精品解析：江苏苏州市西安交通大学苏州附属初级中学2025-2026学年第二学期期中考试试卷八年级 数学学科

2025—2026学年第二学期期中考试试卷 初二年级数学学科 2026年4月 注意事项： 1．本试卷满分100分，考试时间100分钟； 2．所有的答案均应书写在答题卷上，按照题号顺序答在相应的位置，超出答题区域书写的答案无效；书写在试题卷上、草稿纸上的答案无效； 3．字体工整，笔迹清楚．保持答题纸卷面清洁． 一、选择题：本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请将正确选项前的字母填在答题卡相应位置上． 1. 矩形、菱形和正方形都具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 每一条对角线平分一组对角 D. 对角线互相垂直 2. 关于方程的根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 方程有两个不相等的实数根 B. 方程有两个相等的实数根 C. 方程有一个实数根 D. 方程无实数根 3. 下列调查中，适宜采用普查方式的是（ ） A. 了解一批超高音速导弹的使用寿命 B. 考察全国人民保护国家安全的意识 C. 了解军事训练中几个打击目标的坐标 D. 了解全国小学生的身体健康状况 4. 用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 2026苏超是江苏足球的“超”级盛宴，它已不只是赛事，而是江苏体育新IP，城市文化新载体，消费升级新引擎，让足球回归大众，在这个足球联赛中，参赛的每两个队之间都需要进行一场比赛，共比赛了78场．设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形中，，点分别为线段，上的动点（含端点，但点不与点重合），点分别为的中点，则长度的最大值为（　　） A. 2 B. 2.5 C. D. 4 7. 如图，把放置在菱形中，使得顶点E，F，P分别在线段，，上．已知，，，，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方形中，分别为上两动点（不与正方形端点重合），且满足，分别过点作，交于点，记矩形，矩形，矩形，矩形，面积依次为，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共8小题，每小题2分，共16分．把答案直接填在答题卡相应位置上． 9. 在平行四边形中，若，_____． 10. 已知方程，当______时，是关于x的一元二次方程． 11. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，垂直且平分线段，垂足为点，，则的长为________cm． 12. 若是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 13. 如图，已知平行四边形，在平面直角坐标系中，，直线与分别相交，且将平行四边形的面积分成相等的两部分，则k的值是______． 14. 地理实践课上，活动小组的同学在一张面积为的长方形卡片上绘制了如图1所示的河北省地形图，他们想了解该地形图的面积，经研究采取了以下办法：将长方形卡片水平放置在地面上，在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录落在该地形图上的次数（球扔在地形图最外围的界线上或长方形区域外不计入试验结果）．他们将若干次有效试验结果绘制成了如图2所示的折线统计图，由此估计该地形图的面积大约为______． 15. 如图，在中，四个内角的角平分线，，，交于E，F两点，，，，则的长为______． 16. 如图，在矩形中，，，，分别在，边上．连接，且，则的最小值为______． 三、解答题：本大题共10小题，共68分．请将解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔． 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若、是方程的两根，且，求的值． 19. 某学校为落实国家15分钟课间政策，丰富学生的课间生活，随机抽取学生开展“你最喜爱的课间活动是___________”的问卷调查，要求学生必须从“A（体育竞技类）、B（轻松游戏类）、C（自由交流类）、D（艺术创作类）”四种类型中选择一项，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图． 请你根据图中提供的信息，完成下列问题： （1）本次调查的学生人数为___________人； （2）在扇形统计图中，“A（体育竞技类）”部分所对应扇形的圆心角的度数为___________度； （3）补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； （4）若该校共有2000名学生，估计该校最喜爱“D（艺术创作）”的学生有多少人？ 20. 在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 b 295 484 601 摸到白球的频率 a （1）求出表中的___________， ． （2）估计当n很大时，摸到白球的频率将会接近 （精确到） （3）若从口袋里拿出去x个白球，这时从口袋里任意摸出一球是白球的概率为，求x的值． 21. 如图，在四边形中，，平分，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，的周长为18，求菱形的面积． 22. 为了丰富学生的课余生活，学校计划在校园内建造一个活动区域（长方形），两面靠墙（位置的墙最大可用长度为，位置的墙最大可用长度为），另两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留宽的门（不用栅栏）．建成后栅栏总长． （1）若活动区域（长方形）的一边长为，则另一边            ． （2）若活动区域（长方形）的面积为，求边的长． 23. 已知：正方形的边长为，是边上一个动点不与点、点重合，，以为一边在正方形外作正方形，连接、． 观察计算：（1）如图1，当，时，四边形的面积为______； （2）如图2，当，时，四边形的面积为______； （3）如图3，当，时，四边形的面积为______； 探索发现：（4）根据上述计算的结果，你认为四边形的面积与正方形的面积之间有怎样的关系？ 24. 定义：若关于x的一元二次方程的两根均为整数，则称该方程为“快乐方程”．对于“快乐方程”，定义其“快乐数”为． 现探究以下问题： （1）“快乐方程”的“快乐数”为______； （2）若关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“快乐方程”，求m的值，并求该方程的“快乐数”． （3）对于“快乐方程”（b、c为整数），若其“快乐数”（n为正整数），且方程的两根，满足，求该方程的“快乐数”所有可能的值． 25. 如图，在四边形中，，，，，，动点从点A出发，以的速度向终点运动，同时动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒． （1）______，______．（用含t的式子表示） （2）当t为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？ （3）只改变点Q的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形为菱形，则点Q的运动速度为多少？ 26. 综合与实践 问题情境： 数学兴趣小组在探究与正方形有关的动点问题时，如图2，在正方形内取一点E，使，将点E绕点C逆时针旋转得到点，射线，交于点F． 特例研究： （1）精勤小组在探究过程中遵循由特殊到一般的探究规律：如图1，发现点E在对角线中点O处时，点F与点B重合，此时四边形的形状为______． 探究发现： （2）博雅小组发现，如图2，只要，四边形的形状都是正方形，请证明. （3）卓越小组受博雅小组的启发，进一步深入探究，如图3，取中点G，连接，，，又发现：在点E运动过程中，与始终保持特定的数量关系，请写出此数量关系，并说明理由. 拓展应用： （4）在（3）的条件下，已知，，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期期中考试试卷 初二年级数学学科 2026年4月 注意事项： 1．本试卷满分100分，考试时间100分钟； 2．所有的答案均应书写在答题卷上，按照题号顺序答在相应的位置，超出答题区域书写的答案无效；书写在试题卷上、草稿纸上的答案无效； 3．字体工整，笔迹清楚．保持答题纸卷面清洁． 一、选择题：本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请将正确选项前的字母填在答题卡相应位置上． 1. 矩形、菱形和正方形都具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 每一条对角线平分一组对角 D. 对角线互相垂直 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形、菱形和正方形的性质，根据矩形、菱形和正方形的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：矩形、菱形和正方形都具有的性质是对角线互相平分， 故选：． 2. 关于方程的根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 方程有两个不相等的实数根 B. 方程有两个相等的实数根 C. 方程有一个实数根 D. 方程无实数根 【答案】A 【解析】 【详解】解：， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 3. 下列调查中，适宜采用普查方式的是（ ） A. 了解一批超高音速导弹的使用寿命 B. 考察全国人民保护国家安全的意识 C. 了解军事训练中几个打击目标的坐标 D. 了解全国小学生的身体健康状况 【答案】C 【解析】 【分析】普查适用于调查对象数量少、要求结果准确且调查无破坏性的情况，抽样调查适用于调查范围广、对象数量大或调查具有破坏性的情况，据此判断各选项即可． 【详解】解：A．了解一批超高音速导弹的使用寿命，调查具有破坏性，不适宜普查； B．考察全国人民保护国家安全的意识，调查范围广对象数量多，不适宜普查； C．了解军事训练中几个打击目标的坐标，调查对象数量少，要求结果准确，适宜普查； D．了解全国小学生的身体健康状况，调查范围广对象数量多，不适宜普查． 4. 用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先整理原方程，再按步骤配方得到结果，即可判断选项． 【详解】解：原方程， 整理得 ， ∴， ∴． 5. 2026苏超是江苏足球的“超”级盛宴，它已不只是赛事，而是江苏体育新IP，城市文化新载体，消费升级新引擎，让足球回归大众，在这个足球联赛中，参赛的每两个队之间都需要进行一场比赛，共比赛了78场．设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵共有x个队参赛，每个队需要和除自身外的个队各赛一场，总比赛场次为78场， ∴可得方程． 6. 如图，四边形中，，点分别为线段，上的动点（含端点，但点不与点重合），点分别为的中点，则长度的最大值为（　　） A. 2 B. 2.5 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】连接，由勾股定理得，由三角形中位线性质可得，即可得点  与点  重合时  最大，最大值为 ，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接  、  ，如图所示， 在  中，  ，  ，  ，  ，  点  分别为  的中点，  是  的中位线，  ， 由题意得，当点  与点  重合时  最大，最大值为 ，  长度的最大值为 ． 7. 如图，把放置在菱形中，使得顶点E，F，P分别在线段，，上．已知，，，，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作于，于，证明，再利用直角三角形的性质结合勾股定理计算即可求解． 【详解】解：过点P作于M，于N， 四边形是菱形， ，， ， ， 在与中， ， ， ， 在中，，， ， ∴由勾股定理得：， 同理， ． 8. 如图，正方形中，分别为上两动点（不与正方形端点重合），且满足，分别过点作，交于点，记矩形，矩形，矩形，矩形，面积依次为，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将绕点顺时针旋转，连接，由半角模型，可证得，设，则，由勾股定理得 ，可得出，再用、、表示，以此判断各选项即可． 【详解】解：如图，将绕点顺时针旋转，连接， ∴ ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 设， 则， ∵， ∴， 化简可得， ∴， ， ， ， ∵， ， ∴，故选项A错误； ∵， ， 仅时，，故选项B错误； ∵，， 故与不一定满足，故选项C错误； ∵，， ∴，故选项D正确． 二、填空题：本大题共8小题，每小题2分，共16分．把答案直接填在答题卡相应位置上． 9. 在平行四边形中，若，_____． 【答案】##100度 【解析】 【分析】根据平行四边形对角相等、邻角互补的性质求解． 【详解】解： 四边形是平行四边形，， ，， ． 10. 已知方程，当______时，是关于x的一元二次方程． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，得到关于的方程与不等式，求解即可得到结果． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， ，解得． 11. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，垂直且平分线段，垂足为点，，则的长为________cm． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，根据相等垂直平分线的性质得到，再由矩形的性质得到，则． 【详解】解：垂直且平分线段， ， 四边形是矩形，对角线与相交于点，， ， ， 故答案为：6． 12. 若是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 0 【解析】 【分析】先根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再将所求代数式变形后代入求值即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根， ∴， 又∵， ∴． 13. 如图，已知平行四边形，在平面直角坐标系中，，直线与分别相交，且将平行四边形的面积分成相等的两部分，则k的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意得到的中点为平行四边形的对角线的交点，求出交点坐标，再根据直线将的面积分成相等的两部分，得到直线经过点，即可求解． 【详解】解：如图： ∵四边形为平行四边形， ∴的中点为平行四边形的对角线的交点， ∵， ∴平行四边形的对角线的交点坐标为， ∵直线将的面积分成相等的两部分， ∴直线经过点， ∴， 解得：． 14. 地理实践课上，活动小组的同学在一张面积为的长方形卡片上绘制了如图1所示的河北省地形图，他们想了解该地形图的面积，经研究采取了以下办法：将长方形卡片水平放置在地面上，在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录落在该地形图上的次数（球扔在地形图最外围的界线上或长方形区域外不计入试验结果）．他们将若干次有效试验结果绘制成了如图2所示的折线统计图，由此估计该地形图的面积大约为______． 【答案】 35 【解析】 【详解】解：根据题意可得：小球落在该地形图上的概率为， 设该地形图的面积为． 15. 如图，在中，四个内角的角平分线，，，交于E，F两点，，，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用平行四边形性质与角平分线证明为直角三角形，求出的长度；再证明、，通过证明得，证明四边形是平行四边形，从而求出的长度． 【详解】解：如图，延长交于， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，，， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分，平分，， ∴， ∴， 同理可得， 又∵ ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 16. 如图，在矩形中，，，，分别在，边上．连接，且，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】通过构造全等三角形，将线段转化为，利用两点之间线段最短确定的最小值为线段的长度，再通过构造全等三角形与矩形，结合勾股定理计算的长度． 【详解】解：连接， 四边形是矩形，，， ，，， 由勾股定理得： 以为一边作，在上取点，使，连接、，过作于点，交于点 ，，， ， ， ． 两点之间线段最短， 当、、三点共线时，取得最小值，最小值为的长． ∵，， ∴， ∴， ∵，, ， ， ，，， 四边形是矩形， ，，， ． 在中，由勾股定理得： ， 的最小值为 三、解答题：本大题共10小题，共68分．请将解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔． 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， ， 解得； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， 解得． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若、是方程的两根，且，求的值． 【答案】（1） 证明：关于的一元二次方程， ， 方程总有两个不相等的实数根； （2）k的值为 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程相关问题，涉及一元二次方程判别式与根的情况，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程等知识，熟练掌握一元二次方程相关知识是解决问题的关键． （1）根据一元二次方程判别式与根的情况，证明即可得到答案； （2）由一元二次方程根与系数的关系得，根据题意，代入，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由一元二次方程根与系数的关系得， ， ， 解得：． 19. 某学校为落实国家15分钟课间政策，丰富学生的课间生活，随机抽取学生开展“你最喜爱的课间活动是___________”的问卷调查，要求学生必须从“A（体育竞技类）、B（轻松游戏类）、C（自由交流类）、D（艺术创作类）”四种类型中选择一项，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图． 请你根据图中提供的信息，完成下列问题： （1）本次调查的学生人数为___________人； （2）在扇形统计图中，“A（体育竞技类）”部分所对应扇形的圆心角的度数为___________度； （3）补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； （4）若该校共有2000名学生，估计该校最喜爱“D（艺术创作）”的学生有多少人？ 【答案】（1）100 （2） （3） 补全条形统计图如下： （4）估计该校最喜爱“D（艺术创作）”的学生有500人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是解决问题的关键． （1）从两个统计图中可知，选择“B（轻松游戏类）”的人数是35人，占调查人数的，可求出调查人数； （2）求出选择“A（体育竞技类）”所占的百分比，即可求出相应的圆心角度数； （3）用总人数减去A、B、D的人数，求出选择“C（自由交流类）”的人数，即可补全条形统计图； （4）利用样本中“D（艺术创作）”的百分比估计总体2000人喜爱“D（艺术创作）”的学生的人数． 【小问1详解】 解：（人）， 故答案为：100； 【小问2详解】 解：， 故答案为：； 【小问3详解】 解：（人）， 【小问4详解】 解：（人）， 答：估计该校最喜爱“D（艺术创作）”的学生有500人． 20. 在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 b 295 484 601 摸到白球的频率 a （1）求出表中的___________， ． （2）估计当n很大时，摸到白球的频率将会接近 （精确到） （3）若从口袋里拿出去x个白球，这时从口袋里任意摸出一球是白球的概率为，求x的值． 【答案】（1），； （2）； （3）4． 【解析】 【分析】本题主要考查了求频率，用频率估计概率，已知概率求数量，解分式方程． （1）根据频率和频数的定义求解即可； （2）根据随着摸球次数的增多，摸到白球的频率逐渐稳定在，即可求解； （3）求出白球数量，根据概率公式列方程求解即可． 【小问1详解】 解：由数据可知，，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由表格可知，当很大时，摸到白球的频率将会接近， 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵摸到白球的频率接近， ∴摸到白球的概率为， ∴此口袋里白球有（只）， 由题意可得， 解得：， 经检验：为原分式方程的解， 即的值为． 21. 如图，在四边形中，，平分，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，的周长为18，求菱形的面积． 【答案】（1） （1）证明：∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． （2）24 【解析】 【分析】（1）因为平分，所以可得一组相等的角，结合上述平行线的角的关系，可推出；因为，可先证四边形是平行四边形，再结合，证得是菱形； （2）先根据的周长和的长度，求出的长度；因为菱形的对角线互相垂直平分，可利用勾股定理求出对角线的一半长度，进而得到的长度；最后根据菱形的面积公式计算面积． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，，． ∵，的周长为18， ∴，则． 在中，， ∴． ∴菱形的面积为． 22. 为了丰富学生的课余生活，学校计划在校园内建造一个活动区域（长方形），两面靠墙（位置的墙最大可用长度为，位置的墙最大可用长度为），另两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留宽的门（不用栅栏）．建成后栅栏总长． （1）若活动区域（长方形）的一边长为，则另一边            ． （2）若活动区域（长方形）的面积为，求边的长． 【答案】（1） （2）边的长为． 【解析】 【分析】（1）由栅栏总长为，即可求出的长； （2）设，则，根据活动区域的面积为，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：设，则，依题意得： ， 解得：， ∵， ∴， ∴， 当时，，符合题意． 答：边的长为． 23. 已知：正方形的边长为，是边上一个动点不与点、点重合，，以为一边在正方形外作正方形，连接、． 观察计算：（1）如图1，当，时，四边形的面积为______； （2）如图2，当，时，四边形的面积为______； （3）如图3，当，时，四边形的面积为______； 探索发现：（4）根据上述计算的结果，你认为四边形的面积与正方形的面积之间有怎样的关系？ 【答案】（1）16；（2）16；（3）；（4）四边形的面积与正方形的面积相等 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质． （1）用大正方形的面积加上梯形的面积再减去直角三角形的面积，进行求解即可； （2）用大正方形的面积加上梯形的面积再减去直角三角形的面积，进行求解即可； （3）用大正方形的面积加上梯形的面积再减去直角三角形的面积，进行求解即可； （4）求出大正方形的面积，进行判断即可． 【详解】解：（1）四边形的面积； 故答案为：16； （2）四边形的面积； 故答案为：16； （3）四边形的面积； 故答案为：； （4）由上可知，四边形的面积等于正方形的面积； 四边形的面积； 正方形的面积； 故四边形的面积等于正方形的面积． 24. 定义：若关于x的一元二次方程的两根均为整数，则称该方程为“快乐方程”．对于“快乐方程”，定义其“快乐数”为． 现探究以下问题： （1）“快乐方程”的“快乐数”为______； （2）若关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“快乐方程”，求m的值，并求该方程的“快乐数”． （3）对于“快乐方程”（b、c为整数），若其“快乐数”（n为正整数），且方程的两根，满足，求该方程的“快乐数”所有可能的值． 【答案】（1） （2）， （3）所有可能的快乐数为和 【解析】 【分析】（1）根据“快乐数”的定义求解； （2）先计算，根据“快乐方程”的定义，得到为平方数，根据，得到，即可求出或36，根据m为整数，即可求出m的值，即可求其“快乐数”； （3）首先表示出 ，得到，然后利用根与系数的关系得到，，表示出 ，得到，根据题意求出或4，进而求解即可． 【小问1详解】 解：方程的“快乐数”为 ； 【小问2详解】 解：方程， ∴， ∵， ∴， 又∵方程是“快乐方程”，且m为整数， ∴方程的根为整数， ∴为完全平方数， ∴或36， ∴，（舍去）， ∴方程为：， ∴， ∴其“快乐数”数是； 【小问3详解】 解：根据题意得， ， ∴， ∵方程的两根为，， ∴，， ∴ ， ∴， ∵是“快乐方程”， ∴，是整数， ∴是整数， ∵n为正整数， ∴n为完全平方数， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴或4， ∴ 或． 25. 如图，在四边形中，，，，，，动点从点A出发，以的速度向终点运动，同时动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒． （1）______，______．（用含t的式子表示） （2）当t为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？ （3）只改变点Q的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形为菱形，则点Q的运动速度为多少？ 【答案】（1）； （2）或时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形； （3）当Q点的速度为时，四边形为菱形． 【解析】 【分析】（1）根据P点的速度以及时间结合的长表示即可表示出；过点作，证明四边形是矩形，求出，分时，点在上，时，点在上，即可表示出； （2）只有Q点在上时，方能满足条件，分两种情况：①四边形是平行四边形，②四边形是平行四边形，进行解答即可； （3）设Q的速度为，Q在边上，此时可为菱形，满足，建立方程解决即可． 【小问1详解】 解：P点从A点以向B点运动，运动时间为秒， ， ， ； 过点作，则， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 则点在上运动的时间为，点在上运动的时间为， ∵点在上运动的时间为，且， ∴时，两点停止运动， 当时，点在上，此时； 当时，点在上，此时； 综上，； 【小问2详解】 解：∵直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形，分两种情况： ①四边形是平行四边形，如图所示： ∵即， 只需即可，由（1）知：，， ， 解得：； ②四边形是平行四边形，如图所示： 同理， 只需，四边形是平行四边形， 由（1）知，， 则， ， 解得：， 综上所述：或时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形； 【小问3详解】 解：设Q的速度为，由（2）可知，Q在边上，此时四边形可为菱形， ， 只需满足即可， 由（1）知：，，， ，， 解得：，， 当Q点的速度为时，四边形为菱形． 26. 综合与实践 问题情境： 数学兴趣小组在探究与正方形有关的动点问题时，如图2，在正方形内取一点E，使，将点E绕点C逆时针旋转得到点，射线，交于点F． 特例研究： （1）精勤小组在探究过程中遵循由特殊到一般的探究规律：如图1，发现点E在对角线中点O处时，点F与点B重合，此时四边形的形状为______． 探究发现： （2）博雅小组发现，如图2，只要，四边形的形状都是正方形，请证明. （3）卓越小组受博雅小组的启发，进一步深入探究，如图3，取中点G，连接，，，又发现：在点E运动过程中，与始终保持特定的数量关系，请写出此数量关系，并说明理由. 拓展应用： （4）在（3）的条件下，已知，，直接写出的长． 【答案】（1）正方形 （2）见解析 （3），理由见解析 （4） 【解析】 【分析】（1）利用正方形的性质即可得出结论； （2）先证明，再利用正方形的判定定理证明即可； （3）利用正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的特点，推理证明即可； （4）取的中点M，取的中点N，连接，求得，再证明，利用勾股定理求得，即可求得． 【小问1详解】 解：点E在对角线中点O处，点F与点B重合，四边形是正方形， ∴，， 由旋转的性质得，， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； 【小问2详解】 证明：四边形是正方形， ， ， 点E绕点C逆时针旋转得到点， ， ， ，， ， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形． 【小问3详解】 解：，理由如下： 连接， 四边形是正方形，O是的中点，  O是的中点，， 四边形是正方形， ， ， 四边形是正方形，O是的中点， ， G是的中点， ， ， 四边形是正方形， ， G是的中点， ， ， ． 【小问4详解】 解：取的中点M，取的中点N，连接， ， 根据（3）得， ，， ， 四边形是正方形，O是的中点， ，，， ， ， 过点M作于点Q， ∵， ∴是等腰直角三角形 ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $