精品解析：山东济南市济南育英教育集团2026-2027学年上学期八年级期中数学试题

济南育英教育集团八年级期中数学试题 一．选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，小手盖住的点的坐标可能为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“馬”和“炮”的点的坐标分别为，则表示棋子“車”的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式计算错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是( ) A. B. C. D. 6. 点，是一次函数图象上的两点，若，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 7. 如图，已知正方形的面积为5，点在数轴上，且表示的数为1．现以点为圆心，以为半径画圆，所得圆和数轴交于点（在的右侧），则点表示的数为（ ） A. B. 3.2 C. D. 8. 一次函数与一次函数（，均为常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 一条公路上依次有、、三地，一辆轿车从地出发途经地接人，停留一段时间后原速驶往地；一辆货车从地出发，送货到达地后立即原路原速返回地（卸货时间忽略不计）．两车同时出发，轿车比货车晚分钟到达终点，两车均按各自速度匀速行驶．如图是轿车和货车距各自出发地的距离（单位：千米）与轿车的行驶时间（单位：小时）之间的函数图象，结合图象下列结论正确的有：（ ） ①轿车的速度是； ②，； ③货车的速度是； ④轿车从地到地三次与货车相距． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 10. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线交于点．若直线与线段有交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 二．填空题（每小题4分，共20分．） 11. 81的算术平方根是_______． 12. 若x，y为实数，且满足，则的值是_______． 13. 如图，直线与直线相交于点，则关于的方程组的解为___________． 14. 如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，C是x轴上一动点，连接，将沿所在的直线折叠，当点A落在y轴上时，点C的坐标为____．  15. 如图，在平面直角坐标系中，点D的坐标为，点Q是直线上的一个动点，以为边，在的右侧作等腰直角，使得，点E落在第一象限，连接，的最小值为________． 三．解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 计算： （1）； （2）； 17. 解方程或方程组： （1）； （2）． 18. 已知的立方根是，的算术平方根是4，c是正数且算术平方根等于本身． （1）求a，b，c的值； （2）求的平方根． 19. 已知点，解答下列各题： （1）若点在轴上，求出点的坐标； （2）若点的坐标为，直线轴，求出点的坐标； （3）若点到轴、轴的距离相等，求出点的坐标． 20. 如图所示，在平面直角坐标系中，点，，． （1）请在图中作出关于轴对称的，并写出点的坐标； （2）若点为轴上一动点，当线段最短时，点的坐标为______； （3）若点为轴正半轴上一动点，若满足与面积相等，则坐标为______． 21. 为了鼓励公民节约用电，某市采用分段计费的方法按月计算每户家庭的电费。每户家庭每月电费（元）与用电量之间的函数图象如图3所示． （1）求与之间的函数表达式； （2）若乙用户某月需缴电费132元，求乙用户该月的用电量． 22. 赛龙舟是传统节日端午节的主要习俗，某市在端午节期间，举行赛龙舟比赛，已知甲、乙两队参加比赛时的路程（米）与时间（分钟）之间的关系如图所示，请根据图象，回答下列问题： （1）填空： ①这次龙舟比赛全程为 米； ②甲队的速度是 米/分钟． （2）求开始比赛后几分钟甲队和乙队相遇？ （3）请直接写出比赛多少分钟时，甲、乙两队相距米？ 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于两点，直线与直线相交于点，直线与轴交于点． （1）填空： ， ； （2）求的面积； （3）点是轴上一个动点， ①当值最小时，请直接写出点的坐标 ； ②当以点为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点的坐标 ． 24. 二次根式除法可以这样解：如，，像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化． 解决问题： （1）比较大小：　　　（用“”“”或“”填空）； （2）计算：； （3）已知，，求的值； （4）设实数，满足，求的值． 25. 如图1，平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴相交于A、B两点，与直线交于点C．直线与y轴交于点D． （1）求点C，点D的坐标； （2）如图2，P为直线上的一个动点，当，求点P坐标； （3）如图3，P为线段上的一个动点，点C关于直线的对称点为，当恰好落在x轴上时，直接写出点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 济南育英教育集团八年级期中数学试题 一．选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：是分数，属于有理数；是有限小数，属于有理数；，是整数，属于有理数；是开方开不尽的数，为无限不循环小数，是无理数 2. 如图，小手盖住的点的坐标可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据各象限内点的坐标特征进行作答即可． 【详解】解：依题意，小手盖住的是第四象限的点，其点坐标特征为：横坐标为正数，纵坐标为负数， ∴小手盖住的点的坐标可能为， 选项符合题意． 3. 如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“馬”和“炮”的点的坐标分别为，则表示棋子“車”的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用坐标表示位置，利用数形结合的思想解决问题是关键．根据题意建立平面直角坐标系，进而写出棋子“車”的点的坐标即可． 【详解】解：由题意可知，棋子“馬”和“炮”的点的坐标分别为，建立平面直角坐标系如下： ∴表示棋子“車”的点的坐标为， 故选：C． 4. 下列各式计算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，包括加减、乘除和乘法公式，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则． 需要逐一验证每个选项的计算是否正确． 【详解】解：∵选项A：，正确； 选项B：，正确； 选项C：，错误； 选项D：，正确． ∴ 计算错误的是C． 故选：C． 5. 实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴、二次根式的性质与化简，熟练掌握以上知识点是关键． 根据数轴确定，，再化简二次根式即可． 【详解】解：由数轴可知：，， ， 故选：C． 6. 点，是一次函数图象上的两点，若，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，由一次函数可知，，y随x的增大而减小即可判断． 【详解】解：一次函数中，， y随x的增大而减小， 点，是一次函数图象上的两点且， ， 故选：C． 7. 如图，已知正方形的面积为5，点在数轴上，且表示的数为1．现以点为圆心，以为半径画圆，所得圆和数轴交于点（在的右侧），则点表示的数为（ ） A. B. 3.2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方形的边长是面积的算术平方根得，结合点所表示的数及间距离可得点所表示的数． 【详解】解：∵正方形的面积为5，且， ， ∵点表示的数是1，且点在点的右侧， ∴点表示的数为． 8. 一次函数与一次函数（，均为常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，掌握相关知识是解题关键．分析每个选项中所过象限确定，的正负，然后与的图象对比验证是否一致． 【详解】解：A：函数的图象经过第一、三、四象限，则，，函数的图象经过第二、三、四象限，故选项A符合题意； B∶ 函数的图象经过第一、二、三象限，则，函数的图象需经过第一、三、四象限，故选项B不符合题意； C∶ 函数的图象经过第一、三、四象限，则，函数的图象需经过第二、三、四象限，故选项C不符合题意； D∶ 函数的图象经过第一、二、四象限，则，时，函数的图象需经过第一、二、三象限，故选项D不符合题意． 故选：A． 9. 一条公路上依次有、、三地，一辆轿车从地出发途经地接人，停留一段时间后原速驶往地；一辆货车从地出发，送货到达地后立即原路原速返回地（卸货时间忽略不计）．两车同时出发，轿车比货车晚分钟到达终点，两车均按各自速度匀速行驶．如图是轿车和货车距各自出发地的距离（单位：千米）与轿车的行驶时间（单位：小时）之间的函数图象，结合图象下列结论正确的有：（ ） ①轿车的速度是； ②，； ③货车的速度是； ④轿车从地到地三次与货车相距． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，一元一次方程的应用，从函数图象获取有效信息，通过计算逐一判断每个结论的正确性，分情况讨论得到相距的次数即可． 【详解】解：判断①：由图象可知，轿车行驶，因此轿车速度为，故①正确． 判断②：由题意可得，、B距离为 ，、C距离为，因此A、C总距离，轿车全程行驶时间为，轿车总用时含停留为，因此停留时间为，轿车到达B，因此离开B的时间，故，②正确． 判断③：轿车比货车晚分钟即到达，因此货车到达终点的时间为，货车总路程为，因此货车速度为，故③正确． 判断④：分情况讨论两车相距： 依题意，当时， 当时， 1）当，即货车从C到B阶段，可得， 解得符合范围； 2）当时，货车和轿车同向运动，相距距离越来越小，且小于 3）当时，， 解得：符合范围； 4）当时， 解得：符合范围； 综上所述，轿车从地到地三次与货车相距，故④正确 故正确的有①②③④，共4个 10. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线交于点．若直线与线段有交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，求两条直线的交点坐标，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．分别求出直线经过点和点时对应的值，即可得出答案． 【详解】解：把代入得：， ∴， 联立， 解得 ∴点的坐标为， 当直线经过点，则， 解得， 当直线经过点，则， 解得：， ∵直线与线段有交点， ∴的取值范围为或． 故选：D． 二．填空题（每小题4分，共20分．） 11. 81的算术平方根是_______． 【答案】9 【解析】 【详解】解：81的算术平方根是9． 12. 若x，y为实数，且满足，则的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的非负性，算术平方根的非负性，有理数的乘方运算． 利用绝对值和算术平方根的非负性，求出和的值，再代入表达式计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴且， 由，得，解得：， 则可化为，即，解得：， ∴． 故答案为：． 13. 如图，直线与直线相交于点，则关于的方程组的解为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了两直线的交点与二元一次方程组的解，解题的关键是掌握两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次方程组的解．首先把点代入直线求出的值，进而得到点的坐标即可． 【详解】解：直线过点， ， 点， 直线与直线相交于点， 方程组的解为， 故答案为：． 14. 如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，C是x轴上一动点，连接，将沿所在的直线折叠，当点A落在y轴上时，点C的坐标为____．  【答案】或 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，灵活应用轴对称的性质，勾股定理解题是关键． 分两种情况讨论：当A点落在y轴正半轴上处时，在中，，求出m；当A点落在y轴负半轴上处时，连结， 在中， ，求出m；即可求解． 【详解】解：∵， 当时，， 当时，， ∴， ∴， ∴， 设， 如图1，当A点落在y轴正半轴上处时，连结， ∵A与关于对称， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； 如图2，当A点落在y轴负半轴上处时，连结， 由对称可得，， ∴， 在中， ， ∴， ∴； 综上所述：C点坐标为或， 故答案为：或． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点D的坐标为，点Q是直线上的一个动点，以为边，在的右侧作等腰直角，使得，点E落在第一象限，连接，的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中动点轨迹的确定、等腰直角三角形的性质及最短路径问题（利用对称点求距离和最小值），解题的关键是通过设动点坐标推导点E的轨迹方程，再利用对称点将的最小值转化为两点间的最短距离． 设，构造全等三角形求；确定E在直线上；作O关于该直线的对称点；计算的长度即为的最小值． 【详解】设点Q的坐标为（因Q在直线上，横纵坐标相等）． ∵点D的坐标为， ∴， 过Q作轴于M，过E作轴于N，则． ∵是等腰直角三角形且， ∴，． 又(的锐角互余)，，则． 又，， ∴， ∴， ， 故E的横坐标为，纵坐标为，即． 由，设，，消去t得，即E在直线上（第一象限部分）． 问题转化为：直线上找一点E，使最小． 作原点关于直线的对称点， [对称点计算：直线的垂线为，交点为，中点为，故]． 则，因此，最小值为的长度．（如下图） 由和，由勾股定理得： ． 故答案为：． 三．解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 计算： （1）； （2）； 【答案】（1）7 （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，涉及立方根、绝对值、算术平方根及完全平方公式等知识点，正确计算是解题的关键． （1）先计算立方根，去绝对值，算术平方根，去括号，再合并同类二次根式即可； （2）根据完全平方公式展开，再合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 原式 ； 【小问2详解】 原式 ． 17. 解方程或方程组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）利用加减消元法求解即可； （2）利用直接开平方法，解答即可． 【小问1详解】 解：， ，得， 解得， 把代入，得， 解得， 故原方程组的解为； 【小问2详解】 解：， ， 解得，． 18. 已知的立方根是，的算术平方根是4，c是正数且算术平方根等于本身． （1）求a，b，c的值； （2）求的平方根． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】此题考查立方根的意义、算术平方根的意义、平方根的意义、解二元一次方程组等知识点，读懂题意，掌握解答顺序，正确计算是解答本题的关键． （1）利用立方根的意义、算术平方根的意义求出a，b，c的值； （2）将a，b，c的值代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可． 【小问1详解】 ∵的立方根是，的算术平方根是4， ∴， 解得： ∵c是正数且算术平方根等于本身 ∴； 【小问2详解】 ∵，， ∴ ∴的平方根为． 19. 已知点，解答下列各题： （1）若点在轴上，求出点的坐标； （2）若点的坐标为，直线轴，求出点的坐标； （3）若点到轴、轴的距离相等，求出点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或． 【解析】 【分析】（1）根据轴上的点横坐标为0，即可求解； （2）由直线轴，可得点和点的纵坐标相等，即可求解； （3）根据点到轴、轴的距离相等，可知点的横、纵坐标的绝对值相等，据此列绝对值方程求解即可． 【小问1详解】 解：若点在轴上，则点的横坐标为0， 点在轴上， ， 解得：， ， 点的坐标为； 【小问2详解】 解：直线轴， 点和点的纵坐标相等， 点，， ， 解得：， ， 点的坐标为； 【小问3详解】 解：点到轴、轴的距离相等， ， 解得：或， 当时，，， 当时，，， 点的坐标为或． 20. 如图所示，在平面直角坐标系中，点，，． （1）请在图中作出关于轴对称的，并写出点的坐标； （2）若点为轴上一动点，当线段最短时，点的坐标为______； （3）若点为轴正半轴上一动点，若满足与面积相等，则坐标为______． 【答案】（1）解：根据题意，得，画图如下： 则即为所求． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先确定，，，再画图即可； （2）根据垂线段最短，过点C作x轴的垂线，垂足对应的点的坐标即为所求； （3）构造平行四边形，根据平行四边形的性质，平行线的性质，三角形面积的性质，解答即可． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：过点C作x轴的垂线，垂足对应的点即为所求点P， 此时坐标为； 【小问3详解】 解：如图，取点，则，， 故四边形是平行四边形， 故满足与面积相等， 故即为所求． 21. 为了鼓励公民节约用电，某市采用分段计费的方法按月计算每户家庭的电费。每户家庭每月电费（元）与用电量之间的函数图象如图3所示． （1）求与之间的函数表达式； （2）若乙用户某月需缴电费132元，求乙用户该月的用电量． 【答案】（1） （2）乙用户该月的用电量． 【解析】 【分析】（1）分两种情况讨论：①当时，设；②当时，设，利用待定系数法分别求出解析式即可得到与之间的函数表达式； （2）将代入，求出的值，即可得到答案． 【小问1详解】 解：①当时，设， 则，解得：， ； ②当时，设， 则，解得：， ； 与的函数表达式为 【小问2详解】 解：， 乙用户某月需缴电费132元，适用， 将代入，得：， 解得：， 答：乙用户该月的用电量． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是利用数形结合的数学思想，将图象与实际问题联系在一起，然后找出所求问题需要的条件． 22. 赛龙舟是传统节日端午节的主要习俗，某市在端午节期间，举行赛龙舟比赛，已知甲、乙两队参加比赛时的路程（米）与时间（分钟）之间的关系如图所示，请根据图象，回答下列问题： （1）填空： ①这次龙舟比赛全程为 米； ②甲队的速度是 米/分钟． （2）求开始比赛后几分钟甲队和乙队相遇？ （3）请直接写出比赛多少分钟时，甲、乙两队相距米？ 【答案】（1）①；②； （2）开始比赛后分钟甲队和乙队相遇 （3）或或或分时，两队相距米 【解析】 【分析】（1）①看函数图象最高点对应的纵坐标即可；②取甲的总路程除以甲用的时间即可得到甲的速度； （2）利用待定系数法，分别求出甲、乙两队路程关于时间的分段一次函数解析式；相遇时两队路程相等，建立方程求解相遇时间； （3）分乙未改变速度前甲在乙前面米，乙改变速度后甲在乙前面米，乙改变速度后乙在甲前面米，乙到达终点后甲距离终点米，四种情况得到对应的时间即可． 【小问1详解】 解：①∵函数图象最高点对应的纵坐标为， ∴这次龙舟比赛全程为米； ②甲队的速度是（米/分钟）； 【小问2详解】 解：设甲的函数解析式为：， 将代入，得 解得， ∴， 当时，设乙的解析式：， 将代入，得， 解得， ∴． 当时，设乙的解析式：， 把，代入，得 ， 解得，， ∴． 令，得， 解得， 答：开始比赛后分钟甲队和乙队相遇； 【小问3详解】 解：①乙未改变速度前甲在乙前面10米时， ， 解得：； ②乙改变速度后甲在乙前面米时， ， 解得：， ③乙改变速度后乙在甲前面米时， ， ； ④乙到达终点后甲距离终点米， ． 答：或或或分时，两队相距米． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于两点，直线与直线相交于点，直线与轴交于点． （1）填空： ， ； （2）求的面积； （3）点是轴上一个动点， ①当值最小时，请直接写出点的坐标 ； ②当以点为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点的坐标 ． 【答案】（1）2， （2）24 （3）①；②或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数解析式的求解，轴对称的性质，勾股定理解三角形，解决本题的关键是分类讨论直角． （1）将点C代入直线中可求解m的值，再将点C代入直线中即可求解n的值； （2）先求解出点A与点D的坐标，再根据三角形的面积公式求解即可； （3）①先找到点B关于x轴的对称点点，即可得点的坐标，连接，待定系数法可求解直线的函数表达式，令即可求解点P的坐标； ②分类讨论和两种情况求解点的坐标即可． 【小问1详解】 解：∵点在直线上， ∴，解得， ∴点， ∵点在直线上， ∴，解得， 故答案为：2，； 【小问2详解】 解：∵直线与轴，轴分别交于两点， 令，可得；令，可得， ∴点，点， ∵直线与轴交于点， 令，可得， ∴点， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：①作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，如图， 则，此时值最小，最小值为， ∵点， ∴点B关于x轴的对称点点， 又点， 设直线的表达式为， ∴，解得， ∴直线的表达式为， 令，可得， ∴点的坐标为； 故答案为：； ②∵， ∴， 当时， ∴， 即， ∴点的坐标为； 当时， 又， ∴， 即， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 故答案为：或． 24. 二次根式除法可以这样解：如，，像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化． 解决问题： （1）比较大小：　　　（用“”“”或“”填空）； （2）计算：； （3）已知，，求的值； （4）设实数，满足，求的值． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）对两个二次根式分别分母有理化，再比较大小； （2）对每一项分母有理化后裂项，利用抵消法求和； （3）先将，分母有理化，再利用完全平方公式的变形计算； （4）利用分母有理化对已知等式变形，推导得到的值，再代入计算． 【小问1详解】 解：对两个式子分别分母有理化： ， ， ∵ ， ， ∴  ， ∴  ， 即 ； 【小问2详解】 解：对每一项进行分母有理化，观察规律可得  ，，  以此类推，最后一项，  ∴ 原式     ； 【小问3详解】 解：先将，分母有理化： ，   ， ∴   ，  ， ∴ ． 【小问4详解】 解：∵ ， ∴  ， 将上式代入已知等式，得    约去2019，得    ， 同理可得  ，  ① + ②，得     移项合并，得   即  ， ∴ ． 25. 如图1，平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴相交于A、B两点，与直线交于点C．直线与y轴交于点D． （1）求点C，点D的坐标； （2）如图2，P为直线上的一个动点，当，求点P坐标； （3）如图3，P为线段上的一个动点，点C关于直线的对称点为，当恰好落在x轴上时，直接写出点P的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，熟练掌握一次函数的图象和性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）联立两个解析式求出点坐标，令，求出的函数值，得到点坐标即可； （2）求出点坐标，设，根据，列出方程进行求解即可； （3）设，根据对称的性质，得到求出的坐标，进而求出的中点坐标，求出直线的解析式，联立直线和直线，求出点坐标即可． 【小问1详解】 解：联立，解得：， ∴， 令，则：， ∴； 【小问2详解】 当时，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则：， ∴， ∴或， ∴或； 【小问3详解】 设， ∵点C关于直线的对称点为， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴或， 当时，的中点坐标为：， ∵， ∴轴， ∴，此时，解得：， ∴， 当时，的中点坐标为：，即为点， 设直线与轴交于点，则：， ∴，解得：， ∴， 设直线的解析式为：，把代入，得：，解得：， ∴， 联立：，解得：， ∴． 综上：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $