第11讲 对数函数（知识详解+7典例精讲+课后作业）-2026年新高一数学暑假预习讲义（沪教版必修第一册）

第11讲 对数函数（知识详解+7典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：对数函数的概念 知识点02：对数函数的图象及性质 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：对数函数的概念判断与求值 题型02：对数型函数图象过定点问题 题型03：求对数函数与对数型复合函数的定义域 题型04：研究对数函数的单调性 题型05：由对数函数的单调性解不等式 题型06：比较对数式的大小 题型07：对数函数模型的应用 课后作业·巩固延伸 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 【知识点01】对数函数的概念 1.函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．值域为． 2．判断一个函数是对数函数是形如(a＞0，且a≠1)的形式，即必须满足以下条件： （1）系数为1；（2）底数为大于0且不等于1的常数；（3）对数的真数仅有自变量． 【例1】判断下列函数是否为对数函数，并说明理由： （1）　　（2）　　（3） 解:（1）判断 解析式符合标准形式 ，底数 且 ，真数为自变量 ，无多余系数和变形。 结论：是对数函数。 （2）判断 解析式中对数前存在系数 ，不属于对数函数标准形式，是对数型复合函数，并非纯正对数函数。 结论：不是对数函数。 （3）判断 函数真数为 （非单纯自变量 ），属于对数平移型函数，不符合定义要求。 结论：不是对数函数。 【知识点02】对数函数的图象及性质 函数名称 对数函数 定义 函数(a＞0，且a≠1)叫做对数函数 图象 a＞1 0＜a＜1 ( 1 ) ( 1 ) 定义域 （0，＋∞） 值域 R 过定点 图象过定点（1，0），即当x=1时，y=0． 奇偶性 非奇非偶 单调性 在（0，＋∞）上是增函数 在（0，＋∞）上是减函数 函数值的变化情况 . . . . . . a变化对图象的影响 在第一象限内，从顺时针方向看图象，a逐渐增大；在第四象限内，从顺时针方向看图象，a逐渐减小． 【例2】利用对数函数单调性，比较下列两组数的大小： （1） 与 　　（2） 与 解:（1）比较 与 步骤1：判断函数单调性 设函数 ，底数 ，因此 在 上单调递增。 步骤2：结合自变量大小判断函数值 因为 ，单调递增函数自变量越大，函数值越大。 因此：。 （2）比较 与 步骤1：判断函数单调性 设函数 ，底数 ，因此 在 上单调递减。 步骤2：结合自变量大小判断函数值 因为 ，单调递减函数自变量越大，函数值越小。 因此：。 答（1）；（2） 【题型01】对数函数的概念判断与求值 【典例1-1】下列函数，其中为对数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数函数定义，逐项判断作答. 【详解】函数，的真数不是自变量，它们不是对数函数，AB不是； 函数是对数函数，C是； 函数的底数含有参数，而的值不能保证是不等于1的正数，D不是. 故选：C 【变式1-1】已知函数，则________． 【答案】 【分析】利用对数的运算性质计算可得所求函数值. 【详解】因为，则，故. 故答案为：. 【变式1-2】已知，则___________． 【答案】 【分析】利用换元法求出函数的解析式，然后由内到外可计算得出的值. 【详解】对于，，令，则，所以， 故，，则，故. 故答案为：. 【变式1-3】下列函数中，哪些是对数函数？ (1)； (2) (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)不是对数函数 (2)不是对数函数 (3)不是对数函数 (4)不是对数函数 (5)是对数函数 【分析】利用对数函数的定义判断. 【详解】（1）该函数解析式中真数不是自变量，不是对数函数． （2）该函数解析式中对数式后加2，所以不是对数函数． （3）该函数解析式中真数为，不是，系数不为1，故不是对数函数． （4）该函数解析式中底数是自变量，并非常数，所以不是对数函数． （5）该函数解析式中底数是6，真数为，符合对数函数的定义，故是对数函数． 【题型02】对数型函数图象过定点问题 【典例2-1】函数（且）的图像过定点（   ） A．（2，3） B．（2，1） C．（2，0） D．（1，0） 【答案】C 【分析】令，代入计算可求定点坐标. 【详解】令，得， 所以函数（且）的图像过定点（2，0）. 故选：C. 【变式2-1】（25-26高一上·上海宝山·期末）函数 的图像恒过定点_____. 【答案】 【分析】利用对数运算性质，即可得到定点. 【详解】令，解得, 则, 所以函数图像恒过定点. 故答案为：. 【变式2-2】（25-26高一上·上海青浦·阶段检测）函数的图象经过一个定点，这个定点的坐标是_____________. 【答案】 【分析】根据对数函数的性质求解. 【详解】当时，， 所以函数过定点. 故答案为：. 【变式2-3】已知常数且，假设无论a取何值，函数的图象恒经过一个定点，求此点的坐标． 【答案】 【分析】利用（且）恒成立，求函数过定点. 【详解】当时，（且）， 所以函数的图象过定点： 【题型03】求对数函数与对数型复合函数的定义域 【典例3-1】（24-25高一上·上海·期末）函数的定义域为_____________. 【答案】 【分析】根据对数的真数大于0有意义求解. 【详解】因为，所以，即函数的定义域为. 故答案为：. 【变式3-1】（25-26高一上·上海杨浦·期末）函数的定义域是_______. 【答案】 【分析】结合对数函数的定义域求解即可. 【详解】由题可得：，解得：，所以函数的定义域是 故答案为： 【变式3-2】函数的定义域是______. 【答案】 【分析】根据对数函数的真数大于零即可求解. 【详解】由解得， 故答案为: . 【变式3-3】求下列函数的定义域： (1)（常数且）； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据对数式有意义求函数的定义域. 【详解】（1）由 ，故所求函数的定义域为：. （2）由 ，所以所求函数的定义域为：. 【题型04】研究对数函数的单调性 【典例4-1】下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数，幂函数的单调性依次判断每个选项得到答案. 【详解】对选项A：在区间上单调递减，不满足； 对选项B：在区间上单调递减，不满足； 对选项C：在区间上单调递增，满足； 对选项D：在区间上单调递减，不满足； 故选：C 【变式4-1】函数的图像如图所示，，则函数的单调递减区间是___________. 【答案】 【分析】可判断函数在上是减函数，再由复合函数的单调性可知时单调递减，从而解得. 【详解】， 在上是减函数， ， 即， 即的单调递减区间为， 故答案为：. 【变式4-2】求证：函数在区间上是增函数． 【答案】见解析 【分析】利用函数的单调性定义即可证明. 【详解】证明：在区间上任取， 设，则． ∵，∴． 又∵，∴． ∴，即． 所以函数在上是增函数． 【点睛】本题考查了对数函数的性质、定义法证明函数的单调性，属于基础题. 【变式4-3】判断及证明函数．在定义域上的单调性． 【答案】增函数．证明见解析. 【分析】首先由解析式求定义域，再根据函数单调性的定义：在定义域内取，并判断的大小关系，即可知函数在定义域上的单调性. 【详解】增函数，证：由知：定义域为 任取， ∵ ∴． ∴． ∴． ∴ ∴在定义域上是严格增函数． 【题型05】由对数函数的单调性解不等式 【典例5-1】（24-25高一上·上海·期末）已知，，且，那么关于的不等式，其解集不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对数函数的性质把不等式转化为，通过举例说明BCD是错误的即可. 【详解】且，关于x的不等式①， 当，时，不等式①的解集为，排除C； 当，，时，不等式①的解集为，排除B； 当，，时，恒成立，不等式①的解集为，排除D. 故选：A 【变式5-1】（24-25高一上·上海·期中）已知，若不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可知不等式的解集为，即可得或，解对数不等式即可. 【详解】因为不等式的解集为， 可知不等式的解集为， 若，可得或，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：B. 【变式5-2】（25-26高一上·上海虹口·期末）关于的不等式的解集为___________． 【答案】 【分析】根据对数函数的单调性可求不等式的解集. 【详解】即为，故即， 故不等式的解集为， 故答案为：. 【变式5-3】（24-25高一上·上海·随堂练习）设函数，其中，解不等式：. 【答案】 【分析】由函数在上的单调性化简得不等式组，求解即得. 【详解】因函数的定义域为，且是严格的增函数， 故由可得， 由①可得，或； 由②可得，. 故不等式的解集为. 【题型06】比较对数式的大小 【典例6-1】（24-25高一上·上海·单元测试）已知，，，则与的大小关系是________． 【答案】 【分析】利用作差法，结合换底公式可比较大小. 【详解】 ， 因为， 所以，，，， 所以，即， 故答案为：. 【变式6-1】若，则下列不等式不成立的是______．（填写所有不成立的不等式的序号） ①；②；③；④． 【答案】①④ 【分析】根据对数函数的单调性比较大小. 【详解】因为，所以， 所以在上单调递增，在上单调递减. 又，所以， 所以，，，. 故答案为：①④ 【变式6-2】如何比较与0的大小？ 【答案】答案见解析 【分析】根据题意，结合对数函数的性质，即可求解. 【详解】若，当，则；当，则；当，则； 若，当，则；当，则；当，则． 【变式6-3】比较下列各数的大小： （1）与； （2）与； （3）与. 【答案】（1）.（2）.（3）. 【分析】（1）根据，在定义域内是减函数，即可比较二者大小； （2）根据，在定义域内是增函数，可得，故，即可比较二者大小； （3）根据，，即可比较二者大小. 【详解】（1）设. 且是减函数， ， 即. （2） 是增函数， . ， 即. （3） 且， . 【点睛】本题主要考查了比较对数的大小，解题关键是掌握对数的单调性和对数的运算性质，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 【题型07】对数函数模型的应用 【典例7-1】在有声世界里，声强级是表示声强度相对大小的指标，其值y[单位：dB（分贝）]定义为，其中I为声场中某点的声强度，其单位为（瓦/平方米），为基准值．则声强级为60dB时的声强度是声强级为50dB时的声强度的（    ）倍． A．10 B．100 C．1.2 D．12 【答案】A 【分析】根据题意，得到可得，两式相减得，即可求解. 【详解】由题意知，声强级是表示声强度相对大小的指标值的定义为， 可得， 两式相减得， 即，解得， 所以声强级为dB时的声强度是声强级为dB时的声强度的倍． 故选：A. 【变式7-1】（24-25高一上·上海·单元测试）里氏震级是由来自美国加州理工学院的地震学家里克特（C．F.Richter）和古登堡（B．Gutenberg）于1935年提出的．里氏震级M的计算公式是，其中A是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅．2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0地震并引发海啸，造成重大人员伤亡和财产损失．一般里氏6.0级地震给人的震撼已十分强烈．按照里氏震级M的计算公式，此次日本东北部大地震的最大振幅是里氏6.0级地震最大振幅的________倍． 【答案】1000 【分析】结合已知条件，利用对数运算以及指数和对数的互化即可求解. 【详解】， ，所以， 所以． 故答案为：1000. 【变式7-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）如果在不断的裂变中，每天所剩留质量与上一天剩留质量相比，按同一比例减少，经过7天裂变，剩留的质量是原来的50％，计算它经过多少天裂变，剩留质量是原来的10％．（结果保留整数） 【答案】23天 【分析】由题意可得，结合对数的运算性质化简即可求得答案 【详解】设每天剩下的量是原来的x， 所以，， 设它经过y天裂变，剩下是原来的10％． 所以， ， 即它经过约23天裂变，剩下质量是原来的． 【变式7-3】（25-26高一上·上海松江·期中）声音强度（分贝）由公式给出，其中为声音能量，能量小于时，人听不见声音，强度大于60分贝时属于噪音，而一般的人待在100分贝至120分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪， (1)求时的声音强度； (2)求噪音的能量范围； (3)当噪声从100分贝提升至120分贝的过程中，其能量增加了多少倍？ 【答案】(1)（分贝） (2)噪音的能量范围为 (3)能量增加了倍 【分析】（1）令，代入求出声音强度； （2）根据题意，得到，根据对数函数的性质解出； （3）令，，解得即可得结论. 【详解】（1）当时，代入公式，可得（分贝）． （2）噪音的强度大于60分贝，代入公式可得， 所以，则， 解得． 故噪音的能量范围为． （3）令，解得， 令，解得， 所以， 当噪声从100分贝提升至120分贝的过程中，其能量增加了倍． 知识点01对数函数的概念 1. 严格定义 对于 ，形如 的函数称为对数函数，其中 为自变量。 函数三要素： 定义域： 值域： 底数约束： 且 2. 对数函数判定准则 只有完全符合标准式 才是对数函数，满足： ① 真数为单纯自变量 ；② 对数项无系数、无常数项、无平移变形。 正误示例：（是）；（不是）。 3. 常用特殊对数 常用对数： 自然对数： 知识点02对数函数的图象与核心性质 对数函数图象和单调性由底数 唯一决定，分为两类核心模型，所有性质考试通用。 1. 增长型对数函数 解析式： 单调性：在定义域 上严格单调递增 定点特征：图象恒过定点，恒满足 函数值符号规律： 2. 衰减型对数函数 解析式： 单调性：在定义域 上严格单调递减 定点特征：图象恒过定点 函数值符号规律： 知识点03核心解题方法：同底数对数值大小比较 适用题型：底数相同、真数不同的对数值比较大小，无需计算具体数值，直接用单调性判断。 1. 当 （递增）：真数越大，对数值越大 2. 当 （递减）：真数越大，对数值越小 知识点04本节核心公式汇总 考点分类 核心公式与结论 对数函数定义 函数恒过定点 ， 递增判定条件 ， 单调递增 递减判定条件 ， 单调递减 常用对数转换 知识点05高频易错重难点梳理 易错点1：忽略定义域：所有对数相关计算、判断，必须优先保证真数 ，是解题首要前提。 易错点2：概念认知偏差：仅标准式为对数函数，变形后的对数型复合函数不属于对数函数。 易错点3：单调性混淆：底数 为减函数，是大小比较、解对数不等式的主要易错点。 易错点4：区间表述错误：对数函数仅在 上单调，不能表述为在全体实数域上单调。 一、填空题 1．（24-25高一上·上海·课堂例题）下列函数是对数函数的有________． ①；②；③；④． 【答案】② 【分析】根据对数函数的定义进行判断即可． 【详解】由对数函数的定义：形如（且）的形式，则函数为对数函数，只有②符合. 故答案为：②. 2．（25-26高一上·上海·期末）函数的定义域为____________ 【答案】 【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式，即可求解. 【详解】由函数有意义，则满足，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 3．（25-26高一上·上海奉贤·期末）不等式的解为______． 【答案】 【详解】令，显然的定义域为, 因为函数和在上单调递增，因此在上单调递增； 又，所以不等式即为， 因此可得，即该不等式的解集为. 4．（25-26高二下·上海奉贤·期末）函数的定义域是______. 【答案】（或） 【详解】，解得，则此函数的定义域为或. 5．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知，，则函数的值域为__________. 【答案】R 【分析】根据给定条件，利用对数函数直接求出值域. 【详解】当时，函数的定义域为， 函数的真数的取值集合为， 所以函数的值域为R. 故答案为：R 6．（25-26高一上·上海普陀·阶段检测）已知且，则函数的图象经过定点________． 【答案】 【分析】根据对数函数的图象性质即可求解. 【详解】由题意令得， 此时， 则函数的图像经过定点. 故答案为： 7．（25-26高一下·上海·阶段检测）已知，当时，则________________． 【答案】/ 【详解】当时，令，即， 由，或舍去， 即， ，或舍去， 所以，所以. 8．（25-26高一上·上海·阶段检测）函数的严格单调递增区间为__________ 【答案】 【分析】求出函数的定义域，再利用对数函数、二次函数单调性求出递增区间. 【详解】函数，由，得， 即函数的定义域为，函数在上递增，在上递减， 而函数在上单调递减，因此函数的严格递增区间是. 故答案为： 9．（25-26高一上·上海嘉定·期末）用函数的观点解不等式，则其解集为________． 【答案】 【分析】设函数，根据函数单调性，即可解所求不等式. 【详解】设函数，定义域为， 根据指数、对数函数单调性可得，和都是上的增函数， 所以函数是上的增函数， 又，即，所以， 则不等式的解集为. 故答案为： 10．（25-26高一上·上海杨浦·期末）函数的严格递减区间是_________. 【答案】 【分析】由对数复合函数的单调性确定严格递减区间. 【详解】由， 由在上单调递减， 由在上单调递增， 而在定义域上单调递增， 故的严格递减区间为. 故答案为： 11．（25-26高一上·上海·期末）函数，的最小值为_________． 【答案】 【分析】利用换元法结合对数运算、对数函数性质、二次函数性质求值即可. 【详解】设，则. . 函数是开口向上的二次函数，对称轴为. 所以. 故答案为：. 12．燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬．专家发现：两岁燕子的飞行速度可以表示为（米/秒），若某只两岁的燕子耗氧量为时的飞行速度为（米/秒），另一只两岁的燕子耗氧量为时的飞行速度为（米/秒），两只燕子同时起飞，当时，一分钟后第一只燕子比第二只燕子多飞行的路程为______米 【答案】 【分析】由条件列出及的关系，结合，求出，由此可得结论. 【详解】因为，所以， 所以，， 又， 所以， 所以， 所以， 所以一分钟后第一只燕子比第二只燕子多飞行的路程为（米）， 故答案为：. 二、单选题 13．使式子有意义的的取值范围是（    ） A． B． C． D．，且 【答案】D 【分析】根据对数的定义得到不等式组解得. 【详解】 解得，即且. 故选：D 14．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数、对数函数等知识确定正确答案. 【详解】， ， ， 所以 故选：D 15．（25-26高一上·上海·期中）函数为对数函数，则实数的值为（    ） A．3 B． C．2 D．或2 【答案】C 【分析】根据题意，由求解. 【详解】因为函数为对数函数， 所以，解得， 所以实数的值为2， 故选：C 16．设，.下列各项中，能推出的一项是（ ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 【答案】C 【分析】根据题意，利用对数函数的图象与性质，结合选项，逐项求解，即可得到答案. 【详解】对于A，若，且，由对数函数的性质，可得，所以A不正确； 对于B，若，且，由对数函数的性质，可得，所以B不正确； 对于C，若，且，由对数函数的性质，可得， 所以，所以C正确； 对于D，若，且，由对数函数的性质，可得，所以D不正确. 三、解答题 17．（24-25高一上·上海·期末）试利用对数函数的单调性计算对数第一位小数的值. 【答案】的第一位小数是5 【分析】分析可得，再利用对数函数的单调性可得结果. 【详解】，，故， 所以，则， 因此，对数的第一位小数的值为. 18．已知，试求该函数图象恒过的定点． 【答案】 【分析】由对数函数的性质令真数得1计算即可； 【详解】令得，又，故该函数图象恒过定点． 19．（24-25高一上·上海宝山·阶段检测）已知函数的图象过点． (1)求实数的值； (2)解不等式． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）根据在对数函数图象上即可列方程求解； （2）根据对数函数单调性列不等式即可求解. 【详解】（1）由题意，解得； （2）由（1）可得是增函数， 从而成立，当且仅当，解得， 所以不等式的解集是. 20．（24-25高一上·上海·期末）已知函数． (1)讨论函数的定义域； (2)当时，解关于的不等式：． 【答案】(1)当时；当时，． (2) 【分析】（1）由，得，下面分类讨论：当时，；当时，即可求得的定义域； （2）根据函数的单调性解答即可； 【详解】（1）由，得， 当时，； 当时，； 所以的定义域是当时；当时，． （2）当时，任取，且， 则，所以． 因为，所以，即． 故当时，在上是增函数． ∵，∴， ∵，∴， 又∵，∴，即不等式的解为. 21．（25-26高一上·上海·期中）某体育用品商店开展促销活动，据统计，该店每天的销售收入不低于2万元时，其纯利润（单位：万元）随销售收入（单位：万元）的变化情况如下表所示： (万元) 2 3 5 (万元) (1)根据表中数据，分别用模型（且）与建立关于的函数解析式； (2)已知当时，，你认为（1）中哪个函数模型更合理？请说明理由.（参考数据：） 【答案】(1)，； (2)当时，模型对应的； 模型对应的， 当时，显然， 所以模型更合理. 【分析】（1）将表格中的数据代入两模型解方程组可求得函数解析式； （2）将自变量代入两模型计算求得，得出与更接近的模型即可. 【详解】（1）对于模型（且）， 将表格中数据代入可得， 解得； 所以； 对于模型， 将表格中数据代入可得， 解得； 所以； （2）略 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 对数函数（知识详解+7典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：对数函数的概念 知识点02：对数函数的图象及性质 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：对数函数的概念判断与求值 题型02：对数型函数图象过定点问题 题型03：求对数函数与对数型复合函数的定义域 题型04：研究对数函数的单调性 题型05：由对数函数的单调性解不等式 题型06：比较对数式的大小 题型07：对数函数模型的应用 课后作业·巩固延伸 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 【知识点01】对数函数的概念 1.函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．值域为． 2．判断一个函数是对数函数是形如(a＞0，且a≠1)的形式，即必须满足以下条件： （1）系数为1；（2）底数为大于0且不等于1的常数；（3）对数的真数仅有自变量． 【例1】判断下列函数是否为对数函数，并说明理由： （1）　　（2）　　（3） 【知识点02】对数函数的图象及性质 函数名称 对数函数 定义 函数(a＞0，且a≠1)叫做对数函数 图象 a＞1 0＜a＜1 ( 1 ) ( 1 ) 定义域 （0，＋∞） 值域 R 过定点 图象过定点（1，0），即当x=1时，y=0． 奇偶性 非奇非偶 单调性 在（0，＋∞）上是增函数 在（0，＋∞）上是减函数 函数值的变化情况 . . . . . . a变化对图象的影响 在第一象限内，从顺时针方向看图象，a逐渐增大；在第四象限内，从顺时针方向看图象，a逐渐减小． 【例2】利用对数函数单调性，比较下列两组数的大小： （1） 与 　　（2） 与 【题型01】对数函数的概念判断与求值 【典例1-1】下列函数，其中为对数函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知函数，则________． 【变式1-2】已知，则___________． 【变式1-3】下列函数中，哪些是对数函数？ (1)； (2) (3)； (4)； (5)． 【题型02】对数型函数图象过定点问题 【典例2-1】函数（且）的图像过定点（   ） A．（2，3） B．（2，1） C．（2，0） D．（1，0） 【变式2-1】（25-26高一上·上海宝山·期末）函数 的图像恒过定点_____. 【变式2-2】（25-26高一上·上海青浦·阶段检测）函数的图象经过一个定点，这个定点的坐标是_____________. 【变式2-3】已知常数且，假设无论a取何值，函数的图象恒经过一个定点，求此点的坐标． 【题型03】求对数函数与对数型复合函数的定义域 【典例3-1】（24-25高一上·上海·期末）函数的定义域为_____________. 【变式3-1】（25-26高一上·上海杨浦·期末）函数的定义域是_______. 【变式3-2】函数的定义域是______. 【变式3-3】求下列函数的定义域： (1)（常数且）； (2)． 【题型04】研究对数函数的单调性 【典例4-1】下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】函数的图像如图所示，，则函数的单调递减区间是___________. 【变式4-2】求证：函数在区间上是增函数． 【变式4-3】判断及证明函数．在定义域上的单调性． 【题型05】由对数函数的单调性解不等式 【典例5-1】（24-25高一上·上海·期末）已知，，且，那么关于的不等式，其解集不可能是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高一上·上海·期中）已知，若不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高一上·上海虹口·期末）关于的不等式的解集为___________． 【变式5-3】（24-25高一上·上海·随堂练习）设函数，其中，解不等式：. 【题型06】比较对数式的大小 【典例6-1】（24-25高一上·上海·单元测试）已知，，，则与的大小关系是________． 【变式6-1】若，则下列不等式不成立的是______．（填写所有不成立的不等式的序号） ①；②；③；④． 【变式6-2】如何比较与0的大小？ 【变式6-3】比较下列各数的大小： （1）与； （2）与； （3）与. 【题型07】对数函数模型的应用 【典例7-1】在有声世界里，声强级是表示声强度相对大小的指标，其值y[单位：dB（分贝）]定义为，其中I为声场中某点的声强度，其单位为（瓦/平方米），为基准值．则声强级为60dB时的声强度是声强级为50dB时的声强度的（    ）倍． A．10 B．100 C．1.2 D．12 【变式7-1】（24-25高一上·上海·单元测试）里氏震级是由来自美国加州理工学院的地震学家里克特（C．F.Richter）和古登堡（B．Gutenberg）于1935年提出的．里氏震级M的计算公式是，其中A是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅．2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0地震并引发海啸，造成重大人员伤亡和财产损失．一般里氏6.0级地震给人的震撼已十分强烈．按照里氏震级M的计算公式，此次日本东北部大地震的最大振幅是里氏6.0级地震最大振幅的________倍． 【变式7-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）如果在不断的裂变中，每天所剩留质量与上一天剩留质量相比，按同一比例减少，经过7天裂变，剩留的质量是原来的50％，计算它经过多少天裂变，剩留质量是原来的10％．（结果保留整数） 【变式7-3】（25-26高一上·上海松江·期中）声音强度（分贝）由公式给出，其中为声音能量，能量小于时，人听不见声音，强度大于60分贝时属于噪音，而一般的人待在100分贝至120分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪， (1)求时的声音强度； (2)求噪音的能量范围； (3)当噪声从100分贝提升至120分贝的过程中，其能量增加了多少倍？ 知识点01对数函数的概念 1. 严格定义 对于 ，形如 的函数称为对数函数，其中 为自变量。 函数三要素： 定义域： 值域： 底数约束： 且 2. 对数函数判定准则 只有完全符合标准式 才是对数函数，满足： ① 真数为单纯自变量 ；② 对数项无系数、无常数项、无平移变形。 正误示例：（是）；（不是）。 3. 常用特殊对数 常用对数： 自然对数： 知识点02对数函数的图象与核心性质 对数函数图象和单调性由底数 唯一决定，分为两类核心模型，所有性质考试通用。 1. 增长型对数函数 解析式： 单调性：在定义域 上严格单调递增 定点特征：图象恒过定点，恒满足 函数值符号规律： 2. 衰减型对数函数 解析式： 单调性：在定义域 上严格单调递减 定点特征：图象恒过定点 函数值符号规律： 知识点03核心解题方法：同底数对数值大小比较 适用题型：底数相同、真数不同的对数值比较大小，无需计算具体数值，直接用单调性判断。 1. 当 （递增）：真数越大，对数值越大 2. 当 （递减）：真数越大，对数值越小 知识点04本节核心公式汇总 考点分类 核心公式与结论 对数函数定义 函数恒过定点 ， 递增判定条件 ， 单调递增 递减判定条件 ， 单调递减 常用对数转换 知识点05高频易错重难点梳理 易错点1：忽略定义域：所有对数相关计算、判断，必须优先保证真数 ，是解题首要前提。 易错点2：概念认知偏差：仅标准式为对数函数，变形后的对数型复合函数不属于对数函数。 易错点3：单调性混淆：底数 为减函数，是大小比较、解对数不等式的主要易错点。 易错点4：区间表述错误：对数函数仅在 上单调，不能表述为在全体实数域上单调。 一、填空题 1．（24-25高一上·上海·课堂例题）下列函数是对数函数的有________． ①；②；③；④． 2．（25-26高一上·上海·期末）函数的定义域为____________ 3．（25-26高一上·上海奉贤·期末）不等式的解为______． 4．（25-26高二下·上海奉贤·期末）函数的定义域是______. 5．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知，，则函数的值域为__________. 6．（25-26高一上·上海普陀·阶段检测）已知且，则函数的图象经过定点________． 7．（25-26高一下·上海·阶段检测）已知，当时，则________________． 8．（25-26高一上·上海·阶段检测）函数的严格单调递增区间为__________ 9．（25-26高一上·上海嘉定·期末）用函数的观点解不等式，则其解集为________． 10．（25-26高一上·上海杨浦·期末）函数的严格递减区间是_________. 11．（25-26高一上·上海·期末）函数，的最小值为_________． 12．燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬．专家发现：两岁燕子的飞行速度可以表示为（米/秒），若某只两岁的燕子耗氧量为时的飞行速度为（米/秒），另一只两岁的燕子耗氧量为时的飞行速度为（米/秒），两只燕子同时起飞，当时，一分钟后第一只燕子比第二只燕子多飞行的路程为______米 二、单选题 13．使式子有意义的的取值范围是（    ） A． B． C． D．，且 14．已知，则（    ） A． B． C． D． 15．（25-26高一上·上海·期中）函数为对数函数，则实数的值为（    ） A．3 B． C．2 D．或2 16．设，.下列各项中，能推出的一项是（ ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 三、解答题 17．（24-25高一上·上海·期末）试利用对数函数的单调性计算对数第一位小数的值. 18．已知，试求该函数图象恒过的定点． 19．（24-25高一上·上海宝山·阶段检测）已知函数的图象过点． (1)求实数的值； (2)解不等式． 20．（24-25高一上·上海·期末）已知函数． (1)讨论函数的定义域； (2)当时，解关于的不等式：． 21．（25-26高一上·上海·期中）某体育用品商店开展促销活动，据统计，该店每天的销售收入不低于2万元时，其纯利润（单位：万元）随销售收入（单位：万元）的变化情况如下表所示： (万元) 2 3 5 (万元) (1)根据表中数据，分别用模型（且）与建立关于的函数解析式； (2)已知当时，，你认为（1）中哪个函数模型更合理？请说明理由.（参考数据：） 1 学科网（北京）股份有限公司 $