第10章 分式（单元测试）2026-2027学年数学新教材苏科版八年级下册

第10章 分式 （考试时间：60分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 1．下列代数式中，属于分式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】分式的定义为：若，是两个整式，且中含有字母，则式子是分式． ∵选项A的分母为，是常数，不含字母，属于整式，不符合题意； 选项B的分母为，含有字母，符合分式的定义，符合题意； 选项C的分母为，是常数，不含字母，属于整式，不符合题意； 选项D的是单项式，属于整式，不符合题意．故选B． 2．观察下列等式：，，，……；根据其蕴含的规律可得（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据已知递推公式计算前几项，找出数列的周期规律，再根据周期计算的值． 【解析】， ， ， ， 数列是以为周期的周期数列， ，即除以余， ．故选A． 3．已知三个函数：．下列说法： ①已知，若关于x的方程无解，则； ②若为整数，则满足条件的整数x的值的和为8； ③若，则； 其中正确的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，分式的混合运算．①根据题意可得，再由关于x的方程无解，可得，故①正确；②根据分式的性质，可得，再由为整数，可得x取1或3或9或，故②正确；根据，可得 ，从而得到，进而得到，故③错误，即可． 【解析】①∵，， ∴， 即， ∵关于x的方程无解， ∴， ∴，故①正确； ②∵， ∴， ∵为整数， ∴为整数， ∴取， ∴x取1或3或9或， ∴满足条件的整数x的值的和为，故②正确； ③∵，， ∴ 即， ∴， ∵， ∴， ∴ ，故③错误； 故选C 4．关于分式，下列说法正确的是（ ） A．化为最简分式等于 B．当时，分式的值为 C．当时，分式的值为零 D．当时，分式没有意义 【答案】D 【分析】本题考查分式的基本性质、分式有意义的条件及分式值为零的条件，先对分母因式分解，再结合相关知识点逐一分析选项即可． 【解析】A、，原说法错误，不符合题意； B、当时，，此时原分式没有意义，原说法错误，不符合题意； C、当时，，此时原分式没有意义，原说法错误，不符合题意； D、当时，，此时原分式没有意义，原说法正确，符合题意； 故选D． 5．下列各点一定在函数的图象上的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断点是否在函数图象上，只需将点的横坐标代入函数解析式，若计算得到的函数值与点的纵坐标相等，则该点在函数图象上，反之不在． 【解析】A、当时， ，符合题意； B、当时，分母，无意义，不符合题意； C、当时，，不符合题意； D、当时，，不符合题意．故选A． 6．下列说法正确的是（ ） A．当时，分式无意义 B．分式与的最简公分母是 C．当分式值为0时， D．无论为何值，的值总为正数 【答案】D 【分析】本题考查分式的相关基础概念，包括分式有无意义的条件、最简公分母的确定、分式值为0的条件以及分式值的正负判断，解题关键是掌握分式的基本性质． 【解析】A，∵分式无意义的条件是分母，当时，分母，分式有意义， ∴A错误； B，∵最简公分母取系数最小公倍数与各字母因式最高次幂的乘积， ∴分式与的最简公分母是，不是， ∴B错误； C，∵分式值为需满足分子为且分母不为，由得，又即， ∴，不是， ∴C错误； D，∵对任意都有， ∴，分子， ∴恒成立， ∴D正确．故选D． 7．已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则的值为（ ） x的取值 4 a 6 分式的值 无意义 0 b A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】D 【分析】根据分式无意义的条件和分式值为0的条件，求出m，n后得到分式，再代入条件求解计算即可. 【解析】∵当时分式无意义，分式无意义时分母为0， ∴，解得； ∵当时分式值为，分式值为0时分子为0且分母不为0， ∴，解得，验证分母，符合条件； ∴分式为， ∵当时分式值为， ∴， ∴， 当时，， ∴.故选D． 8．已知，则分式的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对已知等式通分变形，得到与的关系，再整体代入所求分式化简求值即可． 【解析】，即， ， 将代入得 ， 故选C． 二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 9．计算：________． 【答案】 【解析】．故答案为． 10．________． 【答案】 【分析】先分别计算两个分式的乘方，然后将除法转换为乘法，最后进行约分即可． 【解析】原式 ．故答案为． 11．不改变分式的值，把分子和分母中各项的系数都化为整数，则结果为________． 【答案】 【分析】利用分式的基本性质让分子分母同扩大10倍即可． 【解析】．故答案为． 12．若关于x的方程有增根，则a的值是________． 【答案】4 【分析】先将分式方程化为整式方程，根据增根的定义得到增根的值，再代入整式方程计算即可求出的值． 【解析】将方程两边同乘以得：， ∵分式方程有增根． ∴最简公分母， 解得， 将代入得：．故答案为4． 13．．________ 【答案】 【分析】本题考查分式的基本性质，掌握分式的分子和分母同时乘以或除以一个不为零的数或式子，结果仍相等是解题的关键． 【解析】， 故答案为． 14．在“双碳”战略的引导下，我国新能源汽车产业蓬勃发展.经过对某款新能源电动汽车和某款燃油车的对比发现，平均每公里电动汽车的充电费比燃油车的加油费少0.64元．当充电费和加油费均为100元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的9倍，设这款电动汽车平均每公里的充电费为x元，则可列方程为________． 【答案】 【分析】本题考查列分式方程，先根据已知条件分别表示出总费用均为100元时，电动汽车和燃油车的行驶路程，再根据电动汽车行驶总路程是燃油车的9倍这一等量关系列方程即可． 【解析】设这款电动汽车平均每公里的充电费为元， 可得燃油车平均每公里的加油费为元， 100元充电费对应的电动汽车行驶路程为公里， 100元加油费对应的燃油车行驶路程为公里， 由电动汽车可行驶的总路程是燃油车的9倍， 可得方程． 故答案为． 15．若关于的方程有增根，则的值为________． 【答案】 【分析】先令最简公分母为零确定增根，再将增根代入去分母后得到的整式方程，即可求出的值． 【解析】该分式方程的最简公分母为，令，得方程的增根为， 将原方程两边同乘去分母，得， 把代入整式方程，得， 整理得，解得．故答案为． 16．①函数中自变量的取值范围是________． ②计算的结果是________． 【答案】 且 【分析】本题主要考查了求函数自变量的取值范围，分式和二次根式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不为0，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键． ①根据二次根式和分式有意义的条件进行求解即可； ②根据分式除法和乘方运算法则进行计算即可． 【解析】①∵函数要有意义， ∴， ∴且． 故答案为且． ② ． 故答案为． 17．甲、乙两人沿着总长度为的道路匀速行走，甲的速度是乙的倍，甲走完全程比乙少用．设乙的速度为，根据题意，可列方程为________． 【答案】 【分析】根据“甲走完全程比乙少用．”列出方程，即可求解． 【解析】设乙的速度为，则甲的速度是，根据题意，可列方程为 ．故答案为． 18．________． 【答案】 【分析】先算乘方，再利用分式的乘除混合运算法则计算即可． 【解析】 ．故答案为． 三、解答题（本大题共 7 小题，共 66 分） 19．（9分）化简： （1） （2） 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的基本运算法则和运算顺序． （1）先通分，然后加减约分化为最简分式即可； （2）先通分化为同分母的分式加减解题即可． 【解析】（1）解： ； （2）解： 20．（9分）下面是小明同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成任务： 化简：． 解：原式…第一步 …第二步 …第三步 ．…第四步 任务一： （1）以上化简步骤中，第________步是进行分式的通分，其依据是________． （2）第________步开始出现错误，出现错误的原因是________． 任务二： （3）请直接写出该分式化简后的正确结果：________． 【答案】（1）一，分式的基本性质（2）二，去括号时，括号前为负号，括号内各项未全部变号（3） 【分析】（1）化简时把化为是通分把异分母分式化为同分母分式，通分时利用的是分式的基本性质； （2）第二步出现错误，分子中去第二个括号时，括号前是负号，只把第一项的符号改变了，后两项符号没有改变； （3）根据分式的性质进行计算得到正确结果． 【解析】（1）解：化简步骤中，第一步是通分，依据是分式的基本性质； （2）解：第二步中，分子去括号出现错误， 错误原因是括号前面是负号，去括号时括号中各项符号没有全部变号； （3）解： ． 21．（9分）项目化任务 项目情境：在反比例函数的学习中，我们掌握了基本反比例函数的图象与性质，而生活与数学探究中，常出现形式更为复杂的变形反比例函数．本次我们以函数为研究对象，开展函数图象与性质的项目化探究，通过拆分变形、列表描点、图象绘制、性质分析、代数论证的流程，解锁该类函数的核心规律． 项目准备： 我们先对函数进行拆分变形，将其转化为基本反比例函数与常数的和的形式，便于对比探究：，借助基本反比例函数，完成下表数据填写： … 1 2 4 … … 8 4 2 1 … … 1 0 10 6 4 3 … 项目探究任务： （1）图象绘制任务：在平面直角坐标系中，以自变量的取值为横坐标，对应函数的函数值为纵坐标，描出表格中的对应点，将轴左侧各点、右侧各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来． （2）性质分析任务：结合绘制的图象与表格数据，完成下列探究问题： ①当时，函数值随自变量的增大呈现怎样的变化趋势？________ ②对比基本反比例函数，请说明函数的图象是由的图象经过怎样的图形变换得到的？________ ③若点是函数图象的对称中心，请直接写出的数值．________ （3）代数论证任务：设、是函数图象上的两个点，且满足，试通过代数计算，求出的值． 【答案】（1）见解析（2）①减小②函数的图象是由的图象向上平移2个单位长度得到的③2（3）4 【分析】（1）描点法画出函数图象； （2）①根据函数图象得出增减性； ②根据平移的性质求解； ③根据平移的性质求解； （3）根据分式的加法运算法则求解． 【解析】（1）解：函数图象如图所示， （2）解：①当时，函数值随自变量的增大而减小； ②函数的图象是由的图象向上平移2个单位长度得到的； ③由②平移可得，函数图象的对称中心为即为， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴． 22．（9分）计算： （1） （2） 【答案】（1）（2） 【分析】本题主要考查了分式的加减法． （1）分母不变，分子相减即可． （2）先通分，然后再进行加法运算即可． 【解析】（1）解： （2）解： 23．（10分）定义：若分式和分式满足（为正整数），则称是的“阶差分式”．例如：，我们称是的“3阶差分式”， 解答下列问题： （1）分式是分式的“________阶差分式”． （2）分式是分式的“2阶差分式”．若取正整数，且的值为正整数，求的值． 【答案】（1）1（2）3或6 【分析】本题主要考查了“阶差分式”，分式的加减混合计算，分式的约分，正确理解题意是解题的关键． （1）只需要计算出的结果即可得到答案； （2）根据题意可得，则，再由是正整数，且x取正整数讨论求解即可． 【解析】（1）解；∵， ∴分式是分式的“1阶差分式”； 故答案为1； （2）解：∵分式是分式的“2阶差分式”， ∴， ∴， ∵是正整数，且x取正整数， ∴也是正整数， ∴当时，， 当时，； 综上所述，的值为3或6． 24．（10分）我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是方向相反的变形．类似的，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是方向相反的变形，我们称这种与“几个分式相加”方向相反的变形为“分式分解”． 例如，将分式分解：． （1）将分式分解的结果为________； （2）若可以分式分解为（其中是常数），则________，________； （3）当时，判断与的大小关系，并写出你的证明过程． 【答案】（1）（2）1，3（3）证明：，当时，，，，． 【分析】本题考查新定义下分式的加减及分式的大小比较，理解题中新定义、熟练掌握作差法是解题的关键． （1）根据题中示例进行变形即可得出答案； （2）将通分，即可求得m及关于的方程组，解之即可得答案； （3）根据做差法求出两个分式的差再判断出差的正负即可得出答案． 【解析】（1）解：， 故答案为； （2）解： ， ， ， 解得， 故答案为1，3； （3）证明：，当时，，，，． 25．（10分）定义：若分式A与分式B的差等于它们的积．即，则称分式B是分式A的“友好分式”．如与．因为，．所以是的“友好分式”． （1）填空：分式________分式的“友好分式”．（填“是”或“不是”） （2）已知分式是分式A的“友好分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数x使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值； （3）若关于x的分式是关于x的分式的“友好分式”，求的最小值． 【答案】（1）是（2）①；②A的值为1或3或4（3） 【分析】（1）根据“友好分式”的定义进行判断即可； （2）①根据分式是分式A的“友好分式”，得出，利用分式混合运算法则求出A即可； ②根据整除的定义进行求解即可； （3）设关于的分式的“友好分式”为M，求出，根据关于的分式是关于的分式的“友好分式”，得出，求出，代入，求出分式的最小值即可． 【解析】（1）解：∵， ， ∴， ∴分式是分式的“友好分式”； 故答案为是． （2）解：①∵分式是分式A的“友好分式”， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ． ②∵， ∵整数x使得分式A的值是正整数， ∴，，2， 当时，， 当时，， 当时，， 综上分析可知：A的值为1或3或4． （3）解：设M是关于的分式的“友好分式”，则： ， ∴ ， ∵关于x的分式是关于x的分式的“友好分式”， ∴， 整理得：， 解得：， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴ 即的最小值为． 【点睛】本题主要考查了分式混合运算的应用，新定义运算，解方程组，代数式求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10章 分式 （考试时间：60分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 1．下列代数式中，属于分式的是（ ） A． B． C． D． 2．观察下列等式：，，，……；根据其蕴含的规律可得（ ） A． B． C． D． 3．已知三个函数：．下列说法： ①已知，若关于x的方程无解，则； ②若为整数，则满足条件的整数x的值的和为8； ③若，则； 其中正确的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．关于分式，下列说法正确的是（ ） A．化为最简分式等于 B．当时，分式的值为 C．当时，分式的值为零 D．当时，分式没有意义 5．下列各点一定在函数的图象上的是（ ） A． B． C． D． 6．下列说法正确的是（ ） A．当时，分式无意义 B．分式与的最简公分母是 C．当分式值为0时， D．无论为何值，的值总为正数 7．已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则的值为（ ） x的取值 4 a 6 分式的值 无意义 0 b A．8 B．6 C．4 D．2 8．已知，则分式的值为（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 9．计算：________． 10．________． 11．不改变分式的值，把分子和分母中各项的系数都化为整数，则结果为________． 12．若关于x的方程有增根，则a的值是________． 13．．________ 14．在“双碳”战略的引导下，我国新能源汽车产业蓬勃发展.经过对某款新能源电动汽车和某款燃油车的对比发现，平均每公里电动汽车的充电费比燃油车的加油费少0.64元．当充电费和加油费均为100元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的9倍，设这款电动汽车平均每公里的充电费为x元，则可列方程为________． 15．若关于的方程有增根，则的值为________． 16．①函数中自变量的取值范围是________． ②计算的结果是________． 17．甲、乙两人沿着总长度为的道路匀速行走，甲的速度是乙的倍，甲走完全程比乙少用．设乙的速度为，根据题意，可列方程为________． 18．________． 三、解答题（本大题共 7 小题，共 66 分） 19．（9分）化简： （1） （2） 20．（9分）下面是小明同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成任务： 化简：． 解：原式…第一步 …第二步 …第三步 ．…第四步 任务一： （1）以上化简步骤中，第________步是进行分式的通分，其依据是________． （2）第________步开始出现错误，出现错误的原因是________． 任务二： （3）请直接写出该分式化简后的正确结果：________． 21．（9分）项目化任务 项目情境：在反比例函数的学习中，我们掌握了基本反比例函数的图象与性质，而生活与数学探究中，常出现形式更为复杂的变形反比例函数．本次我们以函数为研究对象，开展函数图象与性质的项目化探究，通过拆分变形、列表描点、图象绘制、性质分析、代数论证的流程，解锁该类函数的核心规律． 项目准备： 我们先对函数进行拆分变形，将其转化为基本反比例函数与常数的和的形式，便于对比探究：，借助基本反比例函数，完成下表数据填写： … 1 2 4 … … 8 4 2 1 … … 1 0 10 6 4 3 … 项目探究任务： （1）图象绘制任务：在平面直角坐标系中，以自变量的取值为横坐标，对应函数的函数值为纵坐标，描出表格中的对应点，将轴左侧各点、右侧各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来． （2）性质分析任务：结合绘制的图象与表格数据，完成下列探究问题： ①当时，函数值随自变量的增大呈现怎样的变化趋势？________ ②对比基本反比例函数，请说明函数的图象是由的图象经过怎样的图形变换得到的？________ ③若点是函数图象的对称中心，请直接写出的数值．________ （3）代数论证任务：设、是函数图象上的两个点，且满足，试通过代数计算，求出的值． 22．（9分）计算： （1） （2） 23．（10分）定义：若分式和分式满足（为正整数），则称是的“阶差分式”．例如：，我们称是的“3阶差分式”， 解答下列问题： （1）分式是分式的“________阶差分式”． （2）分式是分式的“2阶差分式”．若取正整数，且的值为正整数，求的值． 24．（10分）我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是方向相反的变形．类似的，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是方向相反的变形，我们称这种与“几个分式相加”方向相反的变形为“分式分解”． 例如，将分式分解：． （1）将分式分解的结果为________； （2）若可以分式分解为（其中是常数），则________，________； （3）当时，判断与的大小关系，并写出你的证明过程． 25．（10分）定义：若分式A与分式B的差等于它们的积．即，则称分式B是分式A的“友好分式”．如与．因为，．所以是的“友好分式”． （1）填空：分式________分式的“友好分式”．（填“是”或“不是”） （2）已知分式是分式A的“友好分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数x使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值； （3）若关于x的分式是关于x的分式的“友好分式”，求的最小值． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $