专题03 解三角形及其应用（题型清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习知识清单聚焦解三角形及其应用专题，涵盖正弦定理、余弦定理解题，三角形形状判断、解的个数分析，面积计算、外接圆问题，以及测量距离、角度、高度等实际应用，构建完整知识体系。 清单通过题型脑图梳理核心考法，分12类题型明确解题流程，如正弦定理强调“先比大小再判解数”，实际应用模块设计测量模型，培养数学思维与应用意识。例题适配高考真题，标注易错点与解题关键，助力学生自主高效复习，为教师提供系统教学抓手。

专题03 解三角形及其应用 题型脑图·核心考法构建 考法深研·解题技能通关 题型01 正弦定理解三角形 适配两类标准解题模型：两角一边型、两边一对角型． 解题固定流程：先利用内角和求出剩余角度，再通过正弦定理比例式同步求解对应边长；若为已知两边及其中一边对角的易错模型，必须执行“先比大小、再判解数”的规范步骤，依托大边对大角、内角和取值范围，严格区分无解、一解、两解临界情况． 1．（25-26高三上·重庆北碚·阶段检测）在中，，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·云南昆明·阶段检测）在中，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·山西晋中·阶段检测）在中，，则（    ） A．或 B． C． D． 4．（2025·陕西·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则=（    ） A． B． C． D． 题型02 余弦定理解三角形 核心适用模型：已知三边、已知两边及夹角、含边长平方结构的边角等式． 解题固定流程：已知两边夹角直接套公式求第三边，已知三边通过余弦推论逐角求内角，优先求解最大边对应的最大角，可快速判定三角形为锐角、直角、钝角三角形． 5．（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，则c为（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．1或 6．（25-26高三上·宁夏银川·阶段检测）已知中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·重庆·阶段检测）在中，，则（    ） A．3 B．5 C．4 D． 8．（25-26高三上·吉林松原·阶段检测）在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则角（    ） A． B． C． D． 题型03 判断三角形的形状 一是角化边判定，适用于含角的恒等式、齐次式结构，通过正弦定理全部转化为纯边等式，依据边长关系判定等腰、等边、直角结构，通过边的平方关系精准锁定直角三角形；二是边化角判定，适用于含边长平方、常数项的混合结构，将边长统一转化为角度正弦值，结合三角恒等变换、内角和化简，得到角度相等、互余、特殊角关系，判定三角形类型． 9．（24-25高三上·贵州遵义·阶段检测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则为（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 10．（25-26高三上·山东·阶段检测）在中，分别为内角所对的边，若，则此三角形一定是（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 11．（2025·河南·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 12．（25-26高三上·河北邢台·阶段检测）已知的三个内角，，所对的边分别为，，，若，，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 题型04 三角形的解的个数 解题要点：使用正弦定理求角时，优先判断已知边、角大小关系，结合大边对大角、内角和小于180度判定解的个数，严格筛选锐角、钝角合理性． 高频陷阱：不判范围直接保留两解；忽略三角形内角和导致角度超标；遗漏无解情况． 13．（25-26高三上·河北保定·阶段检测）在中，若，，，则解的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 14．（25-26高三上·山西太原·阶段检测）在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B．，， C． D．，， 15．（25-26高三上·江苏盐城·阶段检测）（多选）在中，角、、所对的边分别为、、，，，若满足条件的三角形有且只有一个，则边的长可以是（    ） A．1 B． C． D．4 16．（25-26高三上·广东珠海·阶段检测）已知三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足条件，的三角形有两解，则边长a的取值范围为__________. 题型05 三角形的面积及应用 1、三角形面积公式的使用原则：对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是使用哪一个角就使用哪一个公式； 2、与面积有关的问题：一般要用到正弦定理和余弦定理进行边角互化； 3、三角形的周长问题：一般是利用余弦定理和公式a2+b2=(a+b)2-2ab将问题转化为求两边之和的问题． 17．（2026·湖南·模拟预测）已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，的面积为，则（    ） A． B． C． D． 18．（25-26高三上·新疆省直辖县级单位·阶段检测）在中，a、b、c分别为、、的对边，若，且，当的面积为时，则（    ） A． B．2 C．4 D． 19．（26-27高三上·湖北·阶段检测）记的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求角； (2)若，，求的面积. 20．（26-27高三上·云南昭通·阶段检测）记的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求角的大小； (2)若，的周长为12，求的面积． 题型06 三角形的外接圆问题 利用正弦定理：可求解三角形外接圆的半径。 若要求三角形外接圆半径的范围，一般将用含角的式子表示，再通过三角函数的范围来求半径的范围． 21．（25-26高三上·甘肃·阶段检测）已知的三边长分别为，则的外接圆的面积为（    ） A． B． C． D． 22．（25-26高三上·内蒙古赤峰·阶段检测）在中，已知，，则外接圆的半径为（    ） A．6 B．3 C． D． 23．（25-26高三下·云南曲靖·阶段检测）在中，角、、所对的边分别为、、，若，且，则该三角形外接圆的半径为______. 24．（25-26高三上·山西大同·阶段检测）在圆内接梯形中，，，，，则其外接圆的半径为_____. 题型07 测量距离问题 1、解决方法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解． 2、求距离问题的注意事项 （1）选定或确定要创建的三角形，要先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的量． （2）确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理． 25．（2026·吉林·模拟预测）如图，在河岸上测量河对面，两点间的距离，测得，，，，，则（    ） A． B． C．4 D． 26．（25-26高三上·河南南阳·期中）某班数学老师组织本班学生开展课外实地测量活动时，需要测量某河流同侧的，两点之间的距离，该班学生在这条河流另一侧的点处测得点在点的北偏东30°方向上，点在点的北偏东60°方向上，从点出发，沿正东方向走2千米，到达点，在点处测得点在点的北偏西15°方向上，点在点的北偏东15°方向上，则，两点之间的距离（   ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 27．（2026·宁夏银川·三模）如图，西昭高速施工队计划在一座大山中挖通一条直隧道，需要确定隧道的长度，工程测量员测得隧道两端的两点到点的距离分别为，且，则隧道的长度为（    ） A． B． C． D． 28．（2026·广东东莞·二模）（多选）某数学建模活动小组为了测量山脚下两点间的距离，抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中与水平面垂直.在已知山高的情况下，在山顶处测得下列四组角中的一组角的度数，其中能唯一确定两点间距离的是（    ） A． B． C． D． 题型08 测量角度问题 首先应明确方向角的含义，在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步，通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点． 29．（21-22高一·全国·课后作业）甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，相距a海里的B处，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的倍，甲船为了尽快追上乙船，朝北偏东θ方向前进，则θ＝（    ） A．15° B．30° C．45° D．60° 30．（26-27高三·全国·一轮复习）已知一种摇杆机械装置，如图，为定点，是动点，，， ，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 31．（25-26高三下·辽宁锦州·开学考试）墙上挂着一幅高为1m的画，画的上端到地面的距离为2m，某摄像机在地面上拍摄这幅画．将画上端一点A、下端一点B与摄像机连线的夹角称为视角（点A，B与摄像机在同一竖直平面内），且把最大的视角称为最佳视角．若墙与地面垂直且摄像机高度忽略不计，则当摄像机在地面上任意移动时，最佳视角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 32．（24-25高二上·浙江·开学考试）某校学生参加课外实践活动，“测量一土坡的倾斜程度”．如图，在坡脚处测得坡顶一建筑物的顶端对于山坡的倾斜程度为，沿土坡前进50m到达处，测得对于山坡的倾斜度为，已知m，，设土坡对于平面的坡角为，则（    ） A． B． C． D． 题型09 测量高度问题 1、要理解仰角、俯角的定义； 2、在实际问题中可能遇到空间与平面（底面）同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形； 3、注意山或塔垂直于底面或海平面，把空间问题转化为平面问题． 33．（25-26高三上·甘肃酒泉·期末）“年度十大最美桥梁”评选结果在广州揭晓，由甘肃公交建集团投资建设的线清傅公路桑园子黄河大桥凭借卓越的工程品质、独特的美学设计与突出的创新价值，获“全国最美桥梁提名奖”，为本次评选中西北地区唯一入选的桥梁.数学兴趣小组想要测量桑园子黄河大桥北塔的高度，但不能直接测量，现采用以下方案：假定大桥北塔垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内观测员两次仰望塔顶的仰角分别为，（如图），设乘客眼睛离地面的距离为，.若在同一水平高度，且，，在同一竖直平面内，则北塔高为（    ） A． B． C． D． 34．（2025·山东聊城·模拟预测）山东文旅宣传片以“东来山东，有山有水有风景”为主题，通过融合地域特色与人文风情，展现山东的自然景观与文化底蕴.诗人李白的“日观东北倾，两崖夹双石”，描写的正是山东众多闻名山水之一的泰山.如图，某游客为了测量泰山主峰玉皇顶的高度AB（单位：米），在地面上选择一个观测点，在附近的山峰顶端选择另一个测量点，在处测得处的仰角为，测得主峰玉皇顶最高点的仰角为山峰的高度CD为772.5米，且在处测得点的仰角为，点B，P，D在同一水平面的一条直线上，则玉皇顶的高度AB为（    ） A．1030米 B．1545米 C．米 D．米 35．（25-26高三上·福建宁德·期中）某校兴趣小组想要测量宁德市海慧塔的高度，在塔附近选取了相距60米的，（，与该塔的塔底在同一水平面上）两个测量点，从点观测该塔塔顶的仰角为，从点观测该塔塔顶的仰角为，且，则这座塔的高度为（    ） A．15米 B．米 C．30米 D．米 36．（2026·重庆万州·三模）重庆市南山文峰塔坐落于黄桷垭之巅，是重庆市的一座名塔，据《巴县志》记载：文峰塔峭立山巅，凡七级，高逾十丈，万松围护，攒天一碧.某中学社会实践小组为测量重庆市南山文峰塔的高度，开展了一次实地测量活动，他们在塔底所在的水平地面上选取两点，测得米，，在点处测得塔顶的仰角为，则文峰塔的高度约为（   ）(参考数据：取） A．26米 B．28米 C．30米 D．32米 题型10 解多三角形及四边形 针对图形嵌套类综合题型（双三角形、拼接三角形、四边形拆分三角形），核心解题思路为拆图寻桥、由已知推未知． 首先将四边形、不规则多边形沿对角线拆分出多个可解三角形，梳理图形中的公共边、公共角、邻补角、等角、互余角等关联条件；优先求解条件最充足的基础三角形，算出公共边长、关键角度作为过渡中间量，再将所得结果代入相邻嵌套三角形，二次使用正余弦定理、面积公式递进求解． 解题重点利用“公共边统一边长、互补角转化角度”的核心搭桥思维，解决图形条件分散、隐藏条件多的难点；全程结合几何平面性质约束角度范围，规避图形角度超范围、边长不匹配的伪解，适配高考几何综合、实际测量、图形拼接类压轴题型． 37．（2026·四川成都·模拟预测）在中，角所对的边分别为，是边上一点，若，则（    ） A．2 B． C． D． 38．（2026·湖南株洲·三模）如图，四边形ABCD为圆内接四边形，，，． (1)求AD长； (2)若，求的面积． 39．（2026·河南·三模）在平面四边形中，已知，，. (1)求； (2)若，，求. 40．（25-26高三下·江苏扬州·开学考试）已知中，角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若边，，边上存在一点，满足，求的长. 题型11 解三角形中的最值范围问题 1、三角形中的最值、范围问题的解题策略 （1）定基本量：根据题意或几何图形厘清三角形中边、角的关系，利用正、余弦定理求出相关的边、角或边角关系，并选择相关的边、角作为基本量，确定基本量的范围． （2）构建函数：根据正、余弦定理或三角恒等变换将待求范围的变量用关于基本量的函数解析式表示． （3）求最值：利用基本不等式或函数的单调性等求最值． 2、求解三角形中的最值、范围问题的注意点 （1）涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化． （2）注意题目中的隐含条件，如A＋B＋C＝π，0＜A＜π，b－c＜a＜b＋c，三角形中大边对大角等． 41．（26-27高三上·湖南长沙·开学考试）已知在中，内角，，的对边分别为，，，满足，且，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 42．（2026·福建泉州·模拟预测）钝角的内角，，的对边分别为，，，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 43．（26-27高三上·浙江·开学考试）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角A的大小． (2)若M为的内心，，求周长的取值范围． 44．（2026·安徽·三模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)证明：； (2)求的取值范围． 题型12 三角形的角平分线与中线 1、三角形的角平分线 如图，在中，平分，角、，所对的边分别问，， （1）利用角度的倍数关系： （2）内角平分线定理：为的内角的平分线，则. 说明：三角形内角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比，再结合抓星结构，就可以转化为向量了，一般的，涉及到三角形中“定比”类问题，运用向量知识解决起来都较为简捷。 （3）等面积法：因为，所以， 所以，整理的：（角平分线长公式） 2、三角形的中线 （1）中线长定理：在中，是边上的中线，则 【点睛】灵活运用同角的余弦定理，适用在解三角形的题型中 （2）向量法： 【点睛】适用于已知中线求面积（已知的值也适用）. 45．（25-26高三下·海南海口·阶段检测）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 的周长为20，面积为10 ，D为边BC的中点，则BC边中线AD=________ 46．（2026·四川·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A； (2)若，，求AB边上中线的长. 47．（25-26高三下·河北沧州·阶段检测）在中，角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的角平分线的长度. 48．（2026·四川成都·三模）已知的面积为，内角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，的角平分线交于点，求线段的长. 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 解三角形及其应用 题型脑图·核心考法构建 考法深研·解题技能通关 题型01 正弦定理解三角形 适配两类标准解题模型：两角一边型、两边一对角型． 解题固定流程：先利用内角和求出剩余角度，再通过正弦定理比例式同步求解对应边长；若为已知两边及其中一边对角的易错模型，必须执行“先比大小、再判解数”的规范步骤，依托大边对大角、内角和取值范围，严格区分无解、一解、两解临界情况． 1．（25-26高三上·重庆北碚·阶段检测）在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 又因为，所以，所以， 所以.故选：D. 2．（25-26高三上·云南昆明·阶段检测）在中，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由正弦定理，可得.故选：C. 3．（25-26高三上·山西晋中·阶段检测）在中，，则（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【解析】由正弦定理可知， 即， ∵，∴.故选：C. 4．（2025·陕西·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由正弦定理得， 则， 又，， 所以，解得．故选：B 题型02 余弦定理解三角形 核心适用模型：已知三边、已知两边及夹角、含边长平方结构的边角等式． 解题固定流程：已知两边夹角直接套公式求第三边，已知三边通过余弦推论逐角求内角，优先求解最大边对应的最大角，可快速判定三角形为锐角、直角、钝角三角形． 5．（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，则c为（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．1或 【答案】C 【解析】因为，， 由余弦定理得，化简得则或. 6．（25-26高三上·宁夏银川·阶段检测）已知中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据余弦定理得.故选：C 7．（25-26高三上·重庆·阶段检测）在中，，则（    ） A．3 B．5 C．4 D． 【答案】D 【解析】由，且， 所以，可得.故选：D 8．（25-26高三上·吉林松原·阶段检测）在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则角（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在中，，， 则， ，则角.故选：C. 题型03 判断三角形的形状 一是角化边判定，适用于含角的恒等式、齐次式结构，通过正弦定理全部转化为纯边等式，依据边长关系判定等腰、等边、直角结构，通过边的平方关系精准锁定直角三角形；二是边化角判定，适用于含边长平方、常数项的混合结构，将边长统一转化为角度正弦值，结合三角恒等变换、内角和化简，得到角度相等、互余、特殊角关系，判定三角形类型． 9．（24-25高三上·贵州遵义·阶段检测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则为（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【解析】由已知条件得， 代入余弦定理公式化简得，即， ， .故选：B 10．（25-26高三上·山东·阶段检测）在中，分别为内角所对的边，若，则此三角形一定是（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】C 【解析】由条件可知，即， 因为， 所以， 整理为，所以， 所以是等腰三角形.故选：C 11．（2025·河南·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【解析】由和余弦定理，可得， 即， 由正弦定理得， 又因为中，，， 所以，即， 所以或，即或， 即是等腰三角形或直角三角形，故选：C. 12．（25-26高三上·河北邢台·阶段检测）已知的三个内角，，所对的边分别为，，，若，，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 【答案】C 【解析】， ，即， 由正弦定理及余弦定理得，， ∵，∴， 又，，整理得， 因为，，所以， 所以，为等腰三角形．故选：C． 题型04 三角形的解的个数 解题要点：使用正弦定理求角时，优先判断已知边、角大小关系，结合大边对大角、内角和小于180度判定解的个数，严格筛选锐角、钝角合理性． 高频陷阱：不判范围直接保留两解；忽略三角形内角和导致角度超标；遗漏无解情况． 13．（25-26高三上·河北保定·阶段检测）在中，若，，，则解的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 【答案】C 【解析】由正弦定理，得，所以，即，又， 所以，或， 所以解的个数为2．故选：C． 14．（25-26高三上·山西太原·阶段检测）在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B．，， C． D．，， 【答案】C 【解析】对于选项A，已知两边及夹角，由三角形全等的条件可知△ABC有唯一解． 对于选项C，，，，有，∴， 又，故△ABC有两个解． 对于选项D，，，，由，得，故B为锐角，故△ABC有唯一解．故选：C． 15．（25-26高三上·江苏盐城·阶段检测）（多选）在中，角、、所对的边分别为、、，，，若满足条件的三角形有且只有一个，则边的长可以是（    ） A．1 B． C． D．4 【答案】ABD 【解析】在中，当已知边和锐角，判断三角形的个数时，若，有且只有一个解； 当时，有两个解；当时，有且只有一个解；当时，无解. 因为. 由，即，解得，故D正确； 由，可得，选项中，满足此条件，故A，B正确； 对于C，，此时三角形无解， 故C错误.故选：ABD 16．（25-26高三上·广东珠海·阶段检测）已知三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足条件，的三角形有两解，则边长a的取值范围为__________. 【答案】 【解析】由正弦定理，得. 若满足条件，的三角形有两解，则，且，所以. 所以，所以. 故答案为：. 题型05 三角形的面积及应用 1、三角形面积公式的使用原则：对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是使用哪一个角就使用哪一个公式； 2、与面积有关的问题：一般要用到正弦定理和余弦定理进行边角互化； 3、三角形的周长问题：一般是利用余弦定理和公式a2+b2=(a+b)2-2ab将问题转化为求两边之和的问题． 17．（2026·湖南·模拟预测）已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，的面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，，的面积为，得． 因为是锐角三角形，所以． 由余弦定理得，则． 18．（25-26高三上·新疆省直辖县级单位·阶段检测）在中，a、b、c分别为、、的对边，若，且，当的面积为时，则（    ） A． B．2 C．4 D． 【答案】B 【解析】由可知，三边成等差数列， 所以是长度居中的边，其所对的角也为大小居中的角， 因为三角形中若有钝角，则必为最大角，所以必为锐角， 又，所以. 由题意可得：，化简得， 又，， 所以， 所以，解得（负根舍去）.故选：B． 19．（26-27高三上·湖北·阶段检测）记的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求角； (2)若，，求的面积. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）在中，由余弦定理得. 代入已知等式， 得. 由于，所以. 因为，所以. 又因为，所以. （2）由余弦定理得. 将与代入上式得. 故的面积为. 20．（26-27高三上·云南昭通·阶段检测）记的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求角的大小； (2)若，的周长为12，求的面积． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为， 所以由正弦定理得， 即， 所以，即， 在中，可得，所以， 因为，所以. 方法二： 因为， 所以， 化简得，，所以， 因为，所以. （2）由的周长为，可得． 由余弦定理得，则， 即，所以，即， 故的面积为． 题型06 三角形的外接圆问题 利用正弦定理：可求解三角形外接圆的半径。 若要求三角形外接圆半径的范围，一般将用含角的式子表示，再通过三角函数的范围来求半径的范围． 21．（25-26高三上·甘肃·阶段检测）已知的三边长分别为，则的外接圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】记长为4的边的对角为,则由余弦定理可以知道, 所以, 设的外接圆半径为,则由正弦定理,得,所以, 所以外接圆的面积为.故选：A. 22．（25-26高三上·内蒙古赤峰·阶段检测）在中，已知，，则外接圆的半径为（    ） A．6 B．3 C． D． 【答案】D 【解析】因为，，所以. 设外接圆的半径为，则， 所以外接圆的半径为.故选：D 23．（25-26高三下·云南曲靖·阶段检测）在中，角、、所对的边分别为、、，若，且，则该三角形外接圆的半径为______. 【答案】1 【解析】∵，，∴， ∴，∴， ∴，∴， ∵，∴，∵，∴， 设该三角形外接圆的半径为，由正弦定理得，∴. 24．（25-26高三上·山西大同·阶段检测）在圆内接梯形中，，，，，则其外接圆的半径为_____. 【答案】 【解析】 如图，梯形内接于圆，则， 因，，，则， 故梯形为等腰梯形，则， 所求即为的外接圆的半径． 在中，由余弦定理可得， 则，又由正弦定理得，即． 题型07 测量距离问题 1、解决方法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解． 2、求距离问题的注意事项 （1）选定或确定要创建的三角形，要先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的量． （2）确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理． 25．（2026·吉林·模拟预测）如图，在河岸上测量河对面，两点间的距离，测得，，，，，则（    ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【解析】因为，， 在中，由正弦定理可得，则． 在中，由正弦定理可得，则． 在中，由余弦定理可得，则． 26．（25-26高三上·河南南阳·期中）某班数学老师组织本班学生开展课外实地测量活动时，需要测量某河流同侧的，两点之间的距离，该班学生在这条河流另一侧的点处测得点在点的北偏东30°方向上，点在点的北偏东60°方向上，从点出发，沿正东方向走2千米，到达点，在点处测得点在点的北偏西15°方向上，点在点的北偏东15°方向上，则，两点之间的距离（   ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】A 【解析】如图，由题意可得，，， ，，千米. 在中，由正弦定理可得，则千米. 在中，由正弦定理可得，则千米. 在中，由余弦定理可得，则千米.故选：A. 27．（2026·宁夏银川·三模）如图，西昭高速施工队计划在一座大山中挖通一条直隧道，需要确定隧道的长度，工程测量员测得隧道两端的两点到点的距离分别为，且，则隧道的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 故隧道的长度. 28．（2026·广东东莞·二模）（多选）某数学建模活动小组为了测量山脚下两点间的距离，抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中与水平面垂直.在已知山高的情况下，在山顶处测得下列四组角中的一组角的度数，其中能唯一确定两点间距离的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】因为（山高已知），平面，平面， 因此，所以、均为直角三角形，下面逐个分析选项： 选项A ：若测得，在直角三角形中可得： ，； 同理，，在中，长度已计算得到，夹角已测量， 由余弦定理可唯一计算出，因此A符合要求. 选项B： 举反例，若假设已测量， 所以直角三角形中有：， 设，则在直角三角形中，. 在中：①； 在中：②. 联立①②消去后，得,, 得，解得或. 当时，代入①得； 当时，代入①得，即. 因此测得，不能确定有唯一的长度，故B错误. 选项C： 与选项B同理：只需把角换成，所以不能确定有唯一的长度，故C错误； 选项D ：若已测量，可直接算出，，长度都确定， 又已测得夹角，在中由余弦定理可唯一计算出，因此D符合要求. 题型08 测量角度问题 首先应明确方向角的含义，在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步，通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点． 29．（21-22高一·全国·课后作业）甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，相距a海里的B处，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的倍，甲船为了尽快追上乙船，朝北偏东θ方向前进，则θ＝（    ） A．15° B．30° C．45° D．60° 【答案】B 【解析】如图，设两船在C处相遇， 则由题意得∠ABC＝180°－60°＝120°，且＝， 由正弦定理得＝＝， 所以sin∠BAC＝. 又因为0°<∠BAC<60°，所以∠BAC＝30°. 所以. 所以甲船应沿北偏东30°方向前进．故选：B 30．（26-27高三·全国·一轮复习）已知一种摇杆机械装置，如图，为定点，是动点，，， ，，则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，在中，已知， ​， 由余弦定理得：， 整理得. 又因为是动点，是定点，且，， 所以，，即. 所以，则，则， 所以， 即，因此. 故的取值范围为. 31．（25-26高三下·辽宁锦州·开学考试）墙上挂着一幅高为1m的画，画的上端到地面的距离为2m，某摄像机在地面上拍摄这幅画．将画上端一点A、下端一点B与摄像机连线的夹角称为视角（点A，B与摄像机在同一竖直平面内），且把最大的视角称为最佳视角．若墙与地面垂直且摄像机高度忽略不计，则当摄像机在地面上任意移动时，最佳视角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 如图所示：最佳视角,且当最大时，最大，     且最大，又， 又设所以 当且仅当时取等号， 此时解得：故选：A. 32．（24-25高二上·浙江·开学考试）某校学生参加课外实践活动，“测量一土坡的倾斜程度”．如图，在坡脚处测得坡顶一建筑物的顶端对于山坡的倾斜程度为，沿土坡前进50m到达处，测得对于山坡的倾斜度为，已知m，，设土坡对于平面的坡角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】已知，则. 所以，即为等腰三角形. 所以. 根据正弦定理：. 因为，所以，为直角三角形. 所以.故选：D. 题型09 测量高度问题 1、要理解仰角、俯角的定义； 2、在实际问题中可能遇到空间与平面（底面）同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形； 3、注意山或塔垂直于底面或海平面，把空间问题转化为平面问题． 33．（25-26高三上·甘肃酒泉·期末）“年度十大最美桥梁”评选结果在广州揭晓，由甘肃公交建集团投资建设的线清傅公路桑园子黄河大桥凭借卓越的工程品质、独特的美学设计与突出的创新价值，获“全国最美桥梁提名奖”，为本次评选中西北地区唯一入选的桥梁.数学兴趣小组想要测量桑园子黄河大桥北塔的高度，但不能直接测量，现采用以下方案：假定大桥北塔垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内观测员两次仰望塔顶的仰角分别为，（如图），设乘客眼睛离地面的距离为，.若在同一水平高度，且，，在同一竖直平面内，则北塔高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题知，设， 则，， 所以，解得. 所以.故选：B 34．（2025·山东聊城·模拟预测）山东文旅宣传片以“东来山东，有山有水有风景”为主题，通过融合地域特色与人文风情，展现山东的自然景观与文化底蕴.诗人李白的“日观东北倾，两崖夹双石”，描写的正是山东众多闻名山水之一的泰山.如图，某游客为了测量泰山主峰玉皇顶的高度AB（单位：米），在地面上选择一个观测点，在附近的山峰顶端选择另一个测量点，在处测得处的仰角为，测得主峰玉皇顶最高点的仰角为山峰的高度CD为772.5米，且在处测得点的仰角为，点B，P，D在同一水平面的一条直线上，则玉皇顶的高度AB为（    ） A．1030米 B．1545米 C．米 D．米 【答案】B 【解析】由题意知，， 在直角中，，，可得米， 在中，由正弦定理，可得米， 在直角中，可得米.故选：B. 35．（25-26高三上·福建宁德·期中）某校兴趣小组想要测量宁德市海慧塔的高度，在塔附近选取了相距60米的，（，与该塔的塔底在同一水平面上）两个测量点，从点观测该塔塔顶的仰角为，从点观测该塔塔顶的仰角为，且，则这座塔的高度为（    ） A．15米 B．米 C．30米 D．米 【答案】C 【解析】解：设这座塔的高度为米， 因为从点观测该塔塔顶的仰角为，从点观测该塔塔顶的仰角为， 在中，，米；在中，，米， 在中，，米， 由余弦定理得：，即， 整理得，即，解得或（舍） 所以，这座塔的高度为米.故选：C 36．（2026·重庆万州·三模）重庆市南山文峰塔坐落于黄桷垭之巅，是重庆市的一座名塔，据《巴县志》记载：文峰塔峭立山巅，凡七级，高逾十丈，万松围护，攒天一碧.某中学社会实践小组为测量重庆市南山文峰塔的高度，开展了一次实地测量活动，他们在塔底所在的水平地面上选取两点，测得米，，在点处测得塔顶的仰角为，则文峰塔的高度约为（   ）(参考数据：取） A．26米 B．28米 C．30米 D．32米 【答案】B 【解析】在中，因为，所以， 又因为，根据正弦定理：，即， 所以， 在中，， 所以米. 题型10 解多三角形及四边形 针对图形嵌套类综合题型（双三角形、拼接三角形、四边形拆分三角形），核心解题思路为拆图寻桥、由已知推未知． 首先将四边形、不规则多边形沿对角线拆分出多个可解三角形，梳理图形中的公共边、公共角、邻补角、等角、互余角等关联条件；优先求解条件最充足的基础三角形，算出公共边长、关键角度作为过渡中间量，再将所得结果代入相邻嵌套三角形，二次使用正余弦定理、面积公式递进求解． 解题重点利用“公共边统一边长、互补角转化角度”的核心搭桥思维，解决图形条件分散、隐藏条件多的难点；全程结合几何平面性质约束角度范围，规避图形角度超范围、边长不匹配的伪解，适配高考几何综合、实际测量、图形拼接类压轴题型． 37．（2026·四川成都·模拟预测）在中，角所对的边分别为，是边上一点，若，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，设，则， 在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得， 又，则，代入化简得①， 在中，由余弦定理可得， 化简整理得②，联立①②，解得. 38．（2026·湖南株洲·三模）如图，四边形ABCD为圆内接四边形，，，． (1)求AD长； (2)若，求的面积． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）在中，由余弦定理得， 代入，，，得 ， 整理得，解得（不符合边长要求，舍去）. （2）在中，由余弦定理得， 所以，又因为，所以，， 四边形为圆内接四边形，，所以，， 所以，即，所以， 在中，由正弦定理得，所以， 所以. 39．（2026·河南·三模）在平面四边形中，已知，，. (1)求； (2)若，，求. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1） 在中，由余弦定理得：， 因为，所以． （2） 因为，，所以， 在四边形中，， 设，在中，， 在中，， 因为，所以。 即 整理得，解得 在中，． 40．（25-26高三下·江苏扬州·开学考试）已知中，角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若边，，边上存在一点，满足，求的长. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为， 所以， 因为，所以，又，所以， 因为，所以，所以，所以，所以. （2）法一： 在边上，且，所以. ， ，， ， 所以， 法二： 由余弦定理得，所以，所以. 因为，所以， 所以，在直角三角形中，. 在和中，分别由正弦定理得： ， 因为，，，所以， 又因为均为三角形的内角，所以， 因为，所以. 由， 得， 即， ，，，， ， . 题型11 解三角形中的最值范围问题 1、三角形中的最值、范围问题的解题策略 （1）定基本量：根据题意或几何图形厘清三角形中边、角的关系，利用正、余弦定理求出相关的边、角或边角关系，并选择相关的边、角作为基本量，确定基本量的范围． （2）构建函数：根据正、余弦定理或三角恒等变换将待求范围的变量用关于基本量的函数解析式表示． （3）求最值：利用基本不等式或函数的单调性等求最值． 2、求解三角形中的最值、范围问题的注意点 （1）涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化． （2）注意题目中的隐含条件，如A＋B＋C＝π，0＜A＜π，b－c＜a＜b＋c，三角形中大边对大角等． 41．（26-27高三上·湖南长沙·开学考试）已知在中，内角，，的对边分别为，，，满足，且，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由正弦定理，可得． 又由余弦定理，可得， 整理可得． 因为，所以，． 因为在中，，所以． 根据的面积公式，可得． 已知，根据基本不等式，可得，即， 当且仅当时等号成立． 因此，当且仅当时等号成立，此时． 故的面积最大值为． 42．（2026·福建泉州·模拟预测）钝角的内角，，的对边分别为，，，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】已知，则. 即.所以. 由于，所以或. 当时，可得，那么，不满足为钝角三角形， 舍去. 当时，则，满足为钝角三角形，此时. 由正弦定理得， ， 由各内角大于0，即，可得，故， 对勾函数在上单调递减，且， 所以，所以的取值范围为. 43．（26-27高三上·浙江·开学考试）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角A的大小． (2)若M为的内心，，求周长的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）已知，由正弦定理得：， 因为，故， 代入上式化简得：， 在中，，则， 又，所以. （2） 因为M为的内心，由(1)知， 所以， 所以， 设，又，即， 在中，由余弦定理得，， 所以，， ，当且仅当时等号成立， 又，所以， 所以周长的取值范围为：. 44．（2026·安徽·三模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)证明：； (2)求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）因为， 则代入得， 所以，即， 由余弦定理可得， 所以，所以， 因为正弦定理 （ 为外接圆半径）， 则，，，代入上式： 所以． （2）由（1）知，所以， 由余弦定理得， 由基本不等式 （当且仅当 ，即 时取等号）， 得：， 又因为当时，代入，得，解得， 则满足三角形三边关系，故等号成立， 由，可知为最大边，且，故为钝角， 因此，即，故， 又由基本不等式得， 所以的取值范围为． 题型12 三角形的角平分线与中线 1、三角形的角平分线 如图，在中，平分，角、，所对的边分别问，， （1）利用角度的倍数关系： （2）内角平分线定理：为的内角的平分线，则. 说明：三角形内角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比，再结合抓星结构，就可以转化为向量了，一般的，涉及到三角形中“定比”类问题，运用向量知识解决起来都较为简捷。 （3）等面积法：因为，所以， 所以，整理的：（角平分线长公式） 2、三角形的中线 （1）中线长定理：在中，是边上的中线，则 【点睛】灵活运用同角的余弦定理，适用在解三角形的题型中 （2）向量法： 【点睛】适用于已知中线求面积（已知的值也适用）. 45．（25-26高三下·海南海口·阶段检测）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 的周长为20，面积为10 ，D为边BC的中点，则BC边中线AD=________ 【答案】 【解析】已知在中，， 结合正弦定理，得，整理得， 由射影定理可得， 因为的周长为，即，代入，可得， 又因为的面积为，由面积公式， 结合余弦定理， 联立可得， 再利用半角公式，则，解得，， 进而得，则或， 则根据中线定理可得， 因此. 46．（2026·四川·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A； (2)若，，求AB边上中线的长. 【答案】(1)；(2)5 【解析】（1）在中，，故. 由，得， 即， 即，(舍去，因). 由，，得. （2）由，，得. . 由正弦定理得， 同理，. 设的中点为，则. 在中，， 故，即边上的中线长为. 47．（25-26高三下·河北沧州·阶段检测）在中，角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的角平分线的长度. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由正弦定理可得：，即 ，化简可得， 由余弦定理 . 因为 ，所以 . （2）根据三角形面积公式 ，可得：， 即 ，化简可得 ，解得 . 因为 是角平分线，所以 . 由 得：. ，解得 . 48．（2026·四川成都·三模）已知的面积为，内角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，的角平分线交于点，求线段的长. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为，， 所以 ， 即，所以. 又，所以. （2）因为，所以， 所以. 由正弦定理可得，，， 又， 所以，解得. 所以线段的长为. 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $