4.2.3 第2课时 对数函数的图象及其性质的应用 (课后习题)-(Word版)【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第二册学生用书（人教B版）

第2课时　对数函数的图象及其性质的应用 1.A　[解析] 令x+5=1,可得x=-4,那么函数值y=0,即函数的图象过定点(-4,0).∵0<a<1,∴函数y=loga(x+5)是减函数,可得其图象过第二、三、四象限,不经过第一象限,故选A. 2.A　[解析] 因为f(x)的值域是(0,+∞),所以2-x>1,解得x<1.故选A. 3.B　[解析] 由 得1<x≤2,所以函数f(x)的定义域为(1,2].故选B. 4.B　[解析] 因为f(x)=ln(x2-mx-6)在(1,+∞)上单调递增,y=ln x在(0,+∞)上单调递增,所以y=x2-mx-6=--6在(1,+∞)上单调递增,且1-m-6≥0,则≤1,即m≤2,且m≤-5.综上,实数m的取值范围为m≤-5.故选B. 5.D　[解析] 当x≥1时,不等式f(x)≤1即为log2x≤1=log22,可得1≤x≤2;当x<1时,不等式f(x)≤1即为≤1,即≥0,解得x≤0或x>1(舍),所以x≤0.综上所述,不等式f(x)≤1的解集为(-∞,0]∪[1,2],故选D. 6.B　[解析] ∵f(x)=|log2(x+1)|,且f(m)=f(n), ∴|log2(m+1)|=|log2(n+1)|,∵m≠n,∴log2(m+1)=-log2(n+1),∴(m+1)(n+1)=1,即mn+m+n=0,则+=-1.故选B. 7.ACD　[解析] 由|x-1|>0得x≠1,故函数f(x)=loga|x-1|的定义域为{x|x≠1},不关于原点对称,所以B错误;设g(x)=|x-1|=则g(x)在(-∞,1)上为减函数,在(1,+∞)上为增函数,且g(x)的图象关于直线x=1对称,所以f(x)的图象关于直线x=1对称,所以C正确;因为f(x)=loga|x-1|在(0,1)上是减函数,所以a>1,所以D正确;由上述分析知f(x)=loga|x-1|在(1,+∞)上单调递增且无最大值,所以A正确.故选ACD. 8.5　(-1,+∞)　[解析] 由题知f(2)=lo2=-1,所以f[f(2)]=f(-1)=5.当x≤1时,y=-x2-2x+4在(-∞,-1)上单调递增,在(-1,1]上单调递减,f(1)=1;当x>1时,y=lox在(1,+∞)上单调递减,且lo1=0<1.故函数f(x)的单调递减区间是(-1,+∞). 9.-　[解析] 因为f(x)=lg=lg,所以f(-x)+f(x)=0,则f(-a)+f(a)=0,故f(-a)=-f(a)=-. 10.解:(1)因为f(1)=1,所以log4(a+5)=1,解得a=-1, 则f(x)=log4(-x2+2x+3). 令-x2+2x+3>0,得-1<x<3,则函数f(x)的定义域为(-1,3). 令g(x)=-x2+2x+3,x∈(-1,3), 易知g(x)在(-1,1]上单调递增,在[1,3)上单调递减, 又y=log4x在(0,+∞)上单调递增, 所以f(x)的单调递增区间是(-1,1],单调递减区间是[1,3). (2)若f(x)的最小值为0,则h(x)=ax2+2x+3有最小值,且最小值为1, 所以解得a=,故a的值为. 11.D　[解析] 由题知,当x<0或x=0时,函数f(x)无意义,所以x>0.因为对于定义域内任意的x1,总存在x2,使得f(x2)<f(x1),所以函数f(x)在定义域内无最小值.令g(x)=+-1(x>0,a>1),则函数g(x)在定义域内无最小值或g(x)min≤0,因为a>1,所以函数g(x)在(0,]上单调递减,在[,+∞)上单调递增,所以g(x)min=g()=+-1=-1≤0,解得a≥4,则实数a的取值范围是[4,+∞).故选D. [点睛] ①“对于定义域内任意的x1,总存在x2,使得f(x2)<f(x1)”的充要条件是“函数f(x)在定义域内无最小值”;②若y=logaf(x)(a>1)在定义域内无最小值,则函数f(x)在定义域内无最小值或f(x)min≤0. 12.ABD　[解析] f(-x)=log2(+x)+3=-log2(-x)+3,故f(-x)+f(x)=6,即f(x)的图象关于点(0,3)对称,故f(ln 2)+f=f(ln 2)+f(-ln 2)=6,故A,B正确;当x≥0时,t=-x=单调递减,而y=log2t+3单调递增,所以f(x)在[0,+∞)上单调递减,又f(x)的图象关于点(0,3)对称,所以f(x)在R上单调递减,故C错误;由题得f(a)>6-f(b)=f(-b),又f(x)在R上单调递减,所以a<-b,故a+b<0,故D正确.故选ABD. 13.　[解析] 根据题意知f(x)=loga(-4x2+logax)<0对任意x∈恒成立.当a>1时,对任意x∈,-4x2+logax<0,不满足题意;当0<a<1时,可得-4x2+logax>1对任意x∈恒成立,即logax>4x2+1,x∈,结合单调性可知,只需loga≥2,可得≤a<1,即a的取值范围是. 14.解:(1)f(x)为偶函数.理由如下: 要使函数f(x)=loga(16+x)+loga(16-x)有意义, 则解得-16<x<16, 所以函数f(x)的定义域为(-16,16), 又f(-x)=loga(16-x)+loga[16-(-x)]=loga(16+x)+loga(16-x)=f(x), 所以f(x)为偶函数. (2)f(x)=loga(16+x)+loga(16-x)=loga(256-x2). 当a>1时,对数函数y=logax在(0,+∞)上为增函数, 又0<256-x2≤256, 所以f(x)=loga(256-x2)≤loga256, 所以函数f(x)的值域为(-∞,loga256]. 当0<a<1时,对数函数y=logax在(0,+∞)上为减函数, 所以f(x)=loga(256-x2)≥loga256, 所以函数f(x)的值域为[loga256,+∞). (3)当a=3时,f(x)=log3(256-x2),x∈(-16,16), 令t=256-x2,则y=log3t. 因为函数t=256-x2在(-16,0)上单调递增,在(0,16)上单调递减,函数y=log3t在(0,256]上单调递增, 所以函数f(x)在(-16,0)上单调递增,在(0,16)上单调递减. 因为f(3m)<f(m+2),且f(x)为偶函数, 所以f(|3m|)<f(|m+2|),所以解得1<m<或-<m<-, 所以m的取值范围为∪. 15.A　[解析] ∵y=2-ax在[1,2]上单调递减,∴2-2a>0,解得a<1.当0<a<1时,y=logax在定义域上单调递减,∴f(x)在[1,2]上单调递增,∴f(2)=loga(2-2a)≥1,∴2-2a≤a,可得≤a<1.综上所述,实数a的取值范围是.故选A. 16.解:(1)当a=4时,f(x)=log2(4x+4·2x-1-6), 由题意,令log2(4x+4·2x-1-6)=x,则4x+2·2x-6=2x,则2x=2(负值舍去),所以x=1∈[1,2], 所以函数f(x)的“不动点”为1. (2)由题得log2(4x+a·2x-1-6)=x在[1,2]上无解, 即4x+a·2x-1-6=2x在[1,2]上无解, 令2x=t,t∈[2,4], 则t2+t-6=t,即t2+t-6=0在[2,4]上无解, 即1-=t-在[2,4]上无解. 设g(t)=t-,t∈[2,4],易知g(t)在[2,4]上单调递增,故g(t)∈, 所以1->或1-<-1,解得a<-3或a>4. 又4x+a·2x-1-6>0在[1,2]上恒成立, 所以-<2x-在[1,2]上恒成立,则-<-1,则a>2. 综上,实数a的取值范围是(4,+∞). 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　对数函数的图象及其性质的应用 1.若0<a<1,则函数y=loga(x+5)的图象(　 ) A.不经过第一象限,但过点(-4,0) B.不经过第二象限,但过点(-4,0) C.不经过第三象限,但过点(0,1) D.不经过第四象限,但过点(a-4,1) 2.已知函数f(x)=log2(2-x)的值域是(0,+∞),则f(x)的定义域为 (　 ) A.(-∞,1) B.(-∞,2) C.(1,2) D.(-∞,0) 3.[2026·天津红桥区高一期末] 函数f(x)=的定义域为 (　 ) A.(1,2) B.(1,2] C.(2,+∞) D.[2,+∞) 4.已知函数f(x)=ln(x2-mx-6)在(1,+∞)上单调递增,则m的取值范围是 (　 ) A.m<-2 B.m≤-5 C.m≤2 D.m>2 5.已知函数f(x)=则不等式f(x)≤1的解集为 (　 ) A.(-∞,2] B.(-∞,0]∪(1,2] C.[0,2] D.(-∞,0]∪[1,2] 6.已知函数f(x)=|log2(x+1)|,若f(m)=f(n),m≠n,则+等于 (　 ) A.1 B.-1 C.0 D.2 7.(多选题)已知函数f(x)=loga|x-1|在(0,1)上是减函数,则 (　 ) A.f(x)在(1,+∞)上单调递增且无最大值 B.f(x)在定义域内是偶函数 C.f(x)的图象关于直线x=1对称 D.a的值可以为2022 8.已知函数f(x)=则f[f(2)]=　　　　,函数f(x)的单调递减区间是　　　　.  9.已知f(x)=lg,x∈(-1,1),若f(a)=,则f(-a)=　　　　.  10.(13分)已知函数f(x)=log4(ax2+2x+3). (1)若f(1)=1,求f(x)的单调区间; (2)若f(x)的最小值为0,求a的值. ★11.[2026·安徽六安二中高一期末] 已知函数f(x)=loga(a>1),若对于定义域内任意的x1,总存在x2,使得f(x2)<f(x1),则满足条件的实数a的取值范围是(　 ) A.(2,6) B.[2,6) C.(4,+∞) D.[4,+∞) 12.(多选题)[2026·重庆西南大学附中高一期末] 已知函数f(x)=log2(-x)+3,则下列说法正确的是 (　 ) A.函数f(x)的图象关于点(0,3)对称 B.f(ln 2)+f=6 C.函数f(x)在定义域上单调递增 D.若实数a,b满足f(a)+f(b)>6,则a+b<0 13.当x∈时,函数f(x)=loga(-4x2+logax)的图象恒在x轴下方,则实数a的取值范围是　　　　.  14.(15分)[2026·陕西安康高一期末] 已知函数f(x)=loga(16+x)+loga(16-x)(a>0且a≠1). (1)判断f(x)的奇偶性,并说明理由; (2)求f(x)的值域; (3)当a=3时,如果f(3m)<f(m+2),求m的取值范围. 15.已知函数f(x)=loga(2-ax)(a>0,且a≠1).若存在x∈[1,2],使得f(x)≥1成立,则实数a的取值范围是(　 ) A. B.∪(1,2] C.(1,2] D. 16.(15分)设区间A是函数y=f(x)定义域内的一个子集,若存在x0∈A,使得f(x0)=x0成立,则称x0是f(x)的一个“不动点”,也称f(x)在区间A上存在不动点.例如:g(x)=2x-1的“不动点”满足g(x0)=2x0-1=x0,即g(x)的“不动点”是1.设函数f(x)=log2(4x+a·2x-1-6),x∈[1,2]. (1)若a=4,求函数f(x)的“不动点”; (2)若函数f(x)不存在不动点,求实数a的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $