江苏南京2026-2027学年苏科版数学八年级上册期中复习专项训练　尺规作图　

八年级（上）尺规作图专项练习 · 解析版 八年级（上）尺规作图专项练习 答案与作图步骤 · 共 52 题 一、基本作图：角平分线、垂直平分线与垂线 第 1～18 题 1．【答案】（1）√2；（2）见解析（两种方法）． 【解析】（1）设 CD＝h．由∠ACB＝90° 得 AC²＋BC²＝AB²（勾股定理）；又 CD⊥AB，在 Rt△ACD、Rt△BCD 中分别有 AC²＝AD²＋h²、BC²＝BD²＋h²．代入得 AD²＋h²＋BD²＋h²＝(AD＋BD)²，即 2h²＝2·AD·BD，所以 h²＝AD·BD＝1×2＝2，CD＝√2． （2）同（1）的道理，∠ACB＝90° 时 CD²＝AD·BD＝2AD²，即 CD＝√2·AD． 方法一：①以 D 为圆心、DA 为半径作弧交直线 l 于点 M，连接 AM，则△ADM 中∠ADM＝90°、DA＝DM，由勾股定理得 AM＝√2·DA；②在直线 l 上向两侧分别截取 DC₁＝DC₂＝AM，连接 AC₁、BC₁、AC₂、BC₂，C₁、C₂ 即为所求（由勾股定理的逆定理：AC²＝AD²＋2AD²＝3AD²，BC²＝4AD²＋2AD²＝6AD²，AC²＋BC²＝9AD²＝AB²，故∠AC₁B＝∠AC₂B＝90°）． 方法二：①作 AB 的垂直平分线，得 AB 的中点 O；②以 O 为圆心、OA 为半径作弧，交直线 l 于 C₁、C₂，即为所求． 理由（方法二）：由 OA＝OB＝OC 知△AOC、△BOC 都是等腰三角形，所以∠OAC＝∠OCA、∠OBC＝∠OCB；而 A、O、B 共线，∠AOC＋∠BOC＝180°，于是∠OAC＋∠OBC＝½[(180°−∠AOC)＋(180°−∠BOC)]＝90°，所以∠ACB＝180°−90°＝90°． 2．【答案】（1）以 C 为圆心、CA 为半径画弧，与 l 的交点（除点 A 外）即为 P；（2）在 l 上从 A 起向 C 所在一侧依次截取 AE＝AB、EQ＝BC，再在另一侧对称截取 Q′，Q、Q′ 即为所求． 【解析】（1）因为 l∥BC，所以∠PAC＝∠ACB（两直线平行，内错角相等）；又 AB＝AC 得∠ABC＝∠ACB．若∠APC＝∠ACB，则∠APC＝∠PAC，故 CA＝CP（等角对等边）．所以以 C 为圆心、CA 为半径画弧，与 l 除 A 外的交点即为 P． （2）记∠ACB＝2β．设 M 为 BC 的中点，连接 AM，则 AM⊥BC（三线合一），且 AM 等于平行线 l 与 BC 之间的距离．记 AM＝h、CM＝s，则 AB＝AC＝c、BC＝2s，由勾股定理 h²＝c²−s²． 作法：在 l 上（点 C 所在一侧）依次截取 AE＝AB、EQ＝BC，得点 Q；再由对称性在另一侧截取 Q′． 理由：过 C 作 CH⊥l 于 H，则 CH＝h（平行线间的距离处处相等），且由 AC²＝AH²＋CH² 得 AH²＝c²−h²＝s²，即 AH＝s＝CM． 在射线 MC 的延长线上取点 K，使 MK＝AC＋CM＝c＋s，则 CK＝c＝CA，△ACK 是等腰三角形；又∠ACM＝2β，所以∠ACK＝180°−2β，由等腰三角形两底角相等得∠AKC＝β． Rt△AMK 中由勾股定理 AK²＝h²＋(c＋s)²；而 AQ＝AB＋BC＝c＋2s，所以 QH＝AQ−AH＝c＋s＝MK．于是在 Rt△QHC 与 Rt△AMK 中，CH＝AM＝h、QH＝MK，两三角形全等（SAS），得∠HQC＝∠AKM＝β． 因为 A、H、Q 都在 l 上且 H 在 A、Q 之间，所以∠AQC＝∠HQC＝β＝1/2∠ACB，即 Q 满足条件（Q′ 由对称性同理）． 3．【答案】（1）过 P 作 PH⊥l 于 H，在 l 上取 HA＝HB＝PH，A、B 即所求；（2）过 P 作 PH⊥l 于 H，以 PH 为边作等边三角形 PHQ，作∠HPQ 的平分线交 l 于 A，再取 HB＝HA，A、B 即所求． 【解析】因为 PA＝PB 且 A、B 都在直线 l 上，所以△PAB 是等腰三角形，PH⊥l 的垂足 H 是 AB 的中点（三线合一）． （1）∠APB＝90° 时，△PAB 是等腰直角三角形，底角∠A＝45°；在 Rt△PHA 中∠APH＝45°＝∠A，所以 PH＝HA（等角对等边）．作法：过 P 作 PH⊥l 于 H，以 H 为圆心、PH 为半径作弧交 l 于 A、B，即为所求． （2）∠APB＝60° 且 PA＝PB 时，△PAB 是等边三角形．作法：过 P 作 PH⊥l 于 H；以 PH 为边作等边三角形 PHQ（Q 与直线 l 在 PH 的同侧），作∠HPQ 的平分线，该射线交 l 于 A，再取 HB＝HA 得 B．理由：∠HPA＝30°，PH⊥l，所以 Rt△PHA 中∠PAH＝60°；由 PH 垂直平分 AB 得 PA＝PB，且 Rt△PHA≌Rt△PHB（SAS），∠BPH＝∠APH＝30°，所以∠APB＝60°，符合要求． 4．【答案】以 C 为圆心、CO 为半径作弧交射线 OB 于 D，再作 CD 的垂直平分线交射线 OB 于 F，F 即为所求． 【解析】由 CO＝CD 得∠CDO＝∠COD＝20°，所以∠DCO＝140°． 由 FC＝FD（F 在 CD 的垂直平分线上）得∠FCD＝∠FDC＝20°，于是∠CFD＝180°－20°－20°＝140°，所以∠CFO＝180°－140°＝40°． 5．【答案】共 4 个点：以 A 为圆心、AC 为半径作弧交射线 AB 于 P₁；以 C 为圆心、CA 为半径作弧交射线 AB 于 P₂、P₃；作 AC 的垂直平分线交射线 AB 于 P₄．P₁、P₂、P₃、P₄ 即为所求（若有重合则舍去）． 【解析】按等腰三角形的三种情形分类： ①AC＝AP：P 在以 A 为圆心、AC 为半径的圆上，与射线 AB 的交点为 P₁； ②CA＝CP：P 在以 C 为圆心、CA 为半径的圆上，该圆过点 A，与射线 AB 的另一交点为 P₂（A 点本身不合题意）；若交点落在射线 AB 的反向延长线上则舍去； ③PA＝PC：P 在 AC 的垂直平分线上，与射线 AB 的交点为 P₄． 综上，符合条件的点一般有 4 个（当某些点重合时相应减少）． 6．【答案】方法一：作∠ABC 的平分线 BM，过 P 作 BM 的垂线，即为所求直线；方法二：在 BA、BC 上截取 BE₀＝BF₀，连接 E₀F₀，过 P 作 E₀F₀ 的平行线，即为所求直线． 【解析】方法一：设所作直线交 BA、BC 于 E、F．因为∠ABC 的平分线是轴对称图形的对称轴，而该垂线与对称轴垂直，由对称性得 E、F 关于 BM 对称，所以 BE＝BF． 方法二：由 BE₀＝BF₀ 知△BE₀F₀ 是等腰三角形，所以∠BE₀F₀＝∠BF₀E₀；过 P 作 E₀F₀ 的平行线交 BA、BC 于 E、F，由两直线平行、同位角相等得∠BEF＝∠BE₀F₀、∠BFE＝∠BF₀E₀，所以∠BEF＝∠BFE，故 BE＝BF（等角对等边）． 7．【答案】（1）作∠ACB 的平分线交 AB 于 M，M 即所求；（2）作 AC 的垂直平分线交 BC 于 N，N 即所求． 【解析】（1）到角两边距离相等的点在角的平分线上，故 M 是∠ACB 的平分线与 AB 的交点． （2）因为 N 在 BC 上，所以 NB＋NC＝BC．要使 NA＋NB＝BC，只需 NA＝NC，即 N 在 AC 的垂直平分线上．故 N 为 AC 的垂直平分线与 BC 的交点． 8．【答案】作线段 AB 的垂直平分线，再作 l₁、l₂ 所成角的两条平分线，它们的交点（一般 2 个）即为发射塔 C 的位置． 【解析】到 A、B 距离相等的点在 AB 的垂直平分线上；到 l₁、l₂ 距离相等的点在 l₁、l₂ 所成角的两条平分线上（内角平分线与外角平分线）．同时满足两个条件，就是这两条平分线分别与 AB 的垂直平分线的交点，故一般有 2 个位置（若某条平分线与 AB 的垂直平分线平行则相应减少）． 9．【答案】（1）（2）见解析；（3）在 OM、ON 上分别截取 OA＝OB、OC＝OD（OC≠OA），连接 AD、BC 交于点 P，作射线 OP 即为∠MON 的平分线． 【解析】（1）由 AB＝AC，∠A＝∠A，AE＝AD 得△ABE≌△ACD，所以∠ABE＝∠ACD，BE＝CD．又∠ABC＝∠ACB，所以∠PBC＝∠PCB，故 PB＝PC． （2）由 AB＝AC，AP＝AP，PB＝PC 得△ABP≌△ACP（SSS），所以∠CAP＝∠BAP． （3）以 O 为端点，在 OM 上截取 OA、OC，在 ON 上截取 OB＝OA、OD＝OC（A、C 不重合）．连接 AD、BC 交于点 P，作射线 OP，则 OP 平分∠MON．理由：由（1）得 PA＝PB，再由（2）得∠AOP＝∠BOP． 10．【答案】（1）作∠BAC 的平分线交 BC 于 P，P 即为所求；（2）过 P 作 PD⊥AB 于 D，PD 即为所求． 【解析】因为 P 在 BC 上且∠C＝90°，即 BC⊥AC，所以 PC 就是点 P 到直线 AC 的距离． （1）条件 PC＝PD（PD⊥AB）即点 P 到 AC、AB 的距离相等，故 P 在∠BAC 的平分线上，取角平分线与 BC 的交点即可． （2）过 P 作 PD⊥AB，垂足为 D，则 PD 就是点 P 到 AB 的距离，且由（1）得 PD＝PC． 11．【答案】两问作法相同：作∠AOB 的平分线 OM，过点 P 作 OM 的垂线，分别交 OA、OB 于 C、D，所得△OCD 即为所求． 【解析】因为 CD 是底边，所以 OC＝OD，即 O 在 CD 的垂直平分线上；而∠AOB 的平分线就是到 OA、OB 距离相等的点的集合，它恰好是 OC＝OD 的等腰三角形底边的垂直平分线．故作 OM 平分∠AOB，过 P 作 OM 的垂线 l，l 交 OA、OB 于 C、D，由对称性得 OC＝OD，△OCD 是底边为 CD 的等腰三角形，且 l 过点 P． 注意：第（2）问中 P 不在角平分线上，同样过 P 作角平分线的垂线即可，说明“点 P 在角平分线上”并非作图的必要条件． 12．【答案】（1）作∠BAC 的平分线交 BC 于 P；（2）作 A 关于直线 l 的对称点 A′，连接 A′B 交 l 于 P． 【解析】（1）到 AB、AC 距离相等的点在∠BAC 的平分线上，故取角平分线与 BC 的交点． （2）设 A′ 是 A 关于 l 的对称点，则对 l 上任一点 P 都有 PA＝PA′，所以 PA＋PB＝PA′＋PB≥A′B，当且仅当 A′、P、B 三点共线时取等号．故 P 为 A′B 与 l 的交点． 13．【答案】（1）作∠BAC 的平分线交 BC 于 D；（2）过 C 作直线 m⊥BC，作 m 与直线 AB 所成角的平分线，交 BC 于 D． 【解析】（1）折叠后 AC 落在 AB 上，即 AD 把∠BAC 分成两个相等的角，所以 AD 是∠BAC 的平分线，D 为角平分线与 BC 的交点． （2）由折叠得 DC＝DE（折叠前后对应线段相等），又 DE⊥AB．过 C 作直线 m⊥BC，则 DC⊥m，即 DC 是点 D 到直线 m 的距离；而 DE 是点 D 到直线 AB 的距离．由 DC＝DE，即点 D 到直线 m、AB 的距离相等，根据角平分线的判定，点 D 在直线 m 与直线 AB 所成角的平分线上． 作法：①过 C 作直线 m⊥BC；②作直线 m 与直线 AB 所成角的平分线，它与 BC 的交点即 D． 14．【答案】（1）同第 2 题（2）：在 l 上从 A 起向 C 一侧依次截取 AE＝AB、EQ＝BC，再在另一侧对称截取 Q′；（2）作 A 关于 BC 的对称点 A′，连接 A′D 交 BC 于 P． 【解析】（1）作法与理由同第 2 题（2）：记∠ACB＝2β，在 l 上（C 所在一侧）依次截取 AE＝AB、EQ＝BC 得 Q，再由对称性得另一侧的点 Q′，两点即为所有符合条件的点．验证要点：过 C 作 CH⊥l 于 H，在射线 MC 的延长线上取 K 使 MK＝AC＋CM，可证 Rt△QHC≌Rt△AMK（SAS），从而∠AQC＝∠HQC＝∠AKM＝β＝1/2∠ACB（M 为 BC 的中点，AM⊥BC）． （2）作 A 关于 BC 的对称点 A′，则 PA＝PA′，∠APB＝∠A′PB．连接 A′D 交 BC 于 P，此时 A′P 与 DP 是互为反向的射线，∠A′PB 与∠DPC 是对顶角，所以∠A′PB＝∠DPC，从而∠APB＝∠CPD． 15．【答案】（1）作∠BAC 的平分线交 BC 于 P；（2）过 A 作直线 n⊥AB，作 n 与直线 BC 所成角的平分线，交 AB 于 Q． 【解析】（1）因为 P 在 BC 上且∠C＝90°，所以 PC 就是点 P 到直线 AC 的距离．条件 PC＝PH（PH⊥AB）即点 P 到 AC、AB 的距离相等，故 P 在∠BAC 的平分线上． （2）条件为 QA＝QE（E 为 Q 向 BC 所作垂线的垂足），QE 是点 Q 到直线 BC 的距离．过 A 作直线 n⊥AB，则 Q 在 AB 上时 QA⊥n，QA 就是点 Q 到直线 n 的距离．由 QA＝QE 及角平分线的判定，点 Q 在直线 n 与直线 BC 所成角的平分线上． 作法：①过 A 作直线 n⊥AB；②作直线 n 与直线 BC 所成角的平分线（取靠近△ABC 内部的那条），它与 AB 的交点即 Q． 16．【答案】（1）方法一：作∠AOB 的平分线 OM，过 P 作 OM 的垂线；方法二：在 OA、OB 上分别截取 OC₀＝OD₀，连接 C₀D₀，过 P 作 C₀D₀ 的平行线；（2）在 OA 上取两点 X₁、X₂，分别以 PX₁、PX₂ 为边作等边三角形 PX₁Y₁、PX₂Y₂（顶点 Y₁、Y₂ 同在偏向 OB 的一侧），作直线 Y₁Y₂ 交 OB 于 D，再以 PD 为边作等边三角形 PDC，使 C 落在 OA 上． 【解析】（1）方法一：若 OC＝OD，则△OCD 是以 CD 为底边的等腰三角形，其顶角平分线就是底边 CD 的垂直平分线，即底边 CD 与∠AOB 的平分线垂直．作∠AOB 的平分线 OM，过 P 作 OM 的垂线，由轴对称性知它与 OA、OB 的交点 C、D 满足 OC＝OD． 方法二：在 OA、OB 上截取 OC₀＝OD₀，则△OC₀D₀ 是等腰三角形，∠OC₀D₀＝∠OD₀C₀；过 P 作 C₀D₀ 的平行线交 OA、OB 于 C、D，由两直线平行、同位角相等得∠OCD＝∠OC₀D₀、∠ODC＝∠OD₀C₀，所以∠OCD＝∠ODC，故 OC＝OD（等角对等边）． （2）作法：①在 OA 上取两点 X₁、X₂，分别以 PX₁、PX₂ 为边作等边三角形 PX₁Y₁、PX₂Y₂（两个三角形的顶点 Y₁、Y₂ 在直线 OA 的同一侧，且偏向 OB）；②作直线 Y₁Y₂，交 OB 于点 D；③以 PD 为边作等边三角形 PDC，使点 C 落在射线 OA 上．则 PC＝PD 且∠CPD＝60°，△PCD 为等边三角形． 理由：由 PX₁＝PY₁、PX₂＝PY₂、∠X₁PY₁＝∠X₂PY₂＝60°，得∠X₁PX₂＝∠Y₁PY₂（两边都加上或减去同一个角∠X₂PY₁），所以△PX₁X₂≌△PY₁Y₂（SAS），∠PX₂X₁＝∠PY₂Y₁．这说明直线 Y₁Y₂ 与直线 OA 对应：OA 上任意一点 X 以 PX 为边（按同一方向）所作等边三角形的顶点 Y 都落在直线 Y₁Y₂ 上．因此取 D 为 Y₁Y₂ 与 OB 的交点后，以 PD 为边作等边三角形，其第三个顶点 C 必落在 OA 上，符合要求． 17．【答案】（1）作 AB 的垂直平分线交 AC 于 E；（2）作∠C 的平分线、再平分一次得 1/4∠C，在 AB 同侧作∠EAB＝∠EBA＝90°−1/4∠C，两射线交点即 E． 【解析】（1）若 AE＝BE，则∠ABE＝∠A，而∠BEC 是△ABE 的外角，所以∠BEC＝∠A＋∠ABE＝2∠A．故 E 是 AB 的垂直平分线与 AC 的交点． （2）作等腰△ABE，使 EA＝EB 且顶角∠AEB＝1/2∠C：此时底角∠EAB＝∠EBA＝½(180°−1/2∠C)＝90°−1/4∠C，顶角∠AEB＝1/2∠C，符合要求． 作法：①作∠ACB 的平分线得 1/2∠C，再平分一次得 1/4∠C；②在 AB 的某一侧，分别以 A、B 为顶点作直角（作 AB 的垂线），再在直角内部作 1/4∠C 的等角，余下的两边分别记为射线 AM、BN，则∠MAB＝∠NBA＝90°−1/4∠C；③AM 与 BN 的交点即为 E（在 AB 的另一侧同理可得另一点）． 18．【答案】（1）以 O 为圆心、任意长为半径作弧交 OA、OB 于 M、N；分别以 M、N 为圆心、大于 1/2MN 的长为半径作弧，两弧交于 P，作射线 OP 即为所求；（2）见解析． 【解析】（1）略（基本作图：作已知角的平分线）． （2）因为 OP 平分∠AOB，所以∠EOC＝∠FOC；又 OC⊥EF，所以∠OCE＝∠OCF＝90°；OC 为公共边，故△OCE≌△OCF（ASA），所以 CE＝CF，即点 C 是 EF 的中点． 二、过定点作满足条件的直线 第 19～36 题 19．【答案】作线段 AB 的垂直平分线，再作 m、n 所成角的平分线，其交点即为发射塔的位置． 【解析】到 A、B 距离相等的点在 AB 的垂直平分线上；到 m、n 距离相等的点在 m、n 所成角的两条平分线上．两线的交点同时满足两个条件，即为所求（一般有 1 至 2 个符合实际位置的点，取 S 区内的一点）． 20．【答案】（1）以 D 为圆心、DA 为半径作弧交射线 BC 于 F，连接 AF，作 AF 的垂直平分线交 AC 于 E；（2）∠B＝35°． 【解析】（1）翻折后 DA＝DF，故 F 在以 D 为圆心、DA 为半径的圆上，且 F 在射线 BC 上；又翻折时 DE 是折痕，DE 垂直平分 AF，故 E 为 AF 的垂直平分线与 AC 的交点． （2）设∠A＝α．翻折得∠DFE＝∠A＝α，∠AED＝∠FED．因为∠AEF＝160°，所以∠AED＝80°，于是∠ADE＝180°－α－80°＝100°－α，∠FDE＝∠ADE＝100°－α． 因为 A、D、B 在同一条直线上，所以∠FDB＝180°－2(100°－α)＝2α－20°． 又 FD 平分∠EFB，所以∠DFB＝∠DFE＝α．在△DFB 中，∠B＝180°－α－(2α－20°)＝200°－3α． 而在 Rt△ABC 中∠B＝90°－α，故 200°－3α＝90°－α，解得 α＝55°，所以∠B＝35°． 21．【答案】（1）作∠BAC 的平分线 AD，过 B 作 AD 的平行线交射线 AC 于 E；（2）过 P 作∠BAC 平分线的垂线，即为所求直线 MN． 【解析】（1）因为 BE∥AD，所以∠EBA＝∠DAB＝1/2∠BAC，即∠BAC＝2∠EBA． （2）若 AM＝AN，则△AMN 是等腰三角形，其底边 MN 的垂直平分线就是∠BAC 的平分线，故 MN 与角平分线垂直．过 P 作∠BAC 平分线的垂线，与 AB、AC 分别交于 M、N，由对称性得 AM＝AN． 22．【答案】（1）作 OP 的垂直平分线，分别交 OA、OB 于 C、D；（2）过 P 作 PC⊥OA 于 C，在直线 OB 上取点 G 使 OG＝|OC－PC|，再作 PG 的垂直平分线交 OB 于 D． 【解析】（1）因为 C 在 OP 的垂直平分线上，所以 PC＝OC；同理 PD＝OD．两式相加即得 PC＋PD＝OC＋OD，四边形 CODP 满足要求． （2）过 P 作 PC⊥OA 于 C，此时四边形在 C 处有一个直角．要使 PC＋PD＝OC＋OD，即 PD＝OD＋(OC－PC)． 在直线 OB 上取点 G，使 OG＝|OC－PC|：若 OC＞PC，取 G 在射线 OB 的反向延长线上，则 DG＝OD＋OG＝OD＋(OC－PC)；若 OC＜PC，取 G 在射线 OB 上，则 DG＝|OD－OG|＝OD－(PC－OC)＝OD＋(OC－PC)．于是条件化为 PD＝DG，即点 D 在 PG 的垂直平分线上，故作 PG 的垂直平分线交 OB 于 D 即可． 23．【答案】（1）作 BC＝a，分别以 B、C 为圆心、b 为半径作弧，两弧交于 A，连接 AB、AC；（2）作 AB＝b，过 A 作 AB 的垂线并截取 AD＝a，过 D 作 AB 的平行线，以 A 为圆心、b 为半径作弧与该平行线交于 C，连接 AC、BC． 【解析】（1）由作图得 AB＝AC＝b，BC＝a，即为所求等腰三角形． （2）由作图得 AB＝AC＝b（AC 为半径 b 的弧上的点），且点 C 到直线 AB 的距离等于 AD＝a，即 AB 边上的高为 a，符合要求． 24．【答案】（1）在∠ACB 内部作∠ACM＝∠ABC，射线 CM 交 AB 于 M；（2）作 AC 的垂直平分线交 BC 于 N． 【解析】（1）由作图∠ACM＝∠ABC．因为∠AMC 是△MBC 的外角，所以∠AMC＝∠MBC＋∠MCB＝∠ABC＋(∠ACB−∠ACM)＝∠ACB．（由 AC＜AB＜BC 知∠B 最小，故射线 CM 落在∠ACB 内部，必与 AB 相交．） （2）因为 N 在 BC 上，所以 NB＋NC＝BC．由 NA＋NB＝BC 得 NA＝NC，即 N 在 AC 的垂直平分线上．故作 AC 的垂直平分线交 BC 于 N． 25．【答案】（1）作 AB 的垂直平分线交射线 AC 于 D；（2）作∠BAC 的平分线，过 B 作它的平行线交射线 AC 于 E． 【解析】（1）因为 DA＝DB，所以 D 在 AB 的垂直平分线上，取该垂直平分线与射线 AC 的交点即可． （2）设∠BAC 的平分线为 AF，过 B 作 BE∥AF，则∠EBA＝∠FAB＝1/2∠BAC，所以∠BAC＝2∠EBA． 26．【答案】作线段 PQ 的垂直平分线，再作 l₁、l₂ 所成角的平分线，两线的交点即为发射塔的位置． 【解析】到 P、Q 距离相等的点在 PQ 的垂直平分线上；到 l₁、l₂ 距离相等的点在 l₁、l₂ 所成角的平分线上．同时满足两个条件的点就是两线的交点，在图上标出该点即得发射塔的位置． 27．【答案】（1）见解析；（2）在 OM 上截取 OA、OC，在 ON 上截取 OB＝OA、OD＝OC（A 与 C 不重合），连接 AD、BC 交于点 P，作射线 OP 即为∠MON 的平分线． 【解析】（1）由 OA＝OB，∠O＝∠O，OD＝OC 得△OAD≌△OBC，所以∠OAD＝∠OBC，AD＝BC． 又 AC＝OA－OC＝OB－OD＝BD，∠PCA＝∠PDB（对顶角，且∠OCD＝∠ODC），所以△PAC≌△PBD（AAS），故 PA＝PB． （2）按上述方法作图，由（1）得 PA＝PB；再由 OA＝OB，OP＝OP 得△OAP≌△OBP，所以∠AOP＝∠BOP，即 OP 平分∠MON． 28．【答案】（1）作 BC 的垂直平分线交 AC 于 M；（2）作直线 AB 与直线 CD 所成角的平分线交 AC 于 N． 【解析】（1）BM＝CM 即 M 到 B、C 距离相等，故 M 在 BC 的垂直平分线上． （2）因为 AB＝CD，所以 S△ABN＝S△CDN 等价于点 N 到直线 AB 的距离等于点 N 到直线 CD 的距离，即 N 在直线 AB 与 CD 所成角的平分线上（若 AB∥CD，则取到两直线距离相等的平行线）．该平分线与 AC 的交点即为 N． 29．【答案】方法一：作 60° 角后连续平分两次；方法二：作 45° 角与 30° 角，取其差． 【解析】方法一：①以 O 为圆心、任意长为半径作弧交 OA 于 P；②以 P 为圆心、同长为半径作弧交前弧于 Q，则∠QOA＝60°；③作∠QOA 的平分线得 30°；④再平分 30° 角即得 15°． 方法二：①在 OA 上取点 P，过 P 作 OA 的垂线，在其上取 PQ＝OP，则∠QOP＝45°；②在∠QOP 内部作∠POR＝30°（用 60° 角的平分线得到）；③则∠ROA＝45°－30°＝15°． 30．【答案】（1）（2）作法相同：①在直线 a 上任取两点 B₁、B₂；②分别以 AB₁、AB₂ 为边作等边三角形 AB₁C₁、AB₂C₂（顶点 C₁、C₂ 同在直线 a、b 之间的一侧）；③作直线 C₁C₂，与直线 b 的交点即 C；④以 AC 为边作等边三角形 ACB，使 B 落在直线 a 上．则△ABC 即为所求的等边三角形． 【解析】作法：①在直线 a 上任取两点 B₁、B₂；②分别以 AB₁、AB₂ 为边作等边三角形 AB₁C₁、AB₂C₂（顶点 C₁、C₂ 在直线 a、b 之间的同一侧）；③作直线 C₁C₂，设它与直线 b 交于点 C；④以 AC 为边作等边三角形 ACB，使点 B 落在直线 a 上． 理由：由 AB₁＝AC₁、AB₂＝AC₂、∠B₁AB₂＝∠C₁AC₂（都等于 60° 与∠C₁AB₂ 的和或差），得△AB₁B₂≌△AC₁C₂（SAS），所以∠AB₂B₁＝∠AC₂C₁，即直线 C₁C₂ 与直线 a 被直线 AC₂、AB₂ 所截得的同位角相等，直线 C₁C₂ 相当于把直线 a 连同其上各点到 A 的连线“转开 60°”所得．于是以 AC 为边作等边三角形 ACB 时，由同样的全等关系，点 B 必落在直线 a 上，且 AB＝AC、∠BAC＝60°，△ABC 是等边三角形，B 在 a 上、C 在 b 上，符合要求． 第（1）（2）两问作法完全相同；第（1）问中 A 到 a、b 的距离相等，此时在 A 两侧各截取一次所得的两个等边三角形关于过 A 且平行于 a 的直线对称，画出其中一个即可． 31．【答案】（1）连接 CM 交 AD 于 K，作直线 BK 交 AC 于 N；（2）连接 CP 交 AD 于 K，作直线 BK 交 CD 于 Q． 【解析】由 AB＝AC，AD⊥BC 知 AD 是△ABC 的对称轴，B 与 C 关于 AD 对称． （1）设 N′ 是 M 关于 AD 的对称点，则 N′ 在 AC 上且 AN′＝AM；又直线 CM 的对称像是直线 BN′，两线都过对称轴上的点 K，故 K＝CM∩AD 也在直线 BN′ 上，于是直线 BK 就是直线 BN′，它与 AC 的交点 N 就是 N′，从而 AM＝AN． （2）同理，P 关于 AD 的对称点 P′ 在 CD 上且 DP′＝DP，于是 BP＝CP′；直线 CP 的对称像是直线 BP′，故 K＝CP∩AD 在直线 BP′ 上，直线 BK 与 CD 的交点 Q 就是 P′，由 BD＝CD 得 BP＝BD－DP＝CD－DQ＝CQ． 32．【答案】（1）作∠ABC 的平分线交 AC 于 D；（2）过 C 作直线 m⊥AC，作 m 与直线 AB 所成角的平分线，交 AC 于 E． 【解析】（1）到 AB、BC 距离相等的点在∠ABC 的平分线上，故 D 为∠ABC 的平分线与 AC 的交点． （2）设 ET⊥AB 于 T，则 ET 是点 E 到直线 AB 的距离；过 C 作直线 m⊥AC，由 E 在 AC 上知 EC⊥m，EC 是点 E 到直线 m 的距离．条件 EC＝ET，即点 E 到直线 m、AB 的距离相等，由角平分线的判定，点 E 在直线 m 与直线 AB 所成角的平分线上． 作法：①过 C 作直线 m⊥AC；②作直线 m 与直线 AB 所成角的平分线，它与 AC 的交点即 E． 33．【答案】作∠BAC 的平分线与 AB 的垂直平分线，其交点即为圆心 P，以 PA 为半径作圆． 【解析】圆心 P 到 AB、AC 距离相等，故 P 在∠BAC 的平分线上；⊙P 经过 A、B 两点，故 PA＝PB，P 在 AB 的垂直平分线上．两线的交点就是圆心 P，以 PA 为半径作圆即为所求． 34．【答案】（1）作 BC 的垂直平分线 l，在 l 上取点 A 使 A 到 BC 的距离为 h，连接 AB、AC；（2）作与 BC 平行且距离为 h 的直线 m，以 B 为圆心、BC 为半径作弧交 m 于 A，连接 AB、AC． 【解析】（1）A 在 BC 的垂直平分线上，故 AB＝AC；A 到 BC 的距离即 BC 边上的高，等于 h，符合要求． （2）A 到 BC 的距离为 h，即 BC 边上的高为 h；又 AB＝BC（A 在以 B 为圆心、BC 为半径的圆上），故△ABC 是以 BC 为腰的等腰三角形． 35．【答案】（1）见解析；（2）在 a 上任取一点 A，过 A 作 AH⊥b 于 H，以 AH 为边作等边三角形得 60° 角、再平分得 30°，作∠HAB＝30° 交 b 于 B，再取 HC＝HB 得 C，连接 AB、AC． 【解析】（1）因为△ABC 是等边三角形，所以∠A＝∠C＝60°．由 DE∥AC 得∠BDE＝∠A＝60°，∠BED＝∠C＝60°，所以△DBE 的三个角都是 60°，即△DBE 是等边三角形． （2）若△ABC 是等边三角形且 B、C 都在直线 b 上，则 A 在 BC 的垂直平分线上，该垂直平分线垂直于 b，设垂足为 H，则 H 是 BC 的中点，且∠BAH＝½∠BAC＝30°． 作法：①在 a 上任取一点 A；②过 A 作 AH⊥b 于 H；③以 AH 为边作等边三角形 AHQ 得 60° 角，再作其平分线得 30° 角，在 b 上作∠HAB＝30°，射线与 b 交于 B；④在 b 上取点 C，使 HC＝HB（C 与 B 在 H 的两侧）；⑤连接 AB、AC． 理由：由 AH⊥BC 且 HB＝HC 知 A 在 BC 的垂直平分线上，所以 AB＝AC；又∠BAH＝∠CAH＝30°，∠BAC＝60°，有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形，故△ABC 为等边三角形，且 A 在 a 上、B、C 在 b 上，符合要求． 36．【答案】方法一：过 P 作∠MAN 平分线的垂线（得 AB＝AC）；方法二：在 AN 上任取 C₀，以 C₀ 为圆心、C₀A 为半径作弧交 AM 于 B₀，过 P 作 B₀C₀ 的平行线（得 CA＝CB）． 【解析】方法一：若 AB＝AC，则△ABC 是等腰三角形，底边 BC 的垂直平分线就是∠MAN 的平分线，所以 BC 与角平分线垂直．过 P 作∠MAN 平分线的垂线，交 AM、AN 于 B、C，由对称性得 AB＝AC． 方法二：若 CA＝CB，则△ABC 是以 CA、CB 为腰的等腰三角形，底角∠CAB＝∠CBA＝∠A（定值），顶角∠ACB＝180°−2∠A（定值），所以所有满足条件的直线 BC 互相平行． 作法：①在 AN 上任取一点 C₀，以 C₀ 为圆心、C₀A 为半径作弧交 AM 于 B₀，连接 B₀C₀（则 C₀A＝C₀B₀）；②过 P 作 B₀C₀ 的平行线，交 AM、AN 于 B、C． 理由：由平行得∠ABC＝∠AB₀C₀＝∠A、∠ACB＝∠AC₀B₀＝180°−2∠A（同位角相等，而等腰△AB₀C₀ 中∠AB₀C₀＝∠B₀AC₀＝∠A），所以∠ABC＝∠CAB，故 CA＝CB（等角对等边），△ABC 是等腰三角形且直线过点 P． 三、等腰、等边与直角三角形的作图 第 37～52 题 37．【答案】（1）作 AD＝a，过 D 作 AD 的垂线 m，以 A 为圆心、b 为半径作弧交 m 于 B、C，连接 AB、AC；（2）作△ABE 使 AB＝a、BE＝b、AE＝2c，取 AE 中点 D，延长 BD 至 C 使 DC＝BD，连接 AC． 【解析】（1）由作图得 AB＝AC＝b，AD⊥BC 且 AD＝a，即底边上的高为 a，符合要求． （2）分析：设 D 是 BC 边上的中点，AD＝c，延长 AD 至 E 使 DE＝AD，连接 BE．由 BD＝CD、∠BDE＝∠CDA（对顶角）、DE＝AD，得△BDE≌△CDA（SAS），所以 BE＝CA＝b．这说明△ABE 的三边 AB＝a、BE＝b、AE＝2AD＝2c 都是已知线段，可以先用“三边作三角形”作出它，再反过来确定 C． 作法：①作△ABE，使 AB＝a、BE＝b、AE＝2c（2c 由“作一条线段等于 c 的两倍”得到）；②作 AE 的垂直平分线，得中点 D；③延长 BD 至 C，使 DC＝BD；④连接 AC、CD． 验证：AD＝DE、BD＝DC、∠ADB＝∠EDC（对顶角），所以△ADC≌△EDB（SAS），故 AC＝EB＝b，且 D 是 BC 的中点，即 AD＝c 是 BC 边上的中线，又 AB＝a，符合要求． 38．【答案】（1）作 A 关于 MN 的对称点 A′，连接 A′B 交 MN 于 P；（2）以 A 为圆心、AB 为半径作弧交 MN 于 B₁，作 BB₁ 的垂直平分线交 MN 于 Q． 【解析】（1）由对称得∠A′PN＝∠APM；又 A′、P、B 三点共线，∠A′PN 与∠BPN 是对顶角，所以∠APM＝∠BPN． （2）作 A 关于 MN 的对称点 A′，则∠AQM＝∠A′QM．要使∠AQM＝∠AQB，就是要 QA 平分∠MQB，即 QB 关于直线 QA 的对称线落在 QM 上，设 B 关于 QA 的对称点为 B′，则 B′ 在 MN 上且 AB′＝AB． 作法：①以 A 为圆心、AB 为半径作弧，交 MN 于 B₁；②作 BB₁ 的垂直平分线，它与 MN 的交点即 Q．因为 AB＝AB₁，这条垂直平分线过点 A，由对称性得∠AQB＝∠AQB₁＝∠AQM． 39．【答案】①在直线 a 上取两点 A₁、A₂，过 P 分别作 PA₁、PA₂ 的垂线，并在垂线上朝 b 的一侧截取 PB₁＝PA₁、PB₂＝PA₂；②作直线 B₁B₂，与 b 的交点即 B；③过 P 作 PB 的垂线，在垂线上朝 a 的一侧截取 PA＝PB．按垂线的两种截取方向各作一次，即得两个不全等的等腰直角三角形． 【解析】分析：设 PA＝PB 且 PA⊥PB，则 B 由 A“转过 90°”得到；当 A 沿直线 a 运动时，B 落在一条固定直线上．用全等刻画这条直线： 作法：①在直线 a 上取两点 A₁、A₂；②过 P 分别作 PA₁、PA₂ 的垂线，在垂线上朝 b 的一侧截取 PB₁＝PA₁、PB₂＝PA₂，则△PA₁B₁、△PA₂B₂ 都是等腰直角三角形；③因为∠A₁PB₁＝∠A₂PB₂＝90°，所以∠A₁PA₂＝∠A₁PB₂−90°＝∠B₁PB₂（等量减等量），又 PA₁＝PB₁、PA₂＝PB₂，得△PA₁A₂≌△PB₁B₂（SAS）；④作直线 B₁B₂，它与 b 的交点即 B；⑤过 P 作 PB 的垂线，在垂线上朝 a 的一侧截取 PA＝PB，由与③同样的全等关系知 A 落在直线 a 上，且 PA＝PB、PA⊥PB，△PAB 为等腰直角三角形． 垂线有两种截取方向，各作一次即得两个三角形，它们一般不全等，按要求各画一个即可． 40．【答案】（1）①HL 证 Rt△ABM≌Rt△DEN，得 BM＝EN，故 BC＝EF，再证全等；②SAS 证△ABM≌△DEN，得 AB＝DE，再用 SSS；（2）先作△ACM（AC＝a、AM＝a/2、CM＝m），再延长 AM 到 B 使 MB＝a/2；（3）用 SSS 证△BCM≌△EFN，得∠B＝∠E，再证全等． 【解析】（1）①因为 AB＝AC，AM 是底边 BC 上的中线，所以 AM⊥BC．同理 DN⊥EF．在 Rt△ABM 和 Rt△DEN 中，AB＝DE，AM＝DN，由 HL 得 Rt△ABM≌Rt△DEN，所以 BM＝EN，于是 BC＝2BM＝2EN＝EF．再由 AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF 得△ABC≌△DEF． ②因为 BC＝EF，AM、DN 是中线，所以 BM＝EN．又 AM＝DN，∠AMB＝∠DNE＝90°，由 SAS 得△ABM≌△DEN，所以 AB＝DE，从而 AC＝DF．再由 BC＝EF 得△ABC≌△DEF（SSS）． （2）因为 AB＝AC＝a，M 是 AB 的中点，所以 AM＝1/2a，AC＝a，CM＝m，△ACM 的三边已知． 作法：①作△ACM，使 AC＝a，AM＝1/2a，CM＝m；②延长 AM 至 B，使 MB＝AM＝1/2a；③连接 BC．则 AB＝a＝AC，M 为 AB 的中点，CM 即为腰 AB 上的中线，△ABC 即为所求． （3）因为 CM、FN 分别是 AB、DE 上的中线，所以 BM＝1/2AB，EN＝1/2DE．又 BC＝EF，CM＝FN，BM＝EN，由 SSS 得△BCM≌△EFN，所以∠B＝∠E．再由 AB＝DE，BC＝EF 得△ABC≌△DEF（SAS）． 41．【答案】（1）作∠ABC 的平分线交 AC 于 D；（2）作 AC 的垂直平分线交 BC 于 E． 【解析】（1）略（基本作图）． （2）若 EA＝EC，则∠EAC＝∠C，而∠AEB 是△AEC 的外角，所以∠AEB＝∠EAC＋∠C＝2∠C．故 E 是 AC 的垂直平分线与 BC 的交点． 42．【答案】（1）64；（2）见解析；（3）作 BC＝a，作 BC 的垂直平分线，在其上取点 A 使 A 到 BC 的距离为 1/2b． 【解析】（1）由 AB＝AC，∠B＝26° 得∠C＝26°，所以∠A＝180°－52°＝128°，于是∠D＝180°－128°＝52°．又 DE＝DF，所以∠E＝(180°－52°)÷2＝64°． （2）作 CG⊥AB 于 G、FH⊥DE 于 H（若垂足在边的延长线上，证法相同）．不妨设∠BAC≥90°，则∠D≤90°，且∠CAG＝180°−∠BAC＝∠D（∠CAG 与∠BAC 互补）．在△ACG 与△DFH 中：∠AGC＝∠DHF＝90°，∠CAG＝∠FDH，AC＝DF，由 AAS 得△ACG≌△DFH，所以 CG＝FH，即两个三角形在等底 AB、DE 上的高相等；又 AB＝DE，由 S＝½×底×高 得 S△ABC＝½·AB·CG＝½·DE·FH＝S△DEF．（若∠BAC＜90°，则∠D＞90°，此时 FH 在形外、CG 在形内，同理可证．） （3）△ABC 是以 BC＝a 为底、高为 1/2b 的等腰三角形，故顶点 A 在 BC 的垂直平分线上，且到 BC 的距离为 1/2b． 作法：①作线段 BC＝a；②作 BC 的垂直平分线 l，交 BC 于 M；③在 l 上截取 MA＝1/2b（先作 b 的垂直平分线得 1/2b）；④连接 AB、AC，点 A 即为所求． 43．【答案】方法一：作 AB＝m，过 B 作 AB 的垂线 l，以 A 为圆心、2n 为半径作弧交 l 于 C；方法二：先作 Rt△EFG（∠E＝90°，EF＝m，斜边 FG＝2n）得 EG＝√(4n²−m²)；作 AB＝m，过 B 作 AB 的垂线并截取 BC＝EG，连接 AC． 【解析】先证引理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 引理的证明：设 Rt△ABC 中∠B＝90°，O 是斜边 AC 的中点，延长 BO 至 D 使 OD＝OB，连接 AD、CD．由 OA＝OC、∠AOD＝∠COB（对顶角）、OD＝OB 得△AOD≌△COB（SAS），所以 AD＝BC，且∠DAO＝∠OCB（内错角相等），得 AD∥BC；同理△COD≌△AOB（SAS），得 CD＝AB 且 CD∥AB．由 AD∥BC 得∠DAB＝180°−∠ABC＝90°；在 Rt△DAB 中由勾股定理 BD²＝AD²＋AB²＝BC²＋AB²＝AC²（Rt△ABC 中勾股定理），所以 BD＝AC，即 2BO＝AC，BO＝½AC．引理得证． 于是“AC 边上的中线长为 n”等价于“斜边 AC＝2n”． 方法一：①作线段 AB＝m；②过 B 作直线 l⊥AB；③以 A 为圆心、2n 为半径作弧交 l 于 C；④连接 AC、BC．则∠B＝90°，AB＝m，AC＝2n，由引理，AC 边上的中线长为 ½AC＝n，符合要求． 方法二：①作线段 EF＝2n，过 E 作 EF 的垂线，以 F 为圆心、2n 为半径作弧交垂线于 G，则 Rt△EFG 中 EG²＝FG²−EF²＝4n²−m²；②作线段 AB＝m，过 B 作 AB 的垂线 l，在 l 上截取 BC＝EG；③连接 AC、BC．由勾股定理 AC²＝AB²＋BC²＝m²＋(4n²−m²)＝4n²，所以 AC＝2n，且∠B＝90°，由引理 AC 边上的中线长为 n，符合要求． 44．【答案】作 BC＝a，作 BC 的垂直平分线交 BC 于 M，在垂直平分线上截取 MA＝b，连接 AB、AC． 【解析】作法：①作线段 BC＝a；②作 BC 的垂直平分线，交 BC 于 M；③在垂直平分线上截取 MA＝b；④连接 AB、AC． 说明：由作图 A 在 BC 的垂直平分线上，故 AB＝AC；AM⊥BC 且 AM＝b，即底边 BC 上的高为 b，符合要求． 45．【答案】（1）作 AB，以 A 为顶点作∠BAC＝120°，在射线 AC 上截取 AC＝AB，连接 BC；（2）作 BC，分别以 B、C 为顶点在 BC 同侧作 30° 角，两射线交于 A． 【解析】（1）作法：①作线段 AB；②以 A 为顶点、AB 为一边作 120° 角（先作 60° 角，再加一个 60° 角，或用 180° 角减去 60° 角）；③在另一边上截取 AC＝AB；④连接 BC．则 AB＝AC，∠A＝120°． （2）因为∠A＝120°，所以∠B＝∠C＝30°．作法：①作线段 BC；②分别以 B、C 为顶点，在 BC 的同侧作∠CBM＝30°、∠BCN＝30°（先作 60° 角，再作其平分线），两射线交于点 A；③连接 AB、AC．则∠B＝∠C＝30°，∠A＝180°－30°－30°＝120°，且 AB＝AC． 46．【答案】（1）过 P 作 PH⊥l 于 H，以 H 为圆心、PH 为半径作弧交 l 于 A、B；（2）过 P 作 PH⊥l 于 H，以 PH 为边作等边三角形 PHQ，作∠HPQ 的平分线交 l 于 A，再取 HB＝HA． 【解析】由 PA＝PB 且 A、B 在直线 l 上，得△PAB 是等腰三角形，PH⊥l 的垂足 H 是 AB 的中点（三线合一）． （1）∠APB＝90° 时，△PAB 是等腰直角三角形，底角∠A＝45°；Rt△PHA 中∠APH＝45°＝∠A，所以 PH＝HA（等角对等边）．故过 P 作 PH⊥l 于 H，以 H 为圆心、PH 为半径作弧交 l 于 A、B，即为所求． （2）∠APB＝60° 且 PA＝PB 时，△PAB 是等边三角形．作法：过 P 作 PH⊥l 于 H；以 PH 为边作等边三角形 PHQ（Q 与直线 l 在 PH 的同侧），作∠HPQ 的平分线交 l 于 A，再取 HB＝HA 得 B．理由：∠HPA＝30°，PH⊥l，Rt△PHA 中∠PAH＝60°；由 PH 垂直平分 AB 得 PA＝PB，且 Rt△PHA≌Rt△PHB（SAS），∠BPH＝30°，所以∠APB＝60°，符合要求． 47．【答案】（1）作 BC＝a，分别以 B、C 为顶点在 BC 同侧作∠α，两射线交于 A；（2）作 AH＝a，过 H 作 AH 的垂线 l，过 A 作射线与 AH 成(90°－α)角交 l 于 D，在 l 上取 HE＝HD． 【解析】（1）作法：①作线段 BC＝a；②分别以 B、C 为顶点、BC 为一边，在 BC 的同侧作∠CBM＝∠α、∠BCN＝∠α，两射线交于点 A，连接 AB、AC．则∠B＝∠C＝∠α，AB＝AC，符合要求． （2）等腰三角形底边上的高平分顶角，顶角＝180°－2∠α，所以高与腰的夹角为 90°－∠α．作法：①作线段 AH＝a；②过 H 作 AH 的垂线 l；③以 A 为顶点、AH 为一边作直角，再在直角内部作∠α 的等角，余下的角即 90°－∠α，记其另一边为射线 AD，AD 交 l 于 D；④在 l 上取 E，使 HE＝HD 且 E 在 H 的另一侧；⑤连接 AD、AE．则 DE＝2HD，AH 是 DE 上的高，且∠ADE＝∠AED＝∠α，符合要求． 48．【答案】（1）略；（2）①DE＝15/8；②∠CAD＜∠BAD． 【解析】（1）分别以 A、B 为圆心、大于 1/2AB 的长为半径作弧，两弧交于两点，过这两点作直线，与 BC、AB 的交点即为 D、E． （2）①由 AC＝3，BC＝4，∠C＝90° 得 AB＝5（勾股定理），所以 BE＝½AB＝5/2． 设 CD＝x，则 BD＝4−x．因为 DE 垂直平分 AB，所以 DA＝DB＝4−x（线段垂直平分线上的点到两端距离相等）．在 Rt△ACD 中由勾股定理：AD²＝AC²＋CD²，即 (4−x)²＝9＋x²，解得 x＝7/8，所以 BD＝4−7/8＝25/8． 在 Rt△BDE 中，BE＝5/2、BD＝25/8，由勾股定理 DE²＝BD²−BE²＝625/64−400/64＝225/64，所以 DE＝15/8． ②∠CAD＜∠BAD．理由：因为 DE 是 AB 的垂直平分线，所以 DA＝DB，∠DAB＝∠B．又∠C＝90°，所以∠A＋∠B＝90°，于是∠CAD＝∠A－∠DAB＝∠A－∠B＝90°－2∠B． 下面说明∠CAD＜30°：取 AD 的中点 M，连接 CM，由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”（见第 43 题引理）得 CM＝½AD＝25/16＞CD＝14/16．在△MCD 中，CD＜MD，所以∠CMD＜∠MDC（大边对大角）；又 CM＝MD，得∠MCD＝∠MDC，于是 3∠CMD＜∠CMD＋∠MCD＋∠MDC＝180°，∠CMD＜60°．再由 AM＝CM 知△ACM 是等腰三角形，∠ACM＝∠CAM＝∠CAD，所以∠MCD＝90°−∠CAD＞60°，得∠CAD＜30°． 于是 90°−2∠B＝∠CAD＜30°＜∠B，即∠CAD＜∠BAD． 49．【答案】作△ABC 两边的垂直平分线，它们的交点即为点 P． 【解析】若△PAB、△PBC、△PCA 都是等腰三角形，只需 PA＝PB＝PC，此时三个三角形都以 P 为顶点的等腰三角形．到 A、B 距离相等的点在 AB 的垂直平分线上，到 B、C 距离相等的点在 BC 的垂直平分线上，故作两条边的垂直平分线，其交点 P 满足 PA＝PB＝PC，即为所求的点 P． 50．【答案】方法一：以 A 为顶点作∠KAB＝60°（借助等边三角形），过 B 作 BK⊥AK 于 K，则△ABK 即为所求；方法二：以 AB 为边作等边三角形 ABD，作 BD 的垂直平分线得 BD 的中点 E，连接 AE，则△ABE 即为所求． 【解析】方法一：①以 AB 为边作等边三角形 ABQ，得 60° 角；②以 A 为顶点、AB 为一边作∠KAB＝60°，作射线 AK；③过 B 作 BK⊥AK，垂足为 K，连接 AK、BK．则△ABK 中∠AKB＝90°，∠KAB＝60°，由内角和得∠ABK＝30°，且斜边为 AB，符合要求． 方法二：①以 AB 为边作等边三角形 ABD；②作 BD 的垂直平分线，垂足为 E（E 是 BD 的中点）；③连接 AE．则等边△ABD 中 AE 是中线，由三线合一得 AE⊥BD，即∠AEB＝90°；∠B＝60°，所以∠BAE＝30°，斜边为 AB，符合要求． 51．【答案】方法一：分别以 A、B 为顶点在 AB 同侧作 45° 角，两射线交于 C；方法二：作 AB 的垂直平分线交 AB 于 O，以 O 为圆心、OA 为半径作弧交垂直平分线于 C，连接 AC、BC． 【解析】方法一：①作线段 AB；②分别以 A、B 为顶点、AB 为一边，在 AB 的同侧作 45° 角（先作 90° 再平分），两射线交于点 C．则∠A＝∠B＝45°，由内角和得∠ACB＝90°，且两底角相等，所以 AC＝BC（等角对等边），符合要求． 方法二：①作 AB 的垂直平分线，垂足为 O（O 是 AB 的中点）；②以 O 为圆心、OA 为半径作弧，交垂直平分线于点 C；③连接 AC、BC．则 OC⊥AB 且 OC＝OA＝OB：△AOC 中∠AOC＝90°、OA＝OC，得∠OAC＝45°；同理∠OBC＝45°，所以∠ACB＝180°−45°−45°＝90°，且 OC 垂直平分 AB 得 AC＝BC，符合要求． 52．【答案】方法一：作 AB 的垂直平分线得中点 O，以 O 为圆心、OA 为半径作弧，弧上任意一点（不与 A、B 重合）即为 C；方法二：分别以 A、B 为顶点在 AB 同侧作 45° 角，两条射线的交点即 C． 【解析】方法一：①作 AB 的垂直平分线，垂足为 O（AB 的中点）；②以 O 为圆心、OA 为半径作弧，在弧上任取一点 C（不与 A、B 重合），连接 AC、BC．则 OA＝OB＝OC：△AOC 与△BOC 都是等腰三角形，∠OAC＝∠OCA、∠OBC＝∠OCB；而 A、O、B 共线，∠AOC＋∠BOC＝180°，于是∠OAC＋∠OBC＝½[(180°−∠AOC)＋(180°−∠BOC)]＝90°，所以∠ACB＝180°−90°＝90°，符合要求（弧上每一点都满足）． 方法二：①分别以 A、B 为顶点、AB 为一边，在 AB 的同一侧作 45° 角（先作 90° 再平分），两条射线的交点即 C；②连接 AC、BC．则∠A＝∠B＝45°，由内角和得∠ACB＝90°，符合要求． — — 学科网（北京）股份有限公司 $八年级（上）尺规作图专项练习 · 试题版 八年级（上）尺规作图专项练习 苏科版八年级（上）· 共 52 题 一、基本作图：角平分线、垂直平分线与垂线 第 1～18 题 1．数形结合是数学中的一种重要思想方法，它将抽象的数学语言和直观的几何图形结合起来，通过“以数解形”或“以形助数”的方式，使复杂问题简单化，抽象问题具体化． 算一算：以形助数 （1）如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，过 C 作 CD⊥AB，AD＝1，BD＝2，则 CD＝＿＿＿； 画一画：以数解形 （2）如图，线段 BD＝2AD，过点 D 作直线 l⊥AB，用直尺和圆规在直线 l 上找一点 C，使得∠ACB＝90°，要求使用两种不同方法．（不写作法，保留作图痕迹） 2．在△ABC 中，AB＝AC，直线 l 经过点 A，且与 BC 平行．仅用圆规完成下列画图．（保留画图痕迹，不写作法） （1）如图①，在直线 l 上画出一点 P，使得∠APC＝∠ACB； （2）如图②，在直线 l 上画出所有的点 Q，使得∠AQC＝1/2∠ACB． 3．已知 P 为直线 l 外一点，利用直尺和圆规在 l 上作点 A、B，分别满足下列条件．（保留作图痕迹，不写作法） （1）在图①中，PA＝PB，∠APB＝90°； （2）在图②中，PA＝PB，∠APB＝60°． 4．如图，已知∠AOB＝20°，点 C 是 AO 上一点，在射线 OB 上求作一点 F，使得∠CFO＝40°．（尺规作图，保留作图痕迹，并说明理由） 5．已知：如图，线段 AC 和射线 AB 有公共端点 A． 求作：点 P，使点 P 在射线 AB 上，且△ACP 为等腰三角形．（利用无刻度的直尺和圆规作出所有符合条件的点 P，不写作法，保留作图痕迹） 6．如图，已知点 P 为∠ABC 内一点，用两种不同方法利用直尺和圆规确定一条过点 P 的直线，分别交 AB，BC 于点 E，F，使得 BE＝BF．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 7．如图，已知△ABC（AC＜AB＜BC），请用无刻度的直尺和圆规，完成下列作图（不要求写作法，保留作图痕迹）． （1）在 AB 边上寻找一点 M，使得点 M 到 AC、BC 的距离相等； （2）在 BC 边上寻找一点 N，使得 NA＋NB＝BC． 8．如图，有公路 l₁ 同侧、l₂ 异侧的两个城镇 A、B，电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇 A、B 的距离必须相等，到两条公路 l₁、l₂ 的距离也必须相等，发射塔 C 应修建在什么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点，注明点 C 的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 9．已知：如图，AB＝AC，AD＝AE，BE 与 CD 相交于点 P． （1）求证：PC＝PB； （2）求证：∠CAP＝∠BAP； （3）利用（2）的结论，用直尺和圆规作∠MON 的平分线．（不写作法，保留作图痕迹） 10．如图，在 Rt△ABC 中，试利用直尺和圆规作图（不写作法，保留作图痕迹）． （1）在 BC 边上求作一点 P，使得点 P 到 AB 的距离（PD 的长）等于 PC 的长； （2）作出（1）中的线段 PD． 11．作图题（要求：画出图形，保留作图痕迹）已知∠AOB 及其内部一点 P． （1）如图 1，若点 P 在∠AOB 的角平分线上，过点 P 作直线分别交 OA、OB 于点 C、D，使△OCD 为等腰三角形，且 CD 是底边； （2）若点 P 不在∠AOB 的角平分线上（如图 2），请你在图 2 中过点 P 作直线，分别交 OA、OB 于点 C、D，使△OCD 为等腰三角形，且 CD 是底边． 12．尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）． （1）如图 1，在边 BC 找一点 P，使得点 P 到边 AB、AC 距离相等； （2）如图 2，在直线 l 上求作一点 P，使点 P 到 A、B 两点的距离之和最短． 13．在△ABC 中，D 为 BC 边上一点． （1）如图①，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，将△ABC 沿着 AD 折叠，点 C 落在 AB 边上．请用直尺和圆规作出点 D（不写作法，保留作图痕迹）； （2）如图②，将△ABC 沿着过点 D 的直线折叠，点 C 落在 AB 边上的 E 处，若 DE⊥AB，垂足为 E，请用直尺和圆规作出点 D（不写作法，保留作图痕迹）． 14．（1）如图 1，在△ABC 中，AB＝AC，直线 l 经过点 A，且与 BC 平行，请在直线 l 上作出所有的点 Q，使得∠AQC＝1/2∠ACB；（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹） （2）如图 2，已知四边形 ABCD，请用直尺和圆规在边 BC 上求作一点 P，使∠APB＝∠CPD．（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹） 15．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，按下列要求用直尺和圆规作图．（不写作法，保留作图痕迹） （1）如图①，在边 BC 上求作一点 P，使点 P 到点 C 的距离等于点 P 到边 AB 的距离； （2）如图②，在边 AB 上求作一点 Q，使点 Q 到点 A 的距离等于点 Q 到边 BC 的距离． 16．尺规作图： （1）已知点 P 是∠AOB 的内部一点，过点 P 用直尺和圆规作直线 CD，直线 CD 交 OA、OB 分别为点 C、D，使 OC＝OD．（两种方法）写出必要文字说明． （2）已知点 P 是∠AOB 的内部一点，过点 P 用直尺和圆规作直线 CD，直线 CD 交 OA、OB 分别为点 C、D，使得△PCD 为等边三角形． 17．（1）在△ABC 中，AB＝AC，在 AC 上确定一个点 E，使得∠BEC＝2∠A．（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹） （2）如图，已知△ABC，在平面内确定一个点 E，使得∠AEB＝1/2∠C．（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹） 18．如图，利用直尺和圆规，读句画图． （1）作∠AOB 的平分线 OP； （2）在 OP 上取一点 C，过点 C 作 OC 的垂线，分别交 OA、OB 于点 E、F．求证：点 C 是 EF 的中点． 二、过定点作满足条件的直线 第 19～36 题 19．如图，电信部门要在 S 区修建一座发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇 A、B 的距离必须相等，到两条高速公路 m 和 n 的距离也必须相等，发射塔应建在什么位置？在图上标出它的位置．（尺规作图） 20．在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，点 D 在 AB 上． （1）在 AC 边上作一点 E，连接 DE，将△ADE 沿 DE 翻折得△FDE，点 A 的对应点 F 恰好落在射线 BC 上（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，FD 平分∠EFB，∠AEF＝160°，求∠B 的度数． 21．如图，已知线段 AB 和射线 AC，用不带刻度的直尺和圆规完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹） （1）在图①中，在射线 AC 上求作一点 E，使得∠BAC＝2∠EBA； （2）如图②，点 P 为∠BAC 内的一个定点．请过点 P 作一条直线 MN，使得直线 MN 分别和射线 AB、AC 交于点 M、N，且 AM＝AN． 22．（1）如图①，点 P 为∠AOB 的内部一点，用直尺和圆规在 OA，OB 上分别作点 C，D，得到四边形 CODP，使得 PC＋PD＝OC＋OD． （2）如图②，点 P 为∠AOB 的内部一点，用直尺和圆规在 OA，OB 上分别作点 C，D，得到四边形 CODP，使得 PC＋PD＝OC＋OD，且四边形有一个角为直角． 23．如图，已知线段 a、b，请按以下要求作出等腰△ABC．（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不用写作法） （1）腰长 AB＝b，底边 BC＝a； （2）腰长 AB＝b，AB 上的高为 a． 24．如图，已知△ABC（AC＜AB＜BC），请用无刻度的直尺和圆规，完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）． （1）如图 1，在 AB 边上寻找一点 M，使∠AMC＝∠ACB； （2）如图 2，在 BC 边上寻找一点 N，使得 NA＋NB＝BC． 25．如图，已知线段 AB 和射线 AC，用不带刻度的直尺和圆规完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹） （1）在图①中，在射线 AC 上求作一点 D，使得 DA＝DB； （2）在图②中，在射线 AC 上求作一点 E，使得∠BAC＝2∠EBA． 26．如图：某通信公司要修建一座信号发射塔，要求发射塔到两城镇 P、Q 的距离相等，同时到两条高速公路 l₁、l₂ 的距离也相等．在图上画出发射塔的位置． 27．（1）已知：如图 1，OA＝OB，OC＝OD，AD 和 BC 相交于点 P．证明：PA＝PB． （2）由第（1）题，你能想到不同于图 2 中用直尺和圆规作角平分线的方法吗？试在图 3 中，用直尺和圆规作出∠MON 的平分线．（不写作法，保留作图痕迹） 28．已知四边形 ABCD，AC 是四边形 ABCD 的对角线，用无刻度的直尺和圆规完成下列作图．（保留作图痕迹，不写作法） （1）如图①，在对角线 AC 上求作一点 M，使 BM＝CM； （2）如图②，AB＝CD，在对角线 AC 上求作一点 N，使△ABN 和△CDN 的面积相等． 29．已知：如图，已知射线 OA，请用直尺、圆规用两种不同方法作∠AOB＝15°．（保留作图痕迹，可做适当文字说明） 30．如图，已知直线 a∥b，点 A 为直线 a、b 之间的一定点，点 B、C 分别在直线 a、b 上，按照下列要求作出等边△ABC．要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹；③写出必要的文字说明． （1）如图，已知点 A 到直线 a、b 的距离相等； （2）如图，已知点 A 为直线 a、b 间任意一点． 31．如图，在△ABC 中，已知 AB＝AC，AD⊥BC 于点 D，仅用无刻度的直尺按要求画图． （1）如图①，点 M 为 AB 上任意一点，在 AC 上找出一点 N，使 AM＝AN； （2）如图②，点 P 为 BD 上任意一点，在 CD 上找出一点 Q，使 BP＝CQ． 32．已知△ABC．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （1）如图①，在 AC 边上找一点 D，使点 D 到 AB 的距离等于 D 到 BC 的距离； （2）如图②，在 AC 边上找一点 E，使点 E 到点 C 的距离等于 E 到 AB 的距离． 33．如图，已知△ABC，请用无刻度的直尺和圆规作⊙P，使圆心 P 到 AB，AC 边的距离相等，且⊙P 经过 A，B 两点．（不写作法，保留作图痕迹，标上相应字母） 34．已知线段 BC 和线段 h． （1）在图 1 中作等腰△ABC，使得 AB＝AC，且 BC 边上的高为 h； （2）在图 2 中作等腰△ABC，使得 AB＝CB，且 BC 边上的高为 h． （尺规作图，保留作图痕迹） 35．如图①，△ABC 是等边三角形，点 D 在线段 AB 上，且 DE∥AC，交 BC 于点 E． （1）证明：△DBE 是等边三角形； （2）如图②，已知两条直线 a∥b，求作等边△ABC，使得点 A 在直线 a 上，点 B 与点 C 在直线 b 上．（用无刻度直尺和圆规作图，保留作图痕迹） 36．过点 P 用两种不同的方法，利用直尺和圆规作直线 l，交∠MAN 两边于 B、C，使得△ABC 为等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法） 三、等腰、等边与直角三角形的作图 第 37～52 题 37．如图，已知线段 a、b，请用无刻度的直尺和圆规作出特定的三角形： （1）求作一个等腰三角形，使得它的腰长为 b，底边上的高为 a． （2）求作一个三角形，使得它的两边长分别为 a、b，第三边上的中线为 c． 38．如图，点 A、点 B 是直线 MN 外同侧的两点，请用无刻度的直尺与圆规完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹） （1）在图 1 中，在直线 MN 上取点 P 使得∠APM＝∠BPN； （2）在图 2 中，在直线 MN 上取点 Q 使得∠AQM＝∠AQB． 39．如图，已知直线 a、b 及点 P．作等腰直角△PAB，使得点 A、B 分别在直线 a、b 上．（尺规作图，保留作图痕迹，并作简要说明） （1）当 a∥b 时，在图①、②中画出△PAB，使得两个三角形不全等． （2）当 a 与 b 不平行时，在图③、④中画出△PAB，使得两个三角形不全等． 40．[问题提出] 学习了三角形全等的判定方法，我们继续对“两个等腰三角形满足一边和一边上的中线对应相等”的情形进行研究． [初步思考] 我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC 和△DEF 中，AB＝AC，DE＝DF，然后，对中线进行分类，可分为“底边上的中线、腰上的中线”两种情况进行探究． [深入探究] 第一种情况：当 AM、DN 分别为边 BC、EF 上的中线时， （1）如图①，在△ABC 和△DEF 中，AB＝AC，DE＝DF， ①若 AB＝DE，AM＝DN，求证：△ABC≌△DEF． ②若 BC＝EF，AM＝DN，求证：△ABC≌△DEF． 请在①和②中任选一个证明． 第二种情况：当 CM、FN 分别为边 AB、DE 上的中线时， （2）如图②，在△ABC 中，AB＝AC，AB＝a，CM＝m，用直尺和圆规画出△ABC． （3）如图③，在△ABC 和△DEF 中，AB＝AC，DE＝DF，BC＝EF，CM＝FN，求证：△ABC≌△DEF． 41．如图，已知△ABC，用不带刻度的直尺和圆规完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹） （1）作∠B 的平分线，交 AC 于点 D； （2）在线段 BC 上求作一点 E，使得∠AEB＝2∠C． 42．如图①，在△ABC 和△DEF 中，AB＝AC＝DE＝DF，∠A＋∠D＝180°． （1）若∠B＝26°，则∠E＝＿＿＿°； （2）求证：△ABC 和△DEF 的面积相等； （3）如图②，已知 BC＝a，EF＝b．用直尺和圆规作点 A 使△ABC 是以 a 为底，1/2b 为高的等腰三角形（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． 43．如图，已知线段 m，n．用两种不同的方法：求作△ABC，使∠B＝90°，AB＝m，AC 边上的中线长为 n．要求：（1）尺规作图；（2）保留作图痕迹，写出必要的文字说明． 44．如图，已知线段 a，b． 求作：等腰△ABC，使得△ABC 的底边 BC 等于 a，底边上的高等于 b．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 45．尺规作图：根据下列条件，分别作等腰△ABC，使得∠A＝120°（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． （1）已知腰 AB； （2）已知底边 BC． 46．已知 P 为直线 l 外一点，利用直尺和圆规在 l 上作点 A、B，分别满足下列条件．（保留作图痕迹，不写作法） （1）在图①中，PA＝PB，∠APB＝90°； （2）在图②中，PA＝PB，∠APB＝60°． 47．如图，已知∠α，线段 a．用直尺和圆规按下列要求作图．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （1）作出一个等腰三角形 ABC，使其底角＝∠α，底边长＝a； （2）作出一个等腰三角形 DEF，使其底角＝∠α，底边上的高＝a． 48．如图，在△ABC 中，∠C＝90°． （1）用直尺和圆规作 AB 边上的垂直平分线 DE，交 BC、AB 于点 D，E．（保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）的条件下，若 AC＝3，BC＝4． ①求 DE 的长． ②连接 AD，判断∠CAD 和∠BAD 的大小，并解释你的观点． 49．已知△ABC，求作点 P，使得点 P 与△ABC 三个顶点中的任意两个顶点连接形成的三角形都是等腰三角形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 50．如图，已知线段 AB，用两种不同的方法作一个含 30° 角的直角三角形 ABC，使其斜边为 AB（用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 51．如图，已知线段 AB．用两种不同的方法作△ABC，使得∠ACB＝90°，且 AC＝BC．要求：（1）尺规作图；（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． 52．如图，已知线段 AB，用两种不同的方法作一点 C，使得∠ACB＝90°．要求：（1）尺规作图；（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． — — 学科网（北京）股份有限公司 $