4.2.2 对数运算法则 (课后习题)-(Word版)【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第二册学生用书（人教B版）

4.2.2　对数运算法则 1.C　[解析] a=log23×log34×…×log20242025=××…×==log22025,∵210=1024,211=2048, ∴log2210<log22025<log2211,∴a∈(10,11),故选C. 2.B　[解析] 原式==log23×log32=2.故选B. 3.C　[解析] 由根与系数的关系可得lg a+lg b=2,所以lg ab=lg a+lg b=2,所以ab=102=100.故选C. 4.B　[解析] 由log23=a,log27=b,得log4256===.故选B. 5.C　[解析] 由xlog36=1,可得log36x=1,即6x=3,所以6x+6-x=3+=.故选C. 6.B　[解析] 当x<0时,①不正确;若lg x+lg y=0,则lg xy=0,可得xy=1,若xy=1,有可能x<0,y<0,此时lg x,lg y无意义,故“xy=1”是“lg x+lg y=0”的必要不充分条件,②不正确;因为a>0且a≠1,所以logaa2=2logaa=2,③正确.故选B. 7.B　[解析] 令2.52025=x,则lg x=lg 2.52025=2025lg 2.5=2025lg=2025(lg 5-lg 2)≈2025(0.699-0.301)≈806,所以x≈10806,则与2.52025最接近的是10806.故选B. 8.ABD　[解析] ln e2=2,故A正确;lg 125=lg 53=3lg 5=3-3lg 2,故B正确;log34+log32=log38,故C错误;log23×log34×log42=××=1,故D正确.故选ABD. 9.5　[解析] eln 3-log23·log34+=3-log24+=3-2+4=5. 10.解:(1)====. (2)(lg 2)2+lg 2×lg 50+lg 25+lg 0.01=(lg 2)2+lg 2×(lg 5+1)+lg 0.25=(lg 2)2+lg 2lg 5+lg 2+lg=lg 2(lg 2+lg 5)+lg 2-2lg 2=0. 11.B　[解析] 假设经过n天,“进步者”是“退步者”的2倍,则=2,解得n=lo2=≈≈35,即经过约35天,“进步者”是“退步者”的2倍.故选B. 12.AC　[解析] 对于A,因为点(a,b)在函数y=2x的图象上,所以b=2a,则=2a=b,所以点(-a,b)在函数y=的图象上,故A正确;对于B,因为y=lox,所以lob=-log2b=-log22a=-a,所以点(b,-a)在函数y=lox的图象上,故B错误;对于C,=2a,因为b=2a,所以=2a=b,所以点在函数y=4x的图象上,故C正确;对于D,因为b=2a,所以log4=log4=log42a-1=log22=,所以点在函数y=log4x的图象上,故D错误.故选AC. 13.72　[解析] ∵2x=3y=M,∴x=log2M,y=log3M,则=logM2,=logM3,∴=+=2logM3+3logM2=logM72=1,∴M=72. 14.解:(1)由题知T0=90,Te=20,t=10,T(10)=55, 则55=(90-20)e-10k+20,则e-10k=,解得k=. (2)设自然冷却大约需要放置t min才能达到最佳饮用口感, 则65=(85-25)e-kt+25,代入k=, 得t==≈=≈5.7, 所以刚泡好的茶水在室温为25 ℃时自然冷却大约需要放置5.7 min才能达到最佳饮用口感. 15.1　[解析] 由a3=9得a=,则log3a=. 由==,得x=lo,y=lo,所以=lo,=lo, 所以+=lo=lo=1,故+=1. 16.解:由题意可得,log3x-+c=0,即(log3x)2+clog3x-b=0.易知log33+log3=-1=-c,log381·log3=-12=-b,可得c=1,b=12,则原方程为(log3x)2+log3x-12=0,可得log3x=-4或log3x=3,解得x=或x=27.故原方程的根为27或. 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2.2　对数运算法则 1.[2026·山东青岛高一期末] 已知a=log23×log34×…×log20242025,则a的取值范围是(　 ) A.(0,1) B.(1,2) C.(10,11) D.(11,12) 2.(2log43+log83)(log32+log92)= (　 ) A.1 B.2 C.4 D.6 3.若lg a,lg b是方程5x2-10x+3=0的两个实根,则ab=(　 ) A.2 B. C.100 D. 4.已知log23=a,log27=b,则log4256= (　 ) A. B. C. D. 5.若xlog36=1,则6x+6-x= (　 ) A. B.6 C. D.3 6.设x,y为非零实数,a>0且a≠1,则下列说法中正确的个数是 (　 ) ①logax2=2logax; ②“xy=1”是“lg x+lg y=0”的充要条件; ③logaa2=2. A.0 B.1 C.2 D.3 7.阿拉伯数字、十进制和对数是数学计算方面的重要发明,其中对数的发明大大缩短了计算时间,对估算“天文数字”具有独特的优势.下列各数中与2.52025最接近的是 (　 ) (参考数据:lg 2≈0.301,lg 5≈0.699) A.10802 B.10806 C.10810 D.10814 8.(多选题)历史上数学计算方面的三大发明为阿拉伯数字、十进制和对数,常用对数在化简计算上为人们做出重大贡献,而自然对数成了研究科学、了解自然的必不可少的工具.现有如下四个关于对数的运算,其中正确的是 (　 ) A.ln e2=2 B.lg 125=3-3lg 2 C.log34×log32=log38 D.log23×log34×log42=1 9.计算:eln 3-log23·log34+=　　　　　.  10.(13分)[2025·江苏东海高级中学高一月考] (1)已知10m=2,10n=3,求的值; (2)计算:(lg 2)2+lg 2×lg 50+lg 25+lg 0.01. 11.“学如逆水行舟,不进则退;心似平原跑马,易放难收”(明·《增广贤文》)是勉励人们专心学习的.假设初始值为1,如果每天的“进步率”都是1%,那么一年后是(1+1%)365=1.01365;如果每天的“退步率”都是1%,那么一年后是(1-1%)365=0.99365.一年后“进步者”是“退步者”的=≈1481倍.照此计算,“进步者”是“退步者”的2倍时经过的天数约为(参考数据:lg 1.01≈0.004 32,lg 0.99≈-0.004 36,lg 2≈0.301 03)(　 ) A.33 B.35 C.37 D.39 12.(多选题)[2026·江苏徐州高一期末] 若点(a,b)在函数y=2x的图象上,则 (　 ) A.点(-a,b)在函数y=的图象上 B.点(b,a)在函数y=lox的图象上 C.点在函数y=4x的图象上 D.点在函数y=log4x的图象上 13.已知2x=3y=M,且=1,则M的值为　　　　.  14.(15分)中国茶文化博大精深,茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.把物体放在冷空气中冷却,如果物体原来的温度是T0 ℃,空气温度是Te ℃,那么t min后物体的温度T(t)(单位:℃)可由公式T(t)=(T0-Te)e-kt+Te求得,其中k是一个随着物体与空气的接触情况而定的常数.现有某种刚泡好的普洱茶,茶水温度是90 ℃,放在室温20 ℃的环境中自然冷却,10分钟后茶水的温度是55 ℃. (1)求k的值. (2)经验表明,当室温为25 ℃时,该种普洱茶用85 ℃的水泡制,自然冷却至65 ℃时饮用,可以产生最佳口感,那么刚泡好的茶水在室温为25 ℃时自然冷却大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感?(结果精确到0.1) (参考数据:ln 2≈0.7,ln 3≈1.1) 15.[2026·辽宁丹东高一期末] 已知a3=9,==log3a,则+的值为　　　　.  16.(15分)甲、乙两人同时解关于x的方程log3x-blogx3+c=0,甲写错了常数b,得两根为3和;乙写错了常数c,得两根为和81.求这个方程的根. 学科网（北京）股份有限公司 $