专题03-2解三角形导学案培优版-2027届高三数学一轮复习

专题03 解三角形及其应用（二） 一、目录 1、 判断三角形形状问题 2、 三角形解的个数问题 3、 解三角形多边形问题 4、 解三角形面积最值问题 5、 解三角形周长范围问题 6、 解三角形边范围问题 2、 热点题型 题型01 判断三角形形状 方法与技巧 （1） 通过正弦定理全部转化为纯边等式，依据边长关系判定等腰、等边、直角结构，通过边的平方关系精准锁定直角三角形； （2） 边化角判定，适用于含边长平方、常数项的混合结构，将边长统一转化为角度正弦值，结合三角恒等变换、内角和化简，得到角度相等、互余、特殊角关系，判定三角形类型． 典例1．已知的内角所对的边分别为，若，则的形状为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】由正弦定理及两角的和差公式求解即可. 【详解】因为， 由正弦定理可得， 即, 所以， 整理得， 又因为，所以, 所以， 所以， 所以为等腰三角形. 变式一．在中，角，，分别为，，三边所对的角，，则的形状是（    ） A．等腰三角形但一定不是直角三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形但一定不是等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】C 【分析】先化简应用两角和差的正弦公式，再应用正弦定理结合余弦定理得出，最后得出边长关系即可判断三角形形状. 【详解】由得：，且， ，且， ， ， 化简整理得：，即， 或，又， 是直角三角形但一定不是等腰三角形． 故选：． 变式二．已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，且，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．顶角为的等腰三角形 C．顶角为的等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】由正弦定理和两角和的正弦公式化简，可得，即，再由两角差的正弦公式化简，可得，即可得出答案. 【详解】由正弦定理可得， 因为，所以， 所以，即， 即，因为，所以， 所以，因为，所以，所以， 因为，所以， 所以，即， 即，因为，所以，所以， 因为.所以， 所以的形状为顶角为的等腰三角形. 故选：B. 变式三．在中，内角，B，C的对边分别为，b，c，则“”是“为直角三角形”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用正弦定理将边角等式转化为边的关系，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】在中，由正弦定理得（为外接圆半径，）， 因此，，，将上述关系代入，可得： 两边同乘化简得，由勾股定理逆定理可知， 即为直角三角形，充分性成立. 若为直角三角形，直角顶点不一定为：当直角为时，勾股关系为； 当直角为时，勾股关系为，两种情况均不满足， 无法推出，故必要性不成立. 综上，“”是“为直角三角形”的充分不必要条件. 变式四．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则“”是为直角三角形的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】D 【分析】由，利用正弦定理得到，再利用三角恒等变换得到求解. 【详解】解：因为， 所以， 则， 则， 化简得， 所以或， 所以或， 所以为直角三角形（）或等腰三角形， 所以“”是为直角三角形的既不充分又不必要条件. 故选：D 变式五．在△ABC中，已知a2＋b2－c2＝ab，且2cosAsinB＝sinC，则该三角形的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【分析】利用余弦定理可得，再结合条件利用正弦定理及余弦定理可得，即得. 【详解】∵a2＋b2－c2＝ab， ∴，又， ∴， 由2cosAsinB＝sinC，得 ∴，即，又， 故三角形为等边三角形. 故选：C 题型02 三角形的解的个数 方法与技巧 （1）使用正弦定理求角时，优先判断已知边、角大小关系，结合大边对大角、内角和小于180度判定解的个数，严格筛选锐角、钝角合理性． 典例2．（25-26高一下·江西·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列对三角形解的个数的判断正确的是（    ） A．，，，有两解 B．，，，有一解 C．，，，无解 D．，，，有两解 【答案】BC 【难度】0.7 【知识点】正弦定理解三角形、正弦定理判定三角形解的个数 【分析】根据题意，结合正弦定理，以及的值，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，由正弦定理，可得， 因为，可得，则三角形有一解，故A错误； 对于B，因为，所以，则三角形有一解，故B正确； 对于C，因为，所以，则三角形无解，故C正确； 对于D，因为，所以，则三角形无解，故D错误. 变式一．（21-22高一下·湖北荆州·阶段检测）在中，角的对边分别为，若，，，则此三角形（    ） A．无解 B．有一解 C．有两解 D．解的个数不定 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】根据作圆法判断三角形个数的结论直接得到结果即可. 【详解】，，有唯一解. 故选：B. 变式二．（24-25高一下·甘肃平凉·阶段检测）多选下列对三角形解的个数的判断中不正确的是（    ） A．，有两解 B．，有一解 C．，有两解 D．，无解 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】应用正弦定理结合各选项的条件求，由三角形内角的性质即可判断各选项的正误. 【详解】由正弦定理，又， 所以，只有一个解，故不正确； 由正弦定理， 因为，所以，又， 所以只有一个解，故正确； 由正弦定理， 所以无解，故不正确； 由正弦定理，因为，所以， 又，所以有两个解，一个锐角和一个钝角，故不正确. 故选：. 变式三．（21-22高三上·江苏扬州·阶段检测）多选不解三角形，则下列对三角形解的个数的判断中正确的是（    ） A．，有一解 B．，有两解 C．，有两解 D．，无解 【答案】AD 【难度】0.85 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】应用正弦定理结合各选项的条件求，由三角形内角的性质即可判断各选项的正误. 【详解】A：由正弦定理，又，故只有一个解，正确； B：由正弦定理，又，显然只有一个解，错误； C：由正弦定理，显然无解，错误； D：由正弦定理，显然无解，正确； 故选：AD 变式四．（22-23高一下·广西北海·期末）多选在下列情况的三角形中，有两个解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【难度】0.85 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】利用正弦定理，逐项判断计算作答 【详解】对于A，，则有两解，A是； 对于B，，且，则为锐角，只有一解，B不是； 对于C，，则为锐角，只有一解，C不是； 对于D，，则有两解，D是. 故选：AD 变式五．（21-22高一下·重庆沙坪坝·阶段检测）多选不解三角形，根据已知条件，判断三角形的解的个数.下列说法中正确的是（    ） A．，，，有一解 B．，，，有一解 C．，，，有两解 D．，，，有两解 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】根据和大小确定三角形解的个数或者根据条件特点直接判断个数即可. 【详解】对于A选项，，所以有一解，故A正确； 对于B选项，根据条件三角形一定是唯一确定的，所以有一解，故B正确； 对于C选项，，所以无解，故C错误； 对于D选项，，所以有两解，故D正确. 故选：ABD. 题型03 解三角形及多边形问题 方法与技巧 （1） 将四边形、不规则多边形沿对角线拆分出多个可解三角形，梳理图形中的公共边、公共角、邻补角、等角、互余角等关联条件； （2） 优先求解条件最充足的基础三角形，算出公共边长、关键角度作为过渡中间量，再将所得结果代入相邻嵌套三角形，二次使用正余弦定理、面积公式递进求解． 典例3．（2026·湖南株洲·三模）如图，四边形ABCD为圆内接四边形，，，． (1)求AD长； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】几何图形中的计算、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）根据余弦定理求解即可； （2）先求的三角函数，利用倍角得的三角函数，再由圆内接四边形性质得，通过三角恒等变换可得，在中用正弦定理求，最后用面积公式计算即可. 【详解】（1）在中，由余弦定理得， 代入，，，得 ， 整理得，解得（不符合边长要求，舍去）. （2）在中，由余弦定理得， 所以，又因为，所以，， 四边形为圆内接四边形，，所以，， 所以，即，所以， 在中，由正弦定理得，所以， 所以. 变式一．（2026·新疆·二模）如图，四边形为圆内接四边形，，，． (1)求； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【难度】0.7 【知识点】几何图形中的计算、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、正弦定理解三角形 【详解】（1）是的内角，，， . 在中，由余弦定理得 ， 代入，，，得 ， 整理得 ，解得（不符合边长要求，舍去）. 由正弦定理得 ， . （2） 四边形为圆内接四边形，， ，. 在中，由余弦定理得 ， 代入，，，得 ， 整理得 ，解得（不符合边长要求，舍去）. 的面积 . 变式二．（25-26高三上·河北秦皇岛·开学考试）如图，四边形中，，，，且四点共圆．    (1)求的值； (2)若点为上一点，的面积为，求的值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、正弦定理解三角形 【分析】（1）根据四点共圆，得到，然后分别在和中，利用余弦定理求解； （2）由（1）得到，再根据的面积为，求得，从而，然后分别在在和中，利用余弦定理得到，从而在中，求得DM，然后利用正弦定理求解. 【详解】（1）解：因为四点共圆，所以， 则． 如图所示：    连接，在中，， 在中，， 两式作差得，解得． （2）由（1）可知，所以． 由的面积为，得， 即，解得， 则． 易知，所以， 连接， 在中，， 在中，， 两式作差得，，解得， 则． 在中，， 则． 由正弦定理，得． 变式三．（2026·浙江·模拟预测）已知在梯形中，，，，， (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.71 【知识点】几何图形中的计算、余弦定理解三角形、用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理解三角形 【分析】（1）在三角形中利用余弦定理直接求解； （2）利用余弦定理及正弦定理求解即可. 【详解】（1）如图， 因为梯形中，， 所以， 由余弦定理可得， 所以. （2）在中，， 又， 在中，， 所以， 又， 由正弦定理可得：，即， 解得. 变式四．（26-27高三上·北京东城·阶段检测）如图，在中，为边上一点，． (1)求的大小； (2)求线段的长． 【答案】(1) (2) 【难度】0.67 【知识点】几何图形中的计算、余弦定理解三角形 【分析】（1）在中已知三边，直接用余弦定理算出，再结合内角范围求解； （2）利用两组角相等推出，借助相似三角形对应边成比例求出解． 【详解】（1）由余弦定理， 在三角形中，， 故． （2）已知，是和的公共角， 则， 故，则． 变式五．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，四边形ABCD中，，，. (1)求； (2)若，四边形ABCD的周长为20，求四边形ABCD的面积. 【答案】(1)​ (2)​ 【难度】0.55 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】（1）在中利用余弦定理先求和，再求． （2）由周长得到，结合的余弦定理求、，再用两个三角形面积之和求四边形面积． 【详解】（1）设，则． 在中，由余弦定理得即，所以，解得或． 因为，所以，． 由余弦定理，又，所以． （2）由四边形的周长为，得设，． 在中，由余弦定理及，得，又， 两式相减得，于是、是方程的两个正根，所以． 对角线将四边形分成和，故，． 所以四边形的面积为 题型04 解三角型面积最值问题 方法的与技巧 （1）定基本量：根据题意或几何图形厘清三角形中边、角的关系，利用正、余弦定理求出相关的边、角或边角关系，并选择相关的边、角作为基本量，确定基本量的范围． （2）构建函数：根据正、余弦定理或三角恒等变换将待求范围的变量用关于基本量的函数解析式表示． （3）求最值：利用基本不等式或函数的单调性等求最值． 典例4．（25-26高三上·内蒙古呼和浩特·开学考试）在中，，，则面积的最大值为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求三角形面积的最值或范围、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】利用余弦定理结合基本不等式求出的取值范围，再利用三角形的面积公式可求三角形面积的最大值. 【详解】由余弦定理可得：， 即（当且仅当时取等号）. 所以. 所以. 故答案为： 变式一．（26-27高三·全国·一轮复习）的内角的对边分别为．若，则面积的最大值为______． 【答案】 【难度】0.7 【知识点】求三角形面积的最值或范围、余弦定理解三角形、基本不等式求积的最大值 【分析】先应用余弦定理，得的关系式，再结合重要不等式求三角形面积的最大值． 【详解】由余弦定理得， 即， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以， 即的面积的最大值为． 变式二．（2016·湖北·一模）在中，内角的对边边长分别为，且．若，则的面积最大值为________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求三角形面积的最值或范围、余弦定理解三角形、正弦定理解三角形 【分析】直接利用正弦定理和余弦定理表示出三角形的面积公式，再利用基本不等式的应用求出结果. 【详解】由题意，设三角形面积为，则， 由余弦定理，得，两式相除得， 同理可得， 由，即，化简得， ∴ ， ∴ ，当且仅当，即时取等号. 故答案为：． 【点睛】本题考查解三角形，三角形面积公式、余弦定理，三角函数关系，基本不等式的知识，利用同角三角函数关系，结合余弦定理，就可以求出，然后代入三角形的面积公式，最后利用基本不等式求面积的最大值. 变式三．（18-19高三下·江苏苏州·阶段检测）在中，若，则面积的最大值为___________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形面积的最值或范围、三角形面积公式及其应用 【分析】首先根据题意得到，利用正弦定理得到，，从而得到，再利用三角函数的性质求最值即可. 【详解】因为， 所以，即. 又因为，所以. 因为，所以， 即，， 所以， 当时，取得最大值为. 故答案为： 变式四（2021·广东汕头·三模）已知的边，且，则的面积的最大值为___________. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】辅助角公式、正弦定理边角互化的应用、求含sinx(型)函数的值域和最值、三角形面积公式及其应用 【分析】首先根据三角恒等变形和正弦定理变形得到，再利用三角形面积公式得，再转化为三角函数的性质，求函数的最大值 【详解】由题意，设中角，，所对应的边长度分别为，，，则有， 由可得，整理得， ∴， ∵，∴，∴， 由正弦定理可得， ∴，则有. 故的面积 . ∵，∴，当时，的面积取得最大值. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数和解三角形相结合的综合应用，本题的关键是利用三角恒等变形和正弦定理得到，为后面转化为关于的三角函数求最值奠定基础. 变式五．（2026高三上·全国·专题练习）中，D为BC的中点，G为的重心，，，则的面积的最大值为______． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】求三角形面积的最值或范围、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】根据三角形重心的性质，结合余弦定理、同角三角函数关系式、三角形面积公式、二次函数的性质进行求解即可. 【详解】设. 因为G为的重心，所以，. 在中，设， 由余弦定理，得， 所以有. 因为D为BC的中点， 所以， 令， 所以当时，该二次函数有最大值， 所以当时，的面积有最大值. 题型05 解三角形周长范围问题 方法与技巧 （1）定基本量：根据题意或几何图形厘清三角形中边、角的关系，利用正、余弦定理求出相关的边、角或边角关系，并选择相关的边、角作为基本量，确定基本量的范围． （2）构建函数：根据正、余弦定理或三角恒等变换将待求范围的变量用关于基本量的函数解析式表示． （3）求最值：利用基本不等式或函数的单调性等求最值． 典例5．（26-27高三上·海南海口·阶段检测）记的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求角的大小； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)． (2)． 【难度】0.56 【知识点】辅助角公式、求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理边角互化的应用、求含sinx(型)函数的值域和最值、余弦定理解三角形 【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理求解； （2）利用正弦定理将和用表示，求出，利用正弦函数的图象和性质求解的取值范围. 【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得， 整理得， 由余弦定理可得， 且，则． （2）因为，， 所以由正弦定理得，， 则，， 则， 在中，，故，则， 则，所以的取值范围为． 变式一．（26-27高二上·广东茂名·阶段检测）的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知． (1)求B； (2)若b=3，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2)（6，9］ 【难度】0.62 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理边角互化的应用、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）由 得 ，再用正弦定理把条件中的边化为角，展开后两边消去 ，约去 得 ，由 求出 . （2）由正弦定理得 ，将 表为 的三角函数；利用 消元，展开 后用辅助角公式合为 ，由 得 ，结合正弦函数值域得周长 . 【详解】（1） 由正弦定理 即： 又     因为，所以 （2）由正弦定理得 所以周长 又      即 周长的取值范围是（6，9］． 【点睛】本题考查正弦定理边角互化与三角恒等变换，重点考查 "用辅助角公式合并同名三角函数、由角的取值范围严格确定正弦值域求周长范围" 的能力。 变式二．（22-23高三下·江苏宿迁·阶段检测）已知的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且. (1)求角B的大小； (2)若，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】正弦定理边角互化的应用、求含sinx(型)函数的值域和最值、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式化简，再由特殊角的余弦值求解； （2）由正弦定理及辅助角公式可得，由三角函数求出范围即可. 【详解】（1）由和正弦定理得 ， 即. 由得. ，. 又，， ，即. （2）由（1）知， ，. 根据正弦定理得， . ，. ，， 周长的取值范围为. 变式三．（24-25高三下·江苏苏州·开学考试）在中，角所对的边分别为，已知． (1)求角的大小； (2)若，，求的面积； (3)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式得到，即可得解； （2）利用余弦定理求出，再由面积公式计算可得； （3）利用正弦定理将转化为关于的三角函数，结合三角形为锐角三角形求出的范围，即可求出的取值范围. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， ∴， ∵，则，∴，又，∴； （2）因为，， 由余弦定理，即， ∴，解得， ∴； （3）在中，由正弦定理， ∴， ∴ ， 又为锐角三角形，∴， ∴，∴， ∴，∴，∴， 故周长的取值范围为 变式四．（26-27高二上·湖南邵阳·开学考试）在锐角三角形中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求A； (2)若，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.59 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理边角互化的应用、求含sinx(型)函数的值域和最值、三角恒等变换的化简问题 【分析】小问（1）根据商数关系、正弦定理和诱导公式将等式化简，再根据锐角三角形得出角的范围从而求出结果；小问（2）运用第（1）问结果和锐角三角形求出角B的范围，再根据正弦定理和角的关系求出b、c两边与角B的关系式，三角形的三边相加并进行化简，再根据角B的范围求出周长的范围. 【详解】（1）在中，由题意得：， 即， 得， 因为，解得．   又，故． （2）由于该三角形为锐角三角形，，有， 即， 解得．     由正弦定理得：， 解得，，     则的周长 ， 又因为，所以， 的周长的取值范围为． 变式五．（26-27高三·全国·一轮复习）在锐角 中，角 的对边分别为 ，已知 ，，求 周长的取值范围． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理边角互化的应用、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】根据正弦定理表示出，再由锐角三角形以及三角函数值域即可求出周长的取值范围. 【详解】由正弦定理得 ， 所以 ， 因为 为锐角三角形， 所以，且，解得，所以， 所以，所以 ， 所以的周长为 ． 题型06 解三角形边的最值 方法与技巧 （1）定基本量：根据题意或几何图形厘清三角形中边、角的关系，利用正、余弦定理求出相关的边、角或边角关系，并选择相关的边、角作为基本量，确定基本量的范围． （2）构建函数：根据正、余弦定理或三角恒等变换将待求范围的变量用关于基本量的函数解析式表示． （3）求最值：利用基本不等式或函数的单调性等求最值． 典例6．（2026·陕西咸阳·二模）记的内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若为锐角三角形，且，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.62 【知识点】正弦定理边角互化的应用、正弦定理解三角形 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用辅助角公式求角即可； （2）利用正弦定理边化角，再利用角的范围求出边的范围. 【详解】（1）由正弦定理边化角代入已知等式可得， 因为在 中，所以， 因为，所以； （2）因为，结合三角形内角和定理可得， 又因为为锐角三角形，故，即 再由正弦定理可得：， 因为，所以. 变式一．（26-27高三上·辽宁鞍山·开学考试）在锐角中，角、、的对边分别为、、，且，． (1)求角的大小； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.6 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、正余弦定理与三角函数性质的结合应用 【分析】（1）利用正弦定理，将中的角都化为边，再结合余弦定理表示出，结合是锐角三角形，即可求得角的大小； （2）利用正弦定理，将用含角的代数式表示出，再结合角的范围即可求出的取值范围． 【详解】（1）已知，由正弦定理，可得， 去分母，得，即． 由余弦定理，可得． 因为在锐角中，，所以． （2）由正弦定理，可得 ． 因为三角形为锐角三角形，所以，解得． 所以，则，故． 变式二．（26-27高三上·广东惠州·阶段检测）在中，内角的对边分别为，且满足. (1)求角B的大小； (2)若，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.72 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理边角互化的应用、基本不等式求和的最小值、余弦定理解三角形 【详解】（1）因为 所以由正弦定理得 即 所以 因为 ，所以 又 ，所以 所以 ,即 因为 ,所以 ． （2）因为 ， 所以 当且仅当 时，取等号， 所以 变式三．（19-20高一下·四川凉山·期末）锐角的内角，，的对边分别为，，，． （1）求； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【难度】0.65 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）根据，利用正弦定理转化为求解. （2）由是锐角三角形， 则，然后由，，利用余弦定理得到，代入上面不等式组求解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得：， 因，得，， 得， （2）（解法一）因，， 由余弦定理得：， 因为是锐角三角形， 所以，，即， 代入得且， 解得：， 即的取值范围为． （解法二）因为，， 由正弦定理：得， 所以， 又因为，解得， 则， 所以，即的取值范围为． 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题 变式四．（重难点培优04 解三角形中的最值与范围（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测）在 中，角 的对边分别为 ，已知 ，， 的平分线 交 于点 ，求 的取值范围． 【答案】 【难度】0.45 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】利用等面积法求得角平分线长度的表达式，再构造函数求解. 【详解】由可知 化简可得 由余弦定理可得 ， 即，， 令 ，则， 由 得 ，又，故 由基本不等式 可得 所以 ，代入 表达式可得 令,由于 在 上单调递增，所以即， 故的取值范围为 ． 变式五．（23-24高三上·黑龙江鸡西·阶段检测）在中，AD为∠BAC的平分线，且． (1)若，，求的面积； (2)若，求边AC的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】二倍角的正弦公式、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）由结合面积公式求解即可； （2）设，，，结合可得，在中结合余弦定理可得，进而得到，进而求解即可. 【详解】（1）由题意，AD为∠BAC的平分线，可得， 由，得， 即，解得， 所以. （2）设，，， 由，得， 即， 即， 即，又， 所以，即， 在中，由余弦定理得， 所以，即， 因为，且， 所以，即， 则， 所以边AC的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 解三角形及其应用（二） 一、目录 1、 判断三角形形状问题 2、 三角形解的个数问题 3、 解三角形多边形问题 4、 解三角形面积最值问题 5、 解三角形周长范围问题 6、 解三角形边范围问题 2、 热点题型 题型01 判断三角形形状 方法与技巧 （1） 通过正弦定理全部转化为纯边等式，依据边长关系判定等腰、等边、直角结构，通过边的平方关系精准锁定直角三角形； （2） 边化角判定，适用于含边长平方、常数项的混合结构，将边长统一转化为角度正弦值，结合三角恒等变换、内角和化简，得到角度相等、互余、特殊角关系，判定三角形类型． 典例1．已知的内角所对的边分别为，若，则的形状为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 变式一．在中，角，，分别为，，三边所对的角，，则的形状是（    ） A．等腰三角形但一定不是直角三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形但一定不是等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 变式二．已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，且，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．顶角为的等腰三角形 C．顶角为的等腰三角形 D．等腰直角三角形 变式三．在中，内角，B，C的对边分别为，b，c，则“”是“为直角三角形”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式四．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则“”是为直角三角形的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 变式五．在△ABC中，已知a2＋b2－c2＝ab，且2cosAsinB＝sinC，则该三角形的形状是（    ） A． 直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 题型02 三角形的解的个数 方法与技巧 （1）使用正弦定理求角时，优先判断已知边、角大小关系，结合大边对大角、内角和小于180度判定解的个数，严格筛选锐角、钝角合理性． 典例2．（25-26高一下·江西·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列对三角形解的个数的判断正确的是（    ） A．，，，有两解 B．，，，有一解 C．，，，无解 D．，，，有两解 变式一．（21-22高一下·湖北荆州·阶段检测）在中，角的对边分别为，若，，，则此三角形（    ） A．无解 B．有一解 C．有两解 D．解的个数不定 变式二．（24-25高一下·甘肃平凉·阶段检测）多选下列对三角形解的个数的判断中不正确的是（    ） A．，有两解 B．，有一解 C．，有两解 D．，无解 变式三．（21-22高三上·江苏扬州·阶段检测）多选不解三角形，则下列对三角形解的个数的判断中正确的是（    ） A．，有一解 B．，有两解 C．，有两解 D．，无解 变式四．（22-23高一下·广西北海·期末）多选在下列情况的三角形中，有两个解的是（    ） A． B． C． D． 变式五．（21-22高一下·重庆沙坪坝·阶段检测）多选不解三角形，根据已知条件，判断三角形的解的个数.下列说法中正确的是（    ） A．，，，有一解 B．，，，有一解 C．，，，有两解 D．，，，有两解 题型03 解三角形及多边形问题 方法与技巧 （1） 将四边形、不规则多边形沿对角线拆分出多个可解三角形，梳理图形中的公共边、公共角、邻补角、等角、互余角等关联条件； （2） 优先求解条件最充足的基础三角形，算出公共边长、关键角度作为过渡中间量，再将所得结果代入相邻嵌套三角形，二次使用正余弦定理、面积公式递进求解． 典例3．（2026·湖南株洲·三模）如图，四边形ABCD为圆内接四边形，，，． (1)求AD长； (2)若，求的面积． 变式一．（2026·新疆·二模）如图，四边形为圆内接四边形，，，． (1)求； (2)若，求的面积． 变式二．（25-26高三上·河北秦皇岛·开学考试）如图，四边形中，，，，且四点共圆．    (1)求的值； (2)若点为上一点，的面积为，求的值． 变式三．（2026·浙江·模拟预测）已知在梯形中，，，，， (1)求的长； (2)求的值． 变式四．（26-27高三上·北京东城·阶段检测）如图，在中，为边上一点，． (1)求的大小； (2)求线段的长． 变式五．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，四边形ABCD中，，，. (1)求； (2)若，四边形ABCD的周长为20，求四边形ABCD的面积. 题型04 解三角型面积最值问题 方法的与技巧 （1）定基本量：根据题意或几何图形厘清三角形中边、角的关系，利用正、余弦定理求出相关的边、角或边角关系，并选择相关的边、角作为基本量，确定基本量的范围． （2）构建函数：根据正、余弦定理或三角恒等变换将待求范围的变量用关于基本量的函数解析式表示． （3）求最值：利用基本不等式或函数的单调性等求最值． 典例4．（25-26高三上·内蒙古呼和浩特·开学考试）在中，，，则面积的最大值为______． 变式一．（26-27高三·全国·一轮复习）的内角的对边分别为．若，则面积的最大值为______． 变式二．（2016·湖北·一模）在中，内角的对边边长分别为，且．若，则的面积最大值为________. 变式三．（18-19高三下·江苏苏州·阶段检测）在中，若，则面积的最大值为___________. 变式四（2021·广东汕头·三模）已知的边，且，则的面积的最大值为___________. 变式五．（2026高三上·全国·专题练习）中，D为BC的中点，G为的重心，，，则的面积的最大值为______． 题型05 解三角形周长范围问题 方法与技巧 （1）定基本量：根据题意或几何图形厘清三角形中边、角的关系，利用正、余弦定理求出相关的边、角或边角关系，并选择相关的边、角作为基本量，确定基本量的范围． （2）构建函数：根据正、余弦定理或三角恒等变换将待求范围的变量用关于基本量的函数解析式表示． （3）求最值：利用基本不等式或函数的单调性等求最值． 典例5．（26-27高三上·海南海口·阶段检测）记的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求角的大小； (2)若，求的取值范围． 变式一．（26-27高二上·广东茂名·阶段检测）的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知． (1)求B； (2)若b=3，求周长的取值范围． 变式二．（22-23高三下·江苏宿迁·阶段检测）已知的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且. (1)求角B的大小； (2)若，求周长的取值范围. 变式三．（24-25高三下·江苏苏州·开学考试）在中，角所对的边分别为，已知． (1)求角的大小； (2)若，，求的面积； (3)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围． 变式四．（26-27高二上·湖南邵阳·开学考试）在锐角三角形中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求A； (2)若，求周长的取值范围． 变式五．（26-27高三·全国·一轮复习）在锐角 中，角 的对边分别为 ，已知 ，，求 周长的取值范围． 题型06 解三角形边的最值 方法与技巧 （1）定基本量：根据题意或几何图形厘清三角形中边、角的关系，利用正、余弦定理求出相关的边、角或边角关系，并选择相关的边、角作为基本量，确定基本量的范围． （2）构建函数：根据正、余弦定理或三角恒等变换将待求范围的变量用关于基本量的函数解析式表示． （3）求最值：利用基本不等式或函数的单调性等求最值． 典例6．（2026·陕西咸阳·二模）记的内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若为锐角三角形，且，求的取值范围. 变式一．（26-27高三上·辽宁鞍山·开学考试）在锐角中，角、、的对边分别为、、，且，． (1)求角的大小； (2)求的取值范围． 变式二．（26-27高三上·广东惠州·阶段检测）在中，内角的对边分别为，且满足. (1)求角B的大小； (2)若，求的最小值. 变式三．（19-20高一下·四川凉山·期末）锐角的内角，，的对边分别为，，，． （1）求； （2）若，求的取值范围． 变式五．（23-24高三上·黑龙江鸡西·阶段检测）在中，AD为∠BAC的平分线，且． (1)若，，求的面积； (2)若，求边AC的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $