课时测评8 指数函数与对数函数的关系-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（人教B版）

(时间：40分钟　满分：100分)

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(1—8每小题5分，共40分)

1．当0<a<1时，在同一坐标系中，函数y＝ax与y＝logax的图象是(　　)

答案：D

解析：当0<a<1时，函数y＝ax在R上是减函数，函数y＝logax在(0，＋∞)上是减函数，且函数y＝ax与函数y＝logax的图象关于直线y＝x对称．故选D.

2．已知函数y＝f(x)与y＝ex互为反函数，函数y＝g(x)的图象与y＝f(x)的图象关于x轴对称，若g(a)＝1，则实数a的值为(　　)

A．－e    B．－   

C．    D．e

答案：C

解析：根据题意，可得f(x)＝ln x(x＞0)，由于f(x)＝ln x与y＝g(x)的图象关于x轴对称，故g(x)＝－ln x(x＞0).由g(a)＝1，得ln a＝－1，解得a＝.故选C.

3．函数y＝3x2－1(－1≤x＜0)的反函数是(　　)

A．y＝

B．y＝－

C．y＝

D．y＝－

答案：D

解析：易知函数y＝3x2－1为定义域上的减函数，当x＝0时，y＝，当x＝－1时，y＝1，所以＜y≤1.由y＝3x2－1得x2－1＝log3y，则x＝－.所以反函数为y＝－.故选D.

4．已知f(x)＝ax，g(x)＝logax(a＞0且a≠1)，若f(3)·g(3)＜0，则f(x)与g(x)在同一直角坐标系内的图象可能是(　　)

答案：C

解析：因为f(x)＝ax与g(x)＝logax(a＞0且a≠1)互为反函数，所以它们具有相同的单调性，排除A、D；又f(3)·g(3)＜0，所以f(3)＞0，g(3)＜0，所以0＜a＜1，排除B.故选C.

5．已知函数f(x)＝loga(x－k)的图象过点(4，0)，其反函数f-1(x)的图象过点(1，7)，则f(x)是(　　)

A．增函数    B．减函数

C．奇函数    D．偶函数

答案：A

解析：因为函数f(x)＝loga(x－k)的图象过点(4，0)，所以loga(4－k)＝0，所以k＝3，所以f(x)＝loga(x－3).又反函数f-1(x)的图象过点(1，7)，所以函数f(x)的图象过点(7，1)，所以loga4＝1，解得a＝4，所以f(x)＝log4(x－3)，所以f(x)是增函数．

6．若函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3x(x＞0)的图象关于直线y＝x对称，则f(x)＝________．

解析：函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3x(x＞0)的图象关于直线y＝x对称，则它们互为反函

数，所以f(x)＝3x.

答案：3x

7．已知函数f(x)＝则f-1＝________．

解析：设f-1＝x，则f(x)＝.当0≤x≤1时，由x2＋1＝，得x＝或x＝－(舍去)；当－1≤x＜0时，由2x＝，得x＝(舍去).综上，得f-1＝.

答案：

8．已知函数f(x)＝log(x＋2)的定义域为(1，7]，则它的反函数f-1(x)的定义域为________．

答案：[－2，－1)

解析：因为1＜x≤7，所以3＜x＋2≤9，所以－2≤log(x＋2)＜－1，即f-1(x)的定义域为[－2，－1).

9．(10分)已知函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)，g(x)为f(x)的反函数，求关于x的不等式g(x)－loga(2－3x)≤loga1的解集．

解：因为f(x)＝ax(a＞0且a≠1)，

所以g(x)＝logax(a＞0且a≠1)，

所以由g(x)－loga(2－3x)≤loga1，

得logax≤loga(2－3x).

当a＞1时，因为函数y＝logax在(0，＋∞)上单调递增，所以解得0＜x≤.

当0＜a＜1时，因为函数y＝logax在(0，＋∞)上单调递减，所以解得≤x＜.

综上，当a＞1时，原不等式的解集为；当0＜a＜1时，原不等式的解集为.

10．(10分)已知函数f(x)＝loga(2－x)(a＞1).

(1)求函数f(x)的定义域、值域；(2分)

(2)求函数f(x)的反函数f-1(x)；(3分)

(3)判断f-1(x)的单调性．(5分)

解：(1)要使函数f(x)有意义，需满足2－x＞0，即x＜2，故函数f(x)的定义域为(－∞，2)，