4.3 指数函数与对数函数的关系 (课后习题)-(Word版)【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第二册学生用书（人教B版）

4.3　指数函数与对数函数的关系 1.函数y=log3x的定义域为(0,+∞),则其反函数的值域是 (　 ) A.(0,+∞) B.R C.(-∞,0) D.(0,1) 2.下列函数中,反函数是其自身的函数为(　 ) A.f(x)=x2,x∈[0,+∞) B.f(x)=x3,x∈(-∞,+∞) C.f(x)=ex,x∈(-∞,+∞) D.f(x)=,x∈(0,+∞) 3.[2026·广东茂名高一期末] 若指数函数f(x)的图象经过点(2,4),则它的反函数g(x)的解析式为(　 ) A.g(x)=log2x B.g(x)=log0.5x C.g(x)=2x D.g(x)=x2 4.已知函数f(x)的图象与函数y=2x的图象关于直线y=x对称,函数h(x)是奇函数,且当x>0时,h(x)=f(x)-x,则h(-8)= (　 ) A.-4 B.4 C.-5 D.5 5.已知y=log2x的反函数是y=f-1(x),则函数y=f-1(1-x)的图象是图中的(　 ) A B C D 6.在P(1,1),Q(1,2),M(2,3),N四点中,函数y=ax的图象与其反函数的图象的公共点只可能是点 (　 ) A.P B.Q C.M D.N 7.(多选题)已知函数f(x)=ax(a>1),其反函数为f-1(x),实数t满足f-1(t)<1-t<f(t),则t的值可以是 (　 ) A.-1 B. C. D. 8.函数y=ax-1+1(a>0且a≠1)的反函数的图象过定点　　　　 .  9.[2026·江苏苏州高一月考] 函数f(x)=-2-x与g(x)=2x的图象关于　　　　对称;若函数h(x)是函数g(x)的反函数,则h(3)=　　　　.  10.(13分)[2026·沈阳高一期末] 已知f(log3x)=2x+(x≥1). (1)求f(x)的解析式,并指出其在定义域内的单调性(无需写出证明过程); (2)已知f-1(x)为f(x)的反函数,解不等式f-1(2x-1)<1. 11.已知x1+=4,x2+log2x2=3,则x1+x2的值为 (　 ) A.2 B.3 C.4 D.5 12.(多选题)[2026·长春高一期末] 已知函数f(x)=ax (a>0且a≠1)的反函数为g(x),则　　(　 ) A.g(x)=logax(a>0且a≠1),且g(x)的定义域是(0,+∞) B.函数f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称 C.若f(2)=,则g=- D.当a>1时,函数f(x)与g(x)的图象的交点个数可能是0,1,2 13.[2026·陕西咸阳高一期末] 已知函数f(x)=的图象与g(x)的图象关于直线y=x对称,则g(x2+1)的值域为　　　　.  14.(15分)[2025·河北定州二中高一期中] 已知函数f(x)的图象与函数y=3x的图象关于直线y=x对称. (1)求f(x-4)在[5,7]上的取值范围; (2)判断函数g(x)=f(8-x)-log3(x+8)的奇偶性,并说明理由. 15.已知函数f(x)和g(x)=ln x互为反函数,若正数a,b满足af(a)=1,b[g(b)-1]=e,则g(a)+g(b)=　　　　.  16.(17分)已知函数f(x)=(a∈R),f(0)=0. (1)求a的值,并判断f(x)的奇偶性; (2)求f(x)的反函数f-1(x); (3)对任意的k∈(0,+∞),解不等式f-1(x)>log2. 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.3　指数函数与对数函数的关系 1.A　[解析] 由原函数与反函数间的关系知,反函数的值域为原函数的定义域.故选A. 2.D　[解析] 由f(x)=,x∈(0,+∞),得f-1(x)=,x∈(0,+∞).故选D. 3.A　[解析] 设指数函数f(x)=ax(a>0且a≠1),因为点(2,4)在f(x)的图象上,所以4=a2,可得a=2,所以f(x)=2x,其反函数g(x)=log2x.故选A. 4.D　[解析] 因为函数f(x)的图象与函数y=2x的图象关于直线y=x对称,所以f(x)=log2x,所以当x>0时,h(x)=log2x-x,所以h(8)=log28-8=-5,又h(x)为奇函数,所以h(-8)=-h(8)=5.故选D. 5.C　[解析] ∵y=log2x的反函数为y=f-1(x)=2x,∴y=f-1(1-x)=21-x=2·2-x=2·,该函数为减函数,故排除选项A,B,又此函数的图象过点(0,2),∴排除选项D.故选C. 6.D　[解析] 设可得a=,故y=与其反函数y=x的图象的公共点是N.经检验P,Q,M均不符合题干的要求.故选D. 7.BC　[解析] ∵f(x)=ax(a>1),∴f-1(x)=logax,又实数t满足f-1(t)<1-t<f(t),∴logat<1-t<at,a>1.当t≤0时,显然不符合题意;当0<t<1时,logat<0,0<1-t<1,at>1,∴logat<1-t<at成立,符合题意;当t=1时,logat=0,1-t=0,at=a,不符合题意;当t>1时,logat>0,1-t<0,at>a,不符合题意.故选BC. 8.(2,1)　[解析] 对于函数y=ax-1+1(a>0且a≠1),令x-1=0,即x=1,则y=a0+1=2,则函数y=ax-1+1(a>0且a≠1)的图象恒过点(1,2),所以函数y=ax-1+1(a>0且a≠1)的反函数的图象恒过点(2,1). 9.原点　log23　[解析] 在函数f(x)的图象上任取一点(x,-2-x),其关于原点对称的点为(-x,2-x).因为g(-x)=2-x,所以点(-x,2-x)在函数g(x)的图象上,所以函数f(x)与g(x)的图象关于原点对称.因为g(x)=2x的反函数为h(x)=log2x,所以h(3)=log23. 10.解:(1)设t=log3x∈[0,+∞),则x=3t,所以f(t)=2·3t+3-t, 所以f(x)=2·3x+3-x,定义域为[0,+∞). 设m=3x,x∈[0,+∞),则m≥1,因为函数m=3x在[0,+∞)上单调递增,y=2m+在[1,+∞)上单调递增, 所以f(x)=2·3x+3-x在[0,+∞)上单调递增. (2)f-1(x)的值域为f(x)的定义域[0,+∞),因为f(x)在[0,+∞)上单调递增, 所以当x∈[0,1)时,f(x)的取值范围为,所以f-1(x)<1的解集为. 由f-1(2x-1)<1,可得2x-1∈,得x∈,故不等式f-1(2x-1)<1的解集为. 11.C　[解析] 由x1+=4,得x1-1+=3,令t1=x1-1,得=3-t1,所以t1为函数y=2x与y=3-x的图象的交点的横坐标,由x2+log2x2=3,得log2x2=3-x2,所以x2为函数y=log2x与y=3-x的图象的交点的横坐标,又y=2x与y=log2x互为反函数,所以它们的图象关于直线y=x对称,又y=3-x的图象关于直线y=x对称,由得x=,所以t1+x2=3,所以x1+x2=4.故选C. 12.ABD　[解析] 对于A,由f(x)的反函数为g(x),得g(x)=logax(a>0且a≠1),其定义域是(0,+∞),故A正确.对于B,根据反函数的特点知函数f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称,故B正确.对于C,若f(2)=,则a2=,可得a=,则g(x)=lox,则g=lo=,故C错误.对于D,当a>时,函数y=ax与y=logax的图象无公共点(如图①);当a=时,函数y=ax与y=logax的图象有一个公共点(如图②);当1<a<时,函数y=ax与y=logax的图象有两个公共点(如图③).所以当a>1时,f(x)与g(x)的图象的交点个数可能为0,1,2,故D正确.故选ABD. 13.(-∞,0]　[解析] 因为函数f(x)=的图象与g(x)的图象关于直线y=x对称,所以g(x)=lox,所以g(x2+1)=lo(x2+1),因为x2+1≥1,所以lo(x2+1)≤lo1=0,所以g(x2+1)的值域为(-∞,0]. 14.解:(1)由y=3x,可得x=log3y,则f(x)=log3x, 因为f(x-4)=log3(x-4)在定义域内单调递增,且f(5-4)=log31=0, f(7-4)=log33=1,所以f(x-4)在[5,7]上的取值范围为[0,1]. (2)g(x)为奇函数.理由如下: 由(1)可得,g(x)=log3(8-x)-log3(x+8)=log3, g(x)的定义域为(-8,8),关于原点对称, 因为g(-x)=log3=-log3=-g(x),所以g(x)为奇函数. 15.1　[解析] 因为函数f(x)和g(x)=ln x互为反函数,所以f(x)=ex, 由af(a)=1,得aea=1,两边取对数得ln a+a=0①, 由b[g(b)-1]=e,得b(ln b-1)=e,所以ln=,即ln+=0②. 令函数h(x)=ln x+x,因为y=ln x和y=x在(0,+∞)上均单调递增, 所以函数h(x)=ln x+x在(0,+∞)上单调递增, 又h=ln+<0,h(e)=ln e+e>0, 所以函数h(x)有且仅有一个零点,由①和②可得a=,即ab=e, 所以g(a)+g(b)=ln a+ln b=ln(ab)=ln e=1. 16.解:(1)由f(0)=0,得a=1,所以f(x)=,所以f(x)的定义域为R,关于原点对称. 又因为f(x)+f(-x)=+=+=0, 所以f(-x)=-f(x),即f(x)为奇函数. (2)因为y=f(x)==1-, 所以2x=(-1<y<1),所以f-1(x)=log2(-1<x<1). (3)因为f-1(x)>log2,即log2>log2, 所以解得 所以当0<k<2时,原不等式的解集为{x|1-k<x<1};当k≥2时,原不等式的解集为{x|-1<x<1}. 学科网（北京）股份有限公司 $