第9章 因式分解 期中复习单元专题卷 2026-2027学年苏科版八年级数学下册

苏科版 八年级数学 第9章 因式分解 期中复习单元卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1．下列各式从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（　　） A．a（x+y）＝ax+ay B． C．6x2﹣3x＝3x（2x﹣1） D．x2﹣4+3x＝（x﹣2）（x+2）+3x 【分析】因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式。逐项判断变形的结果是否为整式的积。 【解答】解：a（x+y）＝ax+ay是乘法运算，不是因式分解，则A不符合题意， x2﹣2＝x（x）中不是整式，它不是因式分解，则B不符合题意， 6x2﹣3x＝3x（2x﹣1）是把一个多项式化为几个整式的积的形式，它是因式分解，则C符合题意， x2﹣4+3x＝（x﹣2）（x+2）+3x中等号右边不是积的形式，它不是因式分解，则D不符合题意， 故选：C． 2．多项式3a2x2﹣6a4x3各项的公因式是（　　） A．3ax B．3a2x2 C．a2x2 D．3a4x3 【分析】公因式取各项系数的最大公约数，相同字母取最低次幂。 【解答】解：根据题意可知，多项式3a2x2﹣6a4x3各项的公因式为3a2x2． 故选：B． 3．把多项式x2+4x+4分解因式，下列结果正确的是（　　） A．x（x+4）+4 B．（x+2）（x﹣2） C．（x+4）2 D．（x+2）2 【分析】x²+4x+4符合完全平方公式a²+2ab+b²的结构，直接套用。 【解答】解：x2+4x+4＝（x+2）2． 故选：D． 4．若a2+3＝2b，则a3﹣2ab+3a的值为（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．2 【分析】对所求式提公因式a，得a（a²﹣2b+3）；由已知a²+3＝2b推出a²﹣2b+3＝0，整体代入。 【解答】解：∵a2+3＝2b， ∴a2﹣2b＝﹣3， ∴a2﹣2b+3＝a2+3﹣2b＝2b﹣2b＝0， ∴a3﹣2ab+3a＝a（a2﹣2b+3）＝a×0＝0． 故选：A． 5．已知a＝2025x+5，b＝2025x+6，c＝2025x+7，则代数式a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值为（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【分析】利用恒等式a²+b²+c²﹣ab﹣ac﹣bc＝½[（a﹣b）²+（b﹣c）²+（c﹣a）²]，先求a﹣b、b﹣c、c﹣a。 【解答】解：由题意可得： 则a﹣b＝（2025x+5）﹣（2025x+6）＝﹣1， b﹣c＝（2025x+6）﹣（2025x+7）＝﹣1， c﹣a＝（2025x+7）﹣（2025x+5）＝2， 根据恒等式，将上述值代入可得： 3． 故选：A． 6．定义：若整数m，满足m＝x2﹣y2（x，y均为整数），则称m为“平方差数”．下列数中不是平方差数的是（　　） A．5 B．6 C．7 D．9 【分析】m＝x²﹣y²＝（x﹣y）（x+y），设a＝x+y、b＝x﹣y，则a+b＝2x为偶数，故a、b同奇偶。判断各选项能否分解为两个同奇偶整数之积。 【解答】解：m＝x2﹣y2＝（x﹣y）（x+y）， 设a＝x+y，b＝x﹣y，则a+b＝2x是偶数， 所以a、b奇偶性相同（同为奇数或同为偶数）， 选项A．5＝5×1，5和1都是奇数，奇偶性相同， 则， 解得：， ∵32﹣22＝5， ∴5是平方差数，不符合题意； 选项B．∵6＝6×1（一偶一奇，奇偶性不同），6＝3×2（一奇一偶，奇偶性不同），没有两个因数奇偶性相同， ∴6不是平方差数，符合题意； 选项C．7＝7×1，7和1都是奇数，奇偶性相同， 则， 解得：， ∵42﹣32＝7， ∴7是平方差数，不符合题意； 选项D．9＝9×1，9和1都是奇数，奇偶性相同， 则， 解得：， ∵52﹣42＝9， ∴9是平方差数，不符合题意， 故选：B． 7．已知2×3×4×5+1＝121＝112，3×4×5×6+1＝361＝192，4×5×6×7+1＝841＝292…若n为整数，且2026×2027×2028×2029+1＝n2，则n的值为（　　） A．20262+3×2026+1 B．20272+4×2027+1 C．20282+5×2028+1 D．20292+6×2029+1 【分析】观察规律：连续四个整数m（m+1）（m+2）（m+3）+1＝[m（m+3）+1]²，代入m＝2026即可。 【解答】解：因为2×3×4×5+1＝112，其中11＝2×5+1； 3×4×5×6+1＝192，其中19＝3×6+1； 4×5×6×7+1＝292，其中29＝4×7+1， 归纳规律：连续四个整数m×（m+1）×（m+2）×（m+3）+1＝[m（m+3）+1]2， 对于2026×2027×2028×2029+1， 令m＝2026，则： n＝m（m+3）+1 ＝2026×（2026+3）+1， ＝2026×2026+2026×3+1 ＝20262+3×2026+1． 故选：A． 8．定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．将它们按照从小到大的顺序依次排列，就会形成一组“和谐数列”：a1＝32﹣12，a2＝52﹣32，a3＝72﹣52，…，有如下结论： ①a12＝96； ②a1+a2+…+a8是8的倍数； ③m，n为正整数，且m＞n，若（m+7）（m﹣7）+n2﹣2mn是“和谐数”，则m﹣n＝7． 其中正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】①由定义归纳aₙ＝（2n+1）²﹣（2n﹣1）²＝8n；②求和后判断是否为8的倍数；③化简原式为（m﹣n）²﹣49，举反例判断。 ②根据①中找出的规律进行计算即可判断此结论的正误； ③将（m+7）（m﹣7）+n2﹣2mn整理为（m﹣n）2﹣49，把m﹣n＝7代入，求出原式的值0，然后根据“和谐数”的定义即可判断． 【解答】解：根据“和谐数”的定义及因式分解逐项分析判断如下： ①观察“和谐数”可知，设下标为n，则被减数的底数为2n+1，减数的底数为2n﹣1， 即； ∴． 故①正确，符合题意； ②根据①找出的规律知： ， ∴a1+a2+……+a8 ＝8×1+8×2+……+8×8 ＝8×（1+2+……+8） ＝8×36， ∴a1+a2+……+a8是8的倍数． 故②正确，符合题意； ③取m＝10，n＝1，满足m＞n且都是正整数，代入原式可得： （m+7）（m﹣7）+n2﹣2mn＝17×3+1﹣20＝51+1﹣20＝32， 32＝8×4，32是和谐数， 此时m﹣n＝9，不是7．故③错误，不符合题意； 故选：C． 32＝8×4此时 故选：C． 二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 9．单项式8a2b3和12a4b的公因式是　 ． 【分析】公因式取系数最大公约数4，相同字母a取最低次幂a²、b取最低次幂b。 【解答】解：根据题意可知，单项式8a2b3和12a4b的公因式为4a2b． 故答案为：4a2b． 10．已知xy＝2，x＝3+3y，则代数式2x3y﹣12x2y2+18xy3的值为　36　 ． 【分析】先提公因式2xy，再用完全平方公式分解为2xy（x﹣3y）²，代入xy＝2、x﹣3y＝3求值。 【解答】解：原式＝2xy（x2﹣6xy+9y2）＝2xy（x﹣3y）2， ∵xy＝2，x＝3+3y， ∴x﹣3y＝3， ∴原式＝2×2×32 ＝4×9 ＝36． 故答案为：36． 11．已知x2+x﹣1＝0，则x3+2x2+2026＝　 　 ． 【分析】由x²+x﹣1＝0得x²+x＝1；将x³+2x²拆为x（x²+x）+x²，整体代入x²+x＝1。 【解答】解：因为x2+x﹣1＝0， 可得x2+x＝1， x3+2x2+2026 ＝x（x2+x）+x2+2026 ＝x+x2+2026 ＝1+2026 ＝2027． 故答案为：2027． 12．若x2+ax+16能用完全平方公式进行因式分解，则常数a的值是　 　 ． 【分析】完全平方式x²+ax+16中，16＝（±4）²，一次项系数a＝2×（±4）。 【解答】解：∵16＝（±4）2， ∴a＝2×1×（±4）＝±8， 故答案为：±8． 13．若m、n都是正整数，且2026＝d+45（m+n+mn），其中d是1、2、3中的一个数，则m+n＝　 　 ． 【分析】由2026﹣d能被45整除，筛选d＝1；再将m+n+mn＝45变形为（m+1）（n+1）＝46，分解46求m+n。 【解答】解：因为2026＝d+45（m+n+mn） 所以2026＝d+45（m+n+mn）， 可得：2026﹣d＝45（m+n+mn）， 所以2026﹣d必须能被45整除， 当d＝1时，2026﹣1＝2025，2025÷45＝45，符合条件； 当d＝2时，2026﹣2＝2024，2024不能被45整除； 当d＝3时，2026﹣3＝2023，2023不能被45整除． 因此m+n+mn＝45， 所以mn+m+n+1＝45+1， （m+1）（n+1）＝46， 因为46＝2×23，且m，n为正整数， 所以：m+1＝2，n+1＝23或m+1＝23，n+1＝2， 或反之得m＝1，n＝22或m＝22，n＝1， 故m+n＝1+22＝23． 故答案为：23． 14．因式分解：x3y﹣6x2y2+9xy3＝ ． 【分析】先提公因式xy，再用完全平方公式分解剩余部分。 【解答】解：x3y﹣6x2y2+9xy3 ＝xy（x2﹣6xy+9y2） ＝xy（x﹣3y）2． 故答案为：xy（x﹣3y）2． 15．生活中我们经常用到密码，有一种密码的产生采取以下方式：x4﹣y4＝（x2+y2）（x2﹣y2）＝（x2+y2）（x+y）（x﹣y），当x，y都取9时，各因式的值是162，18，0，于是可以把“162180”作为一个六位数密码．类似的对于多项式16x3﹣xy2，当x、y都取10时，最小的6位密码是　 　 ． 【分析】先提公因式x，再用平方差公式分解；代入x＝y＝10后，将各因式值从小到大排列组成最小密码。 【解答】解：16x3﹣xy2， ＝x（16x2﹣y2） ＝x（4x+y）（4x﹣y）， 当x、y都取10时， 4x+y＝40+10＝50， 4x﹣y＝40﹣10＝30， 各个因式的值为：10，50，30， 所以最小的6位密码是103050． 故答案为：103050． 16．已知长方形周长8米，长方形的长x和宽y满足（1﹣x2）（1﹣y2）﹣6xy+19＝0，则长方形面积为 　 　 平方米． 【分析】由周长得x+y＝4；将已知等式整理为（xy﹣2）²＝0，求出xy即面积。 【解答】解：一个长方形的周长为8米，若它的长为x米，宽为y米， 所以2（x+y）＝8， 即x+y＝4， （1﹣x2）（1﹣y2）﹣6xy+19＝0， 即1﹣x2﹣y2+（xy）2﹣6xy+19＝0， ﹣（x2+y2）+（xy）2﹣6xy+20＝0， ﹣（x2+y2+2xy﹣2xy）+（xy）2﹣6xy+20＝0， ﹣（x+y）2+（xy）2﹣4xy+20＝0， 把x+y＝4，代入， 得（xy）2﹣4xy+4＝0， 即（xy﹣2）2＝0， 解得xy＝2， S＝xy＝2． 故答案为：2． 三．解答题（共11小题，共82分） 17．（本题6分）因式分解： （1）x2（x﹣y）+（y﹣x）； （2）3x2y﹣12xy+12y． 【分析】（1）先将y﹣x化为﹣（x﹣y），提公因式后用平方差公式；（2）先提公因式3y，再用完全平方公式。 （2）先提公因式3y，再利用完全平方公式分解因式即可． 【解答】解：（1）原式＝x2（x﹣y）﹣（x﹣y） ＝（x﹣y）（x2﹣1） ＝（x﹣y）（x+1）（x﹣1）； （2）原式＝3y（x2﹣4x+4）＝3y（x﹣2）2． 18．（本题6分）下面是某同学对多项式（y+2x）2﹣（x+2y）2进行因式分解的过程． 解：原式＝[（y+2x）+（x+2y）][（y+2x）﹣（x+2y）]第一步 ＝（y+2x+x+2y）（y+2x﹣x+2y）第二步 ＝（3x+3y）（x+3y）第三步 ＝3（x+y）（x+3y）第四步 （1）该同学从第　二　 步开始出现错误； （2）请写出因式分解正确的过程． 【分析】（1）检查去括号时符号是否正确；（2）用平方差公式a²﹣b²＝（a+b）（a﹣b）分解。 （2）根据因式分解的方法进行计算． 【解答】解：（1）第二步出现错误，错误的原因是括号前是“﹣”号，去掉括号后，原括号里的第二项没有变号． 故答案为：二； （2）原式＝[（y+2x）+（x+2y）][（y+2x）﹣（x+2y）] ＝（y+2x+x+2y）（y+2x﹣x﹣2y） ＝（3x+3y）（x﹣y） ＝3（x+y）（x﹣y）． 19．（本题6分）已知x2﹣5x+2＝0，求2x3﹣7x2﹣11x+2032的值． 【分析】由x²﹣5x+2＝0得x²＝5x﹣2，将所求高次式逐步降次，最终化为含x²﹣5x的整体代入。 【解答】解：由条件可知x2＝5x﹣2，x2﹣5x＝﹣2， ∴原式＝2x•x2﹣7（5x﹣2）﹣11x+2032 ＝2x（5x﹣2）﹣7（5x﹣2）﹣11x+2032 ＝10x2﹣4x﹣35x+14﹣11x+2032 ＝10x2﹣50x+2046 ＝10（x2﹣5x）+2046 ＝10×（﹣2）+2046 ＝2026． 20．（本题6分）如图，将一张大长方形纸板按图所示裁剪成9块，其中有2块是边长为a的大正方形，5块长为a，宽为b的相同的小长方形． （1）观察图形，可以根据图形的面积因式分解：2a2+5ab+2b2＝　 　 ； （2）若a2+b2＝17，a+b＝5，求图中空白部分的面积． 【分析】（1）由面积拼图直接写出因式分解结果；（2）由a+b＝5、a²+b²＝17求ab，空白面积即5块小长方形面积。 （2）由a2+b2＝17，a+b＝5，可得ab的值，空白部分的面积即5块长为a，宽为b的相同的小长方形的面积． 【解答】解：（1）原式＝（2a+b）（a+2b）， 故答案为：（2a+b）（a+2b）； （2）由条件可知， ∴空白部分的面积为5ab＝4×5＝20． 21．（本题7分）【发现】 两个连续奇数的平方差是8的整数倍． （1）【验证】 192﹣172的结果是8的　 　 倍； （2）【证明】 证明两个连续奇数2n+1与2n﹣1（n为整数）的平方差是8的整数倍； （3）【延伸】 两个连续偶数2m+2与2m（m为整数）的平方差还是8的整数倍吗？请说明理由；如果不是，将上述平方差的结果加上正整数k，使得最后的结果是8的整数倍，直接写出k的最小值． 【分析】（1）直接用平方差公式计算19²﹣17²；（2）用平方差公式展开（2n+1）²﹣（2n﹣1）²＝8n；（3）展开（2m+2）²﹣（2m）²＝4（2m+1），判断并求最小k。 （2）计算两个连续奇数2n+1，2n﹣1的平方差，利用平方差公式展开，即可证明； （3）计算两个连续偶数2m+2，2m的平方差，利用平方差公式展开，可知4（2m+1）不是8的倍数，再根据平方差的结果加上正整数k，最后让4+k是8的倍数即可得出k的最小值． 【解答】解：（1）解：∵192﹣172＝（19+17）×（19﹣17）＝36×2＝72＝8×9， ∴192﹣172的结果是8的9倍． 故答案为：9； （2）证明：∵（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝8n，n为整数， ∴两个连续奇数2n+1，2n﹣1的平方差是8的整数倍； （3）解：（2m+2）2﹣（2m）2＝（2m+2+2m）（2m+2﹣2m）＝4（2m+1）， 所以两个连续偶数的平方差不是8的整数倍． 因为上述平方差的结果加上正整数k，使得最后的结果是8的整数倍， 即4（2m+1）+k＝8m+4+k是8的整数倍， 所以加上的正整数k的最小值是4． 22．（本题7分）【阅读材料】我们把二次三项式ax2+bx+c恒等变形为a（x+h）2+k（h、k为常数）的形式叫作配方．巧妙地运用配方法不仅可以将一个多项式进行因式分解，也能求一个二次三项式的最值，还能结合非负数的意义来解决一些实际问题． 例如，分解因式：x2+4x﹣5． 解：x2+4x﹣5 ＝（x2+4x+4）﹣4﹣5 ＝（x+2）2﹣32 ＝（x+2+3）（x+2﹣3） ＝（x+5）（x﹣1）． 【实践应用】请用配方法解答下列问题： （1）分解因式：x2+6x﹣16． （2）多项式x2﹣12x+25的最小值是　 　 ． （3）已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足：a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，判断△ABC是什么形状的三角形，并说明理由． 【分析】（1）配方后用平方差公式分解；（2）配方成（x﹣6）²﹣11，由非负性求最小值；（3）拆成两个完全平方之和为0，得a＝b＝c。 （2）利用【阅读材料】中配方法将式子化成（x﹣6）2﹣11，由于（x﹣6）2≥0，所以（x﹣6）2﹣11≥﹣11，从而即可得到答案； （3）利用【阅读材料】中配方法将式子整理成（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，从而得到a＝b＝c，即可得到△ABC是等边三角形． 【解答】解：（1）原式＝x2+6x+9﹣9﹣16 ＝（x+3）2﹣25 ＝（x+3﹣5）（x+3+5） ＝（x﹣2）（x+8）； （2）原式＝x2﹣12x+36﹣36+25 ＝（x﹣6）2﹣11， ∵（x﹣6）2≥0， ∴（x﹣6）2﹣11≥﹣11， ∴x2﹣12x+25的最小值是﹣11； 故答案为：﹣11； （3）△ABC是等边三角形．理由： ∵a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0， ∴（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2bc+c2）＝0， ∴（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0， ∵（a﹣b）2≥0，（b﹣c）2≥0， ∴a﹣b＝0，b﹣c＝0， ∴a＝b＝c， ∴△ABC是等边三角形． 23．（本题7分）对于关于x的代数式ax2+bx+c，若存在实数m，使得当x＝m时，代数式的值也等于m，则称m为这个代数式的“不动值”．例如：对于关于x的代数式x2，当x＝0时，代数式的值等于0；当x＝1时，代数式的值等于1，我们就称0和1都是这个代数式的“不动值”． （1）关于x的代数式x2﹣6的不动值是　 　 ； （2）已知关于x的代数式a2x2﹣（3a2﹣8a﹣1）x+2a2﹣13a+15（a≠0）． ①若此代数式仅有一个不动值，求a的值； ②若此代数式有两个不动值，且两个不动值的差为整数，直接写出正整数a的值． 【分析】（1）“不动值”即x²﹣6＝x，解一元二次方程；（2）①令代数式等于x，由判别式Δ＝0求a；②由韦达定理表示两根差，结合a为正整数筛选。 （2）①根据新定义，列出一元二次方程，根据此代数式仅有一个不动值，得到方程有两个相等的实数根，进而根据判别式求出a的值即可；②利用根与系数的关系进行求解即可． 【解答】解：（1）由题意可知x2﹣x﹣6＝0， ∴（x﹣3）（x+2）＝0， ∴x1＝3，x2＝﹣2， 故答案为：3或﹣2； （2）①由题意得a2x2﹣（3a2﹣8a﹣1）x+2a2﹣13a+15＝x， ∴a2x2﹣（3a2﹣8a）x+2a2﹣13a+15＝0， 由条件可知Δ＝0，即[﹣（3a2﹣8a）]2﹣4a2（2a2﹣13a+15）＝0， 整理得：a4+4a3+4a2＝0， ∴a2（a+2）2＝0， 解得a＝0（不合题意，舍去）或a＝﹣2， ∴a＝﹣2； ②由题意得a2x2﹣（3a2﹣8a﹣1）x+2a2﹣13a+15＝x， 整理得：a2x2﹣（3a2﹣8a）x+2a2﹣13a+15＝0， 设该方程的两个解分别为s，t， ∴，， ∴， ∵s﹣t为整数， ∴为整数， ∵a为正整数， ∴a＝1或2． 24．（本题7分）请仔细阅读下列材料，并完成相应的任务． “我们把多项式a2+2ab+b2或a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如：x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）．2x2+4x﹣6＝2（x2+2x+1）﹣8＝2（x+1）2﹣8，则当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8． 任务： （1）若多项式x2﹣16x+k是一个完全平方式，则常数k＝　64　 ； （2）用配方法分解因式：x2﹣8x+7； （3）当x为何值时，多项式﹣2x2﹣4x+5有最大值？并求出这个最大值． 【分析】（1）对照完全平方式结构求k；（2）配方成平方差后分解；（3）提系数后配方，由平方非负性求最大值。 （2）先通过添加合适的项构造出完全平方式，再将式子转化为平方差的形式，最后用平方差公式完成因式分解； （3）先提取二次项系数，对括号内的部分配方，再根据平方数的非负性，判断出式子取最值的条件，得到对应x的值和最值． 【解答】解：（1）完全平方式的形式是a2±2ab+b2， 对于x2﹣16x+k， 对应a＝x， 中间项﹣16x＝﹣2•x•b，可算出b＝8， 而k就是b2， 因此k＝82＝64； 故答案为：64． （2）x2﹣8x+7 ＝x2﹣8x+16﹣16+7 ＝（x﹣4）2﹣9 ＝（x﹣4+3）（x﹣4﹣3） ＝（x﹣1）（x﹣7）； （3）﹣2x2﹣4x+5 ＝﹣2（x2+2x）+5 ＝﹣2（x2+2x+1）+2+5 ＝﹣2（x+1）2+7； 因为（x+1）2≥0， 所以﹣2（x+1）2≤0， 当﹣2（x+1）2＝0时，整个式子取得最大值， 此时x＝﹣1，对应最大值为7． 25．（本题10分）我们已经学习了平方差公式，下面我们来研究其更一般的形式——“等幂差”公式，并应用“等幂差”公式解决问题． 【旧知回顾】平方差公式（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2，立方差公式（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3． （1）因式分解：x3﹣27＝　 　 ； 【发现规律】 （2）化简：（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝ ； （3）猜想：（a﹣b）（an+an﹣1b+an﹣2b2+…+a2bn﹣2+abn﹣1+bn）＝ ； 【新知运用】 （4）证明：207﹣267是6的倍数； （5）证明：对任意正整数n，54n+102n﹣24n+1都是21的倍数． 【分析】（1）套用立方差公式a³﹣b³＝（a﹣b）（a²+ab+b²）；（2）（3）归纳等幂差一般公式；（4）（5）套用等幂差公式把原式写成含因数6或21的乘积形式。 （2）化简（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）类比平方差、立方差的展开规律，把式子展开后，中间的同类项会相互抵消，最终只剩下首项的四次方和末项的四次方作差； （3）从（1）（2）的结果找规律：（1）是（a﹣b）乘2项的多项式，结果是a3﹣b3（指数为3），（2）是（a﹣b）乘4项的多项式，结果是a4﹣b4（指数为4）由此推广，当多项式的最高次为an时，最终结果的指数就是n+1，即an+1﹣bn+1； （4）套用第（3）题得到的等幂差公式，把207﹣267写成（20﹣26）乘一个整数多项式的形式，其中20﹣26＝﹣6，说明整个式子可以写成﹣6乘整数的形式，因此必然是6的倍数； （5）先把式子变形为625n+100n﹣2×256n，再利用等幂差公式对式子拆分，将其转化为21乘一个整数的形式，即可证明原式是21的倍数． 【解答】解：（1）解：x3﹣27＝x3﹣33＝（x﹣3）（x2+3x+9）； 故答案为：（x﹣3）（x2+3x+9）； （2）解：（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3） ＝（a﹣b）[a2（a+b）+b2（a+b）] ＝（a﹣b）（a+b）（a2+b2） ＝（a2﹣b2）（a2+b2） ＝a4﹣b4； 故答案为：a4﹣b4； （3）解：（a﹣b）（an+an﹣1b+an﹣2b2+…+a2bn﹣2+abn﹣1+bn）＝an+1﹣bn+1； 故答案为：an+1﹣bn+1； （4）证明：207﹣267 ＝（20﹣26）（206+205×26+204×262+203×263+202×264+20×265+266） ＝6（206+205×26+204×262+203×263+202×264+20×265+266）， ∴207﹣267是6的倍数； （5）证明：54n+102n﹣24n+1 ＝（54）n+（102）n﹣2×（24）n ＝625n+100n﹣2×16n， ＝625n﹣16n+100n﹣16n ＝（625﹣16）（625n﹣1+625n﹣2×16+625n﹣3×162+…+625×16n﹣2+625×16n﹣1+16n﹣1）+（100﹣16）（100n﹣1+100n﹣2×16+100n﹣3×162+…+1002×16n﹣3+100×16n﹣2+16n﹣1） ＝609×（625n﹣1+625n﹣2×16+625n﹣3×162+…+625×16n﹣2+625×16n﹣1+16n﹣1）+84×（100n﹣1+100n﹣2×16+100n﹣3×162+…+1002×16n﹣3+100×16n﹣2+16n﹣1） ∴54n+102n﹣24n+1都是21的倍数． 26．（本题10分）【课本再现】如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，两个正整数为它的“智慧分解”．例如，因为16＝52﹣32，所以16就是一个智慧数，而5和3则是16的智慧分解．那么究竟哪些数为智慧数？为此，小明和小颖展开了如下探究． 小颖的方法是通过计算，一个个罗列出来：3＝22﹣12，5＝32﹣22，7＝42﹣32，9＝52﹣42，11＝62﹣52，… 小明认为小颖的方法太麻烦，他想到： 设两个数分别为k+1，k，其中k≥1，且k为整数． 则（k+1）2﹣k2＝（k+1+k）（k+1﹣k）＝2k+1． （1）根据上述探究，可以得出：除1外，所有　奇　 数都是智慧数，13的智慧分解为　6和7　 ． （2）继续探究，他们发现8＝32﹣12，12＝42﹣22，16＝52﹣32…所以8、12、16等均是智慧数，由此，他们猜想：除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数，请证明他们的猜想． （3）根据以上所有探究，如果将智慧数从小到大进行排列为3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，19，…，根据你发现的规律，请直接写出第100个智慧数，以及它的一种智慧分解． 【分析】（1）由（k+1）²﹣k²＝2k+1得所有奇数为智慧数；（2）取a﹣b＝2、a+b＝2n构造4n＝（n+1）²﹣（n﹣1）²；（3）每4个连续整数贡献3个智慧数（跳过4k+2型），定位第100个。 （2）用平方差公式取a﹣b＝2、a+b＝2n构造出4n＝（n+1）2﹣（n﹣1）2，并说明 n＝1 时，b＝0不符合题意； （3）关键是发现每4个连续整数贡献3个“智慧数”的规律（跳过4k+2型），用1+3×33＝100定位到136． 【解答】解：（1）由小明的推导：（k+1）2﹣k2＝（k+1+k）（k+1﹣k）＝2k+1． 因为k≥1是整数， 所以2k+1≥3且2k+1是奇数， 即每个大于1的奇数都能写成两个连续正整数的平方差，都是“智慧数”． 而1不能写成两个正整数的平方差（最小的正整数平方差是22﹣12＝3）， 所以除1外， 所有奇数都是“智慧数”， 对13：由2k+1＝13， 得k＝6， 所以13＝（6+1）2﹣62＝72﹣62， 13的“智慧分解”为6和7， 故答案为：奇，6和7； （2）设能被4整除的偶数为4n，其中n≥2（因为n＝1时，4n＝4，题目要求”除4外”）． 由平方差公式a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b）， 取a﹣b＝2，a+b＝2n， 解得a＝n+1，b＝n﹣1． 因为n≥2， 所以b＝n﹣1≥1，是正整数， a＝n+1≥3，也是正整数， 于是4n＝（n+1）2﹣（n﹣1）2， 即每个形如4n（n≥2）的偶数都能写成两个正整数的平方差，是“智慧数”， 而当n＝1时， 由于4＝22﹣02， 但0不是正整数，不符合定义， 所以4不是“智慧数”； （3）由（1）（2）知：“智慧数”恰好是所有奇数（≥3）与所有4的倍数（≥8）． 而形如4k+2的偶数（2，6，10，14，...）不是“智慧数”， 因为两个正整数a，b的平方差（a﹣b）（a+b）： 若a，b同奇偶则（a﹣b）与（a+b）都是偶数，乘积是4的倍数， 若一奇一偶则都是奇数，乘积是奇数， 所以平方差要么是奇数要么是4的倍数，不可能是4k+2型． 下面按从小到大排列，找规律： 区段 智慧数 本段个数 1∼4 3 1 5∼8 5，7，8 3 9∼12 9，11，12 3 13∼16 13，15，16 3 17∼20 17，19，20 3 ⋮ ⋮ 3 规律：从5开始，每4个连续正整数恰好贡献3个“智慧数”（跳过形如4k+2的那一个）， 由表格可知： 第1个“智慧数”是3（在1～4区段）， 还需100﹣1＝99个“智慧数”，来自5开始的区段， 99÷3＝33，所以共需要33个区段，其中每个区段跨4个整数， 第33个区段的“智慧数”为133，135，136， 其中136是本区段第3个， 也是第1+3×33＝100个“智慧数”， 由于136＝4×34，由（2）的公式： 136＝（34+1）2﹣（34﹣1）2＝352﹣332， 第100个“智慧数”是136，它的一种智慧分解为33和35． 27．（本题10分）如图，甲、乙图是两个长和宽都相等的长方形，其中长为x+a，宽为x+b． （1）根据甲图、乙图的特征，用不同的方法计算长方形的面积，得到的等式是　 ． 【尝试运用】 利用因式分解与整式乘法的关系，我们可以用上述表达式得到一些二次三项式的因式分解． （2）因式分解：x2+5x+4＝（x+a）（x+b），其中a＜b，则a＝　 　 ，b＝　 　 ． 【拓展延伸】 （3）若x2﹣6x+q可以分解成关于x的两个一次式乘积的形式，其中一个因式为x+3，请写出q的值：　 　 ． （4）若2x2+kx﹣6可以分解成关于x的两个一次式乘积的形式（每个一次式的系数与常数项都为整数），直接写出所有正整数k的值． 【分析】（1）由两种面积表示得等式；（2）由十字相乘a+b＝5、ab＝4求a、b；（3）设另一因式，比较系数求q；（4）设两个一次式，枚举整数因数对求正整数k。 （2）由x2+5x+4＝（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab得到a+b＝5，ab＝4，即可求解； （3）设另一个因式为（mx+n），则x2﹣6x+q＝（x+3）（mx+n）＝mx2+（n+3m）x+3n，再分别对应相等即可得出结果； （4）设这两个一次式为（ax+b）和（mx+n），则2x2+kx﹣6＝（ax+b）（mx+n）＝amx2+（an+bm）x+bn从而得出am＝2，an+bm＝k，bn＝﹣6，再结合a、b、m、n均为整数，分情况计算即可得出结果． 【解答】解：（1）甲、乙图是两个长和宽都相等的长方形，其中长为x+a，宽为x+b． 根据甲图、乙图的特征，用不同的方法计算长方形的面积， 由甲图可得，长方形的面积为（x+a）（x+b）， 由乙图可得，长方形的面积为x2+ax+bx+ab， 故得到的等式是（x+a）（x+b）＝x2+ax+bx+ab． 故答案为：（x+a）（x+b）＝x2+ax+bx+ab； （2）∵x2+5x+4＝（x+a）（x+b），且（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab， ∴a+b＝5，ab＝4， ∴a＝1，b＝4或a＝4，b＝1， ∵a＜b， ∴a＝1，b＝4． 故答案为：1；4； （3）若x2﹣6x+q可以分解成关于x的两个一次式乘积的形式，其中一个因式为x+3， 由题意可得：设另一个因式为（mx+n）， ∴x2﹣6x+q＝（x+3）（mx+n）＝mx2+nx+3mx+3n＝mx2+（n+3m）x+3n， ∴m＝1，n+3m＝﹣6，q＝3n， ∴m＝1，n＝﹣9，q＝﹣27． 故答案为：﹣27； （4）若2x2+kx﹣6可以分解成关于x的两个一次式乘积的形式（每个一次式的系数与常数项都为整数）， 由题意可得： ∴设这两个一次式为（ax+b）和（mx+n）， ∴原式＝（ax+b）（mx+n）＝amx2+（an+bm）x+bn， ∴am＝2，an+bm＝k，bn＝﹣6， ∴当a＝1，m＝2，b＝1，n＝﹣6时，此时k＝1×（﹣6）+1×2＝﹣4，不是正整数； 当a＝1，m＝2，b＝﹣1，n＝6时，此时k＝1×6+（﹣1）×2＝4，是正整数，符合题意； 当a＝1，m＝2，b＝2，n＝﹣3时，此时k＝1×（﹣3）+2×2＝1，是正整数，符合题意； 当a＝1，m＝2，b＝﹣2，n＝3时，此时k＝1×3+（﹣2）×2＝﹣1，不是正整数； 当a＝1，m＝2，b＝6，n＝﹣1时，此时k＝1×（﹣1）+6×2＝11，是正整数，符合题意； 当a＝1，m＝2，b＝﹣6，n＝1时，此时k＝1×1+（﹣6）×2＝﹣11，不是正整数； 当a＝2，m＝1，b＝1，n＝﹣6时，此时k＝2×（﹣6）+1×1＝﹣11，不是正整数； 当a＝2，m＝1，b＝﹣1，n＝6时，此时k＝2×6+（﹣1）×1＝11，是正整数，符合题意； 当a＝2，m＝1，b＝2，n＝﹣3时，此时k＝2×（﹣3）+2×1＝﹣4，不是正整数； 当a＝2，m＝1，b＝﹣2，n＝3时，此时k＝2×3+（﹣2）×1＝4，是正整数，符合题意； 当a＝2，m＝1，b＝6，n＝﹣1时，此时k＝2×（﹣1）+6×1＝4，是正整数，符合题意； 当a＝2，m＝1，b＝﹣6，n＝1时，此时k＝2×1+（﹣6）×1＝﹣4，不是正整数； 当a＝﹣1，m＝﹣2，b＝1，n＝﹣6时，此时k＝（﹣1）×（﹣6）+1×（﹣2）＝4，是正整数，符合题意； 当a＝﹣1，m＝﹣2，b＝﹣1，n＝6时，此时k＝（﹣1）×6+（﹣1）×（﹣2）＝﹣4，不是正整数； 当a＝﹣1，m＝﹣2，b＝2，n＝﹣3时，此时k＝（﹣1）×（﹣3）+（﹣2）×2＝﹣1，不是正整数； 当a＝﹣1，m＝﹣2，b＝﹣2，n＝3时，此时k＝（﹣1）×3+（﹣2）×（﹣2）＝1，是正整数，符合题意； 当a＝﹣1，m＝﹣2，b＝6，n＝﹣1时，此时k＝（﹣1）×（﹣1）+6×（﹣2）＝﹣11，不是正整数； 当a＝﹣1，m＝﹣2，b＝﹣6，n＝1时，此时k＝（﹣1）×1+（﹣6）×（﹣2）＝11，是正整数，符合题意； 当a＝﹣2，m＝﹣1，b＝1，n＝﹣6时，此时k＝（﹣2）×（﹣6）+（﹣1）×1＝11，是正整数，符合题意； 当a＝﹣2，m＝﹣1，b＝﹣1，n＝6时，此时k＝（﹣2）×6+（﹣1）×（﹣1）＝﹣11，不是正整数； 当a＝﹣2，m＝﹣1，b＝2，n＝﹣3时，此时k＝（﹣2）×（﹣3）+2×（﹣1）＝4，是正整数，符合题意； 当a＝﹣2，m＝﹣1，b＝﹣2，n＝3时，此时k＝（﹣2）×3+（﹣2）×（﹣1）＝﹣4，不是正整数； 当a＝﹣2，m＝﹣1，n＝﹣1时，此时k＝（﹣2）×（﹣1）+6×（﹣1）＝﹣4，不是正整数； 当a＝﹣2，m＝﹣1，b＝﹣6，n＝1时，此时k＝（﹣2）×1+（﹣6）×（﹣1）＝4，是正整数，符合题意； 综上所述，所有正整数k的值为1，4，11． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏科版 八年级数学 第9章 因式分解 期中复习单元卷 时间：120分钟 满分：130分 班级：_____________ 姓名：_________________ 得分：_________________ 一．选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1．下列各式从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（　　） A．a（x+y）＝ax+ay B． C．6x2﹣3x＝3x（2x﹣1） D．x2﹣4+3x＝（x﹣2）（x+2）+3x 2．多项式3a2x2﹣6a4x3各项的公因式是（　　） A．3ax B．3a2x2 C．a2x2 D．3a4x3 3．把多项式x2+4x+4分解因式，下列结果正确的是（　　） A．x（x+4）+4 B．（x+2）（x﹣2） C．（x+4）2 D．（x+2）2 4．若a2+3＝2b，则a3﹣2ab+3a的值为（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．2 5．已知a＝2025x+5，b＝2025x+6，c＝2025x+7，则代数式a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值为（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 6．定义：若整数m，满足m＝x2﹣y2（x，y均为整数），则称m为“平方差数”．下列数中不是平方差数的是（　　） A．5 B．6 C．7 D．9 7．已知2×3×4×5+1＝121＝112，3×4×5×6+1＝361＝192，4×5×6×7+1＝841＝292…若n为整数，且2026×2027×2028×2029+1＝n2，则n的值为（　　） A．20262+3×2026+1 B．20272+4×2027+1 C．20282+5×2028+1 D．20292+6×2029+1 8．定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．将它们按照从小到大的顺序依次排列，就会形成一组“和谐数列”：a1＝32﹣12，a2＝52﹣32，a3＝72﹣52，…，有如下结论： ①a12＝96； ②a1+a2+…+a8是8的倍数； ③m，n为正整数，且m＞n，若（m+7）（m﹣7）+n2﹣2mn是“和谐数”，则m﹣n＝7． 其中正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 9．单项式8a2b3和12a4b的公因式是_________ ． 10．已知xy＝2，x＝3+3y，则代数式2x3y﹣12x2y2+18xy3的值为_______ ． 11．已知x2+x﹣1＝0，则x3+2x2+2026＝_________ ． 12．若x2+ax+16能用完全平方公式进行因式分解，则常数a的值是_______ ． 13．若m、n都是正整数，且2026＝d+45（m+n+mn），其中d是1、2、3中的一个数，则m+n＝_______ ． 14．因式分解：x3y﹣6x2y2+9xy3＝______________ ． 15．生活中我们经常用到密码，有一种密码的产生采取以下方式：x4﹣y4＝（x2+y2）（x2﹣y2）＝（x2+y2）（x+y）（x﹣y），当x，y都取9时，各因式的值是162，18，0，于是可以把“162180”作为一个六位数密码．类似的对于多项式16x3﹣xy2，当x、y都取10时，最小的6位密码是___________ ． 16．已知长方形周长8米，长方形的长x和宽y满足（1﹣x2）（1﹣y2）﹣6xy+19＝0，则长方形面积为 _____ 平方米． 三．解答题（共11小题，共82分） 17．（本题6分）因式分解：（1）x2（x﹣y）+（y﹣x）； （2）3x2y﹣12xy+12y． 18．（本题6分）下面是某同学对多项式（y+2x）2﹣（x+2y）2进行因式分解的过程． 解：原式＝[（y+2x）+（x+2y）][（y+2x）﹣（x+2y）]第一步 ＝（y+2x+x+2y）（y+2x﹣x+2y）第二步 ＝（3x+3y）（x+3y）第三步 ＝3（x+y）（x+3y）第四步 （1）该同学从第_____ 步开始出现错误； （2）请写出因式分解正确的过程． 19．（本题6分）已知x2﹣5x+2＝0，求2x3﹣7x2﹣11x+2032的值． 20．（本题6分）如图，将一张大长方形纸板按图所示裁剪成9块，其中有2块是边长为a的大正方形，5块长为a，宽为b的相同的小长方形． （1）观察图形，可以根据图形的面积因式分解：2a2+5ab+2b2＝_________________ ； （2）若a2+b2＝17，a+b＝5，求图中空白部分的面积． 21．（本题7分）【发现】 两个连续奇数的平方差是8的整数倍． （1）【验证】 192﹣172的结果是8的_____ 倍； （2）【证明】 证明两个连续奇数2n+1与2n﹣1（n为整数）的平方差是8的整数倍； （3）【延伸】 两个连续偶数2m+2与2m（m为整数）的平方差还是8的整数倍吗？请说明理由；如果不是，将上述平方差的结果加上正整数k，使得最后的结果是8的整数倍，直接写出k的最小值． 22．（本题7分）【阅读材料】我们把二次三项式ax2+bx+c恒等变形为a（x+h）2+k（h、k为常数）的形式叫作配方．巧妙地运用配方法不仅可以将一个多项式进行因式分解，也能求一个二次三项式的最值，还能结合非负数的意义来解决一些实际问题． 例如，分解因式：x2+4x﹣5． 解：x2+4x﹣5＝（x2+4x+4）﹣4﹣5＝（x+2）2﹣32＝（x+2+3）（x+2﹣3）＝（x+5）（x﹣1）． 【实践应用】请用配方法解答下列问题： （1）分解因式：x2+6x﹣16． （2）多项式x2﹣12x+25的最小值是________ ． （3）已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足：a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，判断△ABC是什么形状的三角形，并说明理由． 23．（本题7分）对于关于x的代数式ax2+bx+c，若存在实数m，使得当x＝m时，代数式的值也等于m，则称m为这个代数式的“不动值”．例如：对于关于x的代数式x2，当x＝0时，代数式的值等于0；当x＝1时，代数式的值等于1，我们就称0和1都是这个代数式的“不动值”． （1）关于x的代数式x2﹣6的不动值是_________ ； （2）已知关于x的代数式a2x2﹣（3a2﹣8a﹣1）x+2a2﹣13a+15（a≠0）． ①若此代数式仅有一个不动值，求a的值； ②若此代数式有两个不动值，且两个不动值的差为整数，直接写出正整数a的值． 24．（本题10分）请仔细阅读下列材料，并完成相应的任务． “我们把多项式a2+2ab+b2或a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如：x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）．2x2+4x﹣6＝2（x2+2x+1）﹣8＝2（x+1）2﹣8，则当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8． 任务： （1）若多项式x2﹣16x+k是一个完全平方式，则常数k＝_______ ； （2）用配方法分解因式：x2﹣8x+7； （3）当x为何值时，多项式﹣2x2﹣4x+5有最大值？并求出这个最大值． 25．（本题10分）我们已经学习了平方差公式，下面我们来研究其更一般的形式——“等幂差”公式，并应用“等幂差”公式解决问题． 【旧知回顾】平方差公式（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2，立方差公式（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3． （1）因式分解：x3﹣27＝___________________ ； 【发现规律】 （2）化简：（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝__________ ； （3）猜想：（a﹣b）（an+an﹣1b+an﹣2b2+…+a2bn﹣2+abn﹣1+bn）＝______________ ； 【新知运用】 （4）证明：207﹣267是6的倍数； （5）证明：对任意正整数n，54n+102n﹣24n+1都是21的倍数． 26．（本题10分）【课本再现】如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，两个正整数为它的“智慧分解”．例如，因为16＝52﹣32，所以16就是一个智慧数，而5和3则是16的智慧分解．那么究竟哪些数为智慧数？为此，小明和小颖展开了如下探究． 小颖的方法是通过计算，一个个罗列出来：3＝22﹣12，5＝32﹣22，7＝42﹣32，9＝52﹣42，11＝62﹣52，… 小明认为小颖的方法太麻烦，他想到： 设两个数分别为k+1，k，其中k≥1，且k为整数． 则（k+1）2﹣k2＝（k+1+k）（k+1﹣k）＝2k+1． （1）根据上述探究，可以得出：除1外，所有_____ 数都是智慧数，13的智慧分解为________ ． （2）继续探究，他们发现8＝32﹣12，12＝42﹣22，16＝52﹣32…所以8、12、16等均是智慧数，由此，他们猜想：除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数，请证明他们的猜想． （3）根据以上所有探究，如果将智慧数从小到大进行排列为3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，19，…，根据你发现的规律，请直接写出第100个智慧数，以及它的一种智慧分解． 27．（本题10分）如图，甲、乙图是两个长和宽都相等的长方形，其中长为x+a，宽为x+b． （1）根据甲图、乙图的特征，用不同的方法计算长方形的面积，得到的等式是____________________ ． 【尝试运用】 利用因式分解与整式乘法的关系，我们可以用上述表达式得到一些二次三项式的因式分解． （2）因式分解：x2+5x+4＝（x+a）（x+b），其中a＜b，则a＝_____ ，b＝_____ ． 【拓展延伸】 （3）若x2﹣6x+q可以分解成关于x的两个一次式乘积的形式，其中一个因式为x+3，请写出q的值：________ ． （4）若2x2+kx﹣6可以分解成关于x的两个一次式乘积的形式（每个一次式的系数与常数项都为整数），直接写出所有正整数k的值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $