第4章幂函数、指数函数与对数函数单元复习讲义（提高）- 2026-2027学年高一上学期数学沪教版必修第一册

2026-2027学年高一数学秋季班同步培优讲义 第4章幂函数、指数函数与对数函数单元复习（提高篇） 知识点一、幂函数 1.幂函数的概念：一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数． 幂函数的特征： ①中前的系数为“1”；②中的底数是单个的自变量“”；③中是常数 2.常见幂函数的图象与性质 幂函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在上递增 上递增， 上递减 在上递增 在上递增 上递增 上递减 定点 注意：幂函数在区间上，当时，是增函数；当时，是减函数． 知识点二、指数函数 1.指数函数的定义：一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数． 2.指数函数的图象与性质 图象 定义域 值域 性质 过定点（0，1），即时， 当时，；当时， 当时，；当时， 在上是增函数 在上是减函数 温馨提示：（1）当时，指数函数的图象是“上升”的；当时，指数函数的图象是“下降”的． （2）指数函数且)的图象恒过点，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数且)的大致图象． 3.图象位置关系 底数的大小决定了图象相对位置的高低． （1）在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，“底大图高”．作出直线，与图象的交点从上至下即为底数从大到小的排列顺序． （2）在轴左侧，图象正好相反．如图所示的指数函数的底数的大小关系为 知识点三、对数函数 1.对数函数的概念 函数，且)叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是． 温馨提示：（1）对数函数是由指数函数反解后将互换得到的． （2）无论是指数函数还是对数函数，都有其底数，且 2.对数函数的图象及性质 图象 性质 定义域 值域 定点 过定点 单调性 是上的增函数 是上的减函数 3.当底数不同时对数函数图象的变化规律 作直线与所给图象相交，交点的横坐标即为对数的底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可得. 知识点一、幂函数 考点01 幂函数的解析式及求值 1．（25-26上海闵行区高一上期中）已知幂函数的图象过点，则 ． 2. （25-26华东师大三附中高一上期中）已知幂函数的图象过点，函数的解析式为______. 3. （25-26上海存志高级中学高一上期中）已知幂函数图象经过点，则=______. 4. （25-26上海徐汇区高一上期中）已知是幂函数，则______ 考点02 幂函数的定义域、值域问题 5. （25-26上海市金山中学高一上期中）函数的定义域为________. 6. （25-26上海宝山区高一上期中）函数的定义域是__________. 7.（2025•上海浦东新区期末）若幂函数为整数）的定义域为，则的值为 　　． 8．（25-26上海青浦区高一上期中）已知幂函数的图像过点，则该幂函数的值域是 ． 9．（25-26上海杨浦区高一上期中）已知是幂函数，则“是正偶数”是“的值域为”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点03 幂函数的的图像（识别、过定点、应用） 10. （25-26上海曹杨二中高一上期中）已知幂函数的图象不过原点，则实数m的值为__________. 11．（25-26上海奉贤区高一上期中）幂函数的图象过点，则函数的图象经过定点 ． 12.（25-26上海松江区高一上期中）下列图象中，最符合函数的图象的是（   ） A．B．C．D． 13. （25-26上海市建平中学高一上期中）如图所示的曲线是幂函数在第一象限内的图象．已知a分别取，2四个值，则与曲线相应的a依次为（ ） A. B. C. D. 14. （25-26华东师大三附中高一上期中）函数与函数在同一平面直角坐标系中的图像可能为（ ） A. B. C. D. 15．（25-26上海普陀区高一上期中）若，则满足的的取值范围是 ． 考点04 幂函数单调性（判断、比较大小、解不等式、最值） 16.（2025•上海青浦区期末）已知幂函数在区间上是严格增函数，且函数的图像关于原点中心对称，求实数的值． 17.（25-26上海市控江中学高一上期中） （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 18. （25-26华东师大附属天山学校高一上期中）已知幂函数的图象过点，则的解集为______. 19. 已知幂函数的图象过点，且，则实数的取值范围是 ． 20. （25-26上海曹杨二中高一上期中）已知，幂函数在区间上的最大值与最小值之差为，则a的值为__________. 21. （25-26上海市建平中学高一上期中）函数图象的对称中心为_____. 22. （25-26上海中学东校高一上期中）已知幂函数的图象关于轴对称，且，． （1）求； （2）若，求的取值范围． 知识点二、指数函数 考点05 指数函数的概念、解析式及求值 23. （25-26上海存志高级中学高一上期中）若函数是指数函数，则等于（ ） A. 或 B. C. D. 24. （25-26上海市风华中学高一上期中）已知指数函数的图像经过，则________ 25．已知指数函数的图象经过点，则 ． 考点06 指数型函数的定义域、值域问题 26．函数的定义域为 ． 27.设函数，则函数的定义域为（  ） A． B． C． D． 28．的值域是 考点07 指数型函数的图像（识别、过定点、应用） 29. （25-26上海格致中学高一上期中）函数的图象恒过定点______. 30. （25-26上海市建平中学高一上期中）函数的图象恒过定点_____. 31. （25-26上海市浦东新区高一上期中）若时，指数函数的值总大于1，则实数a的取值范围是_____________. 32．函数的图象大致为（   ） A．B．C．D． 33.已知函数，，且，则（  ） A．，， B．，， C． D． 考点08 指数型函数的单调性的判断及应用 34.已知为大于1的正数，则“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 35.已知，，，则三个数的大小关系是（  ） A． B． C． D． 36. （25-26华东师大三附中高一上期中）不等式的解集为____________. 37．函数单调递减区间是 ． 38.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是_____________ 考点09 指数型函数的最值问题 39. （25-26上海存志高级中学高一上期中）函数，的最大值为________． 40．函数在上的最大值为 . 41. （25-26上海市七宝中学高一上期中）已知指数函数在区间上的最大值和最小值之和为，则它在区间上的最大值和最小值之和为__________. 42．（25-26高一上·四川成都·期中）已知函数的定义域是A，则函数的最大值是（    ） A． B． C．0 D．8 知识点三、对数函数 考点10 对数函数的概念、解析式及求值 43．函数为对数函数，则实数的值为（    ） A．3 B． C．2 D．或2 44．（24-25高一上·上海·随堂练习）若函数是以为自变量的对数函数，则实数 ． 45．（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数是对数函数，且，则 ． 考点11 对数型函数的定义域、值域问题 46. （25-26上海大学附中高一上期中）函数的定义域是_____． 47．函数的定义域为 . 48．函数的值域为 . 49．若函数的定义域为R，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点12 对数型函数的图像（识别、过定点、应用） 50. （25-26上海中学高一上期中）已知函数为指数函数，则函数的图像过一定点，该定点的坐标是________． 51.（2025•上海静安区校级期末）已知函数过定点，则的最小值为 　 　． 52. （25-26上海市七宝中学高一上期中）在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（    ） A．B．C． D． 53.（24-25高一上·宁夏银川·期末）若函数的图象过点，则函数的大致图象是（   ） A．B．C． D． 54．（2025高一上·重庆永川·专题练习）函数的大致图象是（     ） A．  B．  C．   D．   考点13 对数型函数的单调性的判断及应用 55. （21-22高一上·陕西渭南·期中）下列函数在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 56. （25-26上海交通大学附中高一上期中）不等式的解集为_______． 57.（25-26高一上·贵州·期末）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 58．函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为 . 考点14 对数型函数的最值问题 59. 求函数的最大值与最小值． 60. （25-26华东师大一附中高一上期中）已知函数在区间上的最大值比最小值大，则的值为________ . 知识点四、综合提升 考点15 综合提升 61. （25-26上海市杨浦高级中学高一上期中）已知幂函数上单调递增，函数. （1）求的值； （2）当时，记、的值域分别为集合、，若，求实数的取值范围. 62. （25-26上海交通大学附中高一上期中）已知函数､的表达式为，且， （1）求函数的解析式； （2）若在区间上有解，求实数的取值范围； （3）已知，若方程的解分别为､，方程的解分别为､，求的最大值. 63．已知函数． (1)当时，求的值； (2)若函数的定义域为，求的取值范围； (3)当时，恒成立，求的取值范围． 64．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知函数． (1)求不等式的解集； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学秋季班同步培优讲义 第4章幂函数、指数函数与对数函数单元复习（提高篇） 知识点一、幂函数 1.幂函数的概念：一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数． 幂函数的特征： ①中前的系数为“1”；②中的底数是单个的自变量“”；③中是常数 2.常见幂函数的图象与性质 幂函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在上递增 上递增， 上递减 在上递增 在上递增 上递增 上递减 定点 注意：幂函数在区间上，当时，是增函数；当时，是减函数． 知识点二、指数函数 1.指数函数的定义：一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数． 2.指数函数的图象与性质 图象 定义域 值域 性质 过定点（0，1），即时， 当时，；当时， 当时，；当时， 在上是增函数 在上是减函数 温馨提示：（1）当时，指数函数的图象是“上升”的；当时，指数函数的图象是“下降”的． （2）指数函数且)的图象恒过点，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数且)的大致图象． 3.图象位置关系 底数的大小决定了图象相对位置的高低． （1）在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，“底大图高”．作出直线，与图象的交点从上至下即为底数从大到小的排列顺序． （2）在轴左侧，图象正好相反．如图所示的指数函数的底数的大小关系为 知识点三、对数函数 1.对数函数的概念 函数，且)叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是． 温馨提示：（1）对数函数是由指数函数反解后将互换得到的． （2）无论是指数函数还是对数函数，都有其底数，且 2.对数函数的图象及性质 图象 性质 定义域 值域 定点 过定点 单调性 是上的增函数 是上的减函数 3.当底数不同时对数函数图象的变化规律 作直线与所给图象相交，交点的横坐标即为对数的底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可得. 知识点一、幂函数 考点01 幂函数的解析式及求值 1．（25-26上海闵行区高一上期中）已知幂函数的图象过点，则 ． 【答案】2 【解析】设，则，解得：， 所以，则. 2. （25-26华东师大三附中高一上期中）已知幂函数的图象过点，函数的解析式为______. 【答案】 【分析】由点在图象上，应用待定系数法求解析式. 【详解】由题设，则. 故答案为： 3. （25-26上海存志高级中学高一上期中）已知幂函数图象经过点，则=______. 【答案】 【分析】代入求解幂函数的解析式，即可代入求解. 【详解】将代入中可得，故，故 因此， 故答案为： 4. （25-26上海徐汇区高一上期中）已知是幂函数，则______ 【答案】 【分析】由幂函数的定义得出结果即可. 【详解】由题知，解得，且，解得. 考点02 幂函数的定义域、值域问题 5. （25-26上海市金山中学高一上期中）函数的定义域为________. 【答案】 【分析】利用具体函数的定义域规则建立不等式求解即可. 【详解】由题意得，得到，解得 可得的定义域为. 故答案为： 6. （25-26上海宝山区高一上期中）函数的定义域是__________. 【答案】 【分析】根据0次方的底数不为0即可得到答案. 【详解】由题意得，解得， 则其定义域为. 故答案为：. 7.（2025•上海浦东新区期末）若幂函数为整数）的定义域为，则的值为 　　． 【答案】1． 【分析】根据已知条件列出约束式即可求解． 【解答】解：若幂函数为整数）的定义域为， 则，解得， 而是整数，则只能，经检验符合题意． 故答案为：1． 8．（25-26上海青浦区高一上期中）已知幂函数的图像过点，则该幂函数的值域是 ． 【答案】 【解析】设幂函数， 代入点可得，即， 可得， 因为，可得，所以该幂函数的值域是. 9．（25-26上海杨浦区高一上期中）已知是幂函数，则“是正偶数”是“的值域为”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用幂函数的性质结合充分、必要条件的定义判定即可. 【解析】当是正偶数时，显然，即其值域为． 当时，的值域为，但不是正偶数． 故“是正偶数”是“的值域为”的充分不必要条件． 故选：A. 考点03 幂函数的的图像（识别、过定点、应用） 10. （25-26上海曹杨二中高一上期中）已知幂函数的图象不过原点，则实数m的值为__________. 【答案】 【分析】根据幂函数的定义，系数为，不过原点指数小于等于即可得 【详解】根据幂函数定义，系数，解得或， 为使图象不过原点，指数，即，所以. 故答案为： 11．（25-26上海奉贤区高一上期中）幂函数的图象过点，则函数的图象经过定点 ． 【答案】 【解析】因为幂函数过点，可解得， 所以，故， 当时，，故恒过定点. 12.（25-26上海松江区高一上期中）下列图象中，最符合函数的图象的是（   ） A．B．C．D． 【答案】A 【解析】由，函数的定义域为，排除BC， 因为，所以函数的图象呈现下凸的趋势，排除D.故选：A. 13. （25-26上海市建平中学高一上期中）如图所示的曲线是幂函数在第一象限内的图象．已知a分别取，2四个值，则与曲线相应的a依次为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】由幂函数的图象性质，观察得答案. 【详解】根据幂函数的性质可知，当时，在上递增，且在上越大，增长速度越快， 当时，在上递减，从而可知，曲线对应的， 曲线对应的依次为. 故选：A 14. （25-26华东师大三附中高一上期中）函数与函数在同一平面直角坐标系中的图像可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】通过二次函数的大致图像确定对应参数的取值范围，再由指数型函数图像得到对应参数的取值范围，对吧对应参数的取值范围是否相同. 【详解】A选项，由二次函数图像可知：，由指数型函数图像可知：，A选项错误； B选项，由二次函数图像可知：，由指数型函数图像可知：，B选项错误； C选项，由二次函数图像可知：，由指数型函数图像可知：，C选项正确； D选项，由二次函数图像可知：，由指数型函数图像可知：，D选项错误； 故选：C. 15．（25-26上海普陀区高一上期中）若，则满足的的取值范围是 ． 【答案】 【解析】，即的图象在图象的下方， 由图可知，． 考点04 幂函数单调性（判断、比较大小、解不等式、最值） 16.（2025•上海青浦区期末）已知幂函数在区间上是严格增函数，且函数的图像关于原点中心对称，求实数的值． 【答案】0或2． 【分析】结合幂函数的性质，即可求解． 【解答】解：幂函数在区间上是严格增函数， 则，即，解得， ， 则，1，2， 当时，，满足函数在区间上是严格增函数，且函数的图像关于原点中心对称，符合题意， 当时，，不满足函数的图像关于原点中心对称，故舍去， 当时，，满足函数在区间上是严格增函数，且函数的图像关于原点中心对称，符合题意， 综上所述，或2． 17.（25-26上海市控江中学高一上期中） （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】由幂函数的性质即可计算求解； 【详解】（1）因为为R上的增函数， 所以若，则， 所以满足题意的实数的取值范围为. （2）因为函数为上的增函数，且定义域为R， 且，即为偶函数， 所以函数为上的减函数， 所以若，则或. 所以满足题意的实数的取值范围为. 18. （25-26华东师大附属天山学校高一上期中）已知幂函数的图象过点，则的解集为______. 【答案】 【分析】先由幂函数定义结合它图象上的点把表达式求出来，然后根据单调性、偶函数性质解表达式即可. 【详解】依题意，设，则，解得，于是得， 显然是偶函数，且在上单调递增， 而， 即有，解得或， 所以的解集为. 19. 已知幂函数的图象过点，且，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】将点代入得，解得， 所以， 因为在上单调递增，且， 所以当时，，解得，即实数的取值范围是， 20. （25-26上海曹杨二中高一上期中）已知，幂函数在区间上的最大值与最小值之差为，则a的值为__________. 【答案】或 【分析】对进行讨论，通过函数的单调性进行求解即可. 【详解】①当时，单调递增，所以函数的最大值为，最小值为，所以差为，解得； ②当时，单调递减，所以函数的最大值为，最小值为，所以差为，解得； ③当时，差为（舍去）0. 故答案为：或 21. （25-26上海市建平中学高一上期中）函数图象的对称中心为_____. 【答案】 【分析】利用函数对称性的定义可得出结果. 【详解】设，该函数的定义域为， 因为， 故函数图象的对称中心为. 故答案为：. 22. （25-26上海中学东校高一上期中）已知幂函数的图象关于轴对称，且，． （1）求； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）2； （2）. 【分析】（1）由，得在区间上为减函数，结合及函数图象对称性求出的值. （2）由（1）求出，再利用单调性及偶函数性质求解不等式. 【小问1详解】 由，得幂函数在区间上单调递减， 则，解得，又，则m的值为， 由的图象关于轴对称，函数为偶函数，则为偶数， 所以. 【小问2详解】 由（1）得函数定义域为，其图象关于轴对称，且在上为单调递减， 不等式，则， 解得或，所以的取值范围是. 知识点二、指数函数 考点05 指数函数的概念、解析式及求值 23. （25-26上海存志高级中学高一上期中）若函数是指数函数，则等于（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】C 【分析】根据指数函数的定义求解即可. 【详解】因为函数是指数函数， 所以. 故选：C 24. （25-26上海市风华中学高一上期中）已知指数函数的图像经过，则________ 【答案】 【分析】设指数函数（且），代入点运算求解即可. 【详解】设指数函数（且）， 因为指数函数的图像经过， 则，解得， 所以. 故答案为：. 25．已知指数函数的图象经过点，则 ． 【答案】8 【解析】设（且）． 则．解得，所以，所以. 考点06 指数型函数的定义域、值域问题 26．函数的定义域为 ． 【答案】 【解析】， 即定义域为. 27.设函数，则函数的定义域为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出的定义域后可求的定义域， 【解析】因为，所以，故， 故的定义域为， 令，则，故的定义域为. 故选：D. 28．的值域是 【答案】 【解析】，， 所以，所以函数的值域为. 考点07 指数型函数的图像（识别、过定点、应用） 29. （25-26上海格致中学高一上期中）函数的图象恒过定点______. 【答案】 【分析】令的指数为，求出的值，再代入原函数解析式，可得出定点坐标. 【详解】对于函数，令可得，此时， 故函数的图象恒过定点. 故答案为：. 30. （25-26上海市建平中学高一上期中）函数的图象恒过定点_____. 【答案】 【分析】由，将代入函数表达式，计算即可求解. 【详解】对于函数， 令，得， 所以函数图象恒过定点. 故答案为： 31. （25-26上海市浦东新区高一上期中）若时，指数函数的值总大于1，则实数a的取值范围是_____________. 【答案】 【分析】直接根据指数函数的性质得答案. 【详解】由指数函数的性质可得 解得 故答案为： 32．函数的图象大致为（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【解析】作出函数的图象，如下图所示， 将的图象向左平移个单位得到图象. 故选：B 33.已知函数，，且，则（  ） A．，， B．，， C． D． 【答案】D 【分析】画出的图象，根据以及的大小关系确定正确答案. 【解析】令，解得， 画出的图象如下图所示， 由于，且， 由图可知：，，的值可正可负也可为，所以AB选项错误. 当时，， 满足，，所以C选项错误. ， ，所以，D选项正确. 故选：D    考点08 指数型函数的单调性的判断及应用 34.已知为大于1的正数，则“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【答案】C 【详解】， 在上是单调增函数， ，，充分性成立； ，，必要性成立. “”是“”的充要条件. 故选：C. 35.已知，，，则三个数的大小关系是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用指数函数性质比较大小即得. 【解析】依题意，，，， 所以. 故选：A. 36. （25-26华东师大三附中高一上期中）不等式的解集为____________. 【答案】 【分析】根据指数函数的单调性转化为自变量的不等式，解之即可. 【详解】不等式，即， 因为在定义域上单调递增， 所以不等式等价于，即， 因为恒成立， 所以不等式的解集为，即不等式的解集为. 故答案为： 37．函数单调递减区间是 ． 【答案】 【解析】因为内层函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 外层函数在上为增函数，故函数单调递减区间. 38.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是_____________ 【答案】 【分析】根据复合函数的单调性求解判断. 【解析】令，对称轴为，又是R上增函数， 因为是上的增函数， 所以，即， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 考点09 指数型函数的最值问题 39. （25-26上海存志高级中学高一上期中）函数，的最大值为________． 【答案】 【分析】首先判断函数的单调性，结合单调性求出最大值. 【详解】∵，指数函数在区间上单调递减， 则函数在区间上单调递减， ∴当时，取最大值，即． 故答案为： 40．函数在上的最大值为 . 【答案】66 【详解】设，由于，所以，所以， 根据二次函数的性质可知，当时，取得最小值为，对应； 当时，取得最大值为.故答案为：66 41. （25-26上海市七宝中学高一上期中）已知指数函数在区间上的最大值和最小值之和为，则它在区间上的最大值和最小值之和为__________. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用单调性可得，再利用指数运算法则求解. 【详解】指数函数在上单调，则在上的最大值和最小值之和为，即， 所以在上的最大值和最小值之和为. 故答案为： 42．（25-26高一上·四川成都·期中）已知函数的定义域是A，则函数的最大值是（    ） A． B． C．0 D．8 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求指数函数在区间内的值域、利用函数单调性求最值或值域、具体函数的定义域、求二次函数的值域或最值 【分析】根据题意，求得，令，得到，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由函数有意义，则满足，即， 解得，即函数的定义域为，即， 又由函数， 令，可得且， 因为函数的图像开口向上，且对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又由，所以函数的最大值为，即函数的最大值为. 故选：C. 知识点三、对数函数 考点10 对数函数的概念、解析式及求值 43．函数为对数函数，则实数的值为（    ） A．3 B． C．2 D．或2 【答案】C 【解析】因为函数为对数函数， 所以，解得， 所以实数的值为2， 故选：C 44．（24-25高一上·上海·随堂练习）若函数是以为自变量的对数函数，则实数 ． 【答案】3 【知识点】求对数函数的解析式 【分析】由题意可得，且，且，从而可求出的值. 【详解】因为函数是以为自变量的对数函数， 所以，解得. 故答案为：3 45．（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数是对数函数，且，则 ． 【答案】/ 【知识点】求对数函数的解析式 【分析】根据，求得对数函数解析式，再将代入计算即可. 【详解】设，且， 因为， 所以，解得， 所以， 所以. 故答案为：. 考点11 对数型函数的定义域、值域问题 46. （25-26上海大学附中高一上期中）函数的定义域是_____． 【答案】 【分析】根据对数的性质及分式不等式的解法求定义域. 【详解】由对数的性质知， 所以函数定义域为. 故答案为： 47．函数的定义域为 . 【答案】. 【解析】函数满足，所以， 函数的定义域为. 48．函数的值域为 . 【答案】 【解析】由于， 所以， 所以原函数的值域为 49．若函数的定义域为R，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将问题转化为恒成立，求实数a的取值范围即可. 【详解】由题函数的定义域为R， 所以恒成立，令 当时，不恒成立，舍去； 当时，若恒成立， 则需解得， 综上实数a的取值范围为. 故选：D 考点12 对数型函数的图像（识别、过定点、应用） 50. （25-26上海中学高一上期中）已知函数为指数函数，则函数的图像过一定点，该定点的坐标是________． 【答案】 【分析】先根据指数函数的定义，确定的值，再依据对数函数的性质，令中真数为1求出定点横坐标，进而得出定点坐标. 【详解】因为为指数函数，所以， 且底数，，求解可得：， ，根据对数函数恒有， 所以令，求解得， 所以， 因此的图像经过定点． 51.（2025•上海静安区校级期末）已知函数过定点，则的最小值为 　 　． 【答案】2 【分析】先利用函数过定点得到，再根据，展开后利用基本不等式求解即可． 【解答】解：函数过定点， （4），化简可得， 由基本不等式性质得： ， 当且仅当时等号成立， 的最小值为2． 故答案为：2． 52. （25-26上海市七宝中学高一上期中）在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【知识点】判断指数型函数的图象形状、判断指数型复合函数的单调性、判断对数型函数的图象形状、对数型复合函数的单调性 【分析】分、讨论，结合图象可得答案. 【详解】当时，是单调递增函数，图象恒过点， 是单调递减函数，图象恒过点； 当时，是单调递减函数，图象恒过点， 是单调递增函数，图象恒过点； 所以满足条件的图象为D. 故选：D. 53.（24-25高一上·宁夏银川·期末）若函数的图象过点，则函数的大致图象是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出，再利用奇偶性及在的单调性判断即得. 【详解】由函数的图象过点，得，解得， 函数，即的定义域为， ，即函数是偶函数， 当时，在上单调递减，ABD错误，C正确. 故选：C 54．（2025高一上·重庆永川·专题练习）函数的大致图象是（     ） A．  B．  C．   D．   【答案】D 【难度】0.65 【知识点】判断对数型函数的图象形状、函数图像的识别 【分析】由函数定义域、单调性和奇偶性即可判断. 【详解】由解析式可得函数定义域需满足，解得或 故排除AC， 当,，可知其单调递增，排除B， 又，偶函数，只有D符合. 故选：D 考点13 对数型函数的单调性的判断及应用 55. （21-22高一上·陕西渭南·期中）下列函数在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的性质逐个选项判断即可. 【详解】对A，在上单调递减，在上单调递增，故A正确； 对B，在上单调递增，在上单调递减，故B错误； 对C，在上单调递增，故C错误； 对D，在上单调递减，在上单调递增，故D错误. 故选：A 56. （25-26上海交通大学附中高一上期中）不等式的解集为_______． 【答案】 【分析】根据对数函数单调性求解. 【详解】因为函数在单调递增，且， 所以，即，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 57.（25-26高一上·贵州·期末）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得函数定义域，然后由复合函数单调性可得答案. 【详解】令，求得，故函数的定义域为 ，且.要求函数的单调递增区间 ，即求函数在内的增区间，因在上单调递增， 则函数的单调递增区间是. 故选：B. 58．函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】由在区间上单调递增，在上单调递增， 故在上单调递增，即有，即， 又在上恒成立，故，即，综上，， 即实数的取值范围为. 故答案为：. 考点14 对数型函数的最值问题 59. 求函数的最大值与最小值． 【答案】最大值为；最小值为． 【分析】由对数函数的性质求解即可． 【解答】解：函数， 则函数在，为减函数， 则当时，函数取最大值，当时，函数取最小值， 即函数的最大值为；最小值为． 60. （25-26华东师大一附中高一上期中）已知函数在区间上的最大值比最小值大，则的值为________ . 【答案】 【分析】分析函数在区间上为减函数，由已知条件可得出关于的等式，结合可求得实数的值. 【详解】因为，所以函数在区间上为减函数， 所以，，所以，， 因为，因此，. 故答案为：. 知识点四、综合提升 考点15 综合提升 61. （25-26上海市杨浦高级中学高一上期中）已知幂函数上单调递增，函数. （1）求的值； （2）当时，记、的值域分别为集合、，若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）根据幂函数的定义与单调性可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值； （2）求出集合、，分析可得，可得出关于实数的不等式组，即可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 解：因为幂函数在上单调递增，则，解得. 【小问2详解】 解：由（1）可知，当时，，即， 当时，，即， 因为，则，所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. 62. （25-26上海交通大学附中高一上期中）已知函数､的表达式为，且， （1）求函数的解析式； （2）若在区间上有解，求实数的取值范围； （3）已知，若方程的解分别为､，方程的解分别为､，求的最大值. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】 （1）由可得答案. （2）由条件可得在区间上有解，设，由，则，即在区间上有解，可得答案. （3）由条件，，即，以及或，所以，从而可得，求出最大值可得答案. 【详解】（1）由，所以 所以 （2）在区间上有解 即在区间上有解 即在区间上有解 即设，由，则 所以在区间上有解 当时， 所以 （3）由，即或 由方程的解分别为､，则， 所以 由，即或 方程的解分别为､，则或 所以 所以 函数在上单调递减，当 时，有最大值 . 所以，则 所以的最大值为 【点睛】关键点睛：本题考查指数的运算和方程有解求参数，方程根的关系，解答本题的关键是由题意可得在区间上有解，设，分类参数即在区间上有解，以及根据方程的根的情况可得，属于中档题. 63．已知函数． (1)当时，求的值； (2)若函数的定义域为，求的取值范围； (3)当时，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】已知函数的定义域求参数、对数函数最值与不等式的综合问题、对数函数的概念判断与求值、求对数型复合函数的定义域 【分析】（1）当时，代值计算可得的值； （2）由题意可得，即可求得实数的取值范围； （3）由题意可得对任意的恒成立，由参变量分离法得出，求出函数在上的最小值，即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，． （2）若函数的定义域为，则对任意的恒成立． 所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. （3）由题意可知，不等式对任意的恒成立， 所以，，可得， 因为函数、在上均为增函数，所以，函数在上为增函数， 所以，. 因此，实数的取值范围是. 64．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知函数． (1)求不等式的解集； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】对数函数最值与不等式的综合问题、由对数函数的单调性解不等式、解不含参数的一元二次不等式 【分析】（1）利用二次不等式的解法以及对数函数的单调性可得出原不等式的解集； （2）令，由题意可得出，求出函数在上的最大值，由此可得出实数的取值范围. 【详解】（1）由，可得，解得， 因此，不等式的解集为. （2）因为，令， 由可得，可得， 由对勾函数的单调性可知，函数在上为增函数， 由题意可得， 因此，实数的取值范围是. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $