专题4.2 指数函数（高效培优讲义，4知识6重难题型+分层强化）高一数学沪教版必修第一册

专题4.2 指数函数 教学目标 1.理解指数函数的定义：形如 （ 且 ）的函数，明确底数取值范围及定义域为 。 2.掌握指数函数的图象特征与性质（定义域、值域、单调性、定点、渐近线），能根据底数 与 分类讨论。 3.能利用指数函数的单调性比较幂值大小、解简单指数不等式。 4.理解指数函数与指数运算、指数型复合函数的联系，能进行基本的图象变换。 教学重难点 教学重点 1.指数函数的概念（底数限制条件 且 ）。 2.指数函数的图象与性质，特别是单调性与底数的关系。 3.利用单调性比较大小与解简单指数不等式。 教学难点 1.底数 与 两种情形下图象与性质的区分与统一。 2.指数式比较大小中“同底不同指”“同指不同底”“底指均不同”的分类处理。 3.指数型复合函数（如 ）的单调性判断与值域求解。 知识点01 指数函数的概念 形如 的函数叫做指数函数，其中 是自变量，定义域为 。 注意： 1.底数 必须满足 且 。 2.系数必须为 ，指数必须是 本身，如 、 均不是指数函数。 3.定义域为 ，与底数无关。 【即学即练】（24-25高一上·上海·课堂例题）函数：①；②；③；④．其中，指数函数有________个； 【答案】1 【详解】①中，的系数是2，故①不是指数函数；②中，的指数是，故②不是指数函数； ③中，是指数函数；④中，是幂函数． 所以只有③是指数函数． 故答案为：1 知识点02 指数函数的图象与性质 项目 定义域 值域 定点 过 过 单调性 在 上单调递增 在 上单调递减 函数值范围 时 ； 时 时 ； 时 渐近线 轴（ ） 轴（ ） 图象特征 上升，越向右越靠近 轴正方向 下降，越向右越靠近 轴 统一性质： 1.图象都在 轴上方，值域恒为 。 2.都过定点 ，即 。 3. 与 的图象关于 轴对称。 4.在 轴右侧，底数越大图象越高；在 轴左侧，底数越大图象越低。 【即学即练】（25-26高一上·上海宝山·阶段检测）函数的图像不经过第二象限，则实数的取值范围是______. 【答案】 【详解】因为在定义域R上单调递增， 又的图像不经过第二象限， 所以当时，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 知识点03 指数式大小比较 1. 同底：利用单调性， 时指数大者值大； 时指数大者值小。 2.同指：借助图象或化为同底比较。 3.底、指均不同：常插入中间量 或化为同底后比较。 【即学即练】已知，．求证：． 【详解】证法一：因为，所以， 因为，所以，即， 所以； 证法二：令， 因为，所以在上递减， 因为，所以，即. 知识点04 指数型复合函数 1. 的单调性遵循“同增异减”： 时与 单调性相同； 时与 单调性相反。 2.求值域时先求 的值域，再利用 的单调性转化。 3.定义域由 的定义域决定。 【即学即练】（25-26高一上·上海·期末）函数的定义域是__________. 【答案】 【详解】对于函数， 则，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为： 题型01 指数函数的概念辨析 【例1】（24-25高一上·上海·随堂练习）指数函数中a的取值范围是________. 【答案】且 【详解】根据指数函数的定义，知，且. 故答案为：且. 【变式1-1】（24-25高一上·上海·课堂例题）若函数为指数函数，则________． 【答案】 【详解】因为函数为指数函数， 所以且且，解得. 故答案为： 【变式1-2】已知函数是指数函数，则实数的值是___________. 【答案】2 【详解】由函数是指数函数，得，解得， 所以实数的值是2. 故答案为：2 【变式1-3】（25-26高一上·上海杨浦·期末）若函数 是指数函数，则的取值范围是__________. 【答案】 【详解】因为函数 是指数函数， 所以有，且， 所以的取值范围是. 故答案为： 题型02 图象识别与图象变换 【例2-1】（25-26高一上·上海嘉定·阶段检测），，则图象不经过第（  ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】A 【详解】已知指数函数，，函数为减函数， 函数图象恒过，且，，因此函数经过第一，第二象限， 则函数的图象是由函数的图象向下平移个单位得到，又，则函数经过第二，第三，第四象限. 故选：A 【例2-2】（25-26高一上·上海·期中）已知指数函数的图像经过，则________ 【答案】 【详解】设指数函数（且）， 因为指数函数的图像经过， 则，解得， 所以. 故答案为：. 【例2-3】（25-26高一上·上海·阶段检测）若函数的图象不经过第二象限，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【详解】函数的图象是由函数的图象向上（）或向下（）平移个单位得到的， 因为函数的图象不经过第二象限， 所以只需将函数的图象向下平移大于或等于个单位即可， 所以，即实数的取值范围为. 故答案为：. 【变式2-1】（24-25高一上·上海奉贤·期中）已知指数函数的图象经过点，则______． 【答案】4 【详解】由题意得，，解得. 故答案为：4. 【变式2-2】（25-26高一上·上海·阶段检测）若函数且的图象恒过定点，则的坐标是__________ 【答案】 【详解】对于函数且，由可得， 又因为，故函数的图象恒过定点. 故答案为：. 【变式2-3】（24-25高一上·上海·阶段检测）若直线与函数图像有两个公共点，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【详解】时，作出函数的图象，如图，此时在时，， 而，因此与函数的图象只有一个交点，不合题意； 时，作出函数的图象，如图，此时在时，， 若与函数的图象有两个交点，则，解得． 综上所述，. 故答案为：. 题型03 比较指数幂的大小 【例3】若，比较，及的大小． 【答案】 【详解】, 是上的单调增函数, . 【变式3-1】根据“幂的基本不等式：当时，”，对于下列命题： ①若，存在，使得；②若，对任意，满足． 下列说法正确的为（    ） A．①真②假 B．①假②真 C．①②都假 D．①②都真 【答案】B 【详解】对于①，当时，函数在上单调递增， 若，则，故①错误； ②当时，函数在上单调递减， 若，则，故②正确. 故选：B. 【变式3-2】（24-25高一上·上海·单元测试）已知，，，则、、三者的大小关系是________． 【答案】 【详解】因为，所以； 因为，所以； 所以， 故答案为：. 【变式3-3】（24-25高一上·上海·随堂练习）（1）已知，，求证：； （2）已知，，利用（1）求证：． 【详解】（1）证明： 因为，所以， 又，所以，即， 所以． （2）证明： 因为，所以； 因为，所以， 所以由结论（1），， 即． 题型04 解简单指数不等式 【例4】（25-26高一上·上海金山·期中）不等式的解集为____________. 【答案】 【详解】不等式，即， 因为在定义域上单调递增， 所以不等式等价于，即， 因为恒成立， 所以不等式的解集为，即不等式的解集为. 故答案为： 【变式4-1】（25-26高一上·上海·期中）不等式的解集是_____． 【答案】 【详解】在上单调递减，， ，解得， 所以不等式的解集是． 故答案为：． 【变式4-2】（25-26高一上·上海·期中）不等式的解集为________． 【答案】; 【详解】由指数函数单调性，原不等式可化为， 两边平方得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 【变式4-3】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知不等式的解集为 (1)分别求的值； (2)若函数在区间上递增，求关于的不等式的解集. 【详解】（1）因为不等式的解集为 所以为方程的两个根， 所以，，， 所以，； （2）因为函数在区间上递增， 所以，所以， 由（1）不等式可化为， 因为函数，在上单调递增， 所以，解得， 所以不等式的解集为. 题型05 指数函数与实际问题 【例5】（24-25高一上·上海浦东新·阶段检测）数学建模在实际生产生活中有广泛的运用.某公司通过统计分析发现，工人工作效率E与工作年限r（），劳累程度T（），劳动动机b（）相关，并建立了数学模型，已知甲、乙为该公司的员工，则下列四个结论正确的序号为（    ） ①甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高； ②甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率高； ③甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强； ④甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短，则甲比乙劳累程度弱． A．①④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【详解】设甲与乙的工人工作效率为，，工作年限为，，劳累程度为，，劳动动机为，， 对于①，，，，， 所以，， 则， 所以，即甲比乙工作效率高，故①正确； 对于②，，，， 所以，， 则， 所以，即甲比乙工作效率高，故②正确； 对于③，，，，， 所以， ，， 所以，即甲比乙劳累程度弱，故③错误； 对于④，，，， 所以， ，所以， 所以，即甲比乙劳累程度弱，故④正确. 故选：C. 【变式5-1】（25-26高一上·上海·期中）某牛奶的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：）满足函数关系（ 为自然对数的底数，为常数）．若该牛奶在的保鲜时间是小时，在的保鲜时间是小时，则该食品在的保鲜时间是________ 小时(四舍五入，精确到整数部分)． 【答案】23 【详解】由题意，所以，即， 所以时，， 故答案为：23. 【变式5-2】诺贝尔奖的发放方式为：每年一次，把奖金总金额平均分成6份，奖励在6项（物理、化学、文学、经济学、生理学或医学、和平）为人类作出了最有益贡献的人，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息用于增加基金总额，以便保证奖金数逐年递增，资料显示：1998年诺贝尔奖发奖后基金总额已达19516万美元，假设基金平均年利率为． (1)请计算：1999年诺贝尔奖发奖后基金总额为多少万美元？当年每项奖金发放多少万美元（结果精确到1万美元）？ (2)设表示为第x（x是正整数）年诺贝尔奖发奖后的基金总额（1998年记为），试求函数的表达式．并据此判断新民网一则新闻“2012年度诺贝尔文学奖获得者莫言奖金高达150万美元”是否与计算结果相符，并说明理由． 【详解】（1）由题设，1999年诺贝尔奖发奖后基金总额为万美元； 当年每项奖金发放万美元. (2)与计算结果相符，理由如下. 由且，则2011年，即， 所以2011年发奖后基金总额为， 则2012年度各项奖金为万美元， 所以“2012年度诺贝尔文学奖获得者莫言奖金高达150万美元”与计算结果相符. 【变式5-3】（25-26高一上·上海徐汇·期末）2025年被称为“智能体元年”，随着人工智能技术的发展，智能体集群已在日常生活中得到广泛的应用．在研究某智能体集群的运行效率时，集群密度是指单位时间内某区域内的智能体数量，记为；移动速率是指智能体在该区域的平均移动速度，记为；现定义流通效率（其中为流通效率，反映智能体集群的整体运行效能）．已知智能体移动速率，其中常数． (1)若移动速率，求集群密度的取值范围； (2)已知集群密度时，移动速率，求流通效率的最大值． 【详解】（1），， 当，， 化简得：，即， 解得：， ， ， 当，，，不符合题意， 综上，移动速率，集群密度的取值范围是. （2），， 当时，， ， ，即， 当时，， 集群密度时，移动速率， ，解得：， ， ， 即， 当时，， 综上，流通效率的最大值为. 题型06 指数函数综合题 【例6】（25-26高一上·上海·阶段检测）若对于给定的正实数，集合定义域内任意都有. (1)若，证明：； (2)若，且，求实数的取值范围. 【详解】(1)证明：因为，定义域为，且， 当时，若取时，有，不满足使得定义域内任意都有， 故. （2）由题知，对任意的，有， 又由题知，则需使，整理得，解得或（舍） 所以实数的取值范围为. 【变式6-1】（25-26高一上·上海·期末）定义：如果函数 在定义域内给定区间上存在实数 ，满足 ，那么称函数 是区间 上的“平均值函数”， 是它的一个均值点. (1)判断函数 是否是区间上的“平均值函数”，并说明理由； (2)若函数 是区间上的“平均值函数”，求实数的取值范围； (3)设函数 是区间 上的“平均值函数”，1是函数 的一个均值点，求所有满足条件的数对. 【详解】（1）函数是区间上的“平均值函数”，理由略； （2）因为函数是区间上的“平均值函数”， 所以存在，使， 即存在，使得， 即， 令， 则， 因为，故 因此； 即实数的取值范围； （3）因为函数是区间的“平均值函数”， 是函数的一个均值点， 所以， 即， 所以，又因为，， 所以或， 因为是函数的一个均值点，根据均值点的定义，可得， 所以满足条件的数对只有. 【变式6-2】（25-26高一上·上海普陀·期末）“函数的图像关于点对称”的充要条件是“对于定义域内任何恒成立”． (1)证明函数的图像关于点对称； (2)判断函数的图像是否存在对称中心，若存在，求出该对称中心的坐标；若不存在，说明理由； (3)若函数，对任意（其中，），都存在，使得．求实数的取值范围． 【详解】(1)，， 因为，所以函数的图像关于点对称. (2)存在对称中心为，理由如下： 假设函数的图像存在对称中心，则对定义域内任何恒成立，即. 整理得 ，即 ， 因为该式对任意恒成立，所以必须有 ，解得 . 所以函数的图像存在对称中心为. （3）由（2）知函数的图像关于对称， 所以等价于，即. 因为任意，所以， 因为对任意，都存在，使得成立， 所以，即，解得， 所以实数的取值范围为. 【变式6-3】（25-26高一上·上海·期末）已知函数.如果存在非零常数和非零常数，对于任意，有，且恒成立，则称函数是上的“级递减类周期函数”，类周期为；如果存在非零常数和非零常数，对于任意，有，且恒成立，则称函数是上的“级类周期函数”，类周期为. (1)已知，判断函数是不是上的“2级递减类周期函数”，类周期为1，并说明理由. (2)已知是上的“级类周期函数”，类周期；且在上严格单调递增.当时，，试写出当时，函数的解析式，并求实数的取值范围. (3)已知是上的“1级类周期函数”，类周期，且在区间中存在唯一，使为函数的最大值，是否存在非零实数，，函数是上的“级类周期函数”，且类周期为?若存在，求出所有必定满足条件的；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）的定义域为，且， ， ， ，， 函数是上的“2级递减类周期函数”，类周期为1； （2）是上的“级类周期函数”，类周期， ，， 当时，， 当时，，，， ，， 即， 当时，，，， ，， 即， 当时，，， ， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 在上严格单调递增， ，，实数的取值范围为； (3)不存在，理由如下： 是上的“1级类周期函数”，类周期， ， 假设存在非零实数，使得是上的“级类周期函数”， 且类周期为，即对于任意的，恒有， 中存在唯一，使为函数的最大值，， 则对于任意的，恒有成立， 即对于任意的，恒有成立， ，，， ，， ，， 由函数有界性可知，此等式不成立， 故不存在这样的值，符合题意. 1．（25-26高一上·上海·期末）已知、，且，则下列不等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，B，，，，则,一定成立； 对于C，取，满足，但，故C中不等式不一定成立； 对于D，由，由于在上单调递增，则成立. 故选：C 2．（25-26高一上·上海浦东新·期末）函数的图像大致为（   ）. A．  B．  C．   D．   【答案】B 【详解】因为，所以， 又为增函数，所以，即， 当且仅当，即时取等号. 故选：B. 3．（25-26高一上·上海·期中）已知常数，，假设无论为何值，函数的图像恒经过一个定点，则这个点的坐标为______. 【答案】 【详解】令，得到；当时，， 所以函数的图像恒经过定点. 故答案为： 4．（25-26高一上·上海嘉定·期末）已知函数，则________． 【答案】 【详解】因为，所以. 故答案为： 5．（25-26高一下·上海·阶段检测）函数且的图像经过一个定点，这个定点的坐标是_________． 【答案】 【详解】令，解得， 将代入函数，得， 故函数恒过定点． 6．（25-26高一下·上海杨浦·期中）指数函数与的图像关于轴对称，则__________． 【答案】 【详解】关于轴对称后，函数变成， 所以. 7．（25-26高一上·上海宝山·期末）已知函数是上的严格减函数，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【详解】因为函数是上的严格减函数， 所以，解得，即实数的取值范围为. 故答案为： 8．（25-26高一上·上海·期末）已知关于的一元二次不等式的解集为，其中，，则函数的图像不经过第______象限. 【答案】一 【详解】由题可得方程的两根为1和2， 根据韦达定理，得， 所以函数为，相当于（单调递减且经过一、二象限）向下平移两个单位（经过二、三、四象限）， 因此图象不经过第一象限. 故答案为：一. 9．（25-26高一下·上海闵行·期中）已知不等式的解集为． (1)当时，求集合； (2)若，求实数的取值范围． 【详解】（1）令，当时原不等式可转化为， ，，解得或. ，所以或，解得或. 即. （2）由题意知，即不等式恒成立. ，，当且仅当，即时等号成立. 所以的取值范围. 10．（25-26高一上·上海浦东新·阶段检测）对于函数，若存在实数对，使得等式对定义域中的任意都成立，则称函数是“型函数”. (1)判断函数，是否是“型函数”； (2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数（其中，为常数，且）是“型函数”，且存在满足条件的实数对，求实数，满足的关系式. 【详解】（1）因为不可能恒成立，所以不是型函数； 因为，令，所以是型函数. （2）因为任意，恒成立，所以恒成立， 令，因为，所以，则， 由于，的最小值为， 所以，即. （3）因为是“型函数”，且存在满足条件的实数对， 所以， 所以，，即. 1．（25-26高一上·上海静安·期末）如果实数满足：，则下列不等式中不成立的是 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，则，，即，所以，所以A成立； 因为，则，所以，所以B不成立； 因为，根据指数函数性质得，所以C成立； 因为，则，所以，所以D成立； 故选：B． 2．（25-26高一上·上海嘉定·期末）设关于x的方程．已知陈述句：该方程有且仅有一个实数根．给出如下两个陈述句：①；②．则下列说法成立的是（   ） A．只有是的充分条件 B．只有是的充分条件 C．、都是的充分条件 D．、都不是的充分条件 【答案】C 【详解】当时，方程为，即，解得，即方程有且仅有一个实数根； 令，则原方程可化为， 当时，， 方程有两个不等实数根，且， 故方程有且仅有一个正根，由为单调递增函数可知， 原方程有且仅有一个实数根， 综上可知，、都是的充分条件. 故选：C 3．（25-26高一上·上海静安·阶段检测）试用函数观点解不等式，则该不等式的解集为______． 【答案】 【详解】根据题意，不等式等价于， 令函数，定义域为，即解不等式， 因为为定义域内的增函数，为定义域内的增函数， 所以在定义域内单调递增，且， 所以对应不等式即为，从而得， 所以不等式的解集为． 故答案为： 4．（25-26高一上·上海嘉定·期末）已知二次函数的值域为，则函数的值域为___________． 【答案】 【详解】由二次函数的值域为可得： ， 解得：或（舍）， 所以，因为， 所以函数的值域为：. 故答案为：. 5．（25-26高一上·上海虹口·期末）已知，若对任意的，都存在，使得，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【详解】函数在上单调递增，则， 函数在上单调递增，则， 由任意的，都存在，使得，得，即， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 6．（25-26高一上·上海·期中）已知，，设关于x的不等式的解集为A. (1)若，求a的取值范围； (2)当时，若A中有且仅有两个整数，求a的取值范围； (3)若关于x的不等式的解集为，求a的取值范围. 【详解】（1）因为，故，故，故. （2）即为，故， 若，则，故不等式的解为， 因为不等式有且仅有两个整数，故即； 若，不等式的解集为空集，不合题意，舍； 若，则，故不等式的解为， 此时无整数解，舍； 综上，. （3）即为或者， 也就是， 而时，恒成立，故时，需恒成立， 也就是在上恒成立， 故，故在上恒成立， 而当时，恒成立，故， 当时，设，则， 由双勾函数的单调性可得在为增函数， 故，故，故. 7．（25-26高一上·上海·期中）距离的度量是机器学习算法的重要基础，对平面直角坐标系中的两点，（可重合），定义它们的阶闵可夫斯基距离为：（其中） (1)设点，点，求与的值； (2)若，点和点关于直线对称，比较与的大小，并证明结论； (3)若，给定点，设集合，，证明：． 【详解】（1）给定点 和 . 它们的阶闵可夫斯基距离公式为：，其中. 当 时：. 当 时：. 因此，，. （2）已知 ，且点 和点 关于直线 对称. 设，则 （由对称性）. 它们的阶闵可夫斯基距离为：. 令 . 若（即 )，则 若（即)，由于，有. 函数单调递增，因此 于是：. 综上，当 时，，且等号成立当且仅当 . (3)已知 ，给定点 ，集合定义为：，. 需证 ，即若 ，则 首先，证明对任意两点 和 ， 当 时且时，必有. 令 ，. 令 ，，，则. 则：，. 因为，所以， 又因为，所以. ①当时，，满足. ②当至少有一个不为零时，，所以，即. 考虑比值：. 令 ，，，则， ，，，且至少有一个不为零. 则：. 由于 且 ，有 ，，因此：. 于是：. 由 则 ，，所以，所以 所以 ，所以. 现在，若，则 . 由上述不等式：. 因此 ，所以 这样就证明了成立. 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.2 指数函数 教学目标 1.理解指数函数的定义：形如 （ 且 ）的函数，明确底数取值范围及定义域为 。 2.掌握指数函数的图象特征与性质（定义域、值域、单调性、定点、渐近线），能根据底数 与 分类讨论。 3.能利用指数函数的单调性比较幂值大小、解简单指数不等式。 4.理解指数函数与指数运算、指数型复合函数的联系，能进行基本的图象变换。 教学重难点 教学重点 1.指数函数的概念（底数限制条件 且 ）。 2.指数函数的图象与性质，特别是单调性与底数的关系。 3.利用单调性比较大小与解简单指数不等式。 教学难点 1.底数 与 两种情形下图象与性质的区分与统一。 2.指数式比较大小中“同底不同指”“同指不同底”“底指均不同”的分类处理。 3.指数型复合函数（如 ）的单调性判断与值域求解。 知识点01 指数函数的概念 形如 的函数叫做指数函数，其中 是自变量，定义域为 。 注意： 1.底数 必须满足 且 。 2.系数必须为 ，指数必须是 本身，如 、 均不是指数函数。 3.定义域为 ，与底数无关。 【即学即练】（24-25高一上·上海·课堂例题）函数：①；②；③；④．其中，指数函数有________个； 知识点02 指数函数的图象与性质 项目 定义域 值域 定点 过 过 单调性 在 上单调递增 在 上单调递减 函数值范围 时 ； 时 时 ； 时 渐近线 轴（ ） 轴（ ） 图象特征 上升，越向右越靠近 轴正方向 下降，越向右越靠近 轴 统一性质： 1.图象都在 轴上方，值域恒为 。 2.都过定点 ，即 。 3. 与 的图象关于 轴对称。 4.在 轴右侧，底数越大图象越高；在 轴左侧，底数越大图象越低。 【即学即练】（25-26高一上·上海宝山·阶段检测）函数的图像不经过第二象限，则实数的取值范围是______. 知识点03 指数式大小比较 1. 同底：利用单调性， 时指数大者值大； 时指数大者值小。 2.同指：借助图象或化为同底比较。 3.底、指均不同：常插入中间量 或化为同底后比较。 【即学即练】已知，．求证：． 知识点04 指数型复合函数 1. 的单调性遵循“同增异减”： 时与 单调性相同； 时与 单调性相反。 2.求值域时先求 的值域，再利用 的单调性转化。 3.定义域由 的定义域决定。 【即学即练】（25-26高一上·上海·期末）函数的定义域是__________. 题型01 指数函数的概念辨析 【例1】（24-25高一上·上海·随堂练习）指数函数中a的取值范围是________. 【变式1-1】（24-25高一上·上海·课堂例题）若函数为指数函数，则________． 【变式1-2】已知函数是指数函数，则实数的值是___________. 【变式1-3】（25-26高一上·上海杨浦·期末）若函数 是指数函数，则的取值范围是__________. 题型02 图象识别与图象变换 【例2-1】（25-26高一上·上海嘉定·阶段检测），，则图象不经过第（  ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【例2-2】（25-26高一上·上海·期中）已知指数函数的图像经过，则________ 【例2-3】（25-26高一上·上海·阶段检测）若函数的图象不经过第二象限，则实数m的取值范围是______． 【变式2-1】（24-25高一上·上海奉贤·期中）已知指数函数的图象经过点，则______． 【变式2-2】（25-26高一上·上海·阶段检测）若函数且的图象恒过定点，则的坐标是__________ 【变式2-3】（24-25高一上·上海·阶段检测）若直线与函数图像有两个公共点，则实数的取值范围是__________. 题型03 比较指数幂的大小 【例3】若，比较，及的大小． 【变式3-1】根据“幂的基本不等式：当时，”，对于下列命题： ①若，存在，使得；②若，对任意，满足． 下列说法正确的为（    ） A．①真②假 B．①假②真 C．①②都假 D．①②都真 【变式3-2】（24-25高一上·上海·单元测试）已知，，，则、、三者的大小关系是________． 【变式3-3】（24-25高一上·上海·随堂练习）（1）已知，，求证：； （2）已知，，利用（1）求证：． 题型04 解简单指数不等式 【例4】（25-26高一上·上海金山·期中）不等式的解集为____________. 【变式4-1】（25-26高一上·上海·期中）不等式的解集是_____． 【变式4-2】（25-26高一上·上海·期中）不等式的解集为________． 【变式4-3】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知不等式的解集为 (1)分别求的值； (2)若函数在区间上递增，求关于的不等式的解集. 题型05 指数函数与实际问题 【例5】（24-25高一上·上海浦东新·阶段检测）数学建模在实际生产生活中有广泛的运用.某公司通过统计分析发现，工人工作效率E与工作年限r（），劳累程度T（），劳动动机b（）相关，并建立了数学模型，已知甲、乙为该公司的员工，则下列四个结论正确的序号为（    ） ①甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高； ②甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率高； ③甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强； ④甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短，则甲比乙劳累程度弱． A．①④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【变式5-1】（25-26高一上·上海·期中）某牛奶的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：）满足函数关系（ 为自然对数的底数，为常数）．若该牛奶在的保鲜时间是小时，在的保鲜时间是小时，则该食品在的保鲜时间是________ 小时(四舍五入，精确到整数部分)． 【变式5-2】诺贝尔奖的发放方式为：每年一次，把奖金总金额平均分成6份，奖励在6项（物理、化学、文学、经济学、生理学或医学、和平）为人类作出了最有益贡献的人，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息用于增加基金总额，以便保证奖金数逐年递增，资料显示：1998年诺贝尔奖发奖后基金总额已达19516万美元，假设基金平均年利率为． (1)请计算：1999年诺贝尔奖发奖后基金总额为多少万美元？当年每项奖金发放多少万美元（结果精确到1万美元）？ (2)设表示为第x（x是正整数）年诺贝尔奖发奖后的基金总额（1998年记为），试求函数的表达式．并据此判断新民网一则新闻“2012年度诺贝尔文学奖获得者莫言奖金高达150万美元”是否与计算结果相符，并说明理由． 【变式5-3】（25-26高一上·上海徐汇·期末）2025年被称为“智能体元年”，随着人工智能技术的发展，智能体集群已在日常生活中得到广泛的应用．在研究某智能体集群的运行效率时，集群密度是指单位时间内某区域内的智能体数量，记为；移动速率是指智能体在该区域的平均移动速度，记为；现定义流通效率（其中为流通效率，反映智能体集群的整体运行效能）．已知智能体移动速率，其中常数． (1)若移动速率，求集群密度的取值范围； (2)已知集群密度时，移动速率，求流通效率的最大值． 题型06 指数函数综合题 【例6】（25-26高一上·上海·阶段检测）若对于给定的正实数，集合定义域内任意都有. (1)若，证明：； (2)若，且，求实数的取值范围. 【变式6-1】（25-26高一上·上海·期末）定义：如果函数 在定义域内给定区间上存在实数 ，满足 ，那么称函数 是区间 上的“平均值函数”， 是它的一个均值点. (1)判断函数 是否是区间上的“平均值函数”，并说明理由； (2)若函数 是区间上的“平均值函数”，求实数的取值范围； (3)设函数 是区间 上的“平均值函数”，1是函数 的一个均值点，求所有满足条件的数对. 【变式6-2】（25-26高一上·上海普陀·期末）“函数的图像关于点对称”的充要条件是“对于定义域内任何恒成立”． (1)证明函数的图像关于点对称； (2)判断函数的图像是否存在对称中心，若存在，求出该对称中心的坐标；若不存在，说明理由； (3)若函数，对任意（其中，），都存在，使得．求实数的取值范围． 【变式6-3】（25-26高一上·上海·期末）已知函数.如果存在非零常数和非零常数，对于任意，有，且恒成立，则称函数是上的“级递减类周期函数”，类周期为；如果存在非零常数和非零常数，对于任意，有，且恒成立，则称函数是上的“级类周期函数”，类周期为. (1)已知，判断函数是不是上的“2级递减类周期函数”，类周期为1，并说明理由. (2)已知是上的“级类周期函数”，类周期；且在上严格单调递增.当时，，试写出当时，函数的解析式，并求实数的取值范围. (3)已知是上的“1级类周期函数”，类周期，且在区间中存在唯一，使为函数的最大值，是否存在非零实数，，函数是上的“级类周期函数”，且类周期为?若存在，求出所有必定满足条件的；若不存在，请说明理由. 1．（25-26高一上·上海·期末）已知、，且，则下列不等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·上海浦东新·期末）函数的图像大致为（   ）. A．  B．  C．   D．   3．（25-26高一上·上海·期中）已知常数，，假设无论为何值，函数的图像恒经过一个定点，则这个点的坐标为______. 4．（25-26高一上·上海嘉定·期末）已知函数，则________． 5．（25-26高一下·上海·阶段检测）函数且的图像经过一个定点，这个定点的坐标是_________． 6．（25-26高一下·上海杨浦·期中）指数函数与的图像关于轴对称，则__________． 7．（25-26高一上·上海宝山·期末）已知函数是上的严格减函数，则实数的取值范围是_____. 8．（25-26高一上·上海·期末）已知关于的一元二次不等式的解集为，其中，，则函数的图像不经过第______象限. 9．（25-26高一下·上海闵行·期中）已知不等式的解集为． (1)当时，求集合； (2)若，求实数的取值范围． 10．（25-26高一上·上海浦东新·阶段检测）对于函数，若存在实数对，使得等式对定义域中的任意都成立，则称函数是“型函数”. (1)判断函数，是否是“型函数”； (2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数（其中，为常数，且）是“型函数”，且存在满足条件的实数对，求实数，满足的关系式. 1．（25-26高一上·上海静安·期末）如果实数满足：，则下列不等式中不成立的是 （ ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·上海嘉定·期末）设关于x的方程．已知陈述句：该方程有且仅有一个实数根．给出如下两个陈述句：①；②．则下列说法成立的是（   ） A．只有是的充分条件 B．只有是的充分条件 C．、都是的充分条件 D．、都不是的充分条件 3．（25-26高一上·上海静安·阶段检测）试用函数观点解不等式，则该不等式的解集为______． 4．（25-26高一上·上海嘉定·期末）已知二次函数的值域为，则函数的值域为___________． 5．（25-26高一上·上海虹口·期末）已知，若对任意的，都存在，使得，则实数的取值范围为___________． 6．（25-26高一上·上海·期中）已知，，设关于x的不等式的解集为A. (1)若，求a的取值范围； (2)当时，若A中有且仅有两个整数，求a的取值范围； (3)若关于x的不等式的解集为，求a的取值范围. 7．（25-26高一上·上海·期中）距离的度量是机器学习算法的重要基础，对平面直角坐标系中的两点，（可重合），定义它们的阶闵可夫斯基距离为：（其中） (1)设点，点，求与的值； (2)若，点和点关于直线对称，比较与的大小，并证明结论； (3)若，给定点，设集合，，证明：． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $