第十八章 分式（单元自测）数学新教材人教版八年级上册

第十八章 分式 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．下列说法正确的是（ ） A．是分式 B．对于任意实数，总有意义 C．将式子写成分式的形式是 D．分式的分子为0，则分式的值为0 【答案】B 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，分式的定义，分式的值，根据与分式相关的概念与性质逐一分析判断即可. 【解析】A. 是整式，故不符合题意， B. ∵， ∴对于任意实数，总有意义，故符合题意； C. 将式子写成分式的形式是，故不符合题意； D. 分式的分子为0，分母不为0，则分式的值为0，故不符合题意； 故选B 2．一艘轮船在静水中的最大航速为千米/时，它沿江以最大航速顺流航行千米所用时间，与以最大航速逆流航行千米所用时间相等，江水的流速为多少？设江水的流速为千米/时，则可列方程（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，设江水的流速为千米/时，则顺流航行的最大航速为千米/小时，逆流航行的最大航速为千米/小时，利用时间路程速度，根据“它沿江以最大航速顺流航行千米所用的时间，与以最大航速逆流航行千米所用时间相等”可列出关于的分式方程，此题得解．找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 【解析】设江水的流速为千米/时，则顺流航行速度为千米/时，逆流航行速度为千米/时， 依题意，得：． 故选A． 3．如表为张小亮的答卷，他的得分应是（ ） 姓名张小亮________得分________ 判断题（每小题20分，共100分） （1）当时，分式有意义．（√） （2）当时，分式的值为0．（√） （3）．（×） （4）．（√） （5）．（√） A．40分 B．60分 C．80分 D．100分 【答案】C 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式的化简，分式性质等知识，根据相关知识判断每个小题的正误，统计答对题数，计算得分． 【解析】（1）当时，分式有意义，正确； （2）当时，分式的分子为0，分母不为0，值为0，正确； （3）（反例：），错误； （4）（反例：），错误； （5），正确； 张小亮判断（1）√、（2）√、（3）×、（4）√、（5）√， 答对4题， 得分分． 故选C． 4．把下列分式中，的值都同时扩大到原来的3倍，那么值保持不变的分式是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的基本性质，解题思路是将扩大后的代入各选项，计算得到新分式，和原分式对比，判断值是否不变． 【解析】将同时扩大到原来的3倍后，新的变量为和，分别代入各选项计算： A、，值变为原来的3倍，不符合要求； B、，值变为原来的，不符合要求； C、，值和原分式相等，保持不变，符合要求； D、，值变为原来的，不符合要求； ∴ 故选C． 5．若关于的分式方程无解，则的值为（ ） A． B． C．1或 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式方程无解问题，分式方程无解即方程有增根，分母为零的情况，化简方程后，解出x关于m的表达式，当解为增根时方程无解即可求出m的值． 【解析】∵原方程：， 两边同乘（假设）： ， ∴， 即， 由于分母，当时方程有增根，无解， ∴， 解得， 故当时方程无解， 故选D． 6．下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的加减运算．根据分式的加减法运算法则进行计算即可求解． 【解析】对于选项A：，故本选项错误，不符合题意； 对于选项B：，故本选项错误，不符合题意； 对于选项C：，故本选项错误，不符合题意； 对于选项D：，故本选项正确，符合题意． 故选D 7．下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的运算，掌握相关知识是解决问题的关键．通过计算每个选项的分式运算，判断其正确性． 【解析】A：∵ ，∴错误． B：∵ ，∴错误． C：∵ ，∴错误． D：∵ ，∴正确． 故选D． 8．下列运算中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的运算，零指数幂． 根据分式的运算法则和零指数幂逐一计算后判断即可． 【解析】选项A，，A错误； 选项B，，B错误； 选项C，，，C正确； 选项D，，D错误； 故选C． 9．根据下列表格信息，y可能是（ ） x … 0 1 2 … y … * 无意义 * * 0 … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式无意义（分母为0）和分式值为0（分子为0且分母不为0）的性质，结合表格数据筛选选项． 【解析】A．当时，分母，不合题意； B．当时，分母，当时，分子，符合题意； C．当时，分子，不合题意； D．当时，分母，不合题意； 故选B． 10．已知，关于结论①②，下列判断正确的是（ ） ①将化为最简分式为；②同时使得及的值都为整数的共有6种情况． A．只有结论①正确 B．只有结论②正确 C．结论①和②都正确 D．结论①和②都不正确 【答案】A 【分析】本题考查了分式的化简，分式的值以及分式有意义的条件．先化简得到最简分式，再根据整数条件求的取值． 【解析】 ，，． ①正确． ②要使为整数，则为的约数，即，，，得，，，，，． 但，故有种情况，②错误． 故选A． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．计算：（1）________；（2）________；（3）________． 【答案】 1 【分析】本题考查了负整数指数幂、零指数幂和分式的乘方运算，熟知相关计算法则是解题的关键。 （1）任何非零数的负整数指数幂等于其正整数指数幂的倒数，据此求解即可； （2）任何非零数的零次幂等于1，据此求解即可； （3）分式的乘方法则，分式的乘方等于分子和分母分别乘方，据此求解即可． 【解析】（1）， 故答案为； （2）， 故答案为1； （3）根据分式的乘方法则，． 故答案为 12．已知代数式有意义，则的取值范围是________． 【答案】且 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式的分母不等于零及零指数幂底数不为零，计算即可得出答案． 【解析】由分式分母不为零，得，即； 由零指数幂底数不为零，得，即， 所以的取值范围是且． 故答案为且． 13．化简的结果是________． 【答案】 【分析】本题主要考查同分母分式加减法，观察分母和互为相反数，通过通分和合并同类项进行化简即可． 【解析】 故答案为． 14．若的值为3，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的乘除运算法则是解题的关键． 本题根据分式的乘除运算法则，结合因式分解对分子分母进行分解后约分，对原式进行化简，得到化简后的分式形式，进而结合已知的化简结果，可解决求值的问题． 【解析】由题可知：， ， ， 解得：， 故答案为． 15．若，则的值为________． 【答案】 【分析】将分式除法转化为乘法，因式分解约分，对比化简后的式子求出的值． 【解析】由题意，得 ， ．故答案为$-1$． 16．已知，则________． 【答案】 【分析】本题考查了利用完全平方公式变形求值，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． 由已知条件出发，通过平方得到的值，再平方一次得到的值． 【解析】由，两边平方得：，整理得： 再对，两边平方得： ∴， 故答案为． 三、解答题（本大题共 9 小题，共 72 分） 17．（6分）阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：． 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，，，，这样的分式就是假分式； 再如：，，，这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：，， 解答下列问题： （1）分式是________分式（填“真”或“假”）； （2）将假分式化为带分式________． （3）当的值为整数时，求整数的值． 【答案】（1）真 （2） （3） 【分析】本题考查阅读理解，读懂题意，理解真分式与假分式定义及假分式化为真分式的方法是解决问题的关键． （1）由材料中真分式的定义直接判断即可得到答案； （2）由材料中将假分式化为带分式的方法计算即可得到答案； （3）由（2）知，当的值为整数时，是整数，列方程求解即可得到答案． 【解析】（1）解：由真分式定义，在分式中，对于只含有一个字母的分式，分子的次数小于分母的次数，可知分式是真分式， 故答案为真； （2）解：， 故答案为； （3）解：由（2）知， 当的值为整数时，是整数， 的取值是的因数， 即取值为， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，整数的值为． 18．（6分）计算：（结果用科学记数法表示） （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）将系数与的幂分别相乘，再整理为标准科学记数法形式； （2）将系数与的幂分别相除，再整理为标准科学记数法形式． 【解析】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 19．（6分）解下列分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的相关方法是解此题的关键． （1）首先确定最简公分母，此方程中两个分式的分母均为，所以最简公分母为，方程两边同时乘以最简公分母，可消除分母，转化为整式方程进行求解； （2）先确定最简公分母，方程中两个分式的分母分别为和x，所以最简公分母为，方程两边同时乘以最简公分母，可消除分母，将分式方程转化为整式方程进行求解，最后进行验证即可． 【解析】（1）解：去分母，得， 解得． 经检验，是原分式方程的解， ∴． （2）解：去分母，得， 解得． 经检验，是原分式方程的解， ∴． 20．（6分）为推进垃圾分类，推动绿色发展，某工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行垃圾分类，用350万元购买甲型机器人和用490万元购买乙型机器人的台数相同，两种型号机器人的单价和为120万元，甲、乙两种型号机器人单价分别是多少万元？ 【答案】甲型机器人单价为50万元，乙型机器人单价为70万元 【分析】本题考查了分式方程的应用，设甲型号机器人单价为万元，则乙型号机器人单价为万元，依题意列出方程，求解即可得出答案，掌握分式方程的应用是解题的关键． 【解析】设甲型号机器人单价为万元，则乙型号机器人单价为万元，依题意得： ， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴（万元）， 答：甲型机器人单价为50万元，乙型机器人单价为70万元． 21．（8分）某校的综合实践活动策划方案如下： 实践背景 某校元旦期间采购彩纸和竹条制作飞马模型送给幼儿园的小朋友． 信息1 嘉嘉和淇淇到手工材料店询问后得知：每包彩纸比每捆竹条贵元，元能买到的彩纸包数是元能买到的竹条捆数的倍． 任务1 嘉嘉设■________．依题意，得方程． 淇淇设每包彩纸元．依题意，得方程▲________． 信息2 制作时，珍珍发现自己一天可以制作个小飞马或制作个大飞马，并且制作个小飞马的天数和制作个大飞马的天数一样． 任务2 求珍珍每天可以制作小飞马的个数． （1）①任务1中“■”处的内容为________，“▲”处的内容为________． ②任选一个人的思路，求每捆竹条的价格和元买到的彩纸包数； （2）完成任务2中的问题． 【答案】（1）①元买到的竹条捆数为捆；；②每捆竹条元，元能买到彩纸包 （2）珍珍每天可以制作小飞马个 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，解决本题的关键是根据题干中描述的数量之间的关系找到相等关系，根据相等关系列方程． （1）①根据方程中每一个分式表示的意义确定■表示元买到的竹条捆数为捆；根据淇淇设的表示每包彩纸的价格，列方程即可； ②分别用淇淇的方法和嘉嘉的方法求解； （2）制作个小飞马的天数和制作个大飞马的天数一样，列方程求出的值． 【解析】（1）①解：表示每捆竹条的价格， ■表示元买到的竹条捆数为捆； 淇淇设每包彩纸元， 依题意得方程：； 故答案为元买到的竹条捆数为捆，； ②解：选淇淇的方法： 设每包彩纸元， 根据题意可得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ，， 答：每捆竹条元，元能买到彩纸包； 选嘉嘉的方法： 设元买到的竹条捆数为捆， 根据题意可得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， (元)，(元)， (包)， 答：每捆竹条元，元能买到彩纸包； （2）解：由题意得，， 解得：， 经检验，是原方程的解， 珍珍每天可以制作小飞马个． 22．（8分）计算： （1）． （2）． （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的；最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． （1）先算乘方，然后把除法转化为乘法，分子、分母约分即可； （2）先算乘方，然后把除法转化为乘法，分子、分母约分即可； （3）先算乘方，然后把除法转化为乘法，分子、分母约分即可； 【解析】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： 23．（8分）按要求解答下列各题： （1）若关于的方程的解是正数，求的取值范围； （2）关于的方程解是负数，求的取值范围； （3）已知关于的方程有增根，求的值； （4）若关于的分式方程无解，求的值． 【答案】（1）且 （2）且 （3）的值为或或 （4）或 【分析】本题考查了分式方程的解以及解分式方程，分式方程有增根和无解时求字母的值，解题的关键是掌握相关知识． （1）先解分式方程得到，再根据该分式方程的解为正数得到，且，即可求解； （2）先解分式方程得到，再根据该分式方程的解为负数得到，且，即可求解； （3）先解分式方程得到，再根据该分式方程有增根得到或或，即可求解； （4）先解分式方程得到，再根据该分式方程无解，可得或，即可求解． 【解析】（1）解： ， 该分式方程的解为正数， ，且， 解得且； （2）解： ， 方程有解，且解为负数， ，且， 且； （3）解： （1） ， 该方程有增根， 或或． 的值为或或； （4）解： ， 分式方程无解， 或， 或． 24．（12分）已知，其中、为常数，求的值． 【答案】7 【分析】本题考查了分式的减法运算，解二元一次方程，代数式求值，先将通分计算得，再根据题意得关于、的二元一次方程，解方程求得、的值，再代入求值即可． 【解析】 ， ， ， 解得：， ． 25．（12分）小天和小津各经营一家“天津特产超市”，在今年11月两人以相同的价格购进同一品牌的天津大麻花，小天用1260元购进的大麻花数量比小津用1500元购进的数量少16盒． （1）求这种大麻花的单价； （2）12月，这种大麻花的单价降至元／盒，两人均决定再次购进这种大麻花，并且与11月相比，两人购进大麻花的总价均不变．比较小天两次购进大麻花的平均单价与小津两次购进大麻花的平均单价的大小． 【答案】（1）这种大麻花的单价为15元盒 （2）小天两次购进大麻花的平均单价与小津两次购进大麻花的平均单价相等 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，分式混合运算的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程． （1）设这种大麻花的单价为元盒，根据小天用1260元购进的大麻花数量比小津用1500元购进的数量少16盒，列出方程，解方程即可； （2）先求出小天的平均单价为：元，小津的平均单价为：元，然后再进行比较即可． 【解析】（1）解：设这种大麻花的单价为元盒，由题意得， ， 方程两边乘，得 解得． 经检验，是原分式方程的解， 答：这种大麻花的单价为15元盒． （2）解：由题意得：小天两次一共购进的大麻花的数量为： 盒， 小津两次一共购进的大麻花的数量为： 盒， ∴小天的平均单价为：元， 小津的平均单价为：元． 即． ∴小天两次购进大麻花的平均单价与小津两次购进大麻花的平均单价相等． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十八章 分式 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．下列说法正确的是（ ） A．是分式 B．对于任意实数，总有意义 C．将式子写成分式的形式是 D．分式的分子为0，则分式的值为0 2．一艘轮船在静水中的最大航速为千米/时，它沿江以最大航速顺流航行千米所用时间，与以最大航速逆流航行千米所用时间相等，江水的流速为多少？设江水的流速为千米/时，则可列方程（ ） A． B． C． D． 3．如表为张小亮的答卷，他的得分应是（ ） 姓名张小亮________得分________ 判断题（每小题20分，共100分） （1）当时，分式有意义．（√） （2）当时，分式的值为0．（√） （3）．（×） （4）．（√） （5）．（√） A．40分 B．60分 C．80分 D．100分 4．把下列分式中，的值都同时扩大到原来的3倍，那么值保持不变的分式是（ ） A． B． C． D． 5．若关于的分式方程无解，则的值为（ ） A． B． C．1或 D．5 6．下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 7．下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 8．下列运算中正确的是（ ） A． B． C． D． 9．根据下列表格信息，y可能是（ ） x … 0 1 2 … y … * 无意义 * * 0 … A． B． C． D． 10．已知，关于结论①②，下列判断正确的是（ ） ①将化为最简分式为；②同时使得及的值都为整数的共有6种情况． A．只有结论①正确 B．只有结论②正确 C．结论①和②都正确 D．结论①和②都不正确 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．计算：（1）________；（2）________；（3）________． 12．已知代数式有意义，则的取值范围是________． 13．化简的结果是________． 14．若的值为3，则的值为________． 15．若，则的值为________． 16．已知，则________． 三、解答题（本大题共 9 小题，共 72 分） 17．（6分）阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：． 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，，，，这样的分式就是假分式； 再如：，，，这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：，， 解答下列问题： （1）分式是________分式（填“真”或“假”）； （2）将假分式化为带分式________． （3）当的值为整数时，求整数的值． 18．（6分）计算：（结果用科学记数法表示） （1）； （2）． 19．（6分）解下列分式方程： （1）； （2）． 20．（6分）为推进垃圾分类，推动绿色发展，某工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行垃圾分类，用350万元购买甲型机器人和用490万元购买乙型机器人的台数相同，两种型号机器人的单价和为120万元，甲、乙两种型号机器人单价分别是多少万元？ 21．（8分）某校的综合实践活动策划方案如下： 实践背景 某校元旦期间采购彩纸和竹条制作飞马模型送给幼儿园的小朋友． 信息1 嘉嘉和淇淇到手工材料店询问后得知：每包彩纸比每捆竹条贵元，元能买到的彩纸包数是元能买到的竹条捆数的倍． 任务1 嘉嘉设■________．依题意，得方程． 淇淇设每包彩纸元．依题意，得方程▲________． 信息2 制作时，珍珍发现自己一天可以制作个小飞马或制作个大飞马，并且制作个小飞马的天数和制作个大飞马的天数一样． 任务2 求珍珍每天可以制作小飞马的个数． （1）①任务1中“■”处的内容为________，“▲”处的内容为________． ②任选一个人的思路，求每捆竹条的价格和元买到的彩纸包数； （2）完成任务2中的问题． 22．（8分）计算： （1）． （2）． （3）． 23．（8分）按要求解答下列各题： （1）若关于的方程的解是正数，求的取值范围； （2）关于的方程解是负数，求的取值范围； （3）已知关于的方程有增根，求的值； （4）若关于的分式方程无解，求的值． 24．（12分）已知，其中、为常数，求的值． 25．（12分）小天和小津各经营一家“天津特产超市”，在今年11月两人以相同的价格购进同一品牌的天津大麻花，小天用1260元购进的大麻花数量比小津用1500元购进的数量少16盒． （1）求这种大麻花的单价； （2）12月，这种大麻花的单价降至元／盒，两人均决定再次购进这种大麻花，并且与11月相比，两人购进大麻花的总价均不变．比较小天两次购进大麻花的平均单价与小津两次购进大麻花的平均单价的大小． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $