6.4.3 第2课时 正弦定理-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学必修第二册同步辅导与测试(人教A版)

第二课时正弦定理 必备知识·自主梳理 1 1.正弦sin B sinC31)7 acsin B7 absin C 即时小练 1.(1)×(2)×(3)/ 名B[由正發定理，得=nB10 sin A 2=105.] 1 8A[的品将盟品解得如B导 b 2 460或120[由正孩定理，品B-品得mB-5V 6 .b>a,B>A,且0°<B<180,B=60或B=120.] 21 535[s=inC=×4X3×9-3] 关键能力·合作探究 题点一 典例解(1)A=180°-(B+C)=180°一(60°+75)=45°. 由c得c--8Xn7 sin A sin 45 8x2+6 4—=4(W5+1). 因此A=45°，c=4(√3+1). (2”品入c '.sin C-csin A=/6sin 453 2， 0°<C180°，.C=60°或C=120° 当C-60时.B=6-密25-原+1： sin C 当C=120时，B=15°，b=csin B-6sin15° sin C sin120° =√-1. ∴.b=√3+1，B=75°，C=60°或b=√3-1，B=15°，C=120° 拓展 解a=,sin A-asin C.=2 3 .c=W6>2=a,'.C>A. A方小于45的锐商，且运孩值为号这样的角A只有一个 对点训练 1.C[由m(A+B)=合得nC=方，又a=2,inA= 1 4 .4[在△ABC中，cosA=子>0mA=音 2. 4 :cosB=音>0snB- 13 ,∴，sinC=sinπ-(A+B)]=sin(A+B) =in Acs+@sAnB=言X是号×是-碧 由E孩定现动万得-后兰] b 8解由品B得nB4-号 b a<b,.B>A=30, ..B=60°或B=120°. ①当B=60°时，C=180°-60°-30°=90. 此时，c=√/a2+b=/1+3=2. ②当B=120°时， C=180°-120°-30°=30°.此时，c=a=1. 综上所述c=1或2. 题点二 臭例解0s号-2g, 5 osB=2m-1= 2. ∴Be(0,受）…simB=合 :C=平，sinA=sin(B+O =sin Bcos C+cos Bsin C=7 10 C sin A sin C' ,.c asin C 2 W210 sin A 72 2 -7 10 1 ∴S=2acsin B=- 5 30 :对点训练 1.5[eoC=分ce(o,受)）sinC=√1-（号） 2.或 「由正孩定理得nC=AB·snB3X之=，：AB AC 1 AC...CB,.C=60或120A=90或30，SAAR=2AB· AC·smA-9友9] !题点三 !典例解在△ABC中，由正弦定理得 sin A sin B-sin C=2R(R为△ABC外接圆半径). b '.'sinA=sin2 B-sin2C, (员)=（泉）+（录）· 即a2=形+c2,.A=90°， ∴.B+C=180°-A=90° 又sinA=2 sin Bcos C, .sin90°=2 sin Bcos(90°-B), 'sin'B=2. “B是锐角，∴inB= 2, ∴.B=45°，C=45° ,,△ABC是等腰直角三角形. 对点训练 解由36=25amB,得B2,根据正孩定理，得白B 3 2,即nA=.又角A是锐角，所以A= nA,所以nA 3 60°，又cosB=cosC,且B,C都为三角形的内角，所以B=C.故 △ABC为等边三角形. :题点四 典例解(1)，'bsin A=√3 acos B,由正弦定理得sin Bsin A=√3sin Acos B,在△ABC中，sinA≠0， 即得anB=5,B=子 (2),sinC=2sinA,由正弦定理得c=2a, 由余弦定理b=a2+c2-2 accos B, 即9=a2+4a-2a·2aos背 解得a=5,c=2a=2√5. :对点训练 解(1)由正弦定理，得a2+c2-√2ac=, 由余弦定理，得b=a2+c2-2 aceos B. 故cosB=2 又0°<B<180°，因此B=45° (2)sinA=sin(30°+45) =sin30c0s45+cos30°sin45°-2+6 4 故由正孩定理得a=:品合1中 由已知得，C=180°一45-75°=60°， 品62×品0-6 故c=b,sinC 249 素养演练·提升技能 3.3√2[由题意知，AB=24X1=6(km),∠BAS=30,∠ASB= 1,C[由正孩定理得n B-sinA店 =3=25,所以sinB=b,因 4 2√3 75°-30°=45.由正弦定理，得BS=ABsin∠BAS-6sn30 sin 45 = 2 sin∠ASB 6 3√2(km).] 1, 为三角形有两个，所以sinB1且b>a,即 2 解得3<b! 关键能力·合作探究 (b>3, 题点一 25.] 典例解在△ACD中，∠ADC=30°，∠ACD=120°，.∠CAD= 30°，∴.AC=CD=√5. 2.A[△ABC中，anA= 3,cos B=25 5 A,Be(0,受） 在△BDC中，∠CBD=180°-45°-(45°+30)=60°， sin B 由正弦定理得 sin B-1-cos B5 ,tan B= 1 cos B =之，可得sinA BC=3sin 75 sin 60 =2sin(30°+45) tanA十tanB 0.tamC=an(元二A-B)=-an(A+B)=号 =2sin30°cos45°+2cos30°sin459 1-tan Atan B 11 =6+2 3+2 =-1,C∈(0，π)，.C=3m.设角A,B,C所对的边 1-3× 4 在△ACB中，由余弦定理得 AB-=AC+BC-2AC·BC·cos∠BCA, 分别是a,b,c,:C是钝角，∴A,B都是锐角，又tanA<tanB,∴最 AB=(W3)2+ 6+2) :-2X5×6,E.c075 长边为二V而，最短边为a由正孩定理品C得a=m合 2 2 sin C =5+√3-(32+V6)(cos30cos45°-sin30°sin45)=5, V10XV10 .AB=5. 10 =√2，∴.最短边长为厄. 故两目标A,B间的距离为√5千米。 :对点训练 3.A[因为c2sinA=4sinC,所以由正弦定理得c2a=4c,即ac=4.由余弦 11.√39[由余弦定理，得AB2=CA+CB-2CA·CB·cosC= 定理可得=a2十c一2 accos B=a十c一4，所以a十c2一=4.所以· 7+5-2X7X5X2=39.∴AB=√3g.] 、√一（三）万一宁f一（合）万订=20进点A作AD老支于CB的长线，足为C因，两在 46 故选A.] Rt△ABD中，∠ABD=67,AD=46,则AB=sn67,在△ABC中， 4器[在△AC中，由cosA=号osC=高·可得sinA=是， 5 3 根据正弦定理得BC-ABsin37=46X sin 37 sin30° n67sin30≈60(m).] 12 sin Csin B-sin(A+C)-sin Acos C+cos Asin C- ，又题 3 2 4-1,故由正孩定理得b=asin B=3】 典例解设AC=xm,则BC=x一立X340=(x一40)m sin A : 在△ABC中，根据余弦定理得(x一40)°=10000十x2一100x,解得 5.解若远①：(1)如图，过C作CD⊥AB,垂足为D, x=420. 则CD- ,∠CBD=60°，所以a=CB=1, 在△ACH中，AC=420m,∠CAH=30°+15°=45°，∠AHC=90°- 2 30°=60. 由正弦定理，得1二口 CH AC 由in∠CAHsin∠AHC' 2 得CH=AC· sinZAHC-140 /6(m). sin∠CAH 所以sinA=y②I 14 故该仪器的垂直弹射高度CH为140√6m, ·对点训练 (2)由(1)知sinA= 区，所以c0sA=5 C[设水流速度与船速的合速度为v,方向指向对岸， 14 14 因为sinC=sin(60-A)=S×Y-号X2I=√21 214 14 7 所以△ABC的面积 又a(0,受)所以a=] 2absin C=1 1X7×②I= 2 7 2 若选②：(1)anA= ,则A为锐角， 1 1 25 A cos2A= 1+tamA1+25 3=28 !题点三 典例解如图所示，设预报时台风中心为B,开始影 北D 响基地时台风中心为C,基地刚好不受影响时台风 所以cosA 5√7 A=. √21 中心为D,则B,C,D在同一直线上，且AD=20(海 14 里)，AC=20(海里). 60 b (2)由nBnA,得a=1. 由题意AB=20(√/3+1)（海里），DC=20√2（海里）， 国为mC=in(60-A=号×-×任=牙， BC=(W3+1)×10W2=10(W6+√2)（海里）. 14 在△ADC中，因为DC=AD十AC, 所以△ABC的面积 所以∠DAC=90°，∠ADC=45°. S= ainC-合x1xw7xg-5 在△ABC中，由余弦定理的推论得 7 os∠BAC=ACAB-BC= 第三课时余弦定理、正弦定理应用举例 2AC·AB 2 必备知识·自主梳理 所以∠BAC=30°， 1.(1)线段(2)基线长度高2.(1)顺时针(2)小于90 又因为B位于A南偏东60°，60°十30°十90°=180°， (3)水平视线目标视线仰角俯角(4)视角 所以，点D位于A的正北方向， 即时小练 又因为∠ADC=45°，所以台风移动的方向为北偏西45° 1.A[由题意知，在△ABC中，AC=BC=a,∠ACB=90°，∴.AB= :对点训练 解如图所示，设经过t小时两船在C点 北 √2a.] 相遇， 2.A[∠ABC-180°-45°-105°=30，在△ABC中，由m5 AB 则在△ABC中，BC=at(n mile),AC=西 3at(n mile), 南 n90得AB=100×号-50vm.] 50 BC AC 2 B=180°-60°=120，由in/CAB sin B' 250数学必修第二册 …/方法技巧/ A.一定是锐角三角形B.一定是直角三角形 判断三角形形状的基本思想和三条思路 C.一定是钝角三角形D.是锐角或直角三角形 基本判断三角形的形状，要从“统一”入手，体现转化 2.已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别 思想 思想 a,b;c,(a+b+c)(b+c-a)=3bc. (1)求角A的大小； 化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间 (2)若sinA=2 sin Bcos C,试判断△ABC的 的数量关系式 形状， 化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间 的数量关系式 三条 思路 化为不等关系，如△ABC为锐角三角形台a2+b2 >c2(cosC>0)且b2+c2>a2(cosA>0)且c2+ a262(cos B-0). △ABC为钝角三角形台a2+b2<c2(cosC<0)或 b2+c2<a2(cos A<0)c2+a2<62(cos B<0) 对点训练 1.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若 c2-a2-b2 >0,则△ABC 2ab 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.某学校体育馆的“人”字形屋架 !3.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 为等腰三角形，如图，测得AC 309 若bcos A十acos B=c2,a=b=2,则△ABC的周 =4m,∠A=30°，则其跨度 B 长为 ( AB的长为 ( A.7.5 B.7 C.6 D.5 A.12m B.8 m C.2√5mD.4√5m :4.在△ABC中，∠B=60°，AB=2,M是BC的中 2.某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度 点，AM=2√3，则AC= ,cos∠MAC= 分划为记品写，则此人 ( 5.(2022·全国甲卷)已知△ABC中，点D在边BC A.不能作出这样的三角形 上，∠ADB-120,AD-2,GD=2BD.当S取 B.能作出一个锐角三角形 得最小值时，BD= C.能作出一个直角三角形 D.能作出一个钝角三角形 温馨提示 请做课时分层检测（十一） 第二课时 正弦定理 明学习目标 知结构体系 1.能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系. 课标 正 定理及其推论 2.掌握正弦定理，并能利用正弦定理解三角形、判断三角形 要求 解的个数 弦定理 解三角形 应用 素养 通过对任意三角形边角关系的探索，证明正弦定理并运用正 实现三角形边 角关系的转化 要求 弦定理解三角形，发展逻辑推理及数学运算素养 34 第六章平面向量及其应用 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 1.正弦定理 : 为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长 在一个三角形中，各边和它所对角的 文字语言 (4)S△M=2R2 sin Asin Bsin C--资，其中R为 的比相等 △ABC的外接圆半径， 符号语言 sin A (6)S△c=Vnp-a)(p-b)(p-o,其中pa+b+ 2 2.正弦定理的常见变形 即时小练 (1)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C(R △ABC外接圆的半径). :1.判断正误 (1)正弦定理只适用于锐角三角形. ( (2)sinA=20, 2R'sinB= 泉，sinC=录(R为 (2)在△ABC中，等式asin A=bsin B总成立. △ABC外接圆的半径). ( (3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即 (3)在一确定的三角形中，各边与它所对角的正 a:b:c=sin A:sin B:sin C. 弦的比是一定值。 ( ) a+b+c a :2.在△ABC中，已知A=30°，B=60°，a=10,则b (4) b sin A+sin B+sin Csin A sin Bsin C 等于 () (5)asin B=bsin A,asin C=csin A,bsin C= csin B. A.5√2 B.103 C.10⑤ D.5√6 3 3.三角形的面积公式 3.在△ABC中，a=15,b=10,A=60°，则sinB= (1)S△ABC= 2bcsin A= 即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角： A 3 c号 的正弦的乘积的一半. 4.在△ABC中，a=5,b=5√3，A=30°，则B= (2)SAc=k,其中a为△ABC的一边长，而 h为该边上的高的长。 :5.在△ABC中，A,B,C所对的边分别为a,b,c,其 中a=4,b=3,C=60°，则△ABC的面积为 (3)S△c=2r(a+b+c)=2rl,其中r,l分别 关键能力·合作探究 讲练设计探究重点 题点一利用正弦定理解三角形 [拓展] 若把本例(2)中的条件“A=45°”改为“C= 45”,试判断角A有几个值？ [典例](1)在△ABC中，已知a=8,B=60°，C= 75°，求A,c. (2)在△ABC中，已知c=√6，A=45°，a=2,解三 角形. 35 数学必修第二册 /方法技巧/ 题点二 求三角形的面积 1.已知任意两角和一边，解三角形的步骤 (1)求角：根据三角形内角和定理求出第三 [典例] 在△ABC中，若a=2,C=, B 4,cos 个角； (2)求边：根据正弦定理，求另外的两边. 25 求△ABC的面积S. 已知内角不是特殊角时，往往先求出其正弦 5 值，再根据以上步骤求解。 2.已知两边及其中一边的对角，解三角形的 步骤 (1)用正弦定理求出另一边所对角的正弦值， 进而求出这个角，注意是否有两组解； (2)用三角形内角和定理求出第三个角； (3)根据正弦定理求出第三条边. 3.在△ABC中，已知a,b和角A时，解的情况 如下： /方法技巧/ 已知三角形的两边和夹角可求三角形的面积， A为钝角 A为锐角 三角形的面积公式为S= 或直角 2ab·sinC= sin B= 图形 c·sinA 对点训练 关系式 a=bsin Absin A<a<b a≥b a>b 解的个数 一解 两解 一解 一解 1.在△ABC中，若a=3反，cosC=号，S△ABc 23,则b= 对点训练 2.在△ABC中，AB=√3，AC=1,B=30°，则△ABC 的面积等于 1.在△ABC中，已知a=2,sin(A十B)=】 3,sin A=4, 题点三 利用边角转化判断三角形的形状 则c= ( [典例]在△ABC中，若sinA=2 sin Bcos C, A.4 B.3 c. D.号 sin2A=sin2B+sin2C,试判断△ABC的形状. 2.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 且6osA=音sB=高6=3则c= 3.在△ABC中，a=1,b=√3，A=30°，求边c的长 36 第六章平面向量及其应用 /方法技巧/ 题点四 正、余弦定理的简单综合 利用正弦定理判断三角形形状的方法： (1)化边为角：根据正弦定理把已知条件中边和 :[典例]设△ABC的内角A,B,C的对边分别为 角的混合关系转化为角的关系，再进行三角恒 a,b,c,且bsin A=√3 acos B. 等变换，得到角的三角函数值或角的三角函数 (1)求角B的大小； 值之间的关系，进而得到三角形的角或角的关 (2)若b=3,sinC=2sinA,求a,c的值. 系，从而确定三角形的形状； (2)化角为边：根据正弦定理把已知条件中边和 角的混合关系转化为边的关系，然后通过整理 得到边与边之间的数量关系，从而确定三角形 的形状。 对点训练 在△ABC中，已知3b=2√3 asin B,且cosB=cosC,: 角A是锐角，判断△ABC的形状. /方法技巧/ 利用正、余弦定理解三角形的注意点 正余弦定理都是用来解三角形的，但在解题过 程中要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是 两个定理都要用，应抓住两个定理的特点：正弦 定理“边对角”，余弦定理“边夹角”，正确选择定 理是解决此类题目的关键. 对点训练 △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,asin A +csin C-2asin C=bsin B. (1)求B的大小； (2)若A=75°，b=2,求a,c的值. 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 L在△ABC中，角A,B,C的对边分别是Q,b,c,若2 满足条件a=3,A=60°的三角形有两个，则b的 2.在△ABC中，已知tanA=1 asB=25,若 取值范围是 ( △ABC的最长边为10，则最短边长为( A.(2,3) B.(3,33) A.√2 B.3 C.(3,2√3) D.(2√2,2√3) C.√5 D.2√2 37 数学必修第二册 3.秦九韶是我国南宋著名的数学家，在他的著作5.在△ABC中，B=120°，b=√7，再从条件①：AB 《数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法： “以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于： 边上的高为：条件②：anA-,这两个条件 上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一 中选择一个作为已知，求： 为从隅，开平方得积.”也把这种方法称为“三斜 (1)sinA的值； 求积术”.设△ABC的内角A,B,C的对边分别 (2)△ABC的面积. 为a,c则slc-+万若 esin A=4sinC,B=子，则用三斜求积术”求得 的△ABC的面积为 ( A.√3 B.2 C.23 D.4 4.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若 cos A= 4 5,cos C= 5 3a=1,则b= 温馨提示 请做课时分层检测（十二） 第三课时 余弦定理、正弦定理应用举例 明学习目标 知结构体系 1.能利用余弦定理、正弦定理解决简单的生产、生活中 课标 的实际问题 测量距离 要求 2.巩固深化余弦定理、正弦定理有关知识与方法。 在实际中 测量高度 的应用 素养 通过分析问题，利用余弦、正弦定理解决实际问题，发展 测量角度 要求 数学建模及数学运算素养 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 1.基线的概念与选择原则 (3)仰角和俯角： 目标视线 (1)定义：在测量过程中，我们把根据测量的需要 与目标视线在同一铅垂平面内 仰角 而确定的 叫做基线 的 和 的夹 、俯角 水平视线 线 (2)性质：在测量过程中，应根据实际需要选取合： 角，目标视线在水平视线上方 、目标视线 适的 ,使测量具有较高的精确度.一般 时叫做 ；目标视线在 来说，基线越长，测量的精确度越 水平视线下方时叫做 如图所示 2.测量中的有关概念 (4)视角：观测者的两条视线之间的夹角叫做 (1)方位角：从正北方向 北 转到目标方向线的角.如图 (5)坡角与坡度：坡面的铅直 所示的01,02即表示点A和点B 高度与水平宽度之比叫做坡 坡面 的方位角.故方位角的范围是0°≤0<360° 度，如图所示，α为坡角，坡比 a 水平面 (2)方向角：指以观测者为中心，正北或正南的方 h i =tan a. 向线与目标方向线所成的 的水平角，它 是方位角的另一种表示形式.如图，图1中表示 即时小练 北偏东30°，图2中表示南偏西60° 1.两灯塔A,B与海洋观察站C的距离都等于 北 309 akm,灯塔A在C的北偏东30°方向，B在C的 南偏东60°方向，则A,B之间的距离为( 60 A.√2akm B.3a km 图1 图 C.a km D.2a km 38