4.1 幂函数（讲义）高一数学沪教版必修第一册

第4章 幂函数、指数函数与对数函数 4.1 幂函数 课标要点 1.理解幂函数的概念，掌握解析式结构特征，能够辨别幂函数。 2.会画出5个常见幂函数图象，结合图象观察幂函数基本特征。 3.借助图象掌握幂函数定义域、值域、奇偶性、单调性等性质。 4.能利用幂函数单调性比较同形式幂值大小，进行简单应用。 学习重难点 重点： 1.掌握幂函数定义，牢记解析式形式，会依据特征判断幂函数。 2.熟记五个典型幂函数图象，记住各自定义域、奇偶性、单调性。 3.掌握第一象限幂函数增减规律，能利用单调性比较幂的大小。 难点： 1.根据指数的不同，分析幂函数定义域，判断奇偶性。 2.区分幂函数与指数函数，结合图象综合分析幂函数相关问题。 知识点一 幂函数的概念 定义：一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数。 三大识别特征（判断是不是幂函数的依据）： ①前面的系数必须为； ②底数只能是单独自变量，不能是、这类代数式； ③指数为常数，可以是整数、分数。 即学即练 1．已知幂函数的图象过点，则_____． 【答案】 【详解】设函数，， 因为幂函数的图象过点，则，可得， 可得，所以. 知识点二 幂函数的图象 五个典型幂函数为： 观察图象要点： ①全部幂函数均过定点； ②时，在第一象限图象呈上升趋势；时，第一象限图象呈下降趋势； ③图象分布由定义域、奇偶性共同决定。 即学即练 2．已知幂函数，，，在第一象限内的图象如图所示分别是，，，，则，，，的大小关系是（   ） A．， B．， C． D． 【答案】D 【分析】应用幂函数图象判断大小. 【详解】幂函数，，，在第一象限内的图象如图所示分别是，，，， 所以. 知识点三 幂函数的性质 1.五个典型幂函数对比表 函数 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数 单调性 上单调递增 递减 递增 上单调递增 单调递增 递减 递减 定点 2.拓展性质（第一象限内） （1）时：幂函数在上单调递增；（2）时：幂函数在上单调递减。 特别提醒 奇偶性会决定图象是否在二、三象限出现；第一象限的规律不能直接照搬至全部定义域。 即学即练 3．下列函数中，在上单调递减的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】选项A：是反比例函数，该函数在上单调递减，符合要求； 选项B：是幂函数，幂指数，在定义域上单调递增，因此在上也单调递增，不符合要求； 选项C：是二次函数，图象开口向上，对称轴为，在上单调递增，因此在上也单调递增，不符合要求； 选项D：当时，在上单调递增，因此在上也单调递增，不符合要求. 题型01 判断函数是否为幂函数 解题贴士 判断核心看解析式的结构，必须同时满足三点：前系数为 1，底数是单纯自变量，指数为常数。 若出现系数不为 1、底数为多项式、指数为变量的情况，都不属于幂函数。做题时先整理化简函数表达式，再对照三个特征逐一核验，不要被表面形式误导。 典｜例｜精｜析 【例1】给出下列函数，其中不是幂函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的定义逐项验证即可求解. 【详解】选项A、选项C、选项D都符合的形式， 选项B中自变量在指数位置，不是幂函数， 故选：B． 【例2】有下列函数： ①；②； ③；④； ⑤；⑥. 其中是幂函数的有______（只填序号）. 【答案】④⑤ 【分析】直接根据幂函数的定义即可逐一判断. 【详解】①中，的系数为，故不是幂函数； ②中，不是的形式，故不是幂函数； ③中，，系数是，故不是幂函数； ④中，，是幂函数； ⑤中， ，是幂函数； ⑥中，是指数函数，故不是幂函数. 故答案为：④⑤ 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的定义直接判断即可. 【详解】幂函数的定义：， 可知，，均不是幂函数，是幂函数. 故选：D. 【变式1-2】下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A选项不满足底数为单独的x的特征，所以不是幂函数； B选项不满足系数为1的特征，所以不是幂函数； C选项不符合y＝xα的单一形式，所以不是幂函数； D选项是幂函数. 【变式1-3】在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为______ 【答案】1 【分析】根据幂函数的定义判断． 【详解】∵y＝＝x－2，∴是幂函数；y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0,1)，所以常函数y＝1不是幂函数. 故答案为：1． 题型02 求幂函数的解析式或函数值 典｜例｜精｜析 【例3】已知幂函数，且，则实数________． 【答案】 【分析】利用已知条件先求出得出幂函数解析式，然后求出函数值即可. 【详解】因为，， 即，解得， 所以，则， 故答案为：. 【例4】已知函数是幂函数，若，则____________. 【答案】 【分析】先设幂函数，再根据解出，确定，再代入求解即可. 【详解】设，故，解得， 故，则. 故答案为：. 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】已知幂函数的图象过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，将点代入得， 所以，解得， 所以. 【变式2-2】已知幂函数的图象经过点，则______． 【答案】3 【分析】待定系数法求得，再计算即可. 【详解】设，因为幂函数的图象经过点， 所以，即，解得， 即，故. 故答案为： 【变式2-3】已知幂函数过点，则__________. 【答案】 【分析】根据幂函数的定义求出的值，再代入点求出，即可得解. 【详解】因为为幂函数， 所以，解得， 所以，又函数过点，所以，所以， 所以. 故答案为： 题型03 幂函数的定义域 解题贴士 幂函数的定义域由指数决定，分数指数先转化根式形式，负数指数改写成分式，再据此求自变量取值范围。 遇到分数指数，分母对应开偶次方时，被开方数要大于等于0；负指数要保证分母不为0。 切记不能直接照搬指数大于0时的定义域规律，不同指数要分开分析，避免遗漏限制条件。 典｜例｜精｜析 【例5】下列函数中，定义域为的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将选项中的幂函数分别化成根式，即可求得函数的定义域逐一判断即可. 【详解】对于A，因，则该函数的定义域为，故A不合题意； 对于B，因，该函数的定义域为，故B不合题意； 对于C，因，则该函数的定义域为，故C符合题意； 对于D，因，则该函数的定义域为，故D不合题意. 故选：C. 【例6】已知幂函数的图象过点，则的定义域为____________. 【答案】 【分析】依据题意设出解析式，求出解析式后求解具体函数定义域即可. 【详解】是幂函数，设，将代入解析式， 得，解得，故， 则， 故，解得或， 故的定义域为 故答案为： 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】已知幂函数的图象过点，则该幂函数的定义域是___________. 【答案】 【分析】根据给定条件，求出幂函数的解析式，再求出其定义域. 【详解】设，由的图象过点，得，解得， 因此，其定义域为， 所以该幂函数的定义域是. 故答案为： 【变式3-2】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简函数解析式，根据函数解析式有意义可得出关于的不等式组，由此可解得原函数的定义域. 【详解】因为，则，可得， 故函数的定义域为. 故选：D. 【变式3-3】已知幂函数，则此函数的定义域为________． 【答案】. 【分析】根据幂函数的定义，求得，得到，进而求得函数的定义域. 【详解】由幂函数，可得，解得，即， 则满足，即幂函数的定义域为. 故答案为：. 题型04 幂函数的值域 解题贴士 求值域优先结合定义域分析，可借助对应幂函数图像直观观察输出值的取值集合，简化推理过程。 部分幂函数值域会受奇偶性影响，奇函数值域关于原点对称，偶函数函数值全部非负。 遇到分数、负指数幂，要留意开方、分式带来的取值限制，排除取不到的数值，防止值域范围写得过大。 典｜例｜精｜析 【例7】下列四组函数中，同组两个函数的值域相同的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】根据幂函数的性质逐项分析即得. 【详解】对于A，的定义域为，∵，∴的值域为， 的定义域和值域均为，故A错误； 对于B，的定义域为，其值域为， 的定义域为，其值域为，故B错误； 对于C，的定义域为，其值域为， 的定义域为，其值域为，故C正确； 对于D，的定义域为，其值域为， 的定义域和值域均为，故D错误， 故选：C. 【例8】已知幂函数的图象过点，则______；的值域是______. 【答案】 【分析】由待定系数法可得，代入计算可得，由幂函数性质可得值域. 【详解】设幂函数， 因为幂函数的图象过点， 所以，解得， 所以幂函数的解析式为， 所以，值域为. 故答案为：；. 变｜式｜巩｜固 【变式4-1】幂函数中，的取值集合是的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合__________. 【答案】 【分析】根据幂函数的性质一一验证即可. 【详解】当时，，其定义域和值域均为，符合题意， 当时，，其定义域为，值域为，不符合题意， 当时，，其定义域和值域均为，符合题意， 当时，，其定义域和值域均为，符合题意， 当时，，其定义域为，值域为，不符合题意， 当时，，其定义域和值域均为，符合题意， 综上当幂函数的值域与定义域相同时，则集合. 故答案为：. 【变式4-2】若集合，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】求出值域，得到，故A是B的真子集，得到答案. 【详解】由幂函数的性质可知，则A是B的真子集， 则是的充分不必要条件. 故选：A 【变式4-3】函数的值域为______. 【答案】 【分析】根据题意可得，然后根据幂函数单调性求解值域. 【详解】令， 由有意义可得， 所以， 则， 所以，即函数的值域为. 故答案为：. 题型05 幂函数的图象 典｜例｜精｜析 【例9】如图所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（    ） A．①，②，③，④ B．①，②，③，④ C．①，②，③，④ D．①，②，③，④ 【答案】B 【分析】由函数图像特征确定幂函数解析式特点，据此可得答案. 【详解】由选项情况设幂函数. 对于①，由图可得该函数定义域为，在上单调递增，为奇函数，在第一象限图象类似于二次函数， 从而，则满足情况； 对于②，由图可得该函数定义域为，在上单调递增，为偶函数，在第一象限图象类似于二次函数， 从而，则满足情况； 对于③，由图可得该函数定义域为，在上单调递增，为非奇非偶函数，在第一象限图象类似于， 从而，则满足情况； 对于④，由图得该函数定义域为，在上单调递减，为奇函数，在第一象限图象类似于， 从而，则满足情况. 综上可得选：B. 【例10】若幂函数的大致图象如图所示，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的定义，得到，求得或，再根据幂函数的性质，即可求得实数的值； 【详解】根据幂函数定义可知，，解得或， 当时，，当时，， 由图可知不合题意，所以. 故选：A. 变｜式｜巩｜固 【变式5-1】已知幂函数的图象经过点，则函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将点坐标代入到函数解析式中求，再根据函数的奇偶性与增减性选出正确图象. 【详解】将点代入到中，即，解得，故， 易得为偶函数，排除AD选项，且有当时，易得单调递减，B选项符合题意. 故选：B. 【变式5-2】已知幂函数的图象与轴没有公共点，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为是幂函数， 所以，解得或， 当时，，函数图象过，和轴有交点，不符合题意； 当时：，，与轴没有交点，符合题意. 所以. 【变式5-3】在同一坐标系内，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的性质和函数的单调性判断即可. 【详解】易知当时，单调递增，当时，单调递减， 对于A，由函数的图象可知， 由的图象可知，互相矛盾，错误； 对于B，由函数的图象可知， 由的图象可知，互相矛盾，错误； 对于C，由函数的图象可知， 由的图象可知且，符合题意，正确； 对于D，由函数的图象可知， 由的图象可知且，互相矛盾，错误. 题型06 幂函数过定点问题 解题贴士 通用思路：令幂的底数等于1，无论指数取何常数，都有，因此幂函数恒过定点。 部分幂函数当有定义时，还经过；若是复合幂函数，把括号内整体部分令为1，求出，再算对应值得到定点。 注意要检验所求是否在函数定义域内，不在定义域的点要舍去，不要机械套用公式直接写坐标。 典｜例｜精｜析 【例11】三个幂函数（1），（2），（3）都经过的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当时，三个函数值都为，得到答案. 【详解】当时，得到，，，故都过点. 故选：. 【点睛】本题考查了幂函数过定点，意在考查学生的计算能力. 【例12】已知，则函数的图象恒过的定点的坐标为__． 【答案】 【分析】令求解即可. 【详解】令，得， 故函数图象过定点， 故答案为： 变｜式｜巩｜固 【变式6-1】任意两个幂函数图象的交点个数是（    ） A．最少一个，最多三个 B．最少一个，最多二个 C．最少个，最多三个 D．最少个，最多二个 【答案】A 【分析】利用幂函数的图象和性质判断. 【详解】解：因为所有幂函数的图象都过， 所以最少有个交点， 如图所示： 当函数为和时，它们有个交点， 故选：． 【变式6-2】函数的图象过定点______. 【答案】 【详解】由，解得，代入函数，可得， 所以函数图象恒过定点. 【变式6-3】已知函数（为不等于0的常数）的图象恒过定点P，则P点的坐标为_______. 【答案】 【分析】由幂函数的性质知的图象恒过，即可求出函数的图象恒过的定点. 【详解】因为的图象恒过， 所以的图象恒过定点. 故答案为： 题型07 判断幂函数或与其相关的复合函数的单调性 典｜例｜精｜析 【例13】下列函数中是增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】选项A：是斜率为的一次函数，在上单调递减，不是增函数. 选项B：是开口向上的二次函数，在递减，在递增，在定义域上不单调. 选项C：是幂函数，指数，定义域为，在上单调递增，是增函数. 选项D：的定义域为，在两个区间内分别递增，但在整个定义域上不具备单调性. 【例14】函数的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得或，即函数的定义域为． 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以由复合函数单调性，可知函数的单调递减区间为． 变｜式｜巩｜固 【变式7-1】函数在区间上的最小值是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的单调性计算可得. 【详解】因为，所以在上单调递增， 所以. 故选：B 【变式7-2】已知幂函数的图象过点，则该幂函数的严格增区间是______； 【答案】 【分析】利用幂函数的性质求解. 【详解】不妨设幂函数为，由题得：，解得：，所以，则的严格增区间是. 【变式7-3】函数的单调递减区间为__________. 【答案】 【分析】根据一元二次不等式的解法，可求得定义域，根据复合函数单调性的求法，分析求解，即可得答案. 【详解】由题意， 令，可得，解得， 因为为开口向下，对称轴为的抛物线， 所以的减区间为， 因为在上单调递增， 由复合函数单调性“同增异减”的原则，可得的减区间为. 故答案为： 题型08 利用幂函数的单调性比较大小或解不等式 解题贴士 比较幂值大小时，先观察是否为同一个幂函数的函数值，自变量在同一单调区间，直接用单调性判断大小。 底数不同、指数相同时，借助对应幂函数图像；指数底数均不同，可寻找中间值0、1做参照。 解幂函数不等式，先确定函数单调区间，同时带上定义域约束条件，求解后要检验结果是否符合定义域要求。 典｜例｜精｜析 【例15】设幂函数的图象经过原点，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由为幂函数，令，解得或， 时，的图象经过原点，符合题意，所以， 时，，图象不过原点，不合题意， 因为，所以， 因为在上单调递增， 所以. 【例16】若，则实数的取值范围是________；若，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】构造幂函数，利用幂函数的单调性可得答案. 【详解】因为函数是定义在上的增函数，则由 ，可得，解得， 故实数的取值范围是. 由， 可得，解得， 故实数的取值范围是. 变｜式｜巩｜固 【变式8-1】已知函数，设，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的定义域为. 因为,所以为偶函数,故. 当时,幂函数单调递减,即在上单调递减. 又,. 因为,所以,即,所以. 【变式8-2】已知幂函数 在上是单调递减函数，则不等式的解集为_________. 【答案】 【分析】根据幂函数定义可构造方程求得的值，结合单调性可确定的最终结果；根据奇偶性定义可得的奇偶性，结合定义域和单调性可得自变量大小关系，解不等式即可求得结果. 【详解】为幂函数，，解得：或； 当时，在上单调递减，符合题意； 当时，在上单调递增，不合题意； 综上所述：； 的定义域为，， 为定义在上的偶函数， 故，， 由且，， 解得：或， 的解集为. 【变式8-3】已知幂函数 是偶函数. (1)求的值； (2)解不等式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义及性质求解即可； （2）根据偶函数及单调性将不等式化为，两边平方化简得，求解即可. 【详解】（1）幂函数为偶函数， 所以，解得或， 当时，，为奇函数，不符合题意，舍去； 当时，，为偶函数，满足题意； 所以. （2）由（1）知， 为偶函数，且在上单调递增， 所以不等式，可化为， 所以，两边平方得， 化简得，解得或， 所以不等式的解集为. 题型09 根据幂函数的单调性求参数 典｜例｜精｜析 【例17】已知幂函数在上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据幂函数的定义可知 ，解得或； 再根据幂函数单调性性质当时，函数在上单调递减，不满足题意，舍去； 当时，函数在上单调递增，满足题意， 即. 【例18】已知“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件，则正实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的性质求得，由题意知是的真子集，列不等式即可求解. 【详解】因为函数在上单调递增，所以，解得. 因为“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件，且， 所以是的真子集，所以， 即正实数的取值范围是. 变｜式｜巩｜固 【变式9-1】已知幂函数在区间上是减函数，则实数的值为（　　） A． B． C． D．或 【答案】A 【详解】由题意可得，解得. 所以实数的值为 【变式9-2】“”是“幂函数在上单调递增”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由幂函数的概念，即可求出，或，均满足在上单调递增以及充分条件、必要条件的概念，即可得到结果. 【详解】因为是幂函数， 所以，解得，或， 又时，在上单调递增， 时，在上单调递增， 所以“”是“幂函数， 在上单调递增”的充分不必要条件． 故选：A． 【变式9-3】已知，函数在上是严格增函数，且图象关于原点对称，则________． 【答案】 【详解】根据幂函数的单调性性质：若幂函数在上严格增，则； 已知，得α的可能取值为； 又函数图象关于原点对称等价于函数为奇函数，且定义域关于原点对称： 当时，，定义域为，不关于原点对称，不符合要求； 当时，，定义域为R，对任意，均满足，是奇函数， 图象关于原点对称，且在上严格增，符合所有条件， 综上，. 基础通关 1．幂函数 的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因，需要被开方数非负且分母不为 . 故该函数的定义域为 . 2．若幂函数的图象经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，可设， 由，所以. 所以. 3．已知函数，则“”是“函数是幂函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若函数是幂函数，则，解得或， 对于充分性：当时，函数是幂函数，可得充分性成立， 对于必要性：当函数是幂函数时，或，必要性不成立， 得到“”是“函数是幂函数”的充分不必要条件，故A正确. 4．已知是幂函数，则“”是“的图象经过点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，则，则的图象经过点成立。所以“”是“的图象经过点”的充分条件； 若幂函数的图象经过点，则也可以，所以“”不是“的图象经过点”的必要条件. 综上可得：“”是“的图象经过点”的充分不必要条件. 5．幂函数（为实数）图象经过的定点为________． 【答案】 【分析】根据幂函数的性质：1 的任意次幂都等于 1求定点. 【详解】当 时，，与 的取值无关， 故幂函数 的图象经过的定点为. 6．若幂函数满足，则____________． 【答案】 【分析】利用代入法，结合幂函数的定义进行求解即可. 【详解】. 因为是幂函数， 所以. 7．若幂函数满足，则实数m的值为________． 【答案】 【详解】幂函数， 所以，解得或， 当时，，此时，当时，，此时， 又因为，所以满足要求， 即. 8．已知，幂函数的大致图象如图所示，则_________． 【答案】 【详解】由图象知，时，在第一象限单调递减，故排除， 图象关于轴对称，故函数是偶函数， 时，，定义域为，满足，是偶函数； 时，，定义域为，满足，是奇函数； ． 9．函数的最大值为______． 【答案】 / 【分析】先确定函数的定义域，再求根号内二次函数的最大值，开平方后得到原函数的最大值. 【详解】要使有意义，则 ，整理得， 解得，所以函数定义域为， 令，， 该函数是开口向下的二次函数，其对称轴为 ， 因为，故在处取得最大值为 ， 由于在时单调递增，因此的最大值为. 10．已知幂函数的图象过点． (1)求函数的解析式； (2)判断的增减性，并证明； (3)求在上的值域． 【答案】(1) (2) 是上的增函数． 证明：函数的定义域是．    ，且，    有.    因为，    所以， 所以， 即幂函数是上的增函数． (3) 【分析】（1）利用幂函数的定义及待定系数法可得答案； （2）利用单调性定义证明即可； （3）利用幂函数的单调性可得答案. 【详解】（1）设，   代入点， 得：，解得，    所以． （2）略 （3）由（2）知在上单调递增，    所以，    ，    所以的值域为． 11．已知幂函数的图象经过点. (1)求此幂函数的表达式和定义域； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)，定义域为； (2). 【分析】（1）根据幂函数所过的点求解析式，进而确定其定义域； （2）由幂函数的定义域和单调性解不等式求参数范围. 【详解】（1）设，则，解得，故，其定义域为； （2）由，则在上单调递增， 所以，即，即， 所以，实数的取值范围为. 12．已知幂函数与一次函数的图象都经过点，且． (1)求与的解析式： (2)求函数在上的最值． 【答案】(1)； . (2)最大值为，最小值为. 【分析】（1）结合幂函数和一次函数定义，通过待定系数法求解方程； （2）根据二次函数性质结合给定区间求解最值即可. 【详解】（1）设幂函数，因为过点， 代入得：，得，因此 . 设一次函数 ，由题意：，得 ， 又过点，则，解得 ，故 . （2）由题意得： ，对称轴为， 且 ，则最大值在对称轴处取得 ； 由 ， ，可得最小值为. 所以在上的最大值为，最小值为. 素养提升 13．已知幂函数的定义域为，则（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】根据幂函数的定义和性质求解. 【详解】因为为幂函数， 所以，即，解得，或， 所以或 又函数的定义域为，所以，， 所以， 故选：D 14．已知幂函数的图象过点，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由幂函数图象所过的点求出幂函数解析式，再由复合函数同增异减的原则可求其单调递增区间． 【详解】设 将点 代入，得 ，解得 ， 则， 令 ．由 ，得在   或 时有定义． 设，则外层函数 在 时单调递增； 内层函数 在 时单调递减，在 时单调递增． 因此， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ． 15．已知幂函数在上单调递减，若正数，满足，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】先根据幂函数的定义与单调性求出参数的值，进而根据“1”的妙用，及基本不等式即可求解． 【详解】由是幂函数，且在上单调递减， 则，即，解得， 则，即，又，， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为． 16．已知函数在上是增函数，在上是减函数，那么最小的正整数________. 【答案】 【详解】因为函数在上是减函数，故，故， 当时，在上是减函数，因为它为奇函数，则在上也是减函数，不满足； 当时，在上是增函数，在上是减函数，满足题意. 17．已知幂函数的图象过点，函数．若，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】利用待定系数法得到幂函数解析式，代入分段函数，利用函数的单调性求满足不等式的x的取值范围. 【详解】设幂函数，代入，解得，故， 当时，， 不等式为，可得，即， 又在上单调递增，故， 当时，，， 不等式为，即，可得，即， 又在上单调递增，故，解得， 当时，，成立， 综上所述，. 迁移创新 18．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合幂函数性质由条件求，结合函数的性质化简不等式，解不等式可得结论. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以，又， 所以， 因为函数的图象关于轴对称， 所以为偶数， 不符合题意舍去，所以， 函数的定义域为， 且函数在和上单调递减， 当时，，当时，， 所以不等式可化为 或或， 所以或， 所以的取值范围为. 故选：C. 19．已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为_______________. 【答案】 【分析】求出分段函数在各段上的函数值集合，再根据给定值域，列出不等式求解作答. 【详解】函数在上单调递减，其函数值集合为， 当时，的取值集合为，此时的值域，不符合题意； 当时，函数在上单调递减，其函数值集合为， 因为函数的值域为，则有，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 20．已知幂函数． (1)求函数的解析式； (2)若函数，，是否存在实数使得的最小值为，若存在，求出实数m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用幂函数的概念可求得，进而可求得的解析式； （2）结合（1）中结论，利用换元法得到，，从而将问题转化为是否存在实数使得，利用二次函数轴动区间定分类讨论求得，进而可算出并验证实数是否满足题意. 【详解】（1）因为是幂函数， 所以，解得或（舍去） 所以. （2）假设存在实数使得的最小值为，即， 由（1）得， 令，则因为，所以，则，即，此时， 所以可化为，此时，即， 则开口向上，对称轴为， 当，即时，在上单调递增，故， 所以由得，即，不满足题意，舍去； 当，即时，易知， 由得或（舍去），故； 当，即时，在上单调递减，故， 由得，不满足题意，舍去； 综上：存在使得的最小值为，故. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 幂函数、指数函数与对数函数 4.1 幂函数 课标要点 1.理解幂函数的概念，掌握解析式结构特征，能够辨别幂函数。 2.会画出5个常见幂函数图象，结合图象观察幂函数基本特征。 3.借助图象掌握幂函数定义域、值域、奇偶性、单调性等性质。 4.能利用幂函数单调性比较同形式幂值大小，进行简单应用。 学习重难点 重点： 1.掌握幂函数定义，牢记解析式形式，会依据特征判断幂函数。 2.熟记五个典型幂函数图象，记住各自定义域、奇偶性、单调性。 3.掌握第一象限幂函数增减规律，能利用单调性比较幂的大小。 难点： 1.根据指数的不同，分析幂函数定义域，判断奇偶性。 2.区分幂函数与指数函数，结合图象综合分析幂函数相关问题。 知识点一 幂函数的概念 定义：一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数。 三大识别特征（判断是不是幂函数的依据）： ①前面的系数必须为； ②底数只能是单独自变量，不能是、这类代数式； ③指数为常数，可以是整数、分数。 即学即练 1．已知幂函数的图象过点，则_____． 知识点二 幂函数的图象 五个典型幂函数为： 观察图象要点： ①全部幂函数均过定点； ②时，在第一象限图象呈上升趋势；时，第一象限图象呈下降趋势； ③图象分布由定义域、奇偶性共同决定。 即学即练 2．已知幂函数，，，在第一象限内的图象如图所示分别是，，，，则，，，的大小关系是（   ） A．， B．， C． D． 知识点三 幂函数的性质 1.五个典型幂函数对比表 函数 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数 单调性 上单调递增 递减 递增 上单调递增 单调递增 递减 递减 定点 2.拓展性质（第一象限内） （1）时：幂函数在上单调递增；（2）时：幂函数在上单调递减。 特别提醒 奇偶性会决定图象是否在二、三象限出现；第一象限的规律不能直接照搬至全部定义域。 即学即练 3．下列函数中，在上单调递减的是（ ） A． B． C． D． 题型01 判断函数是否为幂函数 解题贴士 判断核心看解析式的结构，必须同时满足三点：前系数为 1，底数是单纯自变量，指数为常数。 若出现系数不为 1、底数为多项式、指数为变量的情况，都不属于幂函数。做题时先整理化简函数表达式，再对照三个特征逐一核验，不要被表面形式误导。 典｜例｜精｜析 【例1】给出下列函数，其中不是幂函数的是（　　） A． B． C． D． 【例2】有下列函数： ①；②； ③；④； ⑤；⑥. 其中是幂函数的有______（只填序号）. 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为______ 题型02 求幂函数的解析式或函数值 典｜例｜精｜析 【例3】已知幂函数，且，则实数________． 【例4】已知函数是幂函数，若，则____________. 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】已知幂函数的图象过点，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知幂函数的图象经过点，则______． 【变式2-3】已知幂函数过点，则__________. 题型03 幂函数的定义域 解题贴士 幂函数的定义域由指数决定，分数指数先转化根式形式，负数指数改写成分式，再据此求自变量取值范围。 遇到分数指数，分母对应开偶次方时，被开方数要大于等于0；负指数要保证分母不为0。 切记不能直接照搬指数大于0时的定义域规律，不同指数要分开分析，避免遗漏限制条件。 典｜例｜精｜析 【例5】下列函数中，定义域为的是（    ）. A． B． C． D． 【例6】已知幂函数的图象过点，则的定义域为____________. 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】已知幂函数的图象过点，则该幂函数的定义域是___________. 【变式3-2】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知幂函数，则此函数的定义域为________． 题型04 幂函数的值域 解题贴士 求值域优先结合定义域分析，可借助对应幂函数图像直观观察输出值的取值集合，简化推理过程。 部分幂函数值域会受奇偶性影响，奇函数值域关于原点对称，偶函数函数值全部非负。 遇到分数、负指数幂，要留意开方、分式带来的取值限制，排除取不到的数值，防止值域范围写得过大。 典｜例｜精｜析 【例7】下列四组函数中，同组两个函数的值域相同的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【例8】已知幂函数的图象过点，则______；的值域是______. 变｜式｜巩｜固 【变式4-1】幂函数中，的取值集合是的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合__________. 【变式4-2】若集合，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式4-3】函数的值域为______. 题型05 幂函数的图象 典｜例｜精｜析 【例9】如图所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（    ） A．①，②，③，④ B．①，②，③，④ C．①，②，③，④ D．①，②，③，④ 【例10】若幂函数的大致图象如图所示，则（ ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式5-1】已知幂函数的图象经过点，则函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】已知幂函数的图象与轴没有公共点，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】在同一坐标系内，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 题型06 幂函数过定点问题 解题贴士 通用思路：令幂的底数等于1，无论指数取何常数，都有，因此幂函数恒过定点。 部分幂函数当有定义时，还经过；若是复合幂函数，把括号内整体部分令为1，求出，再算对应值得到定点。 注意要检验所求是否在函数定义域内，不在定义域的点要舍去，不要机械套用公式直接写坐标。 典｜例｜精｜析 【例11】三个幂函数（1），（2），（3）都经过的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【例12】已知，则函数的图象恒过的定点的坐标为__． 变｜式｜巩｜固 【变式6-1】任意两个幂函数图象的交点个数是（    ） A．最少一个，最多三个 B．最少一个，最多二个 C．最少个，最多三个 D．最少个，最多二个 【变式6-2】函数的图象过定点______. 【变式6-3】已知函数（为不等于0的常数）的图象恒过定点P，则P点的坐标为_______. 题型07 判断幂函数或与其相关的复合函数的单调性 典｜例｜精｜析 【例13】下列函数中是增函数的是（   ） A． B． C． D． 【例14】函数的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式7-1】函数在区间上的最小值是（    ） A． B．0 C． D． 【变式7-2】已知幂函数的图象过点，则该幂函数的严格增区间是______； 【变式7-3】函数的单调递减区间为__________. 题型08 利用幂函数的单调性比较大小或解不等式 解题贴士 比较幂值大小时，先观察是否为同一个幂函数的函数值，自变量在同一单调区间，直接用单调性判断大小。 底数不同、指数相同时，借助对应幂函数图像；指数底数均不同，可寻找中间值0、1做参照。 解幂函数不等式，先确定函数单调区间，同时带上定义域约束条件，求解后要检验结果是否符合定义域要求。 典｜例｜精｜析 【例15】设幂函数的图象经过原点，若，则（ ） A． B． C． D． 【例16】若，则实数的取值范围是________；若，则实数的取值范围是________. 变｜式｜巩｜固 【变式8-1】已知函数，设，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【变式8-2】已知幂函数 在上是单调递减函数，则不等式的解集为_________. 【变式8-3】已知幂函数 是偶函数. (1)求的值； (2)解不等式. 题型09 根据幂函数的单调性求参数 典｜例｜精｜析 【例17】已知幂函数在上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【例18】已知“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件，则正实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式9-1】已知幂函数在区间上是减函数，则实数的值为（　　） A． B． C． D．或 【变式9-2】“”是“幂函数在上单调递增”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式9-3】已知，函数在上是严格增函数，且图象关于原点对称，则________． 基础通关 1．幂函数 的定义域为（   ） A． B． C． D． 2．若幂函数的图象经过点，则（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，则“”是“函数是幂函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知是幂函数，则“”是“的图象经过点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．幂函数（为实数）图象经过的定点为________． 6．若幂函数满足，则____________． 7．若幂函数满足，则实数m的值为________． 8．已知，幂函数的大致图象如图所示，则_________． 9．函数的最大值为______． 10．已知幂函数的图象过点． (1)求函数的解析式； (2)判断的增减性，并证明； (3)求在上的值域． 11．已知幂函数的图象经过点. (1)求此幂函数的表达式和定义域； (2)若，求实数的取值范围. 12．已知幂函数与一次函数的图象都经过点，且． (1)求与的解析式： (2)求函数在上的最值． 素养提升 13．已知幂函数的定义域为，则（   ） A． B．2 C． D．4 14．已知幂函数的图象过点，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 15．已知幂函数在上单调递减，若正数，满足，则的最小值为__________． 16．已知函数在上是增函数，在上是减函数，那么最小的正整数________. 17．已知幂函数的图象过点，函数．若，则的取值范围是_________． 迁移创新 18．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 19．已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为_______________. 20．已知幂函数． (1)求函数的解析式； (2)若函数，，是否存在实数使得的最小值为，若存在，求出实数m的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $