精品解析：陕西宝鸡市渭滨中学2026-2027学年第一学期高三第二次质量检测数学B卷

渭滨中学 2026—2027 第一学期高三第二次质量检测考试 数学试卷（B）卷 2026 年 10 月 一、单选题：（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1. 若，则（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 2或 2. 命题“，能被整除”的否定是（ ） A. ，不能被整除 B. ，能被整除 C. ，不能被整除 D. ，不能被整除 3. 已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在数学的学习中，既常用函数图象来研究函数的基本性质，也常用函数的基本性质来研究函数图象的特征.则函数的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 已知平面向量，均为单位向量，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知 ，，，则 、、 的大小关系是（　　） A. B. C. D. 7. 在空间中，经过点，法向量为的平面的方程（即平面上任意一点的坐标满足的关系式）为：.用此方法求得平面和平面的方程，化简后的结果分别为和，则这两平面夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若存在非零实数，使得成立，则实数的取值范围是. A. B. C. D. 二、多选题：（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求） 9. 设是定义在上的奇函数，且在上单调递减，，则（ ） A. 在上单调递减 B. C. 不等式的解集为 D. 的图象与轴只有2个交点 10. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的面积为 C. D. 11. 已知函数及其导数，若存在，使得，则称是的一个“巧值点”，下列函数中，有“巧值点”的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12. 幂函数在区间上单调递减，则实数__________． 13. 若实数满足，则_________． 14. 已知函数 ，则的零点个数为______ 四、解答题：（本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数． （1）求函数的最小值； （2）若不等式恒成立，求实数的范围． 16. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）设，求边上的高. 17. 已知等差数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项公式以及； （2）记数列的前项和为，求满足的的最小值； 18. 如图，在三棱锥中，，，，且平面平面． （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离； （3）线段上是否存在一点，使得二面角的正切值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 19. 已知 （1）若时，求在上的最大值和最小值； （2）若恒成立，求m的取值范围； （3）设，，证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 渭滨中学 2026—2027 第一学期高三第二次质量检测考试 数学试卷（B）卷 2026 年 10 月 一、单选题：（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1. 若，则（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 2或 【答案】B 【解析】 【分析】由集合中元素的互异性讨论求解即可. 【详解】已知， 若，则， 当时，，不符合题意，当时，，符合题意； 若，则，，不符合题意. 故选：B 2. 命题“，能被整除”的否定是（ ） A. ，不能被整除 B. ，能被整除 C. ，不能被整除 D. ，不能被整除 【答案】C 【解析】 【详解】命题“，能被整除”的否定是： “，不能被整除”． 3. 已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【详解】，对应复平面上点，位于第一象限. 4. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在数学的学习中，既常用函数图象来研究函数的基本性质，也常用函数的基本性质来研究函数图象的特征.则函数的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇偶性排除BC；根据时，排除D. 【详解】由得， 又函数的定义域为，则为奇函数，排除B，C项； 当时，恒成立，排除D项. 故选：A 5. 已知平面向量，均为单位向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的数量积运算及单位向量的定义，结合公式求解即可. 【详解】因为，所以， 即，可得， . 6. 已知 ，，，则 、、 的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】∵，是上减函数， ∴， 又∵是上减函数， ∴，即. 7. 在空间中，经过点，法向量为的平面的方程（即平面上任意一点的坐标满足的关系式）为：.用此方法求得平面和平面的方程，化简后的结果分别为和，则这两平面夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】确定平面和平面的法向量，根据向量的夹角公式，即可求得答案. 【详解】由题意可知平面和平面的方程为和， 故平面和平面的法向量分别为， 故两平面夹角的余弦值为， 故选：A 8. 已知函数，若存在非零实数，使得成立，则实数的取值范围是. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得到关于m的不等式，求解不等式即可确定实数的取值范围. 【详解】由题意可得有解， 即有解， 可得解得， 由为非零实数，可得等号不成立，故， 所以实数的取值范围是. 本题选择A选项. 【点睛】本题主要考查函数的性质及其应用，均值不等式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 二、多选题：（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求） 9. 设是定义在上的奇函数，且在上单调递减，，则（ ） A. 在上单调递减 B. C. 不等式的解集为 D. 的图象与轴只有2个交点 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据函数奇偶性，单调性，图象解决即可. 【详解】可作满足题意的下图（不唯一），仅参考 对A：因为是定义在上的奇函数，且在上单调递减，由奇函数的性质有在上单调递减，故选项A正确； 对B：因为是定义在上的奇函数，且在上单调递减，，所以，所以，故选项B正确； 对C：由选项A与题意可得的解集为，故选项C正确. 对D：由题意，，又是定义在上的奇函数，所以，所以的图象与轴有3个交点，故选项D错误； 故选:ABC. 10. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的面积为 C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由正弦定理、余弦定理和三角形面积公式分别验证选项即可. 【详解】对于A，根据余弦定理， 得，因此，故A正确； 对于B，根据三角形面积公式， 可得，故B正确； 对于C，根据正弦定理，， 可得，故C不正确； 对于D，因为， 所以，故D不正确． 故选：AB. 11. 已知函数及其导数，若存在，使得，则称是的一个“巧值点”，下列函数中，有“巧值点”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意利用“巧值点”的定义及方程解的情况判断即可. 【详解】对于A，，由，则， 所以有1个“巧值点”，故A正确； 对于B，，由，则， 所以有1个“巧值点”，故B正确； 对于C，，由得，而该方程无解，故C错误； 对于D，，由得， 即，显然方程有无数个解， 所以函数有无数个“巧值点”，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12. 幂函数在区间上单调递减，则实数__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据幂函数的定义求出的可能取值，再结合幂函数在上的单调递减性质筛选出符合条件的. 【详解】  根据幂函数的定义：形如（为常数）的函数为幂函数，其的系数必须为，因此有：  ， 整理得一元二次方程，因式分解得，解得或； 幂函数在上单调递减的充要条件是指数，即， 当时，，此时在上单调递增，不符合题意，舍去； 当时，，此时在上单调递减，符合题意， 综上，实数. 13. 若实数满足，则_________． 【答案】243 【解析】 【分析】根据及将原式进行化简， 求出的值，再进行指对互化即求得的值. 【详解】，即，解得 由题知， 即，解得， 所以． 故答案为：243 14. 已知函数 ，则的零点个数为______ 【答案】5 【解析】 【分析】画出函数的图象，借助图象分析函数零点的个数，进而可得答案． 【详解】函数的图象如右图所示： 结合图象分析： ，则， 则或或4， 对于，存在一个零点﹣5； 对于，存在一个零点； 对于，存在三个零点0，8，． 故函数零点个数为5． 故答案为:. 【点睛】本题考查的知识点是函数的零点，分段函数的图象，对数函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，难度中档． 四、解答题：（本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数． （1）求函数的最小值； （2）若不等式恒成立，求实数的范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先对函数配凑变形，把当作整体，利用基本不等式求出最小值； （2）把恒成立问题转化为函数最小值大于等于，解一元二次不等式得到t的范围． 【小问1详解】 对变形得，由知， 根据基本不等式，， 当且仅当即时等号成立， 因此，函数的最小值为． 【小问2详解】 不等式恒成立等价于， 代入最小值得，整理为，因式分解得， 解得，故实数的取值范围是． 16. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）设，求边上的高. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理得，结合同角三角函数平方关系即可求解； （2）先求，由正弦定理得，进而得，再由平方关系求，利用两角和的正弦公式求，进而求解. 【小问1详解】 由和正弦定理，可得， 因为，所以， 两边取平方，可得， 解得，因，则得； 【小问2详解】 由（1）可得. 由和正弦定理，可得，， 又，故为锐角，则. 所以. 因，则. 边上的高为. 17. 已知等差数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项公式以及； （2）记数列的前项和为，求满足的的最小值； 【答案】（1）， （2）8 【解析】 【分析】（1）设等差数列首项与公差，根据已知条件列方程组求出，再代入公式写出通项与前n项和； （2）对裂项，用裂项相消求出，再解不等式得到n的最小值． 【小问1详解】 设等差数列的首项为，公差为，则 ，解得， 故， ． 【小问2详解】 ，则，故， ， 解不等式得，， 由得的最小值为8． 18. 如图，在三棱锥中，，，，且平面平面． （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离； （3）线段上是否存在一点，使得二面角的正切值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） 证明：取PB的中点D，连接CD； 因为，D为PB的中点， 故； 因为平面平面，且交于PB， 故平面； 因为平面，故； 又因为，且，平面， 故平面； （2）； （3）存在一点，使得二面角的正切值为；． 【解析】 【分析】(1)根据面面垂直的性质得到线面垂直，进而得到线线垂直，结合已有的线线垂直，根据线面垂直的判定定理，证明线面垂直； (2)根据第一问的结论，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，写出法向量，代入点到平面的距离公式计算距离； (3)假设存在，根据向量的共线定理设出点的坐标，根据已知条件计算参数，能求出满足题意的值说明存在，否则不存在． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取BC的中点O，AC的中点F，连接OF，PO； 因为O，F为BC，AC的中点，故； 由(1)可知，平面，故平面； 故，； 又因为为等边三角形，故； 故以O为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系； 因为，， 故，，； 故，，，， ，，； 设为平面的法向量，则 ，故，令，则； 则点到平面的距离为； 【小问3详解】 设存在点E，使得，； 则； 设为平面的法向量； 为平面的法向量； 则，故， 令，则； 设二面角为， 则，故； 因为， 整理化简可得： 即，化简得：，解得：； 故，则； 综上，存在一点，使得二面角的正切值为． 19. 已知 （1）若时，求在上的最大值和最小值； （2）若恒成立，求m的取值范围； （3）设，，证明： 【答案】（1）， （2） （3） 由（2）知，当时，恒成立， 即，当且仅当时等号成立. 令，因为，所以，不等式取严格小于号， 代入得 又因为时，， 则得 于是，，…，， 将以上个不等式左右分别相加，可得： ， 即. 【解析】 【分析】（1）利用求导判断函数在上的单调性，再根据单调性求解即可； （2）当时，因为，不满足题意；当时，利用导数求出函数的最大值，再根据求解即可； （3）由（2）知，当时，恒成立，即，令，则有，由时，，最后利用累加法即可得证． 【小问1详解】 当时，，则， 因，则，故在上单调递减， 所以， 【小问2详解】 若时，因为，不满足题目要求； 若时，， 当时，，则在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以为的一个极大值点，也为最大值点， 所以即可， 令，因为在上单调递减，且， 要使恒成立，只需，即m的取值范围是； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $