详解】令t＝＞0，求得x＜1或 x＞2， 故函数的定义域为（﹣∞，1）∪（2，+∞），且f（x）＝单调递减 故即求函数t在定义域上的增区间． 再利用二次函数的性质可得函数t在定义域上的增区间为 故选：D． 【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题． 变｜式｜巩｜固 【变式5-1】函数的单调递减区间（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将绝对值函数转为分段函数形式，结合对数函数的单调性即可判断在和上的单调性. 【详解】解：由题意可得， 因为当，则对数函数在上单调递减， 所以当时，单调性与对数函数的一致，则单调递减区间为； 当时，的单调性与对数函数相反，即在上单调递增， 综上，函数的单调递减区间为. 【变式5-2】函数的严格递减区间是_________. 【答案】 【分析】由对数复合函数的单调性确定严格递减区间. 【详解】由， 由在上单调递减， 由在上单调递增， 而在定义域上单调递增， 故的严格递减区间为. 故答案为： 【变式5-3】函数的递增区间为__________． 【答案】 【分析】先求出函数的定义域，然后将复合函数分解为内、外函数，分别讨论内外函数的单调性，进而根据复合函数单调性“同增异减”的原则，得到函数的单调递增区间． 【详解】函数的定义域为(−∞,0)∪(1,+∞) 令,则， ∵为增函数 在(−∞,0)上为减函数，在(1,+∞)为增函数， ∴函数的单调递增区间为(1,+∞) 故答案为：. 【点睛】本题考查复合函数的单调性，对于对数函数型复合函数的单调性，首先要确定定义域，再根据“同增异减”判断单调区间即可，属于基础题. 题型06 已知单调性求参数 典｜例｜精｜析 【例11】若函数在区间内单调递增，则的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合函数在区间上的单调性以及对数函数的单调性分析求解即可. 【详解】令，因为且，所以函数在上单调递减， 又函数在区间内单调递增， 所以函数为减函数，故， 又在上满足恒成立，故，解得：， 综上所述，的取值范围是. 【例12】函数在上单调递减的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复合函数“同增异减”的单调性规则，先求出函数在单调递减的充要条件，再判断对应选项为该充要条件的真子集即可 【详解】函数是外层函数与内层函数的复合函数， 外层函数性质：底数，故在定义域上为单调递减函数 由复合函数“同增异减”的判定规则，要使在单调递减，需同时满足两个条件： （1）内层函数在上单调递增；（2）在上恒成立. 因为为开口向上的二次函数，对称轴为，所以，解得； 因为在单调递增，所以，只需边界值，代入得，解得. 综上，在单调递减的充要条件为，其充分不必要条件对应集合是的真子集. 选项A：，满足充分不必要要求； 选项B：为充要条件，不符合要求； 选项C、D：集合内存在的取值，无法满足在恒成立，不是充分条件. 变｜式｜巩｜固 【变式6-1】已知且，函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由分段函数的单调性进行求解． 【详解】由题意可知，，解得. 故实数的取值范围是. 【变式6-2】函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】由复合函数的单调性求解即可. 【详解】令， 则函数的开口向上，对称轴为， 函数即为， 由对数函数的性质可得为单调递减函数， 由复合函数的单调性可知在区间上单调递减，且恒大于等于0， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 【变式6-3】已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在上是增函数， 故内层函数在上是减函数且成立， 只需对称轴且， 解得：，即. 题型07 比较两数的大小 典｜例｜精｜析 【例13】设，，，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为在单调递减，所以，即； 因为在单调递增，所以，即； 因为在单调递增，所以，即， 所以. 【例14】已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因，， ， 故. 变｜式｜巩｜固 【变式7-1】若，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数与对数函数单调性比较大小. 【详解】由已知得， ，且，即， ， 所以. 【变式7-2】设，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】和中间值和比较大小，即可判断选项. 【详解】因为，，， 所以. 【变式7-3】设，则 的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，，因为，所以， 又，，而 ，所以. 题型08 解简单的对数不等式 解题贴士 把不等式两边化为同底对数，再去掉对数号：a>1时不等号方向不变、真数大小同序，0<a<1时反向，切勿颠倒。 去掉对数号后必须保留“真数大于0”的约束，与解出的不等式取交集；含参数时先判断底数再定不等号方向。 典｜例｜精｜析 【例15】不等式的解集为______． 【答案】 【分析】根据对数函数的定义域限制与单调递增性质，将原不等式转化为一元一次不等式组，求解后取交集即可求解. 【详解】根据对数函数的性质，原不等式等价于不等式组， 解得， 因此，不等式的解集为. 【例16】设实数，则“”是“”的（     ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】结合指数函数、对数函数的性质及充分、必要条件的定义即可判断. 【详解】因为，即，所以，即； 由，所以，即， 所以当时，一定可以推出，故充分性成立； 但时，不一定推出，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 变｜式｜巩｜固 【变式8-1】函数的定义域为______. 【答案】 【分析】根据根式的定义结合对数单调性计算求解即可. 【详解】因为，所以，所以， 函数的定义域为 【变式8-2】“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先依据对数函数单调性判断充分性成立，再举反例判断必要性不成立. 【详解】函数的底数，因此该函数是定义域上的严格增函数， 若，根据对数定义域要求得， 结合增函数性质可得，可推出，充分性成立； 若，取，满足，但无意义， 无法推出，必要性不成立； 综上，“”是“”的充分不必要条件. 【变式8-3】设函数，则使得成立的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的定义域为R， 因为，所以是偶函数， 因为函数，在上单调递增， 因此函数在上单调递增， 若，则，得，解得或， 所以的取值范围为. 题型09 对数（型）函数的值域（最值） 典｜例｜精｜析 【例17】函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得函数的定义域为， 所以， 所以为增函数，因此， 所以函数的值域为，故C正确. 【例18】已知函数的定义域为，则函数的值域是_______． 【答案】 【分析】根据题意，求得，化简，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】因为函数的定义域为， 则函数中，必须满足，解得，所以， 又由， 当时，函数取得最小值，最小值为； 当时，函数取得最大值，最大值为， 所以函数的值域是. 故答案为：. 变｜式｜巩｜固 【变式9-1】若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由根号下的非负性解不等式，结合对数函数的图像性质即可求解. 【详解】解，得，即集合， 对于，为函数的图像向左平移2个单位，其值域不变为， 即集合，所以. 【变式9-2】函数的值域为（    ） A．（0，3） B．[0，3] C．（－∞，3] D．[0，＋∞） 【答案】D 【详解】当时，. 当时， . 所以函数的值域为. 【变式9-3】函数的最小值为__________． 【答案】 【分析】根据对数的运算性质得，令，的最小值即为函数的最小值. 【详解】， 令，， ， 所以当时，即时，函数取得最小值. 故答案为：. 题型10 对数函数的分类讨论 解题贴士 凡底数a与1大小未定时，先按a>1与0<a<1分类，再分别处理单调性、定义域与不等号方向。 含参数的对数问题（求值域、解不等式、求单调区间）均以底数分类为起点，逐类求解。 讨论后把各类结果汇总成完整答案，边界情形单独说明，保证分类互斥且无遗漏。 典｜例｜精｜析 【例19】若函数（且）在上的最大值与最小值的和为2，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对数函数在定义域内单调，故其在上的最大值、最小值在端点取得， ，故，即，解得． 【例20】已知（且）． (1)若，求方程的解集； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）当时，则， 因为， 所以， 化简可得， 即， 化简得， 所以， 所以或，解得或. （2）由，且， 若，对数函数单调递减，则，， 若，对数函数单调递增，则，， 综上，的取值范围是． 变｜式｜巩｜固 【变式10-1】已知函数（且）在区间上的最大值与最小值之差为1，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．2或 【答案】C 【分析】先求出二次内层函数在指定区间的值域，再根据对数底数的范围分单调性两种情况，利用最值差值为1列方程求解参数. 【详解】设，对称轴为直线，定义域为，则在上单调递增， 当，当，得， ，分两种情况讨论对数函数的单调性： ①当，在上单调递增，最大值为，最小值为，所以，得，得，满足 ②当，在上单调递减，最大值为，最小值为，所以，得，得，满足 综上，或. 【变式10-2】若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，根据对数函数的性质可得且，即恒成立，，，解得， ，根据指数函数的性质得，，即，故的取值范围为， 当时，根据对数函数的性质可得，即不成立，舍去， 综上的取值范围为. 【变式10-3】已知函数（，且）． (1)若在上的最大值与最小值之差为3，求a的值； (2)若，求不等式的解集． 【答案】(1)2或； (2). 【分析】（1）对a分类讨论，根据单调性求出函数的最值，即可求解. （2）根据单调性，把对数不等式等价转化一次不等式求解. 【详解】（1）当时，函数在上单调递增， 当时，， 于是，因此； 当时，函数在上单调递减， 当时，， 于是，因此， 所以a的值为2或. （2）当时，函数在上单调递增，而， 不等式，解得， 所以原不等式的解集为. 题型11 对数函数的综合性问题 典｜例｜精｜析 【例21】设，若，则的最小值为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数的运算性质得且，利用指数幂的运算性质，结合基本不等式计算即可求解. 【详解】由，可作出其图象： 由，得，即， 得且， 所以， 当且仅当，即时等号成立．所以的最小值为. 故选：B. 【例22】已知函数，且，， (1)当时，求关于x的不等式的解集； (2)当时，不等式在上恒成立，求m的取值范围. 【答案】(1)当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为 (2)当时，m的取值范围是，当时，m的取值范围是 【分析】（1）因式分解后，分及进行讨论并计算即可得； （2）问题可转化为在区间上恒成立，令，构造函数，再分及讨论并计算即可得. 【详解】（1）当时，， 下面解不等式，即， 因为，所以， 当时，解得； 当时，解得， 综上所述，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为； （2）当时，不等式可变形为， 即，， 所以问题转化为在区间上恒成立， 令，则，则，故， 令，， 当时，函数在上单调递增， ，则； 当时，函数在上单调递增， 在上单调递减，故，则； 综上所述，当时，m的取值范围是； 当时，m的取值范围是． 变｜式｜巩｜固 【变式11-1】已知函数，若存在x，使得，则a的取值范围（   ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】根据函数，确定定义域，先将代入函数表达式，利用对数的运算性质化简，因为存在x使得等式成立，所以将化简后的等式变形，分离出参数a，得到a关于x的表达式，结合换元法以及二次函数性质，可利用函数的单调性求解. 【详解】函数的定义域为， 由，得， 即， 则，由于，故， 令，则存在x，使得， 转化为存在，使得有解， 由于的对称轴为，则在上单调递增， 故， 故，结合，可得. 【变式11-2】已知函数，在时最大值为 2，最小值为 1. (1)求实数的值； (2)设，若关于的方程有四个不同的实数解，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把二次函数配成顶点式，得到对称轴，结合判断单调性，代入端点值列方程组求出； （2）先化简方程，令，原方程转化为关于的二次方程，一个正数对应两个，要有4个解，就需要二次方程有两个不等正根，利用判别式、韦达定理列不等式，求出范围. 【详解】（1）由可知，函数的图象关于对称， 又，所以函数在上单调递增， 可得即解得. （2）易知， 所以即为， 即， 令，则，原方程转化为. 则关于的方程有四个不同的实数解等价于关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根， 需满足，解得， 所以实数的取值范围为. 【变式11-3】已知函数 (1)若时，求该函数的值域； (2)若对恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）换元法，令得，即可解决；（2）换元法，令，由题意得恒成立，即即可解决. 【详解】（1）由题知，，， 令， ， ， ， 所以该函数的值域为. （2）同（1）令， ，即恒成立， ， ，易知其在上单调递增， ， ， 的取值范围为. 基础通关 1．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】，， 充分性判断，，取，则无意义，无法推出，充分性不成立； 必要性判断，，显然满足，可以推出， 必要性成立；所以“”是“”的必要不充分条件. 2．若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，解得，所以的定义域为. 3．已知，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用充要条件的判断方法，结合对数函数的性质即得结论. 【详解】因，当时，与均无意义，故充分性不成立； 由且，则必有，即必要性成立. 所以“”是“”的必要不充分条件. 4．已知，则下列结论正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以． 5．函数的定义域为________． 【答案】 【详解】要使函数有意义，则， 解得 即，所以函数的定义域为. 6．已知函数是对数函数，则__________． 【答案】 【分析】利用对数函数的性质结合已知条件求出，再结合指数、对数的关系化简求解． 【详解】已知函数是对数函数，则，且，， 解方程得， ，且， ， ，故， ． 故答案为：． 7．已知函数，则_______． 【答案】 【详解】，故. 8．已知函数且的图像恒过定点，则______. 【答案】5 【分析】根据指数函数及对数函数的性质即可求得定点坐标. 【详解】根据指数函数及对数函数的性质可知，, 故函数(且）经过定点，即, 所以. 9．已知函数是指数函数． (1)求的解析式； (2)解不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用指数函数定义求出参数，得到函数解析式； （2）根据底数大于时对数函数单调递增，列出真数为正、以及不等关系的不等式组，联立求解得到对数不等式的解集． 【详解】（1）因为是指数函数，所以系数为1，且底数且， 由，得，即，解得， 所以； （2）由，得不等式为， 所以，即，解得， 所以不等式的解集为． 10．已知函数. (1)求的值； (2)解不等式. 【答案】(1)9 (2) 【分析】（1）利用代入法进行求解即可； （2）根据对数函数和指数函数的单调性分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）因为，， 所以； （2）当时，， 而，所以； 当时，， 综上：或， 所以原不等式的解集为. 11．设（，且），且. (1)求的值及的定义域； (2)求在区间上的最值. 【答案】(1)， (2)最小值为，最大值为2 【分析】（1）利用代入法，结合对数型函数的定义域性质进行求解即可； （2）利用换元法，结合二次函数的最值性质、对数函数的单调性进行求解即可. 【详解】（1）因为，所以，解得， 由题意可得，解得，故函数定义域为； （2）由（1）可得， 令，对称轴为， 当时，， 则，，故， 故函数的最小值为，最大值为2. 素养提升 12．已知，，，，则，，的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数与绝对值的性质化简，再由指数函数、对数函数和幂函数的单调性比较大小即可． 【详解】由题意可得， 因为函数在上单调递增，故， 所以， 又因为，且在上单调递增， 所以，即，故． 13．已知函数（，且），若存在实数使得的值域是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，分和，两种情况讨论，结合对数函数的图象与性质，即可求解. 【详解】由函数，令，可得，其中 当时，为单调递增函数， 由，可得，即， 要使得的值域是，即的值域为， 则满足取满，所以； 当时，此时为单调递减函数， 若，即，可得，即的值域为， 因为，可得，所以不存在使得， 综上可得，实数的取值范围为. 14．设且，函数的定义域为．若的值域为，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数值域，分段函数特征，及对数函数单调性列式计算即可求出的范围． 【详解】当时，，此时在上单调递减， 则，所以的取值范围为； 当时，，对底数分两种情况讨论， ①，此时在上单调递减，则， 所以的取值范围为， 此时无法满足的值域为，舍去； ②，此时在上单调递增，则， 所以的取值范围为， 因此要使的值域为，应当有，解得． 15．已知函数 的减区间为，则实数 的取值集合为__________． 【答案】 【分析】利用复合函数的单调性即可判断. 【详解】令,所以的单调递增区间为， 因为函数 的减区间为， 根据复合函数的单调性可得：，解得：, 所以实数 的取值集合为 16．已知函数，其中且． (1)若，求a； (2)若不等式对恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入，利用对数运算性质合并为，由直接求得； （2）先化简真数：，设，，由单调递增得；再按与分类讨论对数单调性，时不合题意，时由解出. 【详解】（1）， 因为，所以． （2）， 设，对，根据简单的复合函数单调性， 则为增函数，所以． 当时，为减函数， 所以，不符合题意． 当时，为增函数， 所以，则， 则，又，所以． 综上所述，a的取值范围为． 17．已知函数. (1)当时，求的定义域； (2)当时，有解，求实数的范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，得到不等式，令，求得，进而得到的定义域； （2）由，得到，令，转化为在上有解，结合基本不等式，求得恒成立，进而得到答案. 【详解】（1）解：当时，，则满足， 令，则，可得，即，解得， 所以，解得，即函数的定义域为. （2）解：由，可得， 即，所以， 令，则， 方程即为，整理得，其中， 要使得方程在上有解， 即方程在上有解，即在上有解， 又由， 当且仅当，即时，即时，等号成立，所以恒成立， 所以使得方程在上有解，实数的取值范围为. 迁移创新 18．若函数在上单调，则的取值集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别分析每一段函数的单调性，并结合分段点处函数值的大小关系来确定的取值范围. 【详解】当时，函数，底数， 所以函数在上单调递增， 所以也在上单调递增， 且， 当时，，则， 因为函数在上单调，且在上单调递增， 所以在上也单调递增，则在上恒成立， 即，化简可得：在上恒成立， 令，则在上单调递增， 所以，则, 又因为函数在上单调递增， 所以在分界点处，需要满足，化简可得： ，移项可得，解得， 结合和，得，即的取值集合为. 19．已知函数，若实数a满足，则满足条件的实数a的值有________个． 【答案】7 【详解】（1）当时，有，有. ①当时，由，有，解得； ②当时，由，有，解得或. （2）当时，有，有或. ①当时，由或，有或，解得（舍去）或（舍去）. ②当时，由或，有或，解得或或或. 由上知或3或或9或或或，故满足条件的实数的值有7个. 20．已知函数. (1)若在上单调递减，求实数的取值范围； (2)设函数，若对，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用复合函数单调性：同增异减求参数取值范围； （2）将条件转化为对恒成立，再参变分离，转化为最值处理. 【详解】（1）令，其图象开口向下，对称轴为，又在定义域上单调递增， 故在上单调递减等价于在上单调递减且恒成立. 则，且，解得，故的取值范围为. （2）令，由得，则， 当，即时，取最大值4. “对，都有”等价于对恒成立， 即，则， 即对恒成立. 易得在上单调递减，在上单调递增，且，， 所以，即的取值范围为. 21．已知函数． (1)证明：． (2)若且，不等式对任意的恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)证明：． 因为，所以． 又，所以，所以， 即，所以，即． 故． (2) 【分析】（1）计算出，并根据单调性比较出大小； （2）由基本不等式得到，从而得到，求出答案 【详解】（1）略 （2）． 因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以． 依题意可得． 当时，，则满足题意． 当时，， 则，又，所以． 综上，的取值范围为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 幂函数、指数函数与对数函数 4.3 对数函数 课标要点 ①理解对数函数的概念，掌握y=logax（a>0且a≠1）的结构特征，能准确判断一个函数是否是对数函数。 ②会用描点法画出对数函数的图象，掌握其定义域、值域、定点与单调性。 ③认识常用对数y=lgx与自然对数y=lnx，能正确识别与书写。 ④体会数形结合的思想，理解底数a的大小对图象升降与位置的影响。 学习重难点 重点： ①对数函数的概念及判断依据，掌握底数a>0且a≠1、真数为x这一前提。 ②对数函数的图象与性质，包括定义域、值域、定点与单调性。 ③常用对数y=lgx与自然对数y=lnx的记法与特点。 难点： ①理解真数必须大于0，对数函数的定义域为(0,+∞)这一前提条件。 ②正确辨析对数函数y=logax与对数型函数，准确应用判断依据。 ③由图象理解底数与1的大小对单调性、图象位置的影响，数形结合。 知识点一 对数函数的概念 1、对数函数的概念： 一般地，函数y=logax（a>0且a≠1）叫做对数函数，其中真数x是自变量，定义域是(0,+∞)。 2、判断一个函数是对数函数的依据： （1）形如y=logax； （2）底数a满足a>0且a≠1； （3）真数是x，而不是x的函数； （4）定义域为(0,+∞)。 例如y=log5x是对数函数，而y=log5(x+1)、y=log5(x/5)都不是对数函数，可称为对数型函数。 3、两种特殊的对数函数： 以10为底的对数函数叫常用对数函数，记作y=lgx；以无理数e为底的对数函数叫自然对数函数，记作y=lnx。 易错提醒 判断对数函数时最易错：真数必须是自变量x，底数必须满足a>0且a≠1。注意y=log5(x+1)、y=log5(x/5)的真数不是x，只是对数型函数而非对数函数；底数含x、等于1或真数小于等于0的式子都不符合定义。 即学即练 1．给出下列函数：①；②；③；④，其中是对数函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 知识点二 对数函数的图象与性质 1、函数y=logax（a>0且a≠1）的图象与性质： a的范围 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0,+∞) (0,+∞) 值域 R R 定点 图象过定点(1,0) 图象过定点(1,0) 单调性 增函数 减函数 函数值的变化情况 0<x<1时y<0；x>1时y>0 0<x<1时y>0；x>1时y<0 2、图象特征： 对数函数图象过定点(1,0)，以y轴（即直线x=0）为渐近线，定义域x>0时才有意义；a>1时图象上升，0<a<1时图象下降。 易错提醒 求定义域或解对数不等式时，最易忽略“真数大于0”。如求y=loga(2x-1)的定义域，须令2x-1>0解得x>1/2；比较两个对数大小时，先判断底数a与1的关系，再决定单调性与不等号方向，勿颠倒。 即学即练 2．下列函数中，在其定义域内是减函数的是（    ） A． B． C． D． 3．函数（，）的图象经过定点（     ） A． B． C． D． 题型01 对数函数的概念 解题贴士 判断是否是对数函数紧扣y=logax：底数a必须为常数且满足a>0、a≠1；真数必须是自变量x；log前的系数必须为1。 能化简成y=logax形式的先化简再判断，如y=log2x2=2log2x不是对数函数；注意与对数型函数y=logaf(x)区别，勿混淆。 典｜例｜精｜析 【例1】函数为以a为底的对数函数，则实数的值为（    ） A．3 B． C．2 D．或2 【例2】下列函数是对数函数的是（    ） A．（且） B． C． D．（且） 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】若函数是对数函数，则a的值是（    ） A．1或2 B．1 C．2 D．且 【变式1-2】函数（，且）是对数函数，且过点，则________． 【变式1-3】若函数是对数函数，则______． 题型02 求对数函数的解析式或函数值 典｜例｜精｜析 【例3】已知对数函数（且）的图象经过点，且该函数图象经过点，则实数的值是____________. 【例4】已知，其中且，若，，则___________． 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】点，都在同一个对数函数上，则t=__________. 【变式2-2】已知为对数函数，，则_______，_______． 【变式2-3】已知函数． (1)求函数的解析式； (2)解方程． 题型03 对数函数的定义域 解题贴士 求对数函数定义域的关键是“真数大于0”：令真数式大于0解出x的范围即可，同时底数须满足a>0且a≠1。 复合或含分式、根式时，把各约束联立成不等式组求交集；底数含x时须单独限定其范围，不能遗漏。 典｜例｜精｜析 【例5】函数的定义域为（     ） A． B． C． D．R 【例6】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】函数的定义域为__________. 【变式3-3】函数 的定义域为（    ） A． B． C． D． 题型04 对数函数的图象 解题贴士 对数函数图象过定点(1,0)，以y轴（x=0）为渐近线，位于x轴右侧。 a>1时上升、0<a<1时下降；a>1时底数越大图象越平缓，0<a<1时底数越小下降越陡。 含绝对值或复合的对数图象，抓住定点、渐近线，按平移、对称、翻折变换逐层画出。 典｜例｜精｜析 【例7】函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【例8】函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式4-1】在同一坐标系中，函数（且）与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】在同一平面直角坐标系内，函数 （，且），的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】函数的图象如下图所示，则的示意图是（    ） A． B． C． D． 题型05 求对数（型）函数的单调区间 解题贴士 求单调区间先求定义域，真数大于0是前提，忽略则区间出错。 复合对数函数y=logaf(x)遵循“同增异减”：底数a>1时与f(x)同增减，0<a<1时相反。 由内层f(x)的单调区间与定义域求交集，结合外层单调性写出对应的增减区间。 典｜例｜精｜析 【例9】已知函数（且），若，则的递增区间是（   ） A． B． C． D． 【例10】函数的递减区间是（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式5-1】函数的单调递减区间（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】函数的严格递减区间是_________. 【变式5-3】函数的递增区间为__________． 题型06 已知单调性求参数 典｜例｜精｜析 【例11】若函数在区间内单调递增，则的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 【例12】函数在上单调递减的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式6-1】已知且，函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为______. 【变式6-3】已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型07 比较两数的大小 典｜例｜精｜析 【例13】设，，，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【例14】已知，则（　　） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式7-1】若，，，则（     ） A． B． C． D． 【变式7-2】设，，，则（     ） A． B． C． D． 【变式7-3】设，则 的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型08 解简单的对数不等式 解题贴士 把不等式两边化为同底对数，再去掉对数号：a>1时不等号方向不变、真数大小同序，0<a<1时反向，切勿颠倒。 去掉对数号后必须保留“真数大于0”的约束，与解出的不等式取交集；含参数时先判断底数再定不等号方向。 典｜例｜精｜析 【例15】不等式的解集为______． 【例16】设实数，则“”是“”的（     ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变｜式｜巩｜固 【变式8-1】函数的定义域为______. 【变式8-2】“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式8-3】设函数，则使得成立的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型09 对数（型）函数的值域（最值） 典｜例｜精｜析 【例17】函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【例18】已知函数的定义域为，则函数的值域是_______． 变｜式｜巩｜固 【变式9-1】若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】函数的值域为（    ） A．（0，3） B．[0，3] C．（－∞，3] D．[0，＋∞） 【变式9-3】函数的最小值为__________． 题型10 对数函数的分类讨论 解题贴士 凡底数a与1大小未定时，先按a>1与0<a<1分类，再分别处理单调性、定义域与不等号方向。 含参数的对数问题（求值域、解不等式、求单调区间）均以底数分类为起点，逐类求解。 讨论后把各类结果汇总成完整答案，边界情形单独说明，保证分类互斥且无遗漏。 典｜例｜精｜析 【例19】若函数（且）在上的最大值与最小值的和为2，则（     ） A． B． C． D． 【例20】已知（且）． (1)若，求方程的解集； (2)若，求的取值范围． 变｜式｜巩｜固 【变式10-1】已知函数（且）在区间上的最大值与最小值之差为1，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．2或 【变式10-2】若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】已知函数（，且）． (1)若在上的最大值与最小值之差为3，求a的值； (2)若，求不等式的解集． 题型11 对数函数的综合性问题 典｜例｜精｜析 【例21】设，若，则的最小值为（      ） A． B． C． D． 【例22】已知函数，且，， (1)当时，求关于x的不等式的解集； (2)当时，不等式在上恒成立，求m的取值范围. 变｜式｜巩｜固 【变式11-1】已知函数，若存在x，使得，则a的取值范围（   ） A． B． C．或 D． 【变式11-2】已知函数，在时最大值为 2，最小值为 1. (1)求实数的值； (2)设，若关于的方程有四个不同的实数解，求实数的取值范围. 【变式11-3】已知函数 (1)若时，求该函数的值域； (2)若对恒成立，求的取值范围. 基础通关 1．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．已知，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知，则下列结论正确的是（      ） A． B． C． D． 5．函数的定义域为________． 6．已知函数是对数函数，则__________． 7．已知函数，则_______． 8．已知函数且的图像恒过定点，则______. 9．已知函数是指数函数． (1)求的解析式； (2)解不等式． 10．已知函数. (1)求的值； (2)解不等式. 11．设（，且），且. (1)求的值及的定义域； (2)求在区间上的最值. 素养提升 12．已知，，，，则，，的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 13．已知函数（，且），若存在实数使得的值域是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．设且，函数的定义域为．若的值域为，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 15．已知函数 的减区间为，则实数 的取值集合为__________． 16．已知函数，其中且． (1)若，求a； (2)若不等式对恒成立，求a的取值范围． 17．已知函数. (1)当时，求的定义域； (2)当时，有解，求实数的范围. 迁移创新 18．若函数在上单调，则的取值集合为（   ） A． B． C． D． 19．已知函数，若实数a满足，则满足条件的实数a的值有________个． 20．已知函数. (1)若在上单调递减，求实数的取值范围； (2)设函数，若对，恒成立，求实数的取值范围. 21．已知函数． (1)证明：． (2)若且，不等式对任意的恒成立，求的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $