4 指数函数、对数函数与幂函数 滚动习题(二) [范围4.1～4.2] (课后习题)-(Word版)【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第二册学生用书（人教B版）

滚动习题(二) [范围4.1~4.2] 1.B　[解析] 因为a<1,所以+=|a-1|+a=1-a+a=1.故选B. 2.A　[解析] 令L=70,则10lg=70,可得I1=107I0,令L=60,则10lg=60,可得I2=106I0,则==10.故选A. 3.D　[解析] 因为f(x)=2x与g(x)=log2x互为反函数,所以函数f(x)=2x与g(x)=log2x的图象关于直线y=x对称.故选D. 4.A　[解析] b=log34=log3>c==log3,=log32×log34<=<1,即log34<log23,故b<a.综上,c<b<a.故选A. 5.D　[解析] 函数f(x)=的定义域为R,因为f(-x)====-=-f(x),所以函数f(x)是奇函数,又f(x)===1-,所以函数f(x)在R上单调递增.故选D. 6.D　[解析] 作出函数y=f(x)的图象,如图所示.因为f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x),不等式可化为≥0,则所以或由图知1≤x<2或0<x<或-<x<0或x<-2,所以原不等式的解集是(-∞,-2)∪∪∪[1,2).故选D. 7.AD　[解析] 对于A,函数f(x)的定义域为{x|x≠0},因为f(-x)=ln(-x)2-2ln[(-x)2+1]=ln x2-2ln(x2+1)=f(x),所以函数f(x)为偶函数,故A正确;对于B,不妨设x>0,此时f(x)=2ln x-2ln(x2+1)=2ln,由=≤=(当且仅当x=1时取等号),得0<≤,所以f(x)≤2ln=-2ln 2,又f(x)为偶函数,所以函数f(x)的值域为(-∞,-2ln 2],故B错误;对于C,由f=ln-2ln=ln,f=ln-2ln=2ln≠f,所以函数f(x)的图象不关于直线x=1对称,故C错误;对于D,当x>0时,f(x)=2ln x-2ln(x2+1)=2ln=2ln,由函数y=x+(x>0)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1),得当x>0时,函数f(x)的单调递减区间为(1,+∞),单调递增区间为(0,1),又偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反,所以函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-1),(0,1),故D正确.故选AD. 8.AC　[解析] 设k=4a=6b=9c>1,则a=log4k,b=log6k,c=log9k.对于A,假设4a-b=9b-c成立,则=,即4a·9c=4b·9b,所以k2=36b,而36b=6b·6b=k2,故假设成立,故A正确.对于B,假设a+c=2b成立,则+=+=+=log46+log96=2,又log46+log96=(log64+log69)×=>2,log49=1显然不成立,所以log49+≠2,即log46+log96≠2,故假设不成立,故B错误.对于C,假设ac>b2成立,则=·=log46·log96>1,即log46>log69,因为log46=log4=1+log4,log69=log6=1+log6,所以log46>log69,故假设成立,故C正确.对于D,因为-=-=2logk6-logk4=logk9=,所以+=,故D错误.故选AC. 9.(2,4)　[解析] 由题意知解得2<x<4,所以f(x)的定义域为(2,4). 10.-4　[解析] 由题意得则lox2+lox1 =+ = = ==-4. 11.(3,+∞)　[解析] 因为x1是函数f(x)=ex+x-a的零点,所以x1是关于x的方程ex+x-a=0,即方程ex=-x+a的根,所以x1是函数y=ex与y=-x+a的图象的交点的横坐标.同理x2是函数y=ln x与y=-x+a的图象的交点的横坐标.在同一平面直角坐标系中,作出y=ex,y=ln x,y=-x+a的图象,如图所示,因为函数y=ln x与函数y=ex的图象关于直线y=x对称,直线y=-x+a也关于直线y=x对称,所以两个交点关于直线y=x对称,所以=x2,又a>1,所以x2>1,所以m=+2x2=3x2>3,所以m的取值范围为(3,+∞). 12.解:(1)因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),即=-,整理得(a+1)(3x+1)=0,所以a=-1. (2)由(1)可知f(x)==1+,其定义域为(-∞,0)∪(0,+∞), 令f(x)>2,得1+>2,即>1,整理得0<3x-1<2,解得0<x<1, 所以不等式f(x)>2的解集为(0,1). 13.解:(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数,g(x)是定义在R上的偶函数, 所以f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x). 因为f(x)+g(x)=2x①,所以f(-x)+g(-x)=2-x,即-f(x)+g(x)=2-x②. 由①②得f(x)=,g(x)=. (2)因为[f(x)]2+g(x)+a>0对任意x∈R恒成立,所以22x+2-2x+2(2x+2-x)+4a-2>0对任意x∈R恒成立.设t=2x+2-x,则t2=22x+2-2x+2, 设φ(t)=t2-2+2t+4a-2=t2+2t-4+4a. 因为t=2x+2-x≥2=2,当且仅当x=0时等号成立,所以t∈[2,+∞). 又因为函数φ(t)在区间[2,+∞)上单调递增,所以φ(t)min=φ(2)=4+4a, 所以4+4a>0,即a>-1, 故实数a的取值范围是(-1,+∞). 14.解:(1)当a=1时,f(x)=log2(x+1),由f(x)<-1,得log2(x+1)<-1=log2,则0<x+1<,解得-1<x<-,即不等式f(x)<-1的解集为. (2)g(x)=f(4x)=log2(4x+a)(a>0). 因为对任意的x∈(0,2),函数f(x)的图象总在函数g(x)的图象的下方, 所以f(x)<g(x)在(0,2)上恒成立,即log2(x+a)<log2(4x+a)在(0,2)上恒成立, 即2log2(x+a)<log2(4x+a),即log2(x+a)2<log2(4x+a), 即(x+a)2<4x+a,即x2+(2a-4)x+a2-a<0在(0,2)上恒成立. 设h(x)=x2+(2a-4)x+a2-a, 则即 即得得0≤a≤1, 又a>0,所以0<a≤1. 故正数a的取值范围是(0,1]. 学科网（北京）股份有限公司 $ 滚动习题(二) [范围4.1~4.2] (时间:45分钟　分值:100分) 一、单项选择题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 1.已知a<1,则+= (　 ) A.-1 B.1 C.2a-1 D.1-2a 2.[2025·江苏宿迁高一期末] 对于一个声强为I(单位:W/m2)的声波,其声强级L(单位:dB)可由如下公式计算:L=10lg(其中I0是能引起听觉的最弱声强).设声强为I1时的声强级为70 dB,声强为I2时的声强级为60 dB,则= (　 ) A.10 B.100 C.1010 D.10 000 3.[2026·浙江丽水高一期末] 函数f(x)=2x与g(x)=log2x的图象关于 (　 ) A.x轴对称 B.y轴对称 C.坐标原点对称 D.直线y=x对称 4.已知a=log23,b=log34,c=,则a,b,c的大小关系为(　 ) A.c<b<a B.c<a<b C.b<a<c D.b<c<a 5.[2026·江苏南通高一期末] 已知函数f(x)=,则 (　 ) A.函数f(x)是偶函数,在R上单调递减 B.函数f(x)是偶函数,在R上单调递增 C.函数f(x)是奇函数,在R上单调递减 D.函数f(x)是奇函数,在R上单调递增 6.已知函数f(x)是偶函数,当x>0时,f(x)=|log2x|-1,则不等式≥0的解集是 (　 ) A.∪ B.(-2,-1]∪[1,2) C.∪ D.(-∞,-2)∪∪∪[1,2) 二、多项选择题:本大题共2小题,每小题6分,共12分. 7.已知函数f(x)=ln x2-2ln(x2+1),则下列说法正确的是(　 ) A.函数f(x)为偶函数 B.函数f(x)的值域为(-∞,-1] C.当x>0时,函数f(x)的图象关于直线x=1对称 D.函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-1),(0,1) 8.若实数a,b,c满足4a=6b=9c>1,则 (　 ) A.4a-b=9b-c B.a+c=2b C.ac>b2 D.+> 三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分. 9.函数f(x)=+ln(4-x)的定义域是　　　　.  10.若方程(lg x)2-2lg x-2=0的两个解为x1,x2,则lox2+lox1=　　　　.  11.[2026·重庆北碚区高一期末] 已知a>1,x1,x2分别是函数f(x)=ex+x-a与g(x)=ln x+x-a的零点,若m=+2x2,则m的取值范围为　　　　.  四、解答题:本大题共3小题,共43分. 12.(13分)已知函数f(x)=为奇函数. (1)求实数a的值; (2)求不等式f(x)>2的解集. 13.(15分)[2026·江苏南通高一期末] 已知f(x)是定义在R上的奇函数,g(x)是定义在R上的偶函数,且f(x)+g(x)=2x. (1)求f(x)和g(x)的解析式; (2)若对任意x∈R,[f(x)]2+g(x)+a>0恒成立,求实数a的取值范围. 14.(15分)已知函数f(x)=log2(x+a)(a>0),设g(x)=f(4x). (1)当a=1时,解关于x的不等式f(x)<-1; (2)若对任意的x∈(0,2),函数f(x)的图象总在函数g(x)的图象的下方,求正数a的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $