精品解析：陕西宝鸡市渭滨中学2026-2027学年第一学期高三第一次质量检测考试数学试题（A卷）

渭滨中学2026-2027学年第一学期 高三第一次质量检测考试数学试题（A卷） 2026年8月29日 一、单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】要使根式有意义，需，解得，因此. 不等式，因式分解得，解得，即. 因此. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】易知，所以． 3. 已知，，若，则实数（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】因为，，则，， 若，则，解得. 4. 下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数性质判断各函数的单调性，结合奇偶性定义判断奇偶性. 【详解】A：由知，在上递增，不符； B：由二次函数性质知，是偶函数，又在上单调递减，符合； C：由在上递增，在定义域上递增，故在上递增， 不符合； D：的定义域为，且，得函数是奇函数，不符. 5. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用同角三角函数关系及两角和正弦公式计算求解. 【详解】， . 6. 已知函数，在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分段函数单调性，结合指对数函数、二次函数单调性列出不等式组求解. 【详解】由函数在上都单调递增， 得函数在上单调递增， 由函数在上单调递增，得，解得， 所以的取值范围是. 7. 已知随机事件互为对立事件，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据随机事件互为对立事件可得，再根据基本不等式求解即可. 【详解】因为随机事件互为对立事件， 所以，即， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 8. 已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得，得出函数的单调性，再利用函数的单调性和奇偶性解不等式. 【详解】由，可得， 设函数，，则在上单调递增， 又因为为定义在上的奇函数，，所以为偶函数， 在上单调递减，而不等式， 又因为，所以， 所以不等式的解集为. 二、多选题 9. 已知集合M，N的关系如图所示，则下列结论中正确的是（ ）  A. B. “”是真命题 C. “，使得”是真命题 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据韦恩图（Venn diagram）可知，集合  与集合  有公共部分，但互不包含.结合集合的交集、补集、并集的定义及运算性质，逐一分析各选项即可. 【详解】选项A：由图可知，集合  与集合  有重叠部分，即公共元素，所以 ，故选项A正确； 选项B： 表示集合  在全集  中的补集，即图中  圆圈外部的区域. 由图可知，集合  中有一部分元素在  的外部（即  独有的部分）， 这部分元素属于  但也属于 ，因此“”意味着  中没有元素在  外，即 ， 这与图形不符，故选项B错误； 选项C：命题“，使得”等价于 . 由图可知两集合有交集，故存在这样的元素，选项C正确； 选项D：根据集合运算的德·摩根定律， 恒成立， 表示既不在  中也不在  中的元素集合等于不在  与  并集中的元素集合，故选项D正确. 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【详解】A选项，当时，，所以A选项错误； B选项，若，则，所以，所以B选项正确； C选项，若，则，所以C选项错误； D选项，若，则，则，所以D选项正确. 11. 已知函数是定义在上的偶函数，且对任意，均有.当时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 函数的一个周期为4 C. 当时， D. 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，利用是定义在上的偶函数和，将转化至区间内求解.对于B，由得到，得到函数的一个周期为4对于C，利用的函数解析式，结合可以得到的函数解析式对于D，利用函数的周期性得到 【详解】当时，，则； 对于B选项，由可知， 所以，即， 故函数的一个周期为4.故B选项正确. 对于A选项，因为函数的一个周期为4， 所以， 又因为，所以，故A选项错误. 对于C选项，设，则， 所以. 所以.所以C选项错误. 对于D选项，由函数的一个周期为4，且是定义在上的偶函数可知 ， 由可知，. 由时，，且函数的一个周期为4可知， . 所以. 又因为函数的一个周期为4，所以 ， 所以 ， 故D选项正确. 三、填空题 12. 已知且，且函数过点，则函数，的值域为______. 【答案】 【解析】 【分析】由函数经过的点先算出，然后根据对数函数的单调性求值域即可得解. 【详解】因为函数过点， 所以，即，解得， 所以， 所以， 由对数函数的单调性知，在上单调递增， 所以，即， 故答案为： 13. 已知为数列的前项和，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用可得答案. 【详解】当时，， 当且时， ，将代入得，与不符， 故不满足上式. 综上，. 14. 黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用．黎曼函数定义在上，其解析式为，若函数是定义在R上的奇函数，且对任意的x，都有，当时，，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性与对称性推导出函数的周期，通过周期性将未知的自变量化归到已知区间内，最后代入黎曼函数解析式及特殊点的值进行计算求和. 【详解】因为，所以，令得， 因为是奇函数，所以，所以，所以的周期为4， 所以， 由题意得，此时，它是一个既约真分数，因此， 即，则． 四、解答题 15. 已知函数. （1）求，的值 （2）若，求实数的值； （3）当时，求的最小值． 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据分段函数解析式计算可得； （2）对分三种情况讨论，得到方程，解得即可； （3）分段说明函数的单调性，即可求出函数的最小值. 【小问1详解】 因为，所以， 所以； 【小问2详解】 当时，，解得，不合题意； 当时，，即， 解得或，又，所以； 当时，，解得，符合题意， 所以当时，或. 【小问3详解】 因为， 当时，则在上单调递增，所以； 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，又， 所以在上的最小值为； 综上可得，在上的最小值为. 16. 记的内角，，的对边分别为，，．已知． （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦二倍角公式得到，得到答案； （2）根据三角形面积得到方程，求出，由余弦定理得到，得到周长 【小问1详解】 在中，， 因为，所以， ，又，故； 【小问2详解】 由（1）知，若，且的面积为， 故， 在中，由余弦定理得， ， 的周长． 17. 已知函数是奇函数． （1）求实数的值； （2）求的定义域； （3）若对任意的时，都有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由是奇函数可得，化简整理后即可求得的值； （2）对数函数的真数大于0，即可求得的取值范围即定义域； （3）原式参变分离后可化为，结合增减性求出的最大值即可求得的取值范围. 【小问1详解】 因为是奇函数， 所以， 所以，所以，又， 故实数． 【小问2详解】 由（1）得， 令，解得或， 所以的定义域为. 【小问3详解】 当时，设，易得在上单调递减，所以， 又因在上单调递增，所以， 由题意，恒成立，则有， 所以实数的取值范围是. 18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点. （1）证明：平面； （2）若F是BC上靠近B的四等分点； （i）求EF和平面夹角的正弦值； （ⅱ）求点P到平面的距离. 【答案】（1）证明：底面，且底面，， 为正方形，，又，且平面，平面. 平面，. 由为线段的中点，可知， ，且平面，平面． （2）（i）EF和平面夹角的正弦值为； （ⅱ）点P到平面的距离为. 【解析】 【分析】（1）由线面垂直及正方形的性质得、，再由线面垂直的判定定理、性质定理证明结论； （2）（i）取的中点，连接，根据线面角的定义确定和平面夹角的平面角，最后结合已知求其正弦值； （ⅱ）利用等体积法，设点到平面的距离为，求出和， 从而计算出，再求出，根据，可算出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）取的中点，连接． 为中点，是的中位线，故，且． 又底面，底面，因此是在底面内的投影， 即为直线与平面所成的角．由题意可知是的四等分点，， 故．又是中点，，故． 在中，． 在中，．因此． （ⅱ）利用等体积法， 设点到平面的距离为． 由（1）知平面，故平面，即点到平面的距离为． 在等腰中，，，， 故． 因此． 由（1）知平面，故，即为直角三角形． 又，，故． 由得：． 19. 已知函数． （1）若，求函数的最小值； （2）讨论的单调性； （3）若在上恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，在 上单调递增；当时，在单调递减，在单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）求导后判断单调性，确定极小值点，代入求最小值； （2）对参数 分类讨论，根据导数符号确定单调区间； （3）先由对数有意义得 ，化简不等式为含参数的分式函数恒正，分情况讨论参数范围. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得 . 当 时，. 当 时，，单调递减； 当时，，单调递增. 故在 处取最小值，代入得. 因此函数的最小值为. 【小问2详解】 对导数分类讨论： 若，则对任意都有，即，故在上单调递增； 若，时，，单调递减； 时，，单调递增. 综上，当时，在 上单调递增； 当时，在单调递减，在单调递增. 【小问3详解】 由题意，已知，则有意义需. 不等式 在 恒成立，化简不等式得， 消去同类项整理得，对任意恒成立. 令 . 若，则，故恒成立； 若，则，成立； 若，则 ，当时，，，不满足恒成立. 综上，的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 渭滨中学2026-2027学年第一学期 高三第一次质量检测考试数学试题（A卷） 2026年8月29日 一、单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，若，则实数（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的函数是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知随机事件互为对立事件，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知集合M，N的关系如图所示，则下列结论中正确的是（ ）  A. B. “”是真命题 C. “，使得”是真命题 D. 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知函数是定义在上的偶函数，且对任意，均有.当时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 函数的一个周期为4 C. 当时， D. 三、填空题 12. 已知且，且函数过点，则函数，的值域为______. 13. 已知为数列的前项和，若，则__________． 14. 黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用．黎曼函数定义在上，其解析式为，若函数是定义在R上的奇函数，且对任意的x，都有，当时，，则________． 四、解答题 15. 已知函数. （1）求，的值 （2）若，求实数的值； （3）当时，求的最小值． 16. 记的内角，，的对边分别为，，．已知． （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长． 17. 已知函数是奇函数． （1）求实数的值； （2）求的定义域； （3）若对任意的时，都有恒成立，求实数的取值范围． 18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点. （1）证明：平面； （2）若F是BC上靠近B的四等分点； （i）求EF和平面夹角的正弦值； （ⅱ）求点P到平面的距离. 19. 已知函数． （1）若，求函数的最小值； （2）讨论的单调性； （3）若在上恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $